Aula 24. Fasores II Seletores de frequência

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1 Aula 24 Fasores II Seletores de frequência

2 Revisão (j = ) Os números complexos podem ser expressos em 3 formas: Considere que: Retangular Polar cos φ = CA h = x r x = r cos(φ) sen φ = CO h = y r y = r sen(φ) Retangular: z = r cos φ + jsen φ Retangular: z = x + y z = 3 + 2j Polar: z = r φ r = x 2 + y 2 φ = atan y x z = 8 atan z = 8 45 o Identidade de Euler: e ±jφ = cos φ ± jsen(φ) Exponencial: z = r e jφ

3 Revisão - Números complexos Retangular Polar Polar Retangular Temos: z = x + jy Queremos: z = r φ Temos: z = r φ Queremos: z = x + jy r = x 2 + y 2 φ = atan y x x = r cos φ y = r sen(φ) Como a forma exponencial utiliza as relações polares, assim: Retangular Exponencial Transformar para polar e: z = r e jφ Polar Exponencial Apenas colocar na forma: z = r e jφ

4 Revisão - Números complexos Adição e subtração forma retangular Multiplicação e divisão forma polar z = x + jy = r φ z 2 = x 2 + jy 2 = r 2 φ 2 z + z 2 = x + x x + j(y + y 2 ) z z 2 = x x x + j(y y 2 ) j = j z z 2 = r r 2 φ + φ 2 z z 2 = r r 2 φ φ 2 z = r φ 2

5 Revisão - AC Quando comparamos a derivada no domínio do tempo e dos fasores, concluímos que a derivada, no domínio dos fasores, passa a ser considerada uma simples multiplicação. Tais relações também são validas para a corrente, uma vez que a corrente também obedece a uma função senoidal Domínio do tempo dv dt v dt Domínio dos fasores jωv V jω * Foram omitidos os cálculos para dedução da integral, porém seguem o mesmo raciocínio

6 Impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal Revisão - AC

7 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V Resposta: i L (t) = 4,47 cos 0t + 3,44 o A v L (t) = 8,94 cos 0t + 93,44 o V

8 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V 4Ω o I L V L 0,2 0 j = 2 j Ω Circuito no domínio do tempo Circuito no domínio dos fasores

9 Exercício Parênteses Como calcular as funções do corrente e tempo do indutor, sem utilizar os conceitos de fasores, ou seja, calculando no domínio do tempo V s = V M cos(ωt + φ) Primeiramente deduzimos a o comportamento da corrente do indutor Pela LKT temos: L di dt + Ri = V mcos(ωt + φ) Resolvendo EDO, temos a seguinte resposta completa: i L t = V m ωl cos φ atan R 2 + ω 2 L2 R e R L t + V m ωl cos ωt + φ atan R 2 + ω 2 L2 R

10 Exercício Parênteses i L t = V m ωl cos φ atan R 2 + ω 2 L2 R e R L t + V m ωl cos ωt + φ atan R 2 + ω 2 L2 R Regime transiente Regime permanente Senoidal Salvo raras exceções, a análise CA prioriza a reposta em regime permanente, uma vez que consideramos que fonte de excitação está em regime permanente senoidal. Para encontrarmos a equação que rege a tensão, basta derivar a equação da corrente e multiplicar por L. Não iremos analisar circuitos CA sem a transformada de fasores.

11 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V 4Ω Z eq = 4 + 2j Z eq = atan o I L V L 2 j Ω I L = V S Z eq = Z eq = 4,47 26,56 o 20 30o 20 4,47 26,56o = 4,47 (300 26,56 o ) I L = 4,47 3,44 o A V L = 4,47 3,44 o (0 + 2j) V L = 4,47 3,44 o 2 90 o V L = (4,47 2) (3,44 o + 90 o ) V L = 4,47 3,44 o atan 2 0 V L = 8,94 93,44 o V

12 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V 4Ω Domínio dos fasores o I L V L V s = o V 2 j Ω I L = 4,47 3,44 o A ω = 0 rad/s V L = 8,94 93,44 o V Domínio do tempo V s t = 20 cos 0t + 30 o V i L t = 4, 47 cos 0t + 3, 44 o A v L t = 8, 94 cos 0t + 93, 44 o V

13 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V o I L 4Ω V L 2 j Ω i L t = 4, 47 cos 0t + 3, 44 o A i L t = V m ωl cos φ atan R 2 + ω 2 L2 R e R L t + V m ωl cos ωt + φ atan R 2 + ω 2 L2 R i L t = ,2 2 cos 0t + 30o atan 0 0,2 4 = 4, 47 cos 0t + 3, 44 o A

14 Exercício Exercício: Dado o circuito, em regime permanente, encontre as expressões il(t) e vl(t). Considere que V s t = 20 cos 0t + 30 o V 4Ω Calculo por divisor de tensão o I L V L 2 j Ω V L = V s 0 + 2j (4 + 0j) + (0 + 2j) V L = o 0 + 2j 4 + 2j V L = o 2 90 o atan 2 4 V L = o 2 90 o atan 2 4 V L = 8, 94 93, 44 o V v L t = 8, 94 cos 0t + 93, 44 o V V L = o 2 90 o 4,47 26,56 o = ,47 30o + 90 o 26,56 o

15 Exemplo Exemplo: Calcular Vc de forma genérica V s = M cos(ωt + φ) Domínio do Tempo Domínio do Fasor

16 Exemplo Exemplo: Calcular Vc de forma genérica V s = M cos(ωt + φ) V C = V S Z C R + Z C V C = V s jωc R + jωc Calcular o ganho (saída/entrada) V C V s = jωc R + jωc V C V s = + jωrc Neste exemplo podemos concluir que quanto menor a frequência angular (w), mais próximo de um () a relação entre saída/entrada e quanto maior w, mais próximo de zero (0) a relação saída/entrada.

17 Exemplo Sabemos que em CC o capacitor se comporta como um circuito aberto, ou seja, impedância infinita Z c = jωc CC ω 0 rad/s Z c = j0c = Sabemos que em altíssima frequência (ω ) o capacitor se comporta como um curtocircuito, ou seja, impedância zero Z c = jωc alta freq ω rad/s Z c = j C = 0

18 Exemplo se ω 0 V C V s = + jωrc se ω

19 Função Transferência De forma geral, função transferência representa a razão entre a saída e a entrada. Para tensão e corrente obtemos o ganho. Em nossos estudos de caso, não entraremos em detalhes sobre a função transferência. Deixaremos as análises mais aprofundados para estudos futuros. H ω = V o(ω) V i (ω) ou H ω = I o ω I i (ω) H = saída entrada **Em termos de circuitos normalmente temos: o output e i input

20 Frequência de corte H(w) = + jωrc H w = H φ H = + ωrc = H(ω) 2 2 = + ω c RC 2 2 = + ω c RC 2 2 = + ω c RC 2 = ω c RC 2 ω c = RC Frequência de corte ω c 2 Representa 50% da potência média fornecida a uma carga Ver Nillson 5ed pags 28 e 39

21 Frequência de corte Se considerarmos que: RC ω c v s = M cos RC t + φ V Ou seja, um circuito RC, onde a fonte de tensão possui uma frequência angular igual o inverso do produto entre R e C H(ω) = + jωrc H(ω) = 0 o + ω/ω c 2 ω ω c H w = H φ H = + ω/ω c 2 φ = atan ω ω c

22 Seletores de frequência (filtros passivos) Este circuito define um filtro passa baixas, ou seja, atenua altas frequências e mantém a amplitude de baixa frequências. OU Interpretando: O circuito com essa configuração é utilizado para filtrar sinais de alta frequência, devemos escolher um capacitor e um resistor tal que a expressão /(RC), resulte no limiar da frequência que desejamos atenuar. Lembre-se que filtros não cortam frequências e sim atenuam frequências.

23 Seletores de frequência (filtros passivos) Exemplo: Considere que uma fonte de transmissão de dados que trabalhe em 60Hz sofra a influência de um ruído de uma frequência de 2KHz. O filtro abaixo foi projetado para atenuar a presença da alta frequência. Analise o filtro.

24 Seletores de frequência (filtros passivos) Exemplo: Considere que uma fonte de transmissão de dados que trabalhe em 60Hz sofra a influência de um ruído de uma frequência de 2KHz. O filtro abaixo foi projetado para atenuar a presença da alta frequência. Analise o filtro. Ps. Exemplo hipotético ω c = RC = K 0,5μ = 2000 rad/s f c = 2π RC = 2π K 0,5μ = 636,94 Hz ω = 2π 60 = 376 rad/s ω = 2π 2K = 2,56K rad/s

25 Seletores de frequência (filtros passivos) Exemplo: Considere que uma fonte de transmissão de dados que trabalhe em 60Hz sofra a influência de um ruído de uma frequência de 2KHz. O filtro abaixo foi projetado para atenuar a presença da alta frequência. Analise o filtro. Ps. Exemplo hipotético Pelo teorema da superposição sabemos que podemos analisar as fontes de forma independente H = H 2 = + ω /ω = 2 o ω 2 /ω = 2 o + 2,56K = 0,98 2 = 0,5 ω c = 2000 rad/s ω = 376 rad/s ω 2 = 2,56K rad/s Na saída termos a soma de 98% da fonte de tensão de 60Hz e 5% da fonte de 2Khz

26 Seletores de frequência (filtros passivos) Neste exemplo irei considerar que o sinal possui amplitude de 0V e o ruído de 5V Sinal sem ruído Sinal com ruído Sem filtro

27 Seletores de frequência (filtros passivos) Neste exemplo irei considerar que o sinal possui amplitude de 0V e o ruído de 5V Sinal com ruído Sem filtro Sinal com ruído Com filtro

28 Seletores de frequência (filtros passivos) Sem filtro Existem ferramentas capazes de analisar as frequências envolvidas no sinal. Os gráficos ao lado foram adquiridos pela pela Transformada rápida de Fourier (FFT). Com filtro

29 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Considere o sinal ao lado, projete um filtro passa-baixa, cujo a frequência de corte seja igual a 00Hz. Sinal Utilize um capacitor de: C = μf FFT

30 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Considere o sinal ao lado, projete um filtro passa-baixa, cujo a frequência de corte seja igual a 00Hz. Utilize um capacitor de C = μf f o = 00Hz ω c = 2π f ω c = rad/s ω c = RC R = C ω c = R =,59KΩ μ 628,32

31 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Considere o sinal ao lado, projete um filtro passa-baixa, cujo a frequência de corte seja igual a 00Hz. Utilize um capacitor de C = μf Passa baixa R =, 59KΩ 00Hz C = μf

32 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Classifique os filtros como passa-baixa e passa-alta

33 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Classifique os filtros como passa-baixa e passa-alta Passa altas Z C = jωc se ω 0 então Z C V out = 0 se ω então Z C 0 V out = V in Passa baixas se ω 0 então Z C V out = V in se ω então Z C 0 V out = 0

34 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Classifique os filtros como passa-baixa e passa-alta Z L = jωl Passa altas se ω 0 então Z L 0 V out = 0 se ω então Z C V out = V in Passa baixas se ω 0 então Z L 0 V out = V in se ω então Z L V out = 0

35 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Calcule a frequência de corte (ω c ) de cada filtro

36 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Calcule a frequência de corte (ω c ) de cada filtro H ω = H ω = jωc R + jωc + jωrc H ω = H φ 2 = H = H(ω c) 2 = + ω c RC 2 2 = + ω c RC 2 2 = + ω c RC 2 ω c = RC Passa baixas ω c = RC

37 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Calcule a frequência de corte (ω c ) de cada filtro H ω = R R + jωc 2 = + ω c RC 2 H ω = H ω = H φ + jωrc 2 = H = H(ω c) 2 = + ω c = RC ω c RC 2 Passa altas ω c = RC 2 = + ω c RC 2

38 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Calcule a frequência de corte (ω o ) de cada filtro H ω = R R + jωl 2 = + ω c L R 2 H ω = + jω L R 2 = + ω c L R 2 H ω = H φ 2 = H = H(ω c) 2 = + ω c L R 2 ω c = R L Passa baixas ω c = R L

39 Seletores de frequência (filtros passivos) Exercício: Calcule a frequência de corte (ω o ) de cada filtro H ω = jωl R + jωl 2 = + R L jω c 2 H ω = + R L jω 2 = + R L jω c 2 H ω = H φ 2 = H = H(ω c) 2 = ω c = R L Passa altas ω c = R L + R L jω c 2

40 Fontes senoidais Exercício: Calcule a frequência de corte (ω o ) de cada filtro Relações ideais Passa Baixas Passa Altas Passa Baixas Passa Altas