Nome: Erick Bordallo Tavares. Turma: 14:00 às 16:00hs. Professor: Altair

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1 Nome: Erick Bordallo Tavares Turma: 14:00 às 16:00hs Professor: Altair

2 1. SÉRIES DE FOURIER 1.1. FUNÇÕES PERIÓDICAS Exemplo: Uma função f(x) é dita periódica com um período T se f(x+t) = f(x) para qualquer x, do que decorre que f(x+nt) = f(x) para n inteiro n=0,±1,±2, 1) Se f(x) = tan x, temos que tan(x+) = tan x logo T =. 2) Achar o período da função f(x) = sen nx Se a função for periódica sen n(x+t) = sem nx sen nx cos NT + sen nt cos nx = sen nx cos nt = 1 cos nt = cos 2 T = sen nt = 0 sen nt = cos 2 Logo, T = OBS: Se as duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = a g(x) + b h(x) é periódica com período T SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente x por coeficiente, que não dependem da variável x e são admitidos reais. + cos+ cos OU 1 + ( cos+ ) Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções periódicas de período 2, a soma S(x) será uma fincão periódica de de período 2. De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comportamento 2, por exemplo: (,) ou (0, 2). As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica. ()= + ( cos+ ) Esta representação é possível se f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.

3 1.3. CONDIÇÕES DE DIRICHLET Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Direchlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da série para a função. (a) A função f(x) deve ser contínua e portanto limitada no intervalo (,), com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas). Exemplo: f(x) = 1 para <<0 0 para 0<< Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0. Contra-exemplo: f(x) = (9 ) no intervalo (0,2) Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto t = 3. Exemplo: (b) Efetuando-se uma partição no intervalo (,) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período. Podemos considerar 3 sub-intervalos: no 1º f(x) é crescente no 2º f(x) é decrescente no 3º f(x) é crescente Apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo Contra-exemplo: ()=, << Esta função apresenta um número infinito de máximo e mínimo na vizinhança de t = ORTOGONALIDADE Integrais de EULER

4 Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula. INTEGRAIS DE EULER 1) cos =0 2) sen =0 3) cos cos =0 4) cos² = 5) sen =0 6) sen² = 7) sen =0 n = 1,2,3,... n = 0,1,2,... (p q) inteiros p = 1,2, (p q) inteiros p = q 0 p = q P q Demonstrando: 1) cos =0 n = 1,2,3,... cos = = 1 cos ( )=0 2) sen =0 n = 0,1,2,... = = 1 cos cos ( )=0 3) cos cos =0 (p q) cos(+)=coscos 1 cos( )=coscos+ 2 Somando membro a membro cos= 1 2 cos(+)+cos( ) coscos = 1 2 cos(+)+cos( ) =0 4) cos² = q = p = 1,2,... ² +² =1 1 ² ² =cos2 2 Somando 1 + 2

5 2² =1+cos2 ² = 1 2 (1+ ) = ² = = 5) sen =0 (p q) cos(+)=cos cos cos( )=cos cos + = 1 cos ( ) cos (+) 2 = 1 2 cos ( ) cos (+) = 0 6) sen² = p = q 0 sen² = 1 cos 2 2 = cos 2 = 7) sen =0 p = q P q (+)= cos + cos 1 ( )= cos cos cos = (+)+( ) sen = 1 2 (+) DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE FOURIER ( ) =0 Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar e em termos de f(x) de maneira que no intervalo (,) a série trigonométrica 1 seja igual à função f(x), isto é, () = + ( cos + ) 1 Integrando os dois membros de 1 entre (,) () = + cos + sen = 0 = 0 1ª I.E. 2ª I.E.

6 Cálculo de : () = 1 2 = 1 2 2= = 1 () Multiplicando 1 por cos px, sendo p, número fixo dado e integremos entre os limites (,). 1 2 cos Se n = p ()cos + ( cos cos + sen cos ) = 0 = 0 = 0 1ª I.E. 3ª I.E. 7ª I.E. ()cos = ² = = 1 ()cos Cálculo de : Multiplique 1 por sem px e integremos entre (,). () = cos + sen = 0 = 0 se n p Se n = p 1 2 = ² =

7 = 1 ()sen Exemplo: Determinar a série de Fourier de função f(x) que supomos possuir o período 2 e fazer esboços gráficos de f(x) e das primeiras três somas parciais. ()= 1, 0<< 0, <<0 = 1 = 1 = 1 ()cos 0 0 sen = 1 0 cos + 1 = 1 =1 + 1 = = 1 ( 1) 1 =í ; = 2 = ; =0 + 1 cos = 1 1 =0 1 0 =0 ()= ( ) As somas parciais são: = 1 2 = +

8 = + ( + 3) Vimos que para ()= 1, 0<< 0, <<0 a série de Fourier representa ()= + ( + 3+ ) Vamos determinar a série de Fourier para: ()= 1 2, 0<< 1 2, <<0 A função () é a () deslocada 1 2 unidades para baixo, logo ()=() 1 2 =2 ( ) ()= 1, 0<<2 0, 2<<0 A função () é a mesma (), exceto por uma alteração na escala do tempo. ()= () 2 = ( ) EXERCÍCIOS 1.6. Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet. 1. ()= 0<<2 ² 2. ()=(4 ) << 3. ()= 0<<2

9 0, <<0 4. ()= ², 0<< 5. ()= 0<<2 1.7 Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π., <<0 1. ()= +, +0<< 2. ()= ³, << 3. ()=, <<, <<0 4. ()=, +0<<, onde k é constante PARA CONFERIR Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie. Para t = 2, ()= ()= lim = Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1. 4 Sim, as duas condições são satisfeitas. 5 Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de máximos mínimos., << ()= +, +0<< A () satisfaz as condições de Dirichlet.

10 CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER: a = 1 () = = 1 ()cos = 1 cos + 1 cos Fazendo a integração por partes: = 1 ² ² 2 0 = ² 2 + ² 2 = = u = = = 1 sen 0 sen + 1 sen 0 sin = 1 cos ² = +1 = cos ² 0 cos ² cos ² 0 2 ² (cos cos0)= 2 ² (( 1) 1) 0 = 4 í ² = 1 ()sen = 1 sen + 1 sen = = = sin = cos = 1 ( cos) 0 cos + 1 ( cos) 0 cos = + 1 cos + sen 0 ² + 1 cos ()= sen ² 0 =0

11 1.7.2 ()= 2 ² 1 6 sin ² 1³ 2 6 2sen2+ ² 3 6 3³ sin3 ()=, 0<<, ()=, << A f(t) satisfaz as condições de Dirichlet. CÁLCULO DOS COEFICIENTES: = 1 () = 1 = 1 = 1 ( ) = 1 ()cos = 1 cos = = = ; = cos = sen cos= sen 1 sen = = ; = sin = cos cos= sen 1 cos cos cos= 1 sen+ 1 ² cos 1 ² cos cos+ 1 ² cos= 1 sen+ 1 ² cos 1+ 1 ² cos= 1 sen+ 1 ² cos Multiplicando por n² ( 1) cos= sen+ cos

12 cos= sen+ cos + 1, sen= sen( )=0 cos= cos( ) =( 1) cos= ( 1) ( 1) 1 = 1 ( 1) + 1 De modo análogo calculamos b n = 1 () Logo, = ( 1) + 1 sen= ( 1) ( ) ( + 1) ()= = 1 2 ( )+ ( 1) ( ) ( cos ( 1) ( ) + 1) ( sen + 1) = ( 1) (cos sen) ² ()= 4 sen+ 1 3 sen3+ 1 sen FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (,) g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo x h(x) é ímpar se h(-x) = -h(x), para todo x Observações: O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. g(x) O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0

13 Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar verifiquemos que: ) () =2() : () = () + () Então: = () + () = ( ) ( )+ () () = ().( )+ () () = () + () =2() ) h() =0 : h() = h() + h() = h() + h() = h( ) ( )+ h() Então: h() = h(). ()+ h() =0 III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar. q(x) = g(x).h(x) q(-x) = g(-x).h(-x) q(-x) = g(x).-h(x) q(-x) = -g(x).h(x)

14 q(-x) = -q(x) IV) O produto de uma função par x função par é função par. q(x) = g(x).g(x) q(-x) = g(-x).g(-x) q(-x) = g(x).g(x) q(-x) = q(x) V) O produto de uma função ímpar x função ímpar é função par. q(x) = h(x).h(x) q(-x) = h(-x).h(-x) q(-x) = -h(x).-h(x) q(-x) = +h(x).h(x) q(-x) = q(x) CONCLUSÃO: ()é çã,()sené çã í = 1 π () sen=0 ()é çã í,()cosé çã í TEOREMA I = 1 π () cos=0 A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos. ()= 2 + cos com os coeicientes: = 2 () = 2 () cos A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2π é uma série de Fourier em senos.

15 ()= sen com o coeiciente: b = 2 f(x) sennxdx Consideremos f(x) par. ()= + ( cos+ sen) Mas como f é par, f(-x) = f(x) ( )= 2 + ( cos( )+ sen( )) 2 ()= + ( cos sen) 2()= + 2 cos Por outro lado, ()= 2 + cos = 1 π () cos Como f(x) e cos são funções pares, temos: = 1 = 1 () cos ( ) cos ( ) ( ) + () cos + () cos = 1 () cos + () cos = 1 2 () cos Consideremos f(x) ímpar 1 ()= + ( cos+ sen) ( )= 2 + ( cos ( )+ sen ( )) Como f é ímpar, f(-x) = - f(x) 2 ()= + ( cos sen)

16 1-2 2()= 2( sen ) ()= ( sen ) Por outro lado, = π Como f(x) e sem nx são funções ímpares, π π () sen=0 = 1 ()sen + 1 ()sen = 1 ( )sen( )( ) + 1 ()sen = 1 () sen + 1 ()sen = 1 ()sen + 1 ()sen = 2 ()sen Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de ao invés de 0 2. Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal, ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. Exemplos: 1) Determinar a Série de Fourier da função: ()=, 0<< 2, <<2

17 Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (,). Cálculo dos coeficientes: Como f(x) é par; =0 = 2 () = 2 = =1 = 2 ()cos = 2 cos = 2 cos Integral que foi calculada anteriormente. 0, = 4, í Portanto ()= (cos + cos3+ cos5+ ) 2) Determine a Série de Fourier para () Embora pudéssemos determinar a série de () diretamente vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a () não é nem par nem ímpar. produz uma função ímpar () 1 CASO: A subtração de uma constante de Logo = =0 = ()sen = 1 2 sen= 1 ( cos) 0 = 1 (1 cos) 0, =2, í

18 ()= 2 (sen+1 3 sen3+1 5 sen5+ ) Portanto ()= + (sen+ sen3+ sen5+ ) 2 CASO: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par () Logo =0 = () = ()cos ; = (1)+ 0 = = 0 =1 = 2 (1)cos = 2 sin 2 0 = 2 (sen 2 sen0) 0, =2 ( 1), í= ()= (cos 1 3 cos3+1 5 cos5 + ) Portanto ()= + cos( ) cos3( )+ Como, cos( )=coscos +sinsen =sen Podemos reescrever () cos(3 3 2 )=cos3cos3 2 +sen3sen3 2 = sen3 ()= + sen+ sen3+ como no resultado anterior. 1.9 FUNÇÕES COM PERÍODO ARBITRÁRIO Até agora consideramos funções periódicas de período 2. Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função () de período T qualquer. Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja () definida no intervalo (, )

19 =+, << =+, << 1; = + 2 Somando membro a membro de 1 e 2 0=0+2 = 2 Então = = Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde =, é definida no intervalo (,) assim, ()= = + ( cos+ sin) Onde =, = cos e = sin Para simplificar os cálculos façamos = = ()= + cos t+ sin t Onde = () = (), = ()cos e = ()sin O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0<<. O teorema 1 se verifica para funções pares e ímpares, periódicas e de período T qualquer. EXEMPLO: Determinar a Série de Fourier da função (), periódica de período =4 0 2<< 1, ()= 1<<1, 0 1<<2,

20 Temos que = 2 ()cos2 Como () é par, =0 e =2. () cos =()=+0= 1 0 = =()cos 2 =cos 2 = 2 sin 2 0, =2, í ()= 2 + cos 2 t ()= + (cos cos + cos ) = 2 sin SÉRIES EM SENOS E SÉRIES EM COSSENOS Desenvolvimento de meio período. Seja () de período =2 Se () for par a série de Fourier fica: ()= + cos ()= + cos ou 1 Com coeficientes: = ()cos como () é par = ()cos 2, = ()

21 Se () for ímpar: ()= sin t 3 Com coeficientes: = ()sin 4 () prolongada como função par. Prolongamento periódico ímpar. OBS: Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de () do intervalo (0,). Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1 e 3. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,). Fora deste intervalo, a série 1 representará o prolongamento periódico par da (), tendo período 2; e a 3 o prolongamento periódico ímpar da (). EXEMPLO: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função () definida no intervalo (0,) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente. 1 0<< ()= <<

22 = 2 ()=2 +0 = =1 = 2 ()cos = 2 cos +0cos = 2 sin 2 0 = 2 (sin 2 sin0) = 2 0, sin 2 =2 ( 1), í Logo, ()= + (cos cos + cos ) EXERCÍCIOS: 1.11 Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares. 1. ()=sin+cos 2. ()= cos 3. ()= 4. ()= 5. ()= sin 1.12 Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2: 1. ()=, << e obter o seguinte resultado devido a Euler: 1 = = 6 2. ()= 1, <<0, ()=1, 0<< ; (0)=0 e mostrar que = ()=(sin), <<

23 4. ()=, << e mostrar que = Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T: 1. ()=1 ( 1<<0), ()= 1 (0<<1), (0)=0, =2 2. ()=1 ( 1<<1), ()=0, (1<<3), =2 3. ()= (0 2), =2 4. ()= (<<1), ()=1, (1<<2), = Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. e 2. e por meio da Série de Fourier em senos as funções 3. e 4.; e fazer o prolongamento periódico correspondente: 1. ()= (0<<2), ()= 2 (2<<4) 2. ()= (0<<) 3. ()=cos (0<<) 4. ()= (0<<) PARA CONFERIR: ()=sin+cos ( )=sin( )+cos( ) ( )= sin()+cos( ) logo função nem par nem ímpar 2. Par 3. ()= ( )= ( )= ( )= () logo função ímpar 4. Nem par nem ímpar 5. ()= sin ( )=( ) sin( )

24 ( )=. sin() ( )= sin() ( )=() logo função par ()=, << Como () é par, = 2 = = 2 3 = 2 cos= 2 sin+2 cos 2 sin 0 = 2 2 ( 1) = 4 ( 1) ()= 3 +4( 1) cos Ou ()= +4( cos+ cos2 cos3+ ) Fazendo =, temos: = 3 +4( 1). ( 1) ()= (sin+ + ) 2 3 =4 ( 1) 6 = 1 Fazendo = obtém-se o resultado ()=(sen), <<

25 Como () é par, =0 = (sen) = () = = =1 Calculando a : cos(2) = 1 ()() = 1 () 2 Para n 2 a =0 1 2 = 1 (1 (2) () 2 (2)() Para =2 = π a = Portanto, ()= (2) ()= (()+(3)+ ) Fazendo x = 0, obtém-se o resultado ()=1 ( 1<<0), ()= 1(0<<1), (0)=0, =2 Como f(t) é ímpar = =0 = 2 ()2 Ou =2 2 ()sin2

26 =2 2 1sin2 =2 sin() 2 2 = 2 (cos() cos(0))= 2 (( 1) 1) =0, é í = 4 Logo, ()= ()= (+3+ ) ()= (cos cos3 2 + ) ()= (0 2), =2 2 2 = 2 2 =2 = cos()=0 = sin()= 2 Logo ()=1 (sin()+ sin(2)+ sin(3)+ ) ()= 4 (cos()+1 9 cos3+ )+2 (sin()+1 3 sin(3)+ ) ()=, <<2, <<

27 = 1 2 ()=1 + ( 2)= ( 2) =2 = 1 ()cos 2 4 =1 cos+ ( 2)cos Cálculo da Integral: cos 4 =4 sin 4 4 sin 4 = = =cos 4 = 4 sin 4 cos 4 =4 sin cos 4 Logo, = = ( 1) = 8 ( 1+( 1) )+ 4 2 =0, para n par = ( 1) + =2+1, para n ímpar 16 4 ()=1+ (2+1) + (2+1) ( 1) (2+1) ()= ()= (0<<) = =0, porque () é par

28 = 2 () = 2 Usando = (+)+( ) = 1 2 (+1)+( 1)= = (+1) 1 1 ( 1) = = 1 2 cos(+1) +1 = 1 1 cos(+1) +1 cos( 1) 1 1 =2+1 cos(+1)= 1 =2 = =1 Logo, = ( ) cos( 1) f(t)= 2 π n n +1 (1+( 1) e )sennt 2. SÉRIES DE FOURIER MUDANÇA DE INTERVALOS Até aqui tratamos exclusivamente de funções nos intervalos, e 0,. Para muitas finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário,. Mas ao invés de começar imediatamente com o caso mais geral, será mais simples considerarmos primeiro intervalos de forma, e

29 seus espaços euclidianos associados CP,. Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza. Com efeito, é obvio que se as funções cos,sen,cos2,sen2, (.) são mutuamente ortogonais em CP,. Além disso, justamente como no caso em que =, pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço e, por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se ainda séries de Fourrier) convergem em média. E, finalmente, levando-se na devida consideração o comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são válidas neste contexto. Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de CP,, notemos que =2 cos = sen = Então, pela Fórmula da série de Fourier ()= 2 + cos + sen (.) Onde = 1 ()cos (.) = 1 ()sen Para todo k. A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano CP,. Com efeito, se fizermos 2=, de modo que,=,+2 conseguiremos obter bases semelhantes as anteriores.

30 Realmente, todo o problema consiste em fazer uma mudança de coordenadas no eixo dos x, substituindo-se por x nas funções empregadas anteriormente para CP,+2. Isto nos leva imediatamente às seguinte fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de Fourrier de uma função f em CP,. ()= 2 + cos 2 + sen 2 (.) Em que, = 2 ()cos2 (.) = 2 ()sen2 Para todo k. Exemplo 1: Determine a série de Fourier em CP0,1 da função ()=. Aqui, =1 e torna-se: A integração por partes dá, então: Portanto, O gráfico desta série é dado por =2 cos2 =2 sen2 =1, =0, 0, = 1 ()= sen2+sen4 2 + sen

31 Fig Fig 2.2 Fig 2.3 Exemplo 2: Determine a série de Fourier da função f, mostrada na Fig 2.2 Neste caso: 2, 2 3, ()= 4, 3 4, E as Fórmulas 2.5 temos: = ()cos= ( 2) cos+ (4 )cos = ()sen = ( 2)sen+ (4 )sen Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem se simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio. Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x (Fig2.3). Então, as funções ()cos e ()sin são periódicas com período 2, e temos () cos= ()cos (.) () sen= ()sen Para qualquer número real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de g ser contínua por partes em(, ) com período 2p. Então, ()= ()

32 Para qualquer par de números reais a, b. Fazemos agora = 1 em 2.6 para obter: = ()cos = ()sen Mas, no intervalo 1,1, F coincide com a função par. Donde =0 para to k, = 2 cos. Portanto, =1 = 4, í 0, 0 3. SÉRIE DUPLA DE FOURIER Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se; i. f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em ambos e; ii. existe lim (,) (, )(,) quando (, ) é um ponto de descontinuidade de f e (x,y) tende a (, ) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é dividida pelos arcos de descontinuidade <,> = (,) (,) <,> = (,) (,)

33 <,> = (,,, ) (,,, ) Teorema: Sejam { ()} e { ()} bases ortogonais dos espaços euclidianos CP [a,b] e CP [c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos { () ()}, i = 1,2,... uma base de CP(R), onde R é o retângulo a x b, c y d. 1. SÉRIE DUPLA DE FOURIER GERAL (,)=, h, (,), 1) Base para CP [-π, π] f(x) Є CP [-π, π], x Є [-π, π] {cos nx, sen mx},,,,,, 2) Base para CP[-π, π] f(y) Є CP [-π, π], y Є [-π, π] {cos px, sen qx},,,,,, Assim, 3) Base para CP(R) {cos nxcospy,cosnx sen qy,sen mxcospy,sen mx sen qy} 2. CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER (,)Є CP(R) (,)=, h, (,),, =,,, ², = 1 h, ² (,)h,(,) () ()

34 Assim, (,)= coscos+ cossen + sencos+ sen onde, 4² cos()cos() ²= 2² ², 0 0 Exemplo: F(x,y) = xy = = = = 1 coscos coscos ² 1 cos cos ² 1 sen sen ² 1 sen sen ² sen = = sen²² = 1 sen = ² = 1 ² = 4 ² sen sen = 4 ² ( 1) ( 1) = = = =0 =0 =0 = =( 1) 4 =(,)= sen =(,)=4 ( 1)

35 De um modo mais geral, o conjunto de funções,,, é uma base de espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo a x a, -b x b. TEOREMA Seja R o retângulo π x π, π y π e suponhamos que seja contínua em R e que, ² existam e sejam limitadas em R. Então, a série dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R. 4. FORMA COMPLEXA DAS SÉRIES DE FOURIER E DESENVOLVIMENTO DE FOURIER Onde L x L, ()= + cos + sin Pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva: cos πx = sin πx = 1 2 e introduza estas expressões na Série. É conveniente definir: 1 2 ( ), >0 1 = 2 ( + ), <0 1 2, =0 Então a Série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa () =, = ()

36 0, = 2, = Exemplo: Ache a Série Complexa de Fourier de: () = 1, π< 0 0, 0< π = 1 2π = 1 2 = 1 2 = = 1 () = Conclusão A partir dos estudos desenvolvidos ao longo do trabalho pode-se concluir que a Série de Fourier é uma ferramenta matemática que pode ser amplamente utilizada para descrever fenômenos físicos como, ondas e propagação de calor, importantes para a solução de problemas do campo da engenharia. Referências Introdução à análise linear Kreider, Dr. Ostberg, R.C. Keiller e F.W. Perkins Editora UNB e ao livro técnico, RJ, 7972 Notas de aulas Séries de Fourier, A.S. Assis, 2010 Apostila de Séries de Fourier, R.O. Sacramento, 1980 Wikipédia, a enciclopédia livre