Sinais e Sistemas - Lista 1

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 1 4 de setembro de Considere o sinal x(t) mostrado na figura abaixo. O sinal é zero no intervalo 2 < t < 2. a) O gráfico a seguir representa o sinal y 1 (t). Determine uma expressão para y 1 (t) em função de x(t). b) O gráfico a seguir representa o sinal y 2 (t). Determine uma expressão para y 2 (t) em função de x. 1

2 c) Considere y 3 (t) = x(2t + 3). Determine todos os valores de t para os quais y 3 (t) = 1. d) Considere que x(t) possa ser escrita como a soma de um sinal par, x p (t), e um sinal ímpar, x i (t). Encontre os valores de t para os quais x p (t) = Avalie os sistemas abaixo com relação a linearidade e causalidade: a) y(t) = x(t 2) + x(2 t) b) y(t) = [cos(3t)]x 2 (t) c) y(t) = 2t x(τ)dτ { 0, t < 0 d) y(t) = x(t) + x(t 2), t 0 e) y[n] = x[ n] f) y[n] = x[n 2] 2x[n 8] g) y[n] = n 2 x[n] x[n], n 1 h) y[n] = 0, n = 0 x[n + 1], n 1 i) y(t) = x(t/3) j) y[n] = x[4n + 1] + n 3. Considere um sistema LIT cuja resposta ao sinal de entrada x 1 (t) seja o sinal y 1 (t), mostrados na figura. Determine e esboce a resposta do sistema às entradas: a) x 2 (t) b) x 3 (t) 2

3 4. Um sinal de tempo contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo. Esboce e coloque a escala para cada um dos seguintes sinais em função da resposta impulsional da figura dada. a) x(t 1) b) x(2 t) c) x(2t + 1) d) x(4 t/2) e) [x(t) + x( t)]u(t) f) x(t)[δ(t + 3/2) δ(t 3/2)] 5. Um sistema linear de tempo contínuo S com entrada x(t) e saída y(t) possui os seguintes pares entrada-saída: x(t) = e j 2t y(t) = e j 3t x(t) = e j 2t j 3t y(t) = e 3

4 a) Se x 1 (t) = cos(2t), determine a saída correspondente a y 1 (t) para o sistema. b) Se x 2 (t) = cos(2(t 1 2 )), determine a saída correspondente a y 2(t) para o sistema. 6. Considere o sistema com realimentação: a) Esboce a saída quando x[n] = δ[n] (Função impulso unitário) b) Esboce a saída quando x[n] = u[n] (Função Degrau unitário) c) Esboce a saída quando x[n] = u[n] (Função Rampa) 7. Considere o sistema descrito pela seguinte equação de diferenças: y[n] = αx[n] + βx[n 1] y[n 2] Considere que o sistema inicie em repouso, e que a entrada x[n] é o sinal degrau unitário u[n]: Encontre y[119]. { 1, n 0 x[n] = u[n] = 0, caso contrário 8. Dada as funções de tempo discreto descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y[n] = u[n] u[n 3] b) y[n] = ( 1 2) n u[ n + 2] u[n] c) y[n] = cos ( 1 2 πn) 2 n u[ n + 2] d) y[n] = x[n] z[n] 4

5 e) y[n] = x[n] f [n] f) y[n] = w[n] g [n] g) y[n] = z[n] g [n] h) y[n] = f [n] g [n] 9. Dada as funções de tempo contínuo descritas a seguir (gráfico das funções) calcule as convoluções abaixo: a) y(t) = u(t + 1) u(t 2) b) y(t) = e 2t u(t) u(t + 2) c) y(t) = cos(πt)(u(t + 1) u(t 3)) u(t) d) y(t) = (t + 2t 2 )(u(t + 1) u(t 1)) 2u(t + 2) e) y(t) = x(t) z(t) f) y(t) = z(t) g (t) g) y(t) = z(t) f (t) h) y(t) = f (t) g (t) 10. Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é causal e/ou estável. a) h(t) = e 2t u(t 1) b) h(t) = u(t + 1) 2u(t 1) c) h(t) = cos(πt)u(t) d) h[n] = 2 n u[ n] e) h[n] = 2u[u] 2u[n 1] f) h[n] = sin ( 1 2 πn) 5

6 11. Considere um sistema de tempo discreto cuja entrada x[n] e a saída y[n] sejam relacionadas por: ( ) 1 y[n] = y[n 1] + x[n] 2 a) Mostre que esse sistema satisfaz a condição de repouso inicial (isto é, se x[n] = 0 para n < n 0, então y[n] = 0 para n < n 0 ), então ele é linear e invariante no tempo. b) Mostre que se esse sistema não satisfaz a condição inicial de repouso inicial, mas, em vez disso, obedece à condição auxiliar y[0] = 0, ele é não causal. 12. Suponha que o sinal seja convoluído com o sinal x(t) = u(t + 0.5) u(t 0.5) h(t) = e j w 0t a) Determine o valor de w 0 que garante que y(0) = 0. Sendo que y(t) = x(t) h(t). b) A resposta do item anterior é única? 13. (Computacional) Siga as instruções: j 2πn a) Dado um sinal W [n] = e N, com N = 8 e n = 0,1,2,...,8, expresse o número complexo na forma cartesiana b) Plote a parte real pela parte imaginária no Matlab c) Calcule W k [n] para k = 0,1,2,...,8 e represente em forma matricial { 1, n = 0,1 d) Dado um segundo sinal x[n] =. Plote x[n] ao longo das amostras 0, n 0,1 de intervalo n no Matlab. e) Escreva a função X [k] = W k [n]x T [n] em forma matricial f) Calcule a fase e magnitude de X [k] e plote os gráficos g) Repita o procedimento computacional presente de a) a f) para x[n] = cos ( ) 2πnm N com m = 10, N = 128 e n = 0,1,2,...,128. Discute os resultados. 14. (Computacional) Siga as instruções a seguir: a) Realize a convolução dos sinais abaixo usando o comando padrão do MATLAB, y = conv(x,h), e plote o resultado usando stem. Tente o inverso (y = conv(h, x)). Há diferença? x = [3,11,7,0, 1,4,2] h = [2,3,0, 5,2,1] 6

7 b) O comando padrão não nos permite localizar os sinais no tempo. Crie a função abaixo, convol ut e: function [ y, ny ] = convolve ( x, h, nx, nh) nymin = nx (1)+nh ( 1 ) ; nymax = nx ( length ( x ) ) + nh( length (h ) ) ; ny = [nymin : nymax ] ; y = conv ( x, h ) ; Em seguida, teste o seguinte e plote o resultado: nx = [ 3: 3 ] ; nh = [ 1: 4 ] ; [ y, ny ] = convolve ( x, h, nx, nh ) ; Calcule agora essa convolução e compare com o obtido na simulação. c) Agora, crie o sinal: nx = [ 0 : ] ; x = sin (2* pi *nx/50) + sin (20* pi *nx / 5 0 ) ; Veja o sinal x usando st em. Modifique h para ser: nh = [ 0 : 9 ] ; h=0.1* ones ( 1, 1 0 ) ; Realize a convolução entre x e h e plote o resultado. Descreva o que aconteceu. d) A melhor forma de analisar o que ocorre em c) é analisando o espectro de frequências do sinal. Analise primeiro o espectro de magnitude de x: f s = 256; freq = [ 1: 1/ f s : 1 1/ f s ] ; f x = f f t ( x, ) ; f x = f f t s h i f t ( f x ) ; fxmag = abs ( f x ( 1 : ) ) ; plot ( freq, fxmag ) ; Agora do sinal convoluído y: f s = 256; freq = [ 1: 1/ f s : 1 1/ f s ] ; fy= f f t ( y, ) ; fy = f f t s h i f t ( fy ) ; fymag = abs ( fy ( 1 : ) ) ; plot ( freq, fymag ) ; Qual o fenômeno que ocorre ao realizar essa convolução? 7