Realimentação Linearizante

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1 Realimentação Linearizante ENGC65: Sistemas de controle III Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 03 de junho de 2019 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 22

2 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 22

3 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 22

4 Introdução Realimentação linearizante Objetivos da aula de hoje: Introduzir o conceito de realimentação linearizante; Apresentar as ferramentas matemáticas que possibilitam utilizar a técnica; Discutir sobre a utilização da técnica. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 22

5 Introdução Apresentação do problema Considere uma classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ f(x)+g(x)u y h(x) Sistema afim no controle. Pretende-se determinar uma mudança de variável z T(x) e uma lei de controle linearizante u α(x)+β(x)v tal que o sistema resultante seja linear. Em outras palavras: ż Az +Bv tendo A e B uma forma particular. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 22

6 Introdução Apresentação do problema Considere uma classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ f(x)+g(x)u y h(x) Sistema afim no controle. Pretende-se determinar uma mudança de variável z T(x) e uma lei de controle linearizante u α(x)+β(x)v tal que o sistema resultante seja linear. Em outras palavras: ż Az +Bv tendo A e B uma forma particular. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 22

7 Introdução Apresentação do problema Considere uma classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ f(x)+g(x)u y h(x) Sistema afim no controle. Pretende-se determinar uma mudança de variável z T(x) e uma lei de controle linearizante u α(x)+β(x)v tal que o sistema resultante seja linear. Em outras palavras: ż Az +Bv tendo A e B uma forma particular. Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 22

8 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 22

9 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere o sistema abaixo : ] [ [ẋ1 ẋ 2 ] x 2 + asen(x 1 ) bx 2 [ 0 c] u. Utilizando uma lei de controle na forma u 1 c (asen(x 1)+v) obtém-se o seinte sistema resultante ] [ ] [ẋ1 x 2 ẋ 2 bx 2 +v ou alternativamente ] [ ] [ẋ1 0 1 ẋ 2 0 b }{{} A ] [ 0 + v. x 2 1] }{{} B Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 22 [ x1

10 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere o sistema abaixo : ] [ [ẋ1 ẋ 2 ] x 2 + asen(x 1 ) bx 2 [ 0 c] u. Utilizando uma lei de controle na forma u 1 c (asen(x 1)+v) obtém-se o seinte sistema resultante ] [ ] [ẋ1 x 2 ẋ 2 bx 2 +v ou alternativamente ] [ ] [ẋ1 0 1 ẋ 2 0 b }{{} A ] [ 0 + v. x 2 1] }{{} B Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 22 [ x1

11 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere o sistema abaixo : ] [ [ẋ1 ẋ 2 ] x 2 + asen(x 1 ) bx 2 Utilizando uma lei de controle na forma u 1 c (asen(x 1)+v) obtém-se o seguinte sistema resultante ] [ ] [ẋ1 x 2 ẋ 2 bx 2 +v ou alternativamente ] [ ] [ẋ1 0 1 ẋ 2 0 b }{{} A [ x1 [ 0 c] u. ] [ 0 + v. x 2 1] }{{} B Pode-se utilizar uma realimentação de estados linear v k 1 x 1 +k 2 x 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 22

12 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere uma outra classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ Ax +Bγ(x)[u α(x)] y Cx Neste caso, podemos utilizar u α(x)+β(x)v com β(x) γ 1 (x) desde que γ(x) seja inversível para todo x pertencendo ao domíno de controle desejado. Assim teremos ẋ Ax +Bv de maneira que pode-se escolher v Kx. O que acontece se o sistema não estiver nesta forma particular? Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 22

13 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere uma outra classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ Ax +Bγ(x)[u α(x)] y Cx Neste caso, podemos utilizar u α(x)+β(x)v com β(x) γ 1 (x) desde que γ(x) seja inversível para todo x pertencendo ao domíno de controle desejado. Assim teremos ẋ Ax +Bv de maneira que pode-se escolher v Kx. O que acontece se o sistema não estiver nesta forma particular? Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 22

14 Motivação - Linearização total dos estados Caso simples Considere uma outra classe de sistemas não-lineares na forma a seguir: ẋ Ax +Bγ(x)[u α(x)] y Cx Neste caso, podemos utilizar u α(x)+β(x)v com β(x) γ 1 (x) desde que γ(x) seja inversível para todo x pertencendo ao domíno de controle desejado. Assim teremos ẋ Ax +Bv de maneira que pode-se escolher v Kx. O que acontece se o sistema não estiver nesta forma particular? Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 22

15 Motivação - Linearização total dos estados Exemplo transformação - mudança de variável Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. Como cancelar asen(x 2 ) utilizando u? Vamos definir a transformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 x1 z 1 z 2 asen(x 2 ) ẋ 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) Nesta caso temos ] [ ] [ż1 z 2 ż 2 acos(x 2 )ẋ 2 [ ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u). Assim pode-se aplicar a lei de controle u x v acos(x 2) com π 2 < x 2 < π 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 22

16 Motivação - Linearização total dos estados Exemplo transformação - mudança de variável Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. Como cancelar asen(x 2 ) utilizando u? Vamos definir a transformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 x1 z 1 z 2 asen(x 2 ) ẋ 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) Nesta caso temos ] [ ] [ż1 z 2 ż 2 acos(x 2 )ẋ 2 [ ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u). Assim pode-se aplicar a lei de controle u x v acos(x 2) com π 2 < x 2 < π 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 22

17 Motivação - Linearização total dos estados Exemplo transformação - mudança de variável Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. Como cancelar asen(x 2 ) utilizando u? Vamos definir a transformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 x1 z 1 z 2 asen(x 2 ) ẋ 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) Nesta caso temos ] [ ] [ż1 z 2 ż 2 acos(x 2 )ẋ 2 [ ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u). Assim pode-se aplicar a lei de controle u x v acos(x 2) com π 2 < x 2 < π 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 22

18 Motivação - Linearização total dos estados Exemplo transformação - mudança de variável Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. Como cancelar asen(x 2 ) utilizando u? Vamos definir a transformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 x1 z 1 z 2 asen(x 2 ) ẋ 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) Nesta caso temos ] [ ] [ż1 z 2 ż 2 acos(x 2 )ẋ 2 [ ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u). Assim pode-se aplicar a lei de controle u x v acos(x 2) com π 2 < x 2 < π 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 22

19 Motivação - Linearização total dos estados Realimentação linearizante entrada-saída Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. e a tranformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 z 2 asen(x 1 ) ẋ 1 Nesta caso, considerando u x1 2 + v ] [ [ż1 ż 2 ] [ ] z 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) [ x1 acos(x 2) temos ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u) Se a saída for definida por y h(x) x 2, teremos y sen 1 (z 2 /a). Alternativamente, poderíamos utilizar u x 2 1 +v Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 22 [ z2 v ].

20 Motivação - Linearização total dos estados Realimentação linearizante entrada-saída Considere o sistema a seguir: ] [ ] [ẋ1 asen(x2 ) ẋ 2 x1 2 +u. e a tranformação z T(x) como segue [ ] [ ] [ ] z1 x T(x) 1 x1 z 2 asen(x 1 ) ẋ 1 Nesta caso, considerando u x1 2 + v ] [ [ż1 ż 2 ] [ ] z 1 x 2 sen 1. (z 2 /a) [ x1 acos(x 2) temos ] z 2 acos(x 2 )( x1 2 +u) Se a saída for definida por y h(x) x 2, teremos y sen 1 (z 2 /a). Alternativamente, poderíamos utilizar u x 2 1 +v Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 22 [ z2 v ].

21 Motivação - Linearização total dos estados Observações O mapa de transformação, T( ), deve ser inversível de maneira que um dado valor de z é caracterizado apenas por uma valor de x; O mapa de transformação e o mapa inverso, T( ) e T 1 ( ), devem ser continuamente diferenciáveis para que as derivadas de x e z sejam contínuas; Se um mapa e o mapa inverso forem continuamente diferenciáveis, então ele é chamado de difeomorfismo; O difeomorfismo pode ser local ou global; Como definir escolher um difeomorfismo que permita utilizar uma realimentação linearizante? Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 22

22 Motivação - Linearização total dos estados Observações O mapa de transformação, T( ), deve ser inversível de maneira que um dado valor de z é caracterizado apenas por uma valor de x; O mapa de transformação e o mapa inverso, T( ) e T 1 ( ), devem ser continuamente diferenciáveis para que as derivadas de x e z sejam contínuas; Se um mapa e o mapa inverso forem continuamente diferenciáveis, então ele é chamado de difeomorfismo; O difeomorfismo pode ser local ou global; Como definir escolher um difeomorfismo que permita utilizar uma realimentação linearizante? Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 22

23 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 22

24 Ferramentas de Geometria diferencial Gradiente e Jacobiano Seja h(x) : R n R uma função escalar, então o vetor gradiente transposto será dado por [ h(x) h(x) h(x)... h(x) ] x x 1 x 2 x n Seja f(x) : R n R n um campo vetorial, então seu jacobiano será dado por f 1(x) f 1(x) f x 1 x (x) x n f f(x) 2(x) f 2(x) f x 1 x (x) x n x f n(x) x 2... f n(x) x 1 f n(x) x n Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 22

25 Ferramentas de Geometria diferencial Derivada de Lie Seja h(x) : R n R uma função escalar e f(x) : R n R n um campo vetorial, a derivada de Lie de h(x) com respeito a f(x) é um campo escalar definido por: L f h(x) h(x) x f(x). A derivada de Lie pode ser aplicada repetidas vezes L k f h(x) L f L k 1 f L 0 fh(x) h(x) L 1 h(x) fh(x) x f(x) h(x) (Lk 1 f h(x)) f(x), k 1. x Se g(x) for outro campo vetorial, então a função escalar L g L f h(x) é definida por: L g L f h(x) (L fh(x)) g(x) x Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 22

26 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 22

27 Realimentação Linearizante Entrada- Saída Caso SISO Considere o sistema SISO abaixo A derivada da saída é dada por ẏ (h(x)) x ẋ f(x)+g(x)u y h(x). ẋ (h(x)) [f(x)+g(x)u] L f h(x)+l g h(x)u. x Se L g h(x) 0, a segunda derivada da saida será dada por d 2 y dt 2 (L fh(x)) [f(x)+g(x)u] L 2 x fh(x)+l g L f h(x)u. Se L g L i 1 f h(x) 0, i 1,2...,ρ 1; L g L ρ 1 f h(x) 0, então d ρ y dt ρ Lρ f h(x)+l gl ρ 1 f h(x)u. Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 22

28 Realimentação Linearizante Entrada- Saída Caso SISO Considere o sistema SISO abaixo A derivada da saída é dada por ẏ (h(x)) x ẋ f(x)+g(x)u y h(x). ẋ (h(x)) [f(x)+g(x)u] L f h(x)+l g h(x)u. x Se L g h(x) 0, a segunda derivada da saida será dada por d 2 y dt 2 (L fh(x)) [f(x)+g(x)u] L 2 x fh(x)+l g L f h(x)u. Se L g L i 1 f h(x) 0, i 1,2...,ρ 1; L g L ρ 1 f h(x) 0, então d ρ y dt ρ Lρ f h(x)+l gl ρ 1 f h(x)u. Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 22

29 Realimentação Linearizante Entrada- Saída Caso SISO Considere o sistema SISO abaixo Se então ẋ f(x)+g(x)u y h(x). L g L i 1 f h(x) 0, i 1,2...,ρ; L g L ρ 1 f h(x) 0, d ρ y dt ρ Lρ f h(x)+l gl ρ 1 f h(x)u. O valor de ρ que atende a codição acima é chamado grau relativo. Neste caso podemos utilizar 1 u L g L ρ 1 f h(x) [ Lρ f h(x)+v] Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 22

30 Realimentação Linearizante Entrada- Saída Caso SISO Considere o sistema SISO abaixo Se então ẋ f(x)+g(x)u y h(x). L g L i 1 f h(x) 0, i 1,2...,ρ; L g L ρ 1 f h(x) 0, d ρ y dt ρ Lρ f h(x)+l gl ρ 1 f h(x)u. Se ρ n, sendo n o número de estados, podemos podemos utilizar e 1 u L g L ρ 1 f h(x) [ Lρ f h(x)+v] T(x) [ h(x) L f h(x) L 2 fh(x)... Ln 1 f h(x) ] T. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 22

31 Realimentação Linearizante Entrada- Saída Exemplo Considere o sistema a seguir: ] [ẋ1 ẋ 2 [ ] asen(x2 ) x1 2 +u. Calcule o grau relativo do sistemas considerando y h(x) x 1 ; Determine, se possível, uma transformação T(x) e uma lei de controle linearizante tal que o sistema resultante seja linear; Refaça a questão considerando y h(x) x 2. Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 22

32 Sumário 1 Introdução 2 Motivação - Linearização total dos estados 3 Ferramentas de Geometria diferencial 4 Realimentação Linearizante Entrada- Saída 5 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 22

33 Comentários Finais Nesta aula discutimos sobre transformações não-lineares. Apresentou-se o problema da realimentação linearizante. Na próxima aula discutiremos prosseguiremos com: Realimentação linearizante. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 22