Calculando a Energia de Sinais Senoidais

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1 Calculando a Energia de Sinais Senoidais Leonardo Santos Barbosa leonardosantos.inf@gmail.com 7 de janeiro de 5 Introdução A ideia do presente texto é complementar nosso texto anterior [] cuja intenção principal foi a de mostrar como se calcula a energia de um sinal conhecido e, além disso, de que maneira se pode usar o MALAB M para realizar esta tarefa. Aqui vamos mostrar de forma sucinta (para alguns nem tanto assim) como podemos proceder para calcular a energia de sinais que envolvem senóides tais como x(t) = C cos(t + θ). Mais uma vez, o intuito é mostrar, por meio de exemplos, como proceder nestes casos, se possível antecipando dúvidas e forncendo caminhos para a solução. A Energia de uma Senóide Consideremos uma senóide dada por x(t) = C cos(t + θ), com t π. Vale lembrar que o período desta senóide é dado por = π, que θ é sua fase e C sua amplitude. Pela definição de energia apresentada em [], teremos, para a energia E x do sinal, a seguinte expressão: E x = + [C cos(t + θ)] dt Como a função só existe em um período teremos: E x = π C cos (t + θ)dt E x = C π cos (t + θ)dt Já que C é uma constante real. Lembrando da trigonometria que: cos(θ) = cos θ sen θ E que: sen θ + cos θ = sen θ = cos θ É claro que esta senónde só possui uma única oscilação. No entanto, mais adiante comentaremos o efeito que um sinal que oscila infinitamente causa no cálculo da energia.

2 Podemos escrever cos θ como: O que nos dá: cos θ = cos(θ) + ( cos θ) cos θ = cos(θ) + Voltando, então, à nossa integral da energia e substituindo o resultado encontrado, temos: E x = C π Podemos então escrever: cos (t + θ)dt E x = C π E x = C { π π cos(t + θ) dt + cos[(t + θ)] } dt + dt Usando as propriedades da operação de integração, podemos ainda separá-las: Prosseguindo : Então: E x = C E x = C π E x = C sen( π + θ) 4 cos(t + θ)dt + C sen(t + θ) E x = C sen(4π + θ) 4 Mas sen θ = sen(4π + θ), logo: π + C π t C sen( + θ) 4 C sen θ 4 E x = πc π dt ( ) πc + + πc Esta é a energia para um sinal em forma de seníode x(t) = C cos(t + θ), com t π. Mas o que ocorreria se t +? Ora, neste caso, a energia seria infinita, pois com exceção dos ites de integração, tudo seria exatamente igual até aqui, veja: + + E x = C sen(t + θ) + C t Lembre-se que cos axdx = sen ax a + C.

3 Sabemos que sen(t + θ), logo a segunda parcela que tende ao infinito fará com que a energia vá para o infinito. Assim, nestes casos, usamos a energia média, cuja definição aparece em [] e chamamos de potência: + [x(t)] dt + Em que = π representa o período. Assim, temos então, para o sinal considerado inicialmente: + E x + π πc C Que é o mesmo resultado encontrado em []. Como já sabemos que, para sinais periódicos infinitos basta calcular a potência (ou energia média) em apenas um período, a partir de agora calcularemos apenas sinais em um período, isto é, t +, sendo o período da senóide considerada. Na seção seguinte veremos como proceder com uma soma de senóides. 3 Somando Senóides Para esta seção, vamos calcular a potência de um sinal que é uma soma de duas senóides, ou seja x(t) é dado por: x(t) = C cos( t + θ ) + C cos( t + θ ) Para simplificar, faremos α n = n t + θ n, então: Daí: Assim a potência fica: [x(t)] = (C cos α + C cos α ) [x(t)] = C cos α + C C cos α cos α + C cos α (C cos α + C C cos α cos α + C cos α )dt + Já sabemos que para um um único sinal senoidal a energia fica: Então: E x = C sen(t + θ) + C t E x = C 4 [sen( + θ) sen(( ) + θ)] + C 3 ( )

4 Daí: E x = C 4 [sen( + θ) sen( + θ)] + C A partir desta equação podemos calcular a potência: ( ) E x + C C cos α cos α dt + E x + Logo: + ( E x + ) C C cos α cos α dt + E x Como a senóide é itada temos que: { } C [sen( + θ) sen( + θ)] 4 quando + Sobrando apenas a parcela C. Logo: ( C + + C C cos α cos α dt + C Usando trigonometria sabemos que: { cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b Somando as duas equações: cos(a + b) + cos(a b) = cos a cos b ) Logo: E portanto: cos α cos α = cos(α + α ) + cos(α α ) Como: emos: C C cos α cos α dt = C C α = t + θ e α = t + θ α ± α = ( ± )t + (θ ± θ ) cos(α + α ) + cos(α α )dt Consequentemente a integral mostrada anteriormente (que chamaremos de I) vale: I = C C cos[( + )t + (θ + θ )] + cos[( )t + (θ θ )]dt 4

5 Primeiro vamos analisar o caso em que. Como resultado teremos: sen[( + )t + (θ + θ )] I = C C + sen[( )t + (θ θ )] + Se, as duas senóides mostradas tenderão à zero 3 quando divididas por com +, isto é, I quando +. E ficaremos então com: C + C E com = =? Bom, neste caso podemos simplificar a integral I para: E portanto: I = C C I = C C E como resultado final: cos[t + (θ + θ )] + cos(θ θ )dt sen[t + (θ + θ )] C + C + cos(θ θ )t + C C cos(θ θ ) Este é o resultado que aparece em []. Na mesma referência mostra-se que para n senóides com frequências distintas, tem-se: Cn A seguir, veremos como tratar um sinal dado por um produto de senóides. n= 4 Multiplicando Senóides Vamos agora ver o caso em que temos uma senóide modulada por outra senóide, isto é um sinal do tipo: x(t) = C cos( t + θ ) cos( t + θ ) Como já vimos este é um sinal de potência, uma vez que a energia é infinita 4. Portanto, a potencia deste sinal será: + [x(t)] dt 3 Lembre-se que sen t para todo t R. Já vimos isso no cálculo da potência de uma única senóide. 4 Conforme [], dizemos que um sinal é de energia, quando a energia é finita e não nula, por sua vez a potência será nula. 5

6 Mas, como também já vimos, podemos reescrever o produto de senóides como: x(t) = C {cos[( + )t + (θ + θ )] + cos[( )t + (θ θ )]} Fazendo α = ( + )t + (θ + θ ) e β = ( )t + (θ θ ) teremos: Ou seja, queremos calcular: [x(t)] = C 4 + (cos α + cos β) C 4 (cos α + cos β) dt Felizmente, já fizemos esta análise na seção 3 anterior, mas agora temos C = C = C, logo para frequências de oscilação distintas, isto é: eremos a potência sendo: + C 4 Por outro lado, para frequências de oscilação iguais, ou seja: + = = Lembrando que isto isto vale para qualquer, teríamos o resultado já previsto na seção e, para a potência, teremos C cos θ, pois o sinal seria uma senóide em que a amplitude seria C cos θ. Mas, e se a senóide for modulada por uma exponencial? É o que veremos a seguir. 5 Senóide Modulada por uma Exponencial Agora nossa missão é calcular a energia e/ou potência se for o caso, como já vimos de um sinal com o formato: x(t) = C e kt cos(t + θ) Como já calculamos, de forma até recorrente: E x = + [x(t)] dt E x = + C e kt cos (t + θ)dt E mais uma vez: E x = + C e kt [ cos(t + θ) + ] dt 6

7 Podemos já escrever: E x = + C e kt cos(t + θ)dt + + C e kt dt É claro que a segunda parcela faz a energia ser infinita, daí faremos t e consideraremos k < para que e kt quando t + : E x = + C e kt cos(t + θ)dt + + A segunda parcela da energia fica: E x = + C e kt cos(t + θ)dt + C e kt 4k E x = + C e kt dt + C e kt cos(t + θ)dt + C 4k Precisamos agora cuidar da primeira parcela, que será calculada usando o método de integração por partes. De acordo com [3], temos para duas funções f e g: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx Façamos então as seguintes substituições: E f(t) = e kt f (t) = ke kt g (t) = cos(t + θ) g(t) = Fazendo α = t + θ, ficamos então com: e kt cos αdt = ekt sen α sen(t + θ) kt sen α ke dt Desenvolvendo: e kt cos αdt = ekt sen α k e kt sen αdt A última parcela da expressão anterior também será integrada por partes, aplicamos então as substituições a seguir: f(t) = e kt f (t) = ke kt E g cos(t + θ) (t) = sen(t + θ) g(t) = 7

8 Logo: Desenvolvendo: e kt sen αdt = ekt cos α e kt sen αdt = ekt cos α emos então o seguinte sistema de equações: { e kt cos αdt = ekt sen α e kt sen αdt = ekt cos α + + k k + k kt cos α ke dt e kt cos αdt e kt sen αdt e kt cos αdt E ainda, multiplicando a segunda equação por k : { e kt cos αdt = ekt sen α k e kt sen αdt k e kt sen αdt = k ekt cos α k e kt cos αdt Somando as duas equações, ficamos com: ) ( + k e kt cos αdt = ekt sen α Desenvolvendo: ( + k ) E finalmente 5 : Voltando então a expressão de E x : emos: E x = C e kt cos αdt = ekt sen α + k ekt cos α + kekt cos α e kt cos αdt = ekt sen α ( + k ) + kekt cos α ( + k ) E x = C + [ e kt sen(t + θ) ( + k ) e kt cos(t + θ)dt C 4k + kekt cos(t + θ) ( + k ) Lembrando que e kt, quando t +, teremos: [ E x = C sen(θ) ( + k ) k cos(θ) ] ( + k C ) 4k ] + C 4k 5 Omitimos propositalmente os ites de integração. Rigorosamente o resultado da integral teria uma constante C somada. 8

9 Que pode ser escrito como: E x = C sen(θ) + C k cos(θ) 4( + k ) C 4k Ou ainda: E x = C 4 [ sen(θ) + k cos(θ) + k + ] k 6 Conclusão Neste texto procuramos mostrar como podemos calcular a energia ou a potência, em alguns casos, de sinais com formatos envolvendo senóides. Aqui demos um tratamos mais manual ao assunto, mas em textos posteriores trataremos deste tipo de sinal envolvendo sistemas como o MALAB M para que se possa ter uma visão mais prática do assunto, em detrimento de uma visão mais teórica como a utilizada aqui. Referências [] BARBOSA L. S. Cálculo da Energia de um Sinal e um Exemplo Utlizando o MALAB. de janeiro de 5. [] LAHI B. P. Sinais e Sistemas. In: LAHI. Sinais e Sistemas Lineares. ạ ed. Porto Alegre: BOOKMAN, 7. Capítulo [3] SEWAR J. écnicas de Integração. In: SEWAR. Cálculo Volume. 5 ạ ed. São Paulo: PIONEIRA HOMSON LEARNING, 6. Capítulo 7 9