Geometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas.

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1 Geometria Diferencial de Curvas de Interseção de Duas Superfícies Implícitas. Osmar Aléssio e Marcela L. V. de Souza UNINCOR- Universidade Vale do Rio Verde de Três Corações Av. Castelo Branco, 8 CEP: , Três Corações, MG osmaralessio@yahoo.com.br e marcela@estruturalconsultoria.com.br. 1 Introdução O problema de interseção de superfícies pode ser dos tipos: paramétrica-paramétrica, implícita-implícita e paramétrica-implícita. Em geral, o que se quer é obter a curva de interseção entre as duas superfícies. Para calcular a curva de interseção com precisão e eficiência, aproximações de ordem superior são necessárias, isto é, precisa-se obter as propriedades geométricas da curva de interseção. Enquanto geometria diferencial de curvas paramétricas pode ser encontrada em livros clássicos, há pouca literatura de geometria diferencial de curvas de interseção. Willmore em seu livro [], descreve como obter o vetor tangente, vetor normal e o vetor binormal da curva de interseção de duas superfícies implícitas. Recentemente, Ye e Maeawa [], forneceram as propriedades geométricas da curva de interseção para os três tipos acima. Diferentemente dos trabalhos anteriores, pretende-se fornecer as propriedades geométricas da curva de interseção de duas superfícies implícitas, usando o teorema da função implícita. Geometria Diferencial de Curvas Uma curva parametrizada α : [a, b] R R, αu = xu, yu, zu, u [a, b] R, 1 é chamada de curva regular, se o seu vetor tangente αu = ẋu, ẏu, żu for diferente de zero 0, para qualquer u [a, b]. Se uma curva α é pelo menos de classe C, pode-se medir o quanto ela deixa de ser reta em qualquer ponto αu por sua curvatura, dada por κu = αu αu αu, onde denota o produto vetorial de dois vetores. Se κu = 0, u [a, b], então αu é uma reta. Se κu = 0 para um ponto isolado P = αu p, u p [a, b], então P é um ponto de inflexão ou um ponto planar. Da curvatura, pode-se encontrar o raio ru do círculo osculador ru = 1 κu cuja primeira e segunda derivadas concordam com as da curva α no ponto αu. Se a curva for pelo menos de classe C e κu 0, pode-se medir a variação de quanto ela deixa de ser plana por sua torção τ, dada por τu = αu αu α αu αu. 4 A torção τu é nula para curvas planas. As funções κu e τu são independentes da parametrização. Quando o parâmetro s é tal que αs = 1 s, dizemos que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco s. Tem-se que κs e τs determinam uma curva em R de modo único. Para qualquer ponto αu na curva α, pode-se introduzir um sistema de coordenadas especial para descrever as propriedades locais da curva. Este sistema de coordenadas com origem em αu tem eixos X, Z e Y, respectivamente, nas direções tu = αu αu, αu αu bu = αu αu, 5 nu = bu tu. Os vetores unitários tu, nu e bu são chamados, respectivamente, vetor tangente, vetor normal e vetor binormal. A orientação de [t, n, b] é dada pela regra da mão direita, isto é, b = t n, t = n b e n = b t. Para uma curva α, parametrizada pelo comprimento de arco s, pode-se exprimir as derivadas destes vetores unitários em termos deles mesmos, através das chamadas fórmulas de Frenet: t s = κsns n s = κsts τsbs 6 b s = τsns

2 .1 Curvas Parametrizadas pelo comprimento de arco Seja x = xs, y = ys, z = zs, ou em forma de vetor αs = xs, ys, zs, a curva parametrizada pelo comprimento de arco s. Então temos α s = t 7 α s = = n 8 onde t é o vetor tangente unitário e o vetor curvatura. De 8, segue que = = α α 9 Agora vamos calcular a terceira derivada α s obtendo por diferenciar a Eq.8 α s = nn 10 onde podemos trocar n pela segunda equação de 6, produzindo α s = t nτb 11 Como os vetores t, n e b formam a base ortonormal com a orientação da mão-direita, a torção pode ser obtida de 11 por τ = b α s Superfícies Implícitas 1 Definição 1 Superfície Implícita Uma superfície implícita S é definida como o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem à equação fx, y, z = 0. Formalmente: S = x, y, z R fx, y, z = 0}. É comum referir-se abreviadamente à função fx, y, z como sendo a própria superfície. Teorema 1 Teor. da Função Implícita Sejam A R R um aberto, f : A R de classe C, 1, f x 0, y 0, z 0 = 0 e f x 0, y 0, z 0 0. Então existem abertos U R, V R com x 0, y 0, z 0 U V A R R, tais que, para todo x, y U, existe um único z = zx, y V tal que fx, y, zx, y = 0 e z = zx, y C. Sejam fx, y, z = 0 e gx, y, z = 0 superfícies implícitas. Vamos assumir que estas superfícies são todas regulares. Em outras palavras f 0, g 0 1 O vetor normal unitário da superfície implícita f é dado por N f = f f 14 4 Representação Implícita das Curvas A representação implícita de uma curva espacial pode ser expressa como uma curva de interseção entre superfícies implícitas fx, y, z = 0 gx, y, z = 0 15 Se f e g tem derivada primeira contínua e se pelo menos um dos determinantes das matrizes Df,g jacobianas Dx,y, Df,g Dx,z e Df,g Dy,z, for diferente de zero no ponto P x 0, y 0, z 0 da curva, é conhecido pelo teorema da função implícita que as equações f = 0, g = 0 podem ser resolvidas para duas das variáveis em função da terceira. Por exemplo, se f,g x,y P 0 0, para alguma vizinhança de z 0 podemos resolver 15 para x e y como função de z, obtendo uma representação da seguinte forma x = xz, y = yz, z = z com z sendo o parâmetro. Isto define localmente uma curva paramétrica α z = x z, y z, z. Se a matriz jacobiana f,g x,y P 0 = 0, podemos verificar se as outras matrizes jacobianas f,g x,z P 0 0 ou f,g,z P 0 0, pois teríamos α y = x y, y, z y ou α x = x, y x, z x, respectivamente. Podemos calcular as derivadas df segue: df ds ds, d f ds e d f ds como = f x x f y y f z z, 16 d f ds = f xx x f yy y f zz z f xy x y f yz y z f xz x z f x x f y y f z z, 17 d f ds = f xxx x f yyy y f zzz z f xxy x y f xxz x z f xyy x y f yyz y z f xzz x z f yzz y z f xyz x y z f xx x x f yy y y f zz z z f xy x y x y f yz y z y z f xz x z x z f x x f y y f z z Trabalhos Existentes Com base nas propriedades geométricas das duas superfícies regulares, fx, y, z e gx, y, z que se intersectam, foram propostas técnicas para estimar ou determinar exatamente as propriedades locais da curva de interseção. As propriedades geométricas serão calculadas somente nos pontos cuja a interseção das superfícies seja transversal, isto é,

3 os vetores normais de ambas as superfícies não são paralelos. Para o caso tangencial veja Ye e Maeawa []. 5.1 Vetor Tangente Barnhill e Kersey [1], quando se trata de uma interseção transversal, a forma mais usual para obter o vetor tangente em cada ponto P é dada pelo produto vetorial dos vetores normais de ambas superfícies: t = Nf u, v N g p, q N f u, v N g p, q Vetor Curvatura e Curvatura Ye e Maeawa [] obtiveram expressões para a curvatura tanto nos pontos regulares quanto nos pontos singulares. Para interseções transversais, o vetor curvatura da curva interseção no ponto P é perpendicular ao vetor tangente, logo ele está no plano formado pelos vetores normais das duas superfícies. Assim, ele pode ser expresso como uma combinação linear dos dois vetores: α s = αn f βn g, 0 onde α e β são as incógnitas. A curvatura normal em P na direção t é a projeção do vetor α s sobre o vetor normal unitário N da superfície em P dado por n = α s N = κn N. 1 Com isso, temos f n = α β cos g n = α cos β, onde é o ângulo entre os vetores normais N f e N g. Solucionando os coeficientes α e β pelo sistema Eq., e substituindo-os na Eq.0, temos α = f n g n cos sin N f g n n f cos sin N g, onde cos = N f N g. A curvatura normal n para a superfície implícita é obtida por usar d f ds dado pela Eq.17. A projeção do vetor curvatura α = x, y, z sobre o vetor normal N = f f da superfície, é dado por: n f = f xx f y y f z z f x f y f z = f xxx f yy y f zz z f x f y f z f xyx y f yz y z f xz x z 4 f x f y f z onde x, y e z são as coordenadas do vetor tangente t = α s dado pela Eq.19. A expressão da curvatura é dada exatamente por ou κ = 1 n f sin n g n f n g cos 5 κ = α s 6 Willmore [] descreve como obter a curvatura da curva de interseção para duas superfícies implícitas. Considere a curva de interseção representada pela equação α = αs, e sejam duas superfícies implícitas dadas por fαs = 0 e gαs = 0. Agora o vetor tangente unitário da curva de interseção é ortogonal aos vetores normais de ambas as superfícies. Assim, se f = f x, f, f, segue que t = α s é paralelo a f g = h. 7 Diz-se que λα = f g. Então λx = h 1, λy = h, λz = h e λ d ds = h 1 x, h, h. 8 É conveniente denotar o operador 8 por. Portanto Da definição de λ e h segue que e assim Operando em 0 com tem-se α = h. 9 λt = h, 0 λ = h. 1 λ n λλ t = h. Aplicando o produto vetorial de 9 e temos: logo a curvatura da curva é λ b = h h =, = λ. 4 O vetor curvatura α s é dado por α s = t =b t. 5 λ

4 5. Torção Ye e Maeawa [] obtiveram também expressões da torção para interseções transversais. Como N f e N g estão no plano normal plano gerado por n e b, os termos nτb da Eq.11 pode ser trocado pela combinação linear γn f δn g. Assim temos α s = κ t γn f δn g. 6 Agora, se projetarmos α s sobre os vetores normais unitários N f e N g em P e denotarmos por λ f n e λ g n, respectivamente, temos λ f n = γ δ cos, λ g n = γ cos δ. 7 Resolvendo o sistema linear 7 para os escalares γ, δ e substituindo em 6 tem-se α = κ t λf n λ g n cos sin N f λg n λ f n cos sin N g 8 Os parâmetros λ f n e λ g n para ambas as superfícies implícitas são obtidos usando d f ds dado pela Eq.18. A projeção do vetor curvatura α = x, y, z sobre o vetor normal N = f f da superfície, é dado por: onde λ n = f xx f y y f z z f x f y f z F 1 F F =, 9 f x f y f z F 1 = f xxx x f yyy y f zzz z, F = [f xxy x y f xxz x z f xyy x y f yyz y z f xzz x z f yzz y z f xyz x y z ], F = [f xx x x f yy y y f zz z z f xy x y x y f yz y z y z f xz x z x z ], 40 onde x, y e z são dados pela Eq.19 e x, y e z são dados pela Eq.. Finalmente, a torção pode ser obtida da Eq.1 como segue τ = b α, onde a curvatura κ é dada pela Eq.5 e o vetor binormal pela expressão b = t n. Willmore [] descreve como obter a torção da curva de interseção para duas superfícies implícitas. Aplicando o operador na Eq. temos λ λ b λ 4 τn =. 41 Fazendo o produto escalar de e de 41 temos logo a torção é λ 6 τ = h., 4 τ = h. λ Método usando o Teorema da Função Implícita 6.1 Vetor Tangente Sem perda de generalidade, podemos assumir que a matriz jacobiana f,g,z P 0 0, então temos localmente uma curva paramétrica α x = x, y x, z x. Portanto temos que o ponto da curva P 0 = αx 0 satisfaz as duas relações da forma f x0, y x 0, z x 0 = 0 g x 0, y x 0, z x 0 = 0 Derivando as equações em relação a x, temos f x f 44 ẏ f ż = 0 x ẏ ż = 0 45 onde ẏ = dy e ż = dz. O vetor tangente da curva α x no ponto α x 0 = P 0 é dado por α x 0 = 1, ẏ x 0, ż x 0. Para obter este vetor tangente, devemos resolver o sistema Vetor Curvatura e Curvatura Derivando as equações dadas no sistema 45 em relação a x, temos f x x f g x x g f ẏẏ ÿ f f żż ẏẏ ÿ g z = 0 żż z = 0 46 onde ÿ = d y e z = d z. O vetor curvatura da curva α x no ponto α x 0 = P 0 é dado por α x 0 = 0, ÿ x 0, z x 0. A curvatura da curva no ponto α x 0 = P 0 é 6. Torção κx 0 = αx 0 αx 0 αx 0 Derivando as equações dadas no sistema 46 em relação a x, temos

5 f x x x f ẏ f ẏÿ f f ẏÿ y f ż f ż z f f ż z z = 0 g x x x g ẏ g ẏÿ g ẏÿ y g ż g ż z g ż z z = 0 47 onde y = d y e z = d z. O vetor α x no ponto α x 0 = P 0 é dado por α x 0 = 0, y x 0, z x 0. A torção da curva no ponto α x 0 = P 0 é τx 0 = αx 0 αx 0 αx 0 αx 0 αx 0 7 Exemplos Será calculado o vetor tangente, vetor curvatura, curvatura e a torção no ponto P 1, 1, da curva de interseção da esfera com o cilindro dadas pelas equações implícitas: f x, y, z = x y z 1 = 0 g x, y, z = x y x = 0 Os vetores gradientes são: f = x, y, z e g = x 1, y, Método Ye e Maeawa Vetor Tangente 48 Por Barnhill e Kersey [1] o vetor tangente é dado por t = N f u, v N g p, q N f u, v N g p, q No ponto P 1, 1, temos Nf = 1, 1, e N g = 0, 1, 0. Portanto o vetor tangente é ts 0 = 6, 0, Vetor Curvatura e Curvatura O vetor curvatura é dado pela Eq. α s= f n g n cos sin N f g n n f cos sin N g, e a expressão da curvatura é dada exatamente por 1 κ = n f sin n g n f n g cos Agora precisamos calcular as duas curvaturas normais f n e g n e os ângulos cos e sin em P. Para calcular f n e g n usamos a Eq.4. No ponto P 1, 1, temos: n f = 1, n g = 4, cos = 1 e sin =. Portanto o vetor curvatura é α s 0 = e a curvatura é 7.1. Torção κ = 9, 4, 9 O vetor α é dado pela Eq.8 α = κ t λf n λ g n cos sin N f λg n λ f n cos sin N g e a expressão da torção é dada pela Eq.1 τ = b α Os parâmetros λ f n e λ g n são dados pela Eq.9. No ponto P 1, 1, temos: λf n = 0, λ g n = Portanto α s 0 = , 4 6 9, Para calcular a torção precisamos encontrar o vetor binormal b, mas antes devemos encontrar o vetor n, isto é n = = 1 1, 1, 1 b = t n = 1 1, 1 1, 6 1 Então a torção é τ = b α 7. Método Willmore 7..1 Vetor Tangente 6 1 = Agora o vetor tangente unitário é calculado usando as Eqs.7,0 e 1. A Eq.7 é dada por h = f g = 4yz, 4xz z, y, pois f = x, y, z e g = x 1, y, 0. No ponto P 1, 1,, temos f = 1, 1, e g = 0, 1, 0. Portanto hp 0 =, 0, 1. Da Eq.0 temos λt =, 0, 1, consequentemente λx =, λy = 0, λz = 1. Da Eq.1 tem-se λ = h = = λ = ± Obtendo o vetor tangente t = ± 6, 0,. 5

6 7.. Vetor Curvatura e Curvatura Escolhendo t = 6, 0, λ =. Usando o operador em h temos: h = λ 4y z 4yz, 4x z 4xz z, y. Usando as coordenadas do ponto P 1, 1, e do vetor tangente dado em 5, hp 0 =, 4, 0. Aplicando o produto vetorial de hp 0 e hp 0 temos: = hp 0 hp 0 = 4,, 4, então a curvatura da curva é = λ = 1 = O vetor curvatura α s é dado pela Eq.5 α s = 9, 4, Torção Fazendo o produto vetorial de h por h temos = h h = -4yz,4xz-z,y λ 4y z 4yz, 4x z 4xz z, y Usando o operador em temos: = h h = 4yz, 4xz z, y 4λ y z y z yz, x zx z xz 1 z, 1 y Substituindo as coordenadas do ponto P 1, 1,, do vetor tangente α dado por 5 e do vetor curvatura α dado por 55 temos 8 =, 4, 56. Pela Eq.4, a torção é o produto escalar de h por dividido por λ 6, logo temos τ = h. λ 6 = Método função implícita 7..1 Vetor Tangente Escolhendo x como parâmetro, pois det f f sistema 45 torna-se x yẏ zż = 0 x yẏ 1 = 0 0 no ponto P 1, 1,, o Substituindo x = 1, y = 1 e z =, temos 1 ẏ ż = 0 ż = 1 ẏ 1 = 0 ẏ = 0 O vetor α é α 1 = 1, 0,. 57 O vetor tangente unitário na direção contrária de α é t 1 6 =, 0, Vetor Curvatura e Curvatura O sistema 46 torna-se ẏẏ yÿ żż z z = 0 ẏẏ yÿ = 0 Substituindo x = 1, y = 1, z =, ẋ = 1, ẏ = 0, ż =, tem-se ÿ 1 z = 0 ÿ = 0 z = ÿ = Logo o vetor derivada segunda é α 1 0, =,. 59 A curvatura é κu = αu αu αu = O vetor curvatura é α x 0 = nx 0, onde nx 0 = bx 0 tx 0 e bx 0 = Temos bx 0 = 1 1, 1 1, 4 6 6, nx 0 = 9 9, 9 1, 78 9 e α x 0 = O vetor curvatura é 1 9 9, 9 1, α x 0 = 7.. Torção 9, 4, 9 αx0 αx0 αx 0 αx 0. O sistema 47 torna-se 4ẏÿ ẏÿ y y 4ż z ż z z z = 0 4ẏÿ ẏÿ y y = 0 61 Substituindo x = 1, y = 1, z =, ẋ = 1, ẏ = 0, ż =, ẍ = 0, ÿ =, z =, temos y 1 z = 0 z = y = 0 y = 0 Logo o vetor terceira derivada é A torção é τu = Referências α 1 = 0, 0,. 6 αu αu α αu αu = 6 1, 6 [1] R. E. Barnhill and S. N. Kersey. A marching method for parametric surface/surface intersection. Computer Aided Geometric Design, 71 4:57 80, [] T. J. Willmore. An Introduction to Differential Geometry. Clarendon Press, Oxford, [] X. Ye and T. Maeawa. Differential geometry of intersection curves of two surfaces. Computer Aided Geometric Design, 16: , 1999.