Métodos Previsor-Corretor

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1 Solução numérica de Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos Previsor-Corretor Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 7 de novembro de 2013 Baseado no livro Cálculo Numérico, de S. Arenales e A. Darezzo. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

2 Métodos Previsor-Corretor Considere o Problema de Valor Inicial bem-posto y (t) = f (t, y), a t b, y(a) = α. Podemos obter métodos numéricos para resolver este problema baseados no Teorema Fundamental do Cálculo: ti+1 t i y (t)dt = y(t i+1 ) y(t i ). Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

3 Métodos Previsor-Corretor Como y (t) = f (t, y(t)), temos ti+1 y(t i+1 ) = y(t i ) + f (t, y(t))dt. t i A integral definida pode ser aproximada por diferentes métodos, como os vistos nas aulas anteriores. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

4 Métodos Previsor-Corretor Aproximando a integral pela Regra do Trapézio, temos y(t i+1 ) y(t i ) + h 2 [f (t i, y(t i )) + f (t i+1, y(t i+1 ))] para h = t i+1 t i. Assim, a aproximação ω i+1 de y(t i+1 ) é dada por ω i+1 = ω i + h 2 [f (t i, ω i ) + f (t i+1, ω i+1 )]. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

5 Métodos Previsor-Corretor Note que ω i+1 aparece nos dois lados da expressão. Logo, temos um método impĺıcito. Os métodos anteriores, em que ω i+1 é calculado explicitamente, são chamados métodos expĺıcitos. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

6 Métodos Previsor-Corretor Para calcular uma aproximação ω i+1 de y(t i+1 ) usando um método impĺıcito, utilizamos o seguinte procedimento: 1 Utiliza-se algum método expĺıcito para obter uma aproximação ω (0) i+1 do valor de ω i+1. 2 Faça k 0. 3 O valor de ω (k) i+1 é usado no lado direito da expressão do método impĺıcito, obtendo-se uma aproximação ω (k+1) i+1. 4 Se ω(k+1) i+1 ω (k) i+1 ɛ, a aproximação ω (k+1) ω (k+1) i+1 i+1 é aceita como ω i+1. Caso contrário, faça k k + 1 e volte para o Passo 3. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

7 Métodos Previsor-Corretor Neste procedimento, o método expĺıcito é chamado Previsor. O método impĺıcito é chamado Corretor. Usando diferentes previsores (como Método de Euler ou Método de Taylor) e corretores (como a Regra do Trapézio ou a Regra de Simpson), obtemos diferentes Métodos Previsor-Corretor. Caso o Método Previsor-Corretor não convirja, é necessário diminuir o valor de h. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

8 Considere o Problema de Valor Inicial y (t) = 2y + 1, 0 t 1, y(0) = 1. Utilize o Método Previsor-Corretor, com N = 5, Método de Euler como previsor e Regra do Trapézio como corretor, para aproximar a solução y(t). Utilize ɛ = 10 2 para tolerância dos erros. Como N = 5, temos que h = = 0.2. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

9 O Previsor (Método de Euler) é dado por ω (0) i+1 = ω i + hf (t i, ω i ) = ω i + 0.2( 2ω i + 1) = 0.6ω i O Corretor (Regra do Trapézio) fornece ω (k+1) i+1 = ω i + h 2 [f (t i, ω i ) + f (t i+1, ω (k) i+1 )] = ω i [( 2ω i + 1) + ( 2ω (k) i+1 + 1)] = 0.8ω i ω (k) i+1. Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

10 Temos que ω 0 = 1. Vamos calcular ω 1 : Previsor: Corretor: ω (0) 1 = 0.6ω = 0.8. ω (1) 1 = 0.8ω ω (0) 1 = (0.8) = ω (1) 1 ω (0) ω (1) 1 = = > Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

11 Corretor: ω (2) 1 = 0.8ω ω (1) 1 = (0.84) = Assim, ω 1 = ω (2) 1 ω (1) ω (2) 1 = = < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

12 Vamos calcular ω 2 : Previsor: Corretor: ω (0) 2 = 0.6ω = 0.6(0.832) = ω (1) 2 = 0.8ω ω (0) 2 = 0.8(0.832) (0.6992) = ω (1) 2 ω (0) ω (1) 2 = = > Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

13 Corretor: ω (2) 2 = 0.8ω ω (1) 2 = 0.8(0.832) (0.7258) = Assim, ω 2 = ω (2) 2 ω (1) ω (2) 2 = = < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

14 Vamos calcular ω 3 : Previsor: Corretor: ω (0) 3 = 0.6ω = 0.6(0.7204) = ω (1) 3 = 0.8ω ω (0) 3 = 0.8(0.7204) (0.6322) = ω (1) 3 ω (0) ω (1) 3 = = > Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

15 Corretor: ω (2) 3 = 0.8ω ω (1) 3 = 0.8(0.7204) (0.6499) = Assim, ω 3 = ω (2) 3 ω (1) ω (2) 3 = = < Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

16 Vamos calcular ω 4 : Previsor: Corretor: ω (0) 4 = 0.6ω = 0.6(0.6463) = ω (1) 4 = 0.8ω ω (0) 4 = 0.8(0.6463) (0.5878) = = > Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

17 Corretor: ω (2) 4 = 0.8ω ω (1) 4 = 0.8(0.6463) (0.5995) = = < Assim, ω 4 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

18 Vamos calcular ω 5 : Previsor: Corretor: ω (0) 5 = 0.6ω = 0.6(0.5971) = ω (1) 5 = 0.8ω ω (0) 5 = 0.8(0.5971) (0.5583) = ω (1) ω (1) 5 = = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

19 Corretor: ω (2) 5 = 0.8ω ω (1) 5 = 0.8(0.5971) (0.566) = = < Assim, ω 5 = Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20

20 A solução exata do Problema de Valor Inicial do exemplo é y(t) = 1 2 e 2t A tabela abaixo contém as aproximações ω i, os valores corretos y i e os erros cometidos. t i y i = y(t i ) ω i ω i y i Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme Cálculo Numérico 7 de novembro de / 20