Curso Analises de Sinais

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1 Curso Analises de Sinais Definição e caracterização do sinal em geofísica. Aula 1 1

2 1.Introdução Medições realizadas em um trabalho de campo buscar inferir o desconhecido sob a Terra. Tais medidas, por exemplo, incluem observações magnéticas e de gravidade alongo de linha ou área, e sinais sísmicos e eletromagnéticos produzido por uma fonte natural ou artificial com variação no tempo. Gravímetro LaCoste e Romberg e o GEO GSM-19 magnetômetro 2

3 1.Introdução Medidas de Gravidade e magnéticas são registradas no espaço, dados sísmicos e eletromagnéticos são ambas funções do espaço e do tempo. Chamamos essas medidas como sendo feitas no domínio espacial (x, y, z) ou no domínio do tempo (t). San Diego State University Terra Australis Geophysica Pty Ltd 3

4 1.Introdução Exemplo do domínio do Espaço de e dados de campo magnético. Poucas medições são feitas continuamente nos domínios do espaço ou tempo. Registradores antigos ou analógicos fazem esses registros contínuos. Os computadores exigem valores discretos para os levantamentos, então os dados geofísicos devem ser discretos (ou digitalizados) para análise. Medidas de gravidade e magnéticas são realmente discretos devido os instrumentos serem deslocados de um ponto a outro para fazer uma leitura. Sensores sísmicos e eletromagnéticos mede os sinais no domínio do tempo, a saída digital de um instrumento analógico para conversor digital A-to-D. A-to-D=converte um quantidade contínua em amostras com intervalos regulares no espaço ou no tempo. 4

5 Fazendo um gráfico simples no Python Entrar no intepretador python >> import numpy as np >> import matplotlib.pyplot as plt >> y = np.random.rand(10) >> x = np.linspace(0,10,10,endpoint=false) >> plt.stem(x,y,'b') >> plt.plot(x,y,'r-',label='continuo') >> plt.legend(loc='best') >> plt.xlabel('x') >> plt.ylabel('amplitude(mm)') >> plt.show() 5

6 1.Introdução A digitalização perfeita é feita em intervalos de tempo ou espaço iguais. Esse procedimento é bastante fácil no domínio do tempo, mas não é simples para o domínio do espaço, principalmente onde a acessibilidade do levantamento é limitado. Os dados digitais sísmica tem uma rotina de gravação desde a década de 1960, e atualmente todos os dados são gravados na forma digital. Digitalização não era um processo trivial, pois há uma série de ERROS em potenciais à espreita esperando na etapa de conversão. Por exemplo; Questões como deve ser o intervalo de digitalização no espaço ou no tempo, Por quanto tempo o sinal deve ser registrado, Como a amplitude do sinal deve ser amostrado. Liu et al., 2001, figura 5 6

7 1.Introdução Atenção - Uma vez que os dados digitais foram indevidamente gravados podem ser totalmente inútil ou enganoso. Depois de convertidos, os dados corretos não pode ser recuperado! Ninguém quer voltar ao campo para preencher a gravidade mal amostradas ou levantamento magnético, ou descobrir que perderam a única oportunidade de gravar corretamente um evento sísmico raro. Vamos ver isso na frente com essas considerações e relaciona-os com as consequências inerentes à transformação de dados de domínio de espaço e tempo para o domínio da frequência, frequência normal, f (= 1/period, T) ou frequência angular, ω (= 2πf). 7

8 1.Introdução A análise do conteúdo de frequência dos dados geofísicos é chamado de análise espectral. A frequência temporal em uso doméstico corrente elétrica na maioria dos lugares têm uma frequência de 50 Hz ou 60 Hz (ciclos /s). Os dados geofísicos no domínio do espaço, que são expressas as frequências espaciais em ciclos/distância, por exemplo, ciclos/km, ou ciclos/m. 8

9 1.Introdução Podemos visualizar os componentes de frequência em dados geofísicos nos domínios do espaço ou tempo. Por exemplo, identificar três diferentes componentes de frequência dos dados magnéticos. Um ciclo é de ~ 1 ciclo/4m centrado em cerca de 5 m de distância e em cerca de 10 m de distância existem frequências espaciais de 1 ciclo/2m e 1/1 m. Há muitos componentes mais frequência, neste sinal magnético Mas eles não são tão fáceis de se identificar com o olho. Análise de Fourier descreve como obter todos os componentes espectrais. Usamos a análise de Fourier devido os Sinais geofísicos (com poucas exceções) podem ser representados por funções trigonométricas (senos e cossenos). 9

10 1.Introdução Para alguns sinais, existe um pequeno número de componentes de frequência, e para outros apresenta um número infinito de frequência que contribui para a construção da forma de onda complexa. Uma descrição completa dos componentes no domínio da frequência de um sinal produz todo o espectro do sinal contínuo, e as amplitudes das componentes de frequência podem ser plotados versus frequência. 10

11 1.Introdução A visualização de dados geofísicos no domínio da frequência pode revelar claramente outras características não revelada inicialmente. Por exemplo, a gravidade, e dados magnéticos (slide 3), com maior conteúdo de frequência espacial sensíveis variações de superfície rasas. Em baixas frequências temporais registrados pelo método magnetotelúrico são originários das camadas mais profundas em comparação com dados de alta frequência. O conceito e análise usando em dados filtrados. A filtragem pode ser aplicado no domínio no tempo, espaço ou da frequência. Esse processo é chamado convolução linear ou filtragem e é uma das operações fundamentais usada na teoria de processamento e na interpretação dos dados geofísicos. E é umas das ferramentas mais usada na geofísica. A última parte do curso usaremos exemplos de gravação digital, análise espectral e filtragem de sinais geofísicos e ondas. 11

12 2.Registro Digital O sinal do slide 3 é dados magnéticos gravados com um magnetômetro de vapor de césio. Não precisa ser geofísico para entender que as variações do Campo Magnético são devido a corpos magnéticos no interior da terra (ou melhor, enterrados). Certamente não saberemos o que está exatamente enterrado, entretanto a análise digital pode contribuir para melhorar a estimativa na localização e dimensão de corpos enterrados. Classiicação dos sinais Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto Sinal analógio e digital Sinal periódico e não periódico Sinal deterministico e probablistico Sinal par ou impar 12

13 2.Registro Digital Sinal de tempo(espaço) contínuo e discreto Sinais de tempo contínuo (CT continuous-time) são sinais que estão definidos em todos os pontos de um intervalo real. O sinal s é representado matematicamente como s(t), t R. Exemplos: variação da temperatura em um dia; sinal de voz. Sinais de tempo discreto (DT Dicrete time) são sinais que estão definidos apenas em instantes isolados de tempo (em tempo discretos). Geralmente, estes sinais só têm valores definidos para instantes de tempo inteiros. O sinal x é representado matematicamente por x[n], n Z. Exemplos: valor do índice BOVESPA a cada uma hora. Neste curso nos ocuparemos principalmente dos sinais de tempo discreto. x[kt], k = 0, ±1, ±2, ±3,... Onde T denota o intervalo de tempo entre duas amostras consecutivas. 13

14 2.Registro Digital Sinal de tempo(espaço) contínuo e discreto Observe que que nem todos sinais DT não são em funções do tempo. A figura abaixo mostra um saída de uma camera, onde a saída varia espacialmente em duas dimensões. Aqui, as variáveis independentes são (m,n), onde m e n são coordenadas discretas horizontal e vertical do elemento da imagem. Nesse caso, 2D, o sinal discreto representa um carga espacial é indicada por x[m, n]. 14

15 Example 1.1 Considere um sinal contínuo x(t)=sen(πt) em função do tempo t. Discretize o sinal usando uma taxa de amostragem de T=0,25s e mostre o seu resultado de discreto para o intervalo de -2 k 9 15

16 Resposta Substituindo t = kt, o discreto x[kt] = sen(0.25πk) Para k = -2,-1,0,+1,+2,...9, o sinal discreto x[k] tem o seguintes valores por exemplo x[-8]=x(-8t)=sen(-2π)=0...faça no Python os demais e mostre o gráfico. 16

17 Exemplo python >> import numpy as np >> import matplotlib.pyplot as plt >> t = np.arange(-2,9.25,0.25) >> x = np.sin(0.25*np.pi*t) >> plt.stem(t,x) >> plt.show() 17

18 2.Registro Digital Sinais ou Sequências Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável sinal unidimensional N variáveis sinal multidimensional Classificação dos sinais Sinais analógicos e digitais Sinais analógicos um sinal é chamado de analógico quando pode assumir qualquer valor em um intervalo. Exemplo: potência fornecida por uma usina no decorrer de um dia. Sinais digitais um sinal é chamado de digital quando só pode assumir um número finito de valores diferentes. Exemplo: sinal binário. 18

19 2.Registro Digital (Sequências fundamentais) São a amostra unitária, o degrau unitário e a exponencial. A amostra unitária, denotada por δ(n), é definida por no processamento de sinais, desempenha o mesmo papel em tempo discreto que o impulso unitário faz em tempo contínuo. O degrau unitário, denotado por u(n), é definido por e relaciona-se com amostra unitária e amostra unitária pode ser descrita como um diferença entre dois degraus δ(n)={ 1 n=0 0 em caso contrário u(n)={ 1 n 0 0 em caso contrário n u(n)= δ(k) δ(n)=u(n) u(n 1) 19

20 2.Registro Digital (Sequências fundamentais) Uma sequência exponencial é definida por x[n]=a n. onde a pode ser um número real ou complexo. De particular interesse, é a sequência exponencial formada quando a= e jwo, onde Wo é um número real. Nesse caso, x(n) é uma exponencial complexa cos(nwo)+isen(nwo) 20

21 2. Registro Digital (Duração do Sinal) Sinais de tempo discreto podem ser classificados em termos de sua duração ou extensão. Por exemplo, uma sequência de tempo discreto é dita sequência de comprimento finito se ela for igual a zero para todos os valores de n fora de um intervalo finito [N1, N2]. Sinais que não têm comprimento finito, como o degrau unitário e a exponencial complexa, são ditos sequências de comprimento infinito. Sequências de comprimento infinito podem ser classificadas ainda como laterais direitas, laterais esquerdas ou bilaterais. 21

22 2. Registro Digital Sequencias periódico e aperiódico Um sinal x(n) é dito periódico com período se, para algum inteiro real positivo N tivermos x(n) = x(n+n) ou x(t) = x(t+ T 0 ) Se for periódico com período N, ele será também será nos peíodos 2N, 3N... N período fundamental O sinal x[k] discreto é periódico se satisfazer x[k] = x[k+k 0 ] em todo tempo t e algum valor positivo constante de K 0. O menor valor também é conhecido como periodo fundamental de x[k]. 22

23 2. Registro Digital 23

24 Registro Digital Para a frequência é chamada de frequência fundamental. f 0 =1/T 0, para o sinal contínuo f 0 =1/K 0, para o sinal discreto A frequência de um sinal fornece informações úteis sobre o quão rápido o sinal muda sua amplitude. A unidade de frequência é ciclos por segundo (c/s) ou hertz (Hz). Às vezes, também usamos radianos por segundo, como uma unidade de frequência. Uma vez que existem 2π radianos (ou 360 ) em um ciclo, uma frequência de f 0 hertz equivale a 2πf 0 radianos por segundo. Se radianos por segundo é utilizada como uma unidade de frequência, a frequência é conhecida como a frequência angular e é dada pela ω 0 = 2π/T 0 para o sinal contínuo Ω 0 = 2π/K 0 para o sinal discreto Um exemplo de sinal periódico é uma função senoide x(t) = A sen(ω 0 t + θ) 24

25 Registro Digital O sinal senoidal x(t) tem período fundamental t 0 = 2π/ω 0, vamos provar isso? Substituindo t por t+t 0 na função seno x(t+t 0 ) = A sen(ω 0 t +ω 0 T 0 + θ) já que x(t) = A sen(ω 0 t + θ) = A sen(ω 0 t +2mπ + θ), para m = 0,±1,±2,... Acima as duas expressões são iguais se ω 0 T 0 =2mπ. Selecionado m=1, o periodo fundamental é dado por T 0 =2π/ω 0. Identidade de Euler e i(ω 0 t + θ) =cos(ω 0 t + θ) + isen(ω 0 t+ θ) Observe que a parte real e imaginária da função exponencial são periódicas com período fundamental T 0 =2π/ω 0. 25

26 Registro Digital Embora toda senoide contínua é periódica, a discreta x[k]=asen(ω 0 k + θ) pode não ser periódica. Vamos ver para um periódo K 0. x[k+k 0 ]=Asen(Ω 0 (k+k 0 )+ θ)= sen(ω 0 k+ω 0 K 0 + θ) Já que x[k] pode ser x[k]= sen(ω 0 t +2mπ + θ), o valor do período fundamental é dado por K 0 = 2mπ/Ω 0 para m = 0,±1,±2,...Como estamos usando tudo no discreto, o valor do periodo fundamental K 0 deve ser inteiro. Ou seja, x[k] é periódica se podemos encontrar um conjunto de valores para m, K 0 e Z +, onde usamos a notação para conjunto positivo inteiro. 26

27 Registro Digital Preposição 1.1: Uma senoide arbitraria de sequência Discreta x[k]=asen(ω 0 k + θ) é periódica se Ω 0 k/2π for um numero racional. Por exemplo, a sequência tem relação periódica Ω 0 k/2π = m/κ 0 Κ 0 = 2πm/Ω 0. Exemplo: Determine se a senóide discreta é periódica f[k] = sen(πκ/12 + π/4) 27

28 Registro digital O valor de Ω0 em f[k] é π/12. Desde que Ω 0 /π = 1/24 é um número racional, a sequência discreta f[k] é periódica. Usando a equação do slide 22, o período fundamental de f[k] é dado por Κ 0 = 2πm/Ω 0. = 24m supondo m=1, então o período fundamental é Κ 0 =24 Para demonstra que f[k] é um sinal periódico; f[k+κ 0 ] = sen(π[k+κ 0 ]/12+π/4) Κ 0 é 24 f[k+κ 0 ] = sen(πk/12+2π+π/4)=sen((πk/12+π/4)=f[κ] 28

29 Exercícios (i)f[k] = cos(3πκ/10+θ) (ii)f[k] = cos(0.5k+φ) 29

30 Manipulação Sequências simétricas PAR e IMPAR O sinal contínuo x p (t) e discreto x p [k] é dito par todo sinal se x p (t)=x p (-t) ou x p [k]=x p [-k] E impar se x i (t)=-x i (-t) ou x p [k]=-x p [-k] 30

31 Manipulação de sinais Transformação da variável indenpendente. y(n)=x(f(n)) f(n) é função de n Se, para algum valor de n, f(n) não for inteiro, y(n)-x(f(n)) é indefinida. Deslocamento Definida por f(n)=n-n0, sendo y(n)=x(n-n 0 ), x(n) é deslocado n 0 amostra à direita se n 0 for positivo e deslocado n 0 amostras à esquerda n 0 for negativa. Inversão Essa transformação é dada por f(n)=-n e envolve simplesmente o espelhamento do sinal x(n) em relação ao índice n. Mudança de escala do tempo É definida por f(n) = Mn ou f(n)=n/n onda M e N são inteiros positivos. 31

32 Manipulação de sinais Escalamento ou Mudança de escala do tempo f(n) = Mn A sequência x(mn) é formada tomando-se cada M-ésima amostra de x(n) (down-sampling) f(n) = n/n A sequência y(n) = x(f(n)) é definida abaixo (up-sampling) n ={ x n N n=0,± N,±2N,... 0 em caso contrário 32

33 Exemplo de deslocamento, inversão e escalamento de tempo 33

34 Vamos ver no Python Criando o Sinal >> import numpy as np >> import matplotlib.pyplot as plt >> t = np.arange(-2,9) >> x = [ 0, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 0] >> plt.stem(t,x) >> plt.show() 34

35 Deslocamento n 0 =2 >> t = np.arange(-2,9) + 2 (Porque??) >> plt.stem(t,x) >> plt.show() 35

36 Inversão >> t1 = np.arange(-2,9)*-1 >> plt.stem(t1,x,'r') >> plt.show() 36

37 Escalamento (ou Mudança de Escala) de Tempo Down-sampling >> import matplotlib.pyplot as plt >> import numpy as np >> x1=x[0:9:2] >> t1 = np.arange(-1,4) >> plt.stem(t1,x1) >> plt.show() 37

38 Escalamento (ou Mudança de Escala) de Tempo Up-sampling >> import matplotlib.pyplot as plt >> import numpy as np >> x1 = np.zeros(16) >> for t in np.arange(0,15): if t % 2 == 0: x1[t] = x[t/2] else: x1[t] = 0 >> t1 = np.arange(-4,12) >> plt.stem(t1,x1) >> plt.show() 38

39 Adição, Multiplicação e Escalamento Adição: É feita somando-se amostras de mesmo índice y(n) = x1 (n)+x 2 (n) - < n < Multiplicação: Produto das amostras de mesmo índice y(n) = x1 (n)x 2 (n) - < n < Escalamento: escalamento da amplitude de x(n) por uma constante c. y(n) = cx(n) - < n < 39

40 Criar dois sinais aleatórios e soma, multiplicar e escalonar o sinal 40

41 FIM 41