Circuitos Elétricos II

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1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Filtros Passivos

2 Introdução A variação de frequência de uma fonte senoidal altera a impedância de capacitores e indutores; Realizando a conexão de resistores, indutores e capacitores é possível construir circuitos cuja saída apresenta componentes dos sinais de entrada para uma determinada faixa de frequência. Tais circuitos são conhecidos como circuitos de seleção de frequência ou filtros.

3 Aplicações de Filtros Elétricos Sistemas de áudio (equalizador, cross-over) Sistemas de comunicação: rádio, TV, satélites Sistemas biomédicos Sistemas de distribuição de energia (filtro de harmônicas) 3

4 Objetivos Conhecer as configurações de elementos RLC que funcionam como filtros passivos Entender as características dos filtros: frequência de corte, largura de faixa e fator de qualidade Estudar circuitos com amplificadores operacionais que funcionam como filtros ativos 4

5 Filtros Ideais Passa-Baixas Passa-Altas Banda de passagem Banda de rejeição Banda de rejeição Banda de passagem ω c - frequência de corte superior ω c - frequência de corte inferior Símbolos 5

6 Filtros Ideais Passa-Faixa Rejeita-Faixa Banda de rejeição Banda de passagem Banda de rejeição Banda de passagem Banda de rejeição Banda de passagem Símbolos ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior 6

7 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série H s = R R + Ls H s = R L R L + s H jω = R L R L + jω Para avaliar a resposta em frequência s = jω H( j) Módulo R / L R / L L ( j) arctg R Fase 7

8 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série Para ω = 0 as tensões de entrada e saída são iguais em módulo e fase. ω = 0; H ω = ; = 0 Para ω a amplitude da tensão de saída é zero e seu ângulo de fase com relação à entrada é ω ; H ω = 0; θ ω =

9 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série Filtro Ideal c R L H max H max. (0, 707. H max ) ω c = frequência de corte superior ou frequência de meia potência H( c ) Hmax P( ) c P max 9

10 Filtro Passa-Baixas Relação entre frequências de corte e constantes de tempo c Tempo X Frequência Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Baixas H ( s) c s c 0

11 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série Para ω = 0 o circuito está aberto e não há tensão no resistor. Neste caso a defasagem é ω = 0; H ω = 0; θ ω = 90 0 Para ω, o capacitor é um curto e a tensão está toda no resistor. Neste caso a defasagem é nula. ω ; H ω = ; θ ω = 0 0

12 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série H s = R R + sc = RCs RCs + H s = s RC + s H jω = jω RC + j Para avaliar a resposta em frequência s = jω H ( j) / RC ( j) 90 arctg RC

13 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série H max Filtro Ideal: ω c = frequência de corte inferior ou frequência de meia potência c RC H( c ) H P( c ) Pmax max 3

14 Filtro Passa-Altas Relação entre frequências de corte e constantes de tempo Tempo X Frequência c Os circuitos RC e RL possuem a mesma frequência de corte, independente do tipo de filtro (PB ou PA). 4

15 Filtro Passa-Altas A única diferença entre as funções de transferência são os termos que especificam a frequência de corte. Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Altas H ( s) s s c 5

16 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série H s = R R + sc + sl x s L x s L H ( s) s ( R / L) s ( R / L) s (/ LC) s = jω H ( j) [(/ ( R / L) LC) ] [ ( R / L)] ( j) 90 ( R/ L) (/ LC) arctg 6

17 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série 0 < ω < ω = 0 ω 7

18 Filtro Passa-Faixa H max Circuito RLC em Série Filtro Ideal Na frequência central ou de ressonância, ω 0, X L = X C e a tensão de saída é máxima. j j C 0L LC H( c ) Hmax ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior [(/ LC) ( R / L) c ] c [ ( R / L)] c 8

19 9 Filtro Passa-Faixa Frequências de corte c e c Para H( c ) = 0,707. H max max 0 ( ) H H )] / ( [ ] ) [(/ ) / ( L R LC L R c c c LC L R L R c LC L R L R c 0 c c Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte c c L R freq. de ressonância

20 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa. Q 0 Q L CR Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados. 0

21 Filtro Passa-Faixa Q = π pico de energia armazenada no circuito energia dissipada pelo circuito em um periodo Q 3 > Q > Q

22 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Cálculo das frequências de corte em termos de e ω 0 0 c 0 c Cálculo das frequências de corte em termos de Q e ω 0 0 Q Q c 0 Q Q c

23 Filtro Passa-Faixa Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Faixa H() s s s s 0 H ( s) s ( R / L) s ( R / L) s (/ LC) 0 / LC R / L 3

24 4 Filtro Rejeita-Faixa (ou notch) Circuito RLC em Série ) ( L R LC LC j H ( ) R L j arctg LC LC s L R s LC s sc sl R sc sl s H ) (

25 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série ω = 0 A tensão de saída é definida no par Indutor-Capacitor 0 < ω < ω São caracterizados pelos mesmos parâmetros dos filtros PF 5

26 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Filtro Ideal 0 LC H H( ) 0 min 0 H max H( j0) H( j) H( c ) Hmax ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior 6

27 7 Filtro Rejeita-Faixa LC L R L R c LC L R L R c Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Frequências de corte ω c e ω c Para H( c ) = 0,707 H max Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte c c L R

28 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa Q 0 Q L CR Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados. 8

29 9 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Cálculo das frequências de corte em termos de e ω 0 Cálculo das frequências de corte em termos de Q e ω 0 0 c 0 c 0 Q Q c 0 Q Q c

30 Filtro Rejeita-Faixa Forma geral das funções de transferência dos Filtros Rejeita-Faixa s 0 H() s s s 0 30

31 Efeito da carga Filtro com Carga Adicionar uma carga à saída de um filtro passivo altera as suas propriedades de filtragem. Exemplo: Filtro passa-altas H ( s) s K. s K( R / L) K RL R R L 3

32 Efeito da carga Resposta do Filtro com Carga sem carga Hmax 0.5 com carga Hmax frequência 3

33 Efeito da Resistência do Gerador Gerador com Resistência Interna Substituir uma fonte ideal por uma fonte com resistência interna não nula altera as propriedades de filtragem do filtro passivo. Exemplo: Filtro passa-faixa H() s s K s s 0 K R R Ri 33

34 Efeito da Resistência do Gerador Gerador com Resistência Interna 34

35 Fatores de Escala Existem duas maneiras de aplicarmos fatores de escala a um circuito: fatores de escala de amplitude ou de impedância: é o processo de aumento de todas as impedâncias em um circuito em um fator, sendo que a resposta em frequência permanece inalterada. fatores de escala de frequências: é o processo de deslocar a resposta de frequência de um circuito acima ou abaixo do eixo de frequência, enquanto deixa a impedância inalterada. 35

36 fatores de escala de amplitude As impedâncias dos elementos individuais são: Z R = R Z L = jωl Z C = jωc Multiplicamos as impedâncias por um fator K m e fazemos que a frequência permaneça constante: Z R = K m Z R = K m R Z L = K m Z L = jωk m L Z C = K m Z C = jω(c K m ) Os novos valores dos elementos e da frequência são: R = K m R L = K m L C = C K m ω = ω 36

37 fatores de escala de frequência Multiplicamos a frequência por um fator K f enquanto a impedância se mantém inalterada. Z L = j ωk f L = jωl L = L K f Z C = j ωk f C = jωc C = C K f Os novos valores dos elementos e da frequência são: R = R L = L K f C = C K f ω = K f ω 37

38 fatores de escala a amplitudes e frequência R = K m R L = K m K f L C = K m K f C ω = K f ω 38

39 Problema 4.48 Determine a função de transferência V 0 /V s do circuito na figura abaixo. Demonstre que o circuito é um filtro passa-baixas. 39

40 Problema 4.57 Determine a frequência central e a largura de banda do filtro passa-faixa na figura abaixo. 40

41 Referências. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; Circuitos Elétricos, 8th Ed., Pearson, ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. ( ª Ed. 00 ), Ed. Blücher, São Paulo. 5. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 4