ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 4: SINAIS EXPONENCIAIS; SINAIS SENOIDAIS; SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS; SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS:

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1 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS AULA 4: SINAIS EXPONENCIAIS; SINAIS SENOIDAIS; SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS; SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS: 1

2 SINAIS EXPONECIAIS São sinais da forma x() t Ae t em que A e são parâmetros reais. A é a amplitude do sinal exponencial medido em t=0. Se > 0, o sinal é exponencial crescente; Se < 0, o sinal é exponencial decrescente; x(t) x(t) > 0 A < 0 A t t 2

3 SINAIS EXPONECIAIS Para o tempo discreto o sinal exponencial é da forma n x[n] =B r, obtendo-se em que r pode ser escrito como r = e. n x[n] =B e. B é a amplitude do sinal exponencial medido em n=0 Neste caso as seguintes situações podem ocorrer: x(t) x(t) x(t) x(t) t t r > 1 t 0<r < 1 t r <-1-1<r < 0 3

4 SINAIS SENOIDAIS Para o tempo contínuo o sinal senoidal é da forma O período é dado por: x(t)= Acos( t + ), A é a amplitude do sinal senoidal; ω é a frequência angular em rad/s; ϕ é o ângulo de fase. em que: 2 2 T = = = 2 f T 4

5 SINAIS SENOIDAIS Podemos verificar a periodicidade do sinal senoidal utilizando a definição de função periódica. Se a função x(t) é periódica deve-se verificar que x(t)= x(t +T), Para a função senoidal tem-se que x(t)= Acos( t + ), x(t +T) = Acos[ ( t +T)+ ] x(t +T) = Acos[ t + T + ] x(t +T) = Acos[ t + 2 ] x(t +T) = Acos[ t + ] x(t +T) = x(t) 5

6 SINAIS SENOIDAIS Para o tempo discreto o sinal senoidal é da forma x[n] = Acos[ n+ ], Ω é a frequência angular dada por em que: 2, N sendo N o período medido em amostras por ciclo. Se o período é N, então pode-se escrever x[n] = x[n+ N] x[n+ N] = Acos[ n+ N)+ ] x[n+ N] = Acos[ n+ N + ] x[n+ N] = Acos[ n+ 2 m] x[n+ N] = Acos[ n+ ] N 2m, com m inteiro 6

7 Dessa forma, pode-se escrever SINAIS SENOIDAIS Assim tem-se que m 2 é um número racional. N 2 m 2 m ou k, N k N Se isto não ocorre, a senoide discreta não é periódica. Exercício Verificar a periodicidade dos seguintes sinais: a) x[n]=3cos[0,2πn] b) x[n]=2cos [5πn] c) x[n]=5cos[4n] 7

8 SINAIS SENOIDAIS EXPONENCIALMENTE AMORTECIDOS São sinais da forma: para o tempo contínuo e para o tempo discreto. -t x(t)= Ae cos( t + ), com > 0, n x(t)=br cos( n+ ), com 0 < r < 1. Observe que a senoide exponencialmente amortecida não é periódica: 8

9 RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS Seja o sinal exponencial complexo j t x(t)= Ae Da identidade de Euler, tem-se que e j cos + jsen Logo x(t) = Acos( t) + jasen( t) Para j( t+ ) x(t)= Ae pode-se escrever x(t)= Acos( t + ) + jasen( t + ) Assim, tem-se que: Re x(t) = Acos( t + ) Im x(t) = Asen( t + ) 9

10 RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS Analogamente para o tempo discreto pode-se escrever: j( n+ ) x[n] = Ae x[n] = Acos( n+ ) + jasen( n+ ) Re x[n] = Acos( n+ ) Im x[n] = Asen( n+ ) 10

11 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS É o sinal da forma at x(t)= Ce, em que C e a, em geral, são números complexos. Seja C = C e j e a = r + j, 0 então j (r+ j0) t rt j( 0t x(t)= C e e C e e ), que pode ser escrita como rt rt x(t)= C e cos( 0t + )+ j C e sen( 0t + ), 11

12 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS rt rt x(t)= C e cos( 0t + )+ j C e sen( 0t + ), Observe que: para r = 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais; para r < 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais amortecidas; para r > 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais crescentes; Quando C é real e a é puramente imaginário, então j t x(t)= Ce 0. Para que x(t) seja periódica deve-se impor que x(t)= x(t +T), Assim tem-se que Ce Ce Ce e j t j (t+t) j t j T Para que a igualdade se verifique é necessário que j T e

13 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Escrevendo os últimos resultados: j t j (t+t) j t j T j T x(t) = Ce Ce Ce e e Se ω 0 = 0 então x(t) = C, que é periódico para qualquer valor de T. Se ω 0 é diferente de zero, então, lembrando que j0t e cos( 0T)+ jsen( 0T) j0t e para que e 1, devemos ter 0T = 2k (sendo k inteiro), o período fundamental T 0 é tal que 0T 0=2, (k = 1) 2 o que resulta em T=

14 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Um sinal senoidal pode ser escrito na forma de exponenciais complexas. Seja x(t) = Acos( t + ), Pela identidade de Euler tem-se que Somando-se esta duas expressões obtém-se e j 1 1 cos e + e 2 2 j -j Assim, x(t) pode ser escrito na seguinte forma: cos + jsen -j e cos - jsen Ou ainda, A A x(t) = e e 2 2 j( t+ ) -j( t+ ) 0 0 A A x(t) = e e e e 2 2 j j t -j -j t

15 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS A A x(t) = e e e e 2 2 j j t -j -j t 0 0 A A 2 2 j -j Fazendo: B = e e B e, obtém-se: x(t) = B e 1 2 B e j0t -j0t 1 2 Observe que B 1 e B 2 são números complexos conjugados. Obtenha a forma exponencial complexa do sinal -t x(t)= Ae cos( t + ) 15

16 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS n Para o tempo discreto tem-se: x[n] = C, sendo que, em geral, C e α são números complexos. j j Fazendo C C e e = e, tem-se que j n j n j( ) x[n] = C e e C e n n n ou ainda x[n] = C cos[ n+ ] + j C sen[ n+ ]. n para α =1 a parte real e imaginária são sequências senoidais; para α <1 a parte real e imaginária são senoides amortecidas; para α >1 a parte real e imaginária são senoides decrescentes; 16

17 SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS Analogamente ao caso contínuo, um sinal senoidal de tempo discreto pode ser escrito na forma de exponenciais complexas. Seja x[n] = Acos( n+ ) Com o mesmo desenvolvimento utilizado para o caso contínuo, pode-se obter a forma exponencial complexa para a senoide discreta A A x[n] = e e e e 2 2 j jn -j -jn 17

18 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO Seja x [n] = Ae e x [n] = Ae jn j( 2 ) n 1 2, Desenvolvendo a expressão de x 2 [n] obtemos: x [n] = Ae Ae e 2 j( n2) n jn j2n Observe que: Portanto: e j2n j2n e 1 x [n] = Ae cos(2n)+ j sen(2n) = 1 + j0 = x [n] jn 2 1 Isto significa que quando a frequência passou de Ω para Ω + 2π o sinal não se modificou. Sua frequência é a mesma! 18

19 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO No tempo discreto, sinais com frequência Ω e Ω +2kπ (k inteiro), são idênticos. A frequência varia apenas num intervalo de 2π. Especificamente, se Ω =0 ou Ω = 2π tem-se j0 x 1[n] = Ae A constante j2 ou Ae n j jn Em = x 1[n] = e = e = -1,, que oscila a cada amostra. A partir de zero, a taxa de oscilação aumenta atingindo a seu valor máximo em π. A partir de π, a taxa de oscilação diminui e volta a zero em 2π. n 19

20 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO 20

21 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO Sinais harmonicamente relacionados são aqueles que possuem frequência múltipla da fundamental. Em tempo contínuo, todas as exponenciais complexas harmonicamente relacionadas são distintas. k jk 0 t jk(2 /T 0 (t)= Ae = Ae )t com k = 0, 1,

22 PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO Em tempo discreto, os sinais harmonicamente relacionados são aqueles que possuem frequência múltipla de Ω=2π/N. jk( ) n jk(2 / N ) n Seja k [n] =e = e, com k = 0, 1, j(k+n)(2 / N ) n jk(2 / N ) n j(2 ) n Observe que k+n [n] = e = e e = k [n] Isto implica que há somente N exponenciais periódicas jn distintas harmonicamente relacionadas com [n] =e, isto é 0 [n], 1 [n], 2 [n]... N-1 [n] 22

23 EXERCÍCIOS Livro do Haykin: 1.10; 1.11; 1.12 ; a, c; b, d, g, k; 1.19; 1.20; a, b, c, g, i; 1.22; Determine o período fundamental do sinal x(t)=2cos(10t +1) - sen(4t - 1), Resposta: π. Verifique quantas exponenciais complexas harmonicamente j(3 /4 relacionadas existem em x[n] = e ) n. Resposta: 8. 23