Equações diferenciais ordinárias

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1 Equações diferenciais ordinárias Laura Goulart UESB 9 de Abril de 2016 Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

2 Muitos problemas encontrados em engenharia e outras ciências podem ser formualdos em termos de equações diferenciais. Por exemplo, mecânica de uídos, uxo de calor, vibrações, reações químicas e nucleares, etc. o objetivo deste capítulo é apresentar uma introdução à resolução de equações diferenciais ordeinárias de 1a. ordem, ie, uma equação da forma através de métodos numéricos. y = f (x, y); x [a, b] (1) Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

3 Antes de se pensar em resolver uma determinada equação diferencial precisamos garantir que essa equação tem solução e que é única. Note-se que a solução da equação (1), se existir, não é única pois, ao integrarmos, introduzimos sempre uma constante de integração. Uma das maneiras para obtermos a unicidade da solução é especicar y(x) num ponto x 0 do intervalo [a, b], usualmente x 0 = a. A equação diferencial, juntamente com esta condição inicial, constituem um problema de valor inicial (PVI), ie, { y = f (x, y) ; x [a, b] (2) y(x o ) = y 0 Apesar de contornado este problema ainda não temos a garantia da existência e unicidade da solução de (2). O teorema a seguir estabelece condições sobre f (x, y) que garantem a existência de uma única solução de (2). Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

4 Teorema da Existência e Unicidade Considere D = {(x, y) R 2 /a x b e y + }. Seja f (x, y) denida e contínua em D. Suponhamos que exista uma constante L > 0 tal que f (x, y 1 ) f (x, y 2 ) L y 1 y 2 (Condição de Lipschitz para a 2a. variável), (x, y 1 ); (x, y 2 ) D, então (2) tem uma única solução y(x), onde y(x) é contínua e diferenciável para todo (x, y) D. Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

5 A grande maioria das equações encontradas na prática não podem ser solucionadas analiticamente; o recurso de que dispomos é o emprego de métodos numéricos baseados na série de Taylor. Para todos os métodos descritos, consideraremos (2) com a hipótese de que satisfaz as condições do Teorema de Exitência e Unicidade. O primeiro passo para encontrar uma solução numérica é discretizar a região onde procuraremos a solução e isso será feito por meio de uma partição do intervalo [a, b], como realizado anteriormente. Denotaremos por y n uma aproximação para a solução teórica em x n, ie, y n y(x n ) e por f n = f (x n, y n ). Nosso objetivo é então encontrar aproximações y n da solução verdadeira y(x n ) nos pontos da partição. Portanto, a solução numérica será uma tabela de valores dos pares (x n, y n ). Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

6 Série de Taylor O Método da Série de Taylor baseia-se na representação da solução particular da equação diferencial em série polinomial (série de Taylor). Do Cálculo III, sabemos que a solução y(x) pode ser representada, em alguma vizinhança de x = x i 1, através da seguinte série polinomial: y(x) = y(x i 1 ) + y (x i 1 )(x x i 1 ) y (x i 1 )(x x i 1 ) k! y (k) (x i 1 )(x x i 1 ) k +... Tomemos x = x i e obtemos: y(x i ) = y(x i 1 ) + y (x i 1 )(x i x i 1 ) y (x i 1 )(x i x i 1 ) k! y (k) (x i 1 )(x i x i 1 ) k +... Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

7 Lembremos que x i = x i 1 + h e logo, y(x i ) = y(x i 1 ) + y (x i 1 )h y (x i 1 )h k! y (k) (x i 1 )h k +... Se a série for truncada até um número nito de termos, passaríamos a ter uma representação aproximada para a função y(x), onde o último termo é o erro de truncamento local. Assim, y i = y i 1 +y i 1 h+ 1 2 y i 1 h k! y (k) i 1 hk + 1 (k + 1)! (ξ) hk+1, ξ [x i 1, x i ]. Portanto, é a equação do Método da Série de Taylor de ordem k é dada por: y i = y i 1 + y i 1 h y i 1 h k! y (k) i 1 hk. (3) Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

8 Método de Runge-Kutta de 2a. ordem Os Métodos de Runge-Kutta de 2a. e 4a. ordem são muito utilizados, principalmente porque podem ser expressos por uma sequência de fórmulas explícitas; sua implementação em computadores também é extremamente simples. Vamos encontrar as equações genéricas para o Método de Runge-Kutta de 2a. ordem. Considere a série de Taylor de y(x i ) = y(x i 1 + h) em torno de x = x i 1 de 2a. ordem: y(x i ) = y(x i 1 ) + y (x i 1 ) + h2 2 y (x i 1 ) (4) Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

9 Precisamos da 2a. derivada de y que é dada por: y = f = f x + f y dy dx = f x + f y f. Por outro lado, pela expansão da função f (x, y) em duas variáveis temos: f (x + x, y + y) = f (x, y) + f x x + f y y + o( x, y), onde lim o( x, y) = 0. ( x, y) 0 Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

10 Tomemos x = h e y = hf. Logo, ( x, y) = 2 x + 2 y = (h 2 + h 2 f 2 ) = h 1 + f 2. Assim, ( x, y) 0 h 0. Portanto, f (x + h, y + hf ) f (x, y) = hf x + hff y = h(f x + ff y ). Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

11 Logo, y (x i 1 ) = f (x i 1 + h, y i 1 + hf i 1 ) f i 1. h Substituindo na equação (4) obtemos: y(x i ) = y(x i 1 ) + hf i 1 + h2 2 [ ] 1 h (f (x i 1 + h, y i 1 + hf i 1 ) f i 1 ) y(x i ) = y(x i 1 ) + h 2 (f i 1 + f (x i 1 + h, y i 1 + hf i 1 )). Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

12 Tomemos k 1 = f (x i 1, y i 1 ) e k 2 = f (x i 1 + h, y i 1 + h k 1 ). Portanto, y i = y i 1 + h 2 (k 1 + k 2 ) Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

13 Exemplo Resolva o PVI abaixo pelo Método de Runge-Kutta de 2a. ordem para n=4. { y = x + y y(0) = 1 para x [0, 1]. Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13

14 Método de Runge-Kutta de 4a. ordem Um raciocínio semelhante nos permite obter a equação do Método de Runge-Kutta de 4a. ordem dada abaixo: y i = y i 1 + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (1) k 1 = f (x i 1, y i 1 ) (2) k 2 = f (x i 1 + h 2, y i 1 + h 2 k 1) (3) k 3 = f (x i 1 + h 2, y i 1 + h 2 k 2) (4) k 4 = f (x i 1 + h, y i 1 + hk 3 ) (5) Laura Goulart (UESB) Equações diferenciais ordinárias 9 de Abril de / 13