FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS

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1 e(t) θ3 θ 0 π/ π 3π/ π ωt[rad] FASORES E NÚMEROS COMPLEXOS Q = E I sen(θ) SሬԦ = E I θ I* I cos( θ) E θ E θ I sen( θ) I DEPARTAMENTO DA ÁREA DE ELETRO-ELETRÔNICA COORDENAÇÃO DE ELETROTÉCNICA Prof. Rupert Pereira

2 Sumário 1. Fasores O Sistema de Números Complexos O Plano Complexo (Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand) O operador j Formas Retangular e Polar Forma Retangular Forma Polar Forma trigonométrica Forma exponencial (Fórmula de Euler) Operações Matemáticas com as Grandezas Complexas Adição Subtração Produto Divisão Potenciação Radiciação Logaritmo Conjugado de um número complexo Propriedades do conjugado de um número complexo Inverso ou recíproco de um número complexo Resumo Resumo sobre fasores Resumo sobre números complexos Bibliografia... 8 Fasores e números complexos Pág.

3 1. Fasores Fasores ou vetores de fase são uma das formas de representação das funções senoidais, dando a estas um tratamento semelhante a vetores. As tensões e correntes senoidais podem ser matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. A conveniência do uso de fasores é que se reduz a trigonometria à álgebra. Graficamente o fasor é representado por uma seta desde a origem até o ponto no plano. π rad = 90 ωt π rad = 180 Z Max 0 π rad = 360 3π rad = 70 Figura 1: Representação de um fasor de magnitude Z Max, frequência angular ω e ângulo inicial θ = 0. Como os vetores, os fasores são grandezas com módulo e sentido. No entanto, diferentemente dos vetores que têm sentido definido no espaço, o dos fasores variam com o tempo. É como se fixasse o vetor pela origem fazendo-o girar no sentido anti-horário a uma velocidade angular ω, a mesma velocidade angular da função senoidal que ele representa. Representação fasorial Representação senoidal Fasor: Vሶ = V Max θ v(t) V Max Senoide: v(t) = V Max sen(ωt + θ) θ 0 θ π/ π 3π/ π π θ ωt [rad] V Max ω = πf = π T Ângulo de fase Representação gráfica do sinal senoidal Figura : Representações fasorial e trigonométrica de uma grandeza alternada senoidal, com ângulo de fase positivo (θ > 0). O fasor Vሶ, representado com amplitude V Max, se considerado girando a uma velocidade angular ω, as suas projeções sobre o eixo vertical correspondem aos valores instantâneos da função senoidal. O comprimento de um fasor representa sua magnitude e está relacionado à amplitude da grandeza alternada. A posição angular θ relativa ao eixo horizontal (tomado como referência) refere-se ao ângulo de fase (ângulo inicial) da função senoidal. Os ângulos positivos são medidos Fasores e números complexos Pág. 3

4 no sentido anti-horário a partir da referência (0 ) e os ângulos negativos são medidos no sentido horário, a partir da referência. É interessante observar que, enquanto a referência angular de uma onda senoidal é a intersecção dos eixos horizontal e vertical (x e y), a referência angular de um fasor é o eixo horizontal (o semieixo positivo). No traçado gráfico da função senoidal, o ângulo de fase representa a menor distância angular do ponto onde a função senoidal cortou o eixo horizontal no sentido ascendente, em relação à intersecção dos eixos, a referência (ωt = 0). Se esse ponto fica à esquerda da referência, o ângulo de fase é positivo (θ > 0), se à direita é negativo (θ < 0). Em resumo, um fasor basicamente é definido por três fatores: a magnitude ou módulo Z (ou simplesmente Z), que é representada pelo seu comprimento, a posição angular θ inicial em relação ao eixo horizontal e a velocidade angular da função trigonométrica ω. Neste estudo, os fasores serão representados graficamente por setas partindo da origem, em direção a pontos no plano complexo. Será adotada a seguinte grafia para a representação dos fasores: Onde: Zሶ é o fasor; Zሶ = Z θ Z, ou Z é a magnitude, módulo ou norma do fasor. Na representação da magnitude do fasor é comum o uso do valor eficaz (Z Ef, ou simplesmente Z) em vez do valor máximo (Z Max ), dada a sua maior aplicabilidade nos cálculos dos circuitos; θ é ângulo de fase, tomado como referência o eixo horizontal Em geral, a magnitude de um fasor é representada por uma letra itálica maiúscula (Z, por exemplo) ou pela representação de módulo. Um valor colocado entre retorna sempre um número positivo. 6,93 60 Figura 3: Representação de um fasor no plano. 4 Zሶ = 8 60 Vሶ = V Max 0 v(t) = V MAX sen(ωt) π/ v (t) π 0 π 0 π/ π 3π/ π ωt [rad] Referência Velocidade angular ω (rotação) 3π/ Referência (eixo horizontal) Figura 4: Os valores instantâneos do sinal alternado senoidal v(t) são iguais às projeções do fasor de amplitude V Max sobre o eixo vertical, na medida em que este gira com frequência angular ω, sendo v(t) = V Max sen(ωt). A velocidade angular (ω) do fasor é representado em radianos por segundo, no sentido anti-horário, tendo como referência o eixo horizontal. Já no desenho da senoide, o deslocamento angular é representado no eixo x, também em radianos, tendo como referência a intersecção dos eixos (onde ωt = 0). Os valores instantâneos correspondentes da grandeza são representados no eixo vertical (y). Fasores e números complexos Pág. 4

5 Na Figura 5 tem-se a representação senoidal de um sinal atrasado de um ângulo negativo (θ < 0) em relação à referência (a intersecção dos eixos). A senoide v cortou o eixo x distante de um ângulo θ após a intersecção dos eixos. Já o fasor correspondente está atrasado do mesmo ângulo θ em relação à referência, o eixo horizontal. Vሶ = V Max (θ) v V Max v = V Max sen(ωt + θ) π + θ θ 0 π/ π 3π/ π ωt [rad] V Max θ Figura 5: Representação vetorial e senoidal de um sinal atrasado de um ângulo θ < 0 em relação à referência. Neste caso, na expressão do valor instantâneo de v(t), a soma (ωt + θ) é na verdade uma subtração: (ωt θ ). v (t) 311 V 180 V 150 V π π 3 0 π/ π 3π/ π ωt [rad] Vሶ 3 Vሶ Vሶ 1 π π 3 v 1 = 311 sen(377t) v = 180 sen(377t π 3 ) v 3 = 150 sen൫ωt + π ൯ Figura 6: Representação nas formas senoidal e vetorial de três tensões alternadas v 1, v e v 3. Fasores e números complexos Pág. 5

6 . O Sistema de Números Complexos Em 1545, o matemático Girolamo Cardano ( ) publicou o livro Ars Magna ( A grande arte, em latim), onde propôs o seguinte problema: Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40. Ele o resolveu de maneira similar à solução das equações de º grau. Então: x + y = 10 x y = 40 x + y = 10 y = 10 x x y = 40 x (10 x) = 10x x = 40 x 10x = 40 x 10x + 40 = 0 Girolamo Cardano Aplicando-se a fórmula de Bhaskara à equação: x = ( 10) ± ( 10) x = 5 ± 60 4 x = 5 ± 15 = 10 ± = 10 ± 60 = 10 ± 60 O aparecimento de um termo negativo em raiz quadrada significava que o problema não tinha solução. Cardano, no entanto, mostrou que era possível encontrar uma solução, através do que ele chamou de números sofisticados, ou seja, raízes quadradas de números negativos. Esta descoberta foi tão inusitada que se tornou marco inicial da matemática moderna. A partir dos estudos de Cardano, outros matemáticos trabalharam a solução para esse antigo impasse matemático, chegando-se finalmente à formalização para os números complexos definida por Friedrich Gauss ( ), usada atualmente. Tomando-se como exemplo o problema proposto por Cardano: x = 5 ± 15 = 5 ± 1 15 = 5 ± 1 15 x = 5 ± j 15; sendo j = 1 O conjunto dos números complexos representados por C são constituídos por pares ordenados que permitem operações matemáticas com fasores e são muito úteis na análise de circuitos em CA. A álgebra de números complexos é uma extensão da álgebra de números reais, visto que os conjunto dos números reais R se constitui num subconjunto dos números complexos C. Os números complexos são formados pelos números reais e pelos números imaginários. {Conjunto dos Complexos} = {Reais} + {Imaginários} Os números imaginários são distinguidos dos números reais pelo uso do operador i ou j. Na matemática pode-se usar qualquer um dos dois operadores, mas no estudo dos circuitos elétricos, a letra i (i minúsculo) já tem seu uso consagrado como símbolo do valor instantâneo da corrente elétrica, então, para que não haja confusões, adota-se preferencialmente a letra j (j minúsculo). Substituindo-se x por ൫5 + j 15൯ na equação proposta por Cardano: x 10x + 40 = 0 ൫5 + j 15൯ 10 ൫5 + j 15൯ + 40 = 0 (5 + 5 j 15 + ൫j 15൯ ) ൫ j 15൯ + 40 = 0 ( j 15 + j ൫ 15൯ ) ൫ j 15൯ + 40 = 0 ൫ j ൯ ൫ j 15൯ + 40 = 0 Fasores e números complexos Pág. 6

7 ൫ j 15 15൯ ൫ j 15൯ + 40 = j j = j j 15 = 0 O mesmo resultado pode ser obtido para ൫5 j 15൯. A representação de um número complexo (Zሶ) é dada pela soma algébrica da componente real ±a, com a componente imaginária ±jb. A forma geral é: Zሶ = ±a ± jb Para o exemplo anterior, com x = 5 ± j j 15 e 5 j 15 A componente real é dada por: a = 5 E as componentes imaginárias por: ±jb = ±j 15 Então: C = {Zሶ = ±a ± jb a, b R} ±a = Re൫Zሶ൯ componente real de Zሶ ±jb = Im(Zሶ) componente imaginária de Zሶ Pela definição dos números complexos, o conjunto dos números reais R pertence ao conjunto dos números complexos C, pois R = R + 0j. R C Se a parte real de um número complexo é zero, o número complexo torna-se puramente imaginário: Zሶ = ±jb. Se a parte imaginária do número complexo é nula, o número torna-se puramente real: Zሶ = ±a..1 O Plano Complexo (Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand) Como os números complexos se constituem em pares ordenados (a componente real ±a e a componente imaginária ±jb), a sua representação pode ser feita por meio de pontos no plano chamado plano complexo. Neste, o eixo horizontal é denominado eixo real e o eixo vertical, eixo imaginário. A parte real representa a distância que o ponto está do eixo imaginário e a parte imaginária a distância que o ponto está do eixo real. A Figura 7 mostra representação de números complexos no plano. Eixo imaginário +j Eixo imaginário 5 + j6 5 + j5 5 + j3 j j3 3 6 Eixo real Eixo real j6 4 j4 Figura 7: Plano complexo j Figura 8: Representação angular no plano complexo Fasores e números complexos Pág. 7

8 Uma posição angular também pode ser representada em um plano complexo como mostra a Figura 8. Nesta forma de representação, leva-se em conta a distância em que o ponto se encontra da intersecção dos eixos e o ângulo que esta faz com o eixo real.. O operador j O operador j é denominado operador complexo e como demonstrado anteriormente, é definido como: j = 1 Uma grandeza real ao ser multiplicada pelo operador j constitui-se num número imaginário e é posicionada no eixo vertical. Para +j é rotacionada no sentido anti-horário, ou seja, a grandeza, originalmente localizada no eixo real, gira +90⁰. De modo semelhante, multiplicando-se a grandeza real por j, ela gira 90⁰ (no sentido horário). Por conta dessa propriedade, j é considerado um operador rotacional. Aplicando o operador j em uma grandeza positiva igual a +4, originalmente representada sobre o eixo x, tem-se: j4 (rotaciona o número 4 para o eixo imaginário, em 90 ) j4 j 4 = ൫ 1൯ 4 = 1 4 = 4 (rotaciona 180 ) j 3 4 = j j4 = ൫ 1൯ j4 = 1 j4 = j4 (rotaciona 70 ou 90 ) 4 4 j 4 4 = j j 4 = ൫ 1൯ ൫ 1൯ 4 j 4 4 = ( 1) ( 1) 4 = 4 (rotaciona 360 ). Formas Retangular e Polar j4 Figura 9: Propriedades do operador j A forma polar e a forma retangular são duas maneiras de representação de números complexos, também usadas para representar grandezas fasoriais. Cada uma apresenta vantagens quando usadas na análise de circuitos, dependendo da aplicação...1 Forma Retangular Um fasor, em qualquer quadrante de um plano complexo, pode ser completamente especificado numa forma de notação cartesiana ou retangular como: Z jy Z Z Zሶ = ±X Z ± jy Z ±X Z representa a projeção de Zሶ no eixo real; ±JY Z representa a projeção de Zሶ sobre o eixo imaginário. X Z X Z Z jy Z Z Fasores e números complexos Pág. 8

9 Um fasor é uma grandeza complexa e, qualquer que seja o quadrante em que esteja situado o fasor Zሶ, seu módulo ou norma é dado por: Z = X Z + Y Z jy Z Z Zሶ Zሶ Z jy Z θ = φ θ φ X Z X Z θ = arctg ( Y Z X Z ) Primeiro quadrante θ = arctg ( Y Z X Z ) Segundo quadrante X Z Z φ θ = φ θ Z X Z Zሶ jy Z jy Z Zሶ θ = arctg ( Y Z X Z ) θ = arctg ( Y Z X Z ) Terceiro quadrante Quarto quadrante X Z = Z cos(θ) Y Z = Z sen(θ) ⁰ Q sen(180 φ) = sen(180) cos( φ) + sen( φ) cos(180) sen(180 φ) = sen(φ) cos(180 φ) = cos(180) cos( φ) sen(180) sen( φ) cos(180 φ) = cos(φ) Fasores e números complexos Pág. 9

10 3⁰ Q 4⁰ Q sen( φ) = sen( 180) cos(φ) + sen(φ) cos( 180) sen( φ) = sen(φ) cos( φ) = cos( 180) cos(φ) sen( 180) cos(φ) cos( φ) = cos(φ) sen( θ) = sen(θ) cos( θ) = cos(θ).. Forma Polar O fasor Zሶ quando representado na forma polar consiste da magnitude ou módulo Z (ou Z ) e do argumento (θ), da posição angular relativa ao eixo real (referência), expresso como: Zሶ = Z (±θ) Um fasor na forma retangular pode ser convertido para a forma polar e vice-versa. No quadro abaixo estão demonstradas as equivalências entre as duas formas. jy Z = jzsen(θ) Zሶ Conversão Retangular Polar Zሶ = ±X Z ± JY Z = ±Zcos(θ) ± jzsen(θ) Zሶ = ±X Z ± JY Z = ±Z[cos(θ) ± jsen(θ)] Z θ Z = X Z + Y Z ; θ = arctg ( ±Y Z ±X Z ) Zሶ = X Z + Y Z arctg ( ±Y Z ±X Z ) = Z (±θ) X Z = Zcos(θ) Figura 10: Equivalência entre as formas polar e retangular. Conversão Polar Retangular Z (±θ) = ±Z [cos(θ) ± jsen(θ)] Z (±θ) = ±Zcos(θ) ± Zjsen(θ) ±X Z = Zcos(±θ) = Zcos(θ) ±Y Z = Zsen(±θ) = ±Zsen(θ) Z (±θ) = ±X Z ± X Z..3 Forma trigonométrica A fórmula trigonométrica pode ser vista como uma variante da forma retangular. Para um número complexo qualquer Zሶ = ±a ± jb = Z (±θ), a forma trigonométrica é descrita como: Zሶ = Z (±θ) = Zcosθ + jzsenθ a = Zcosθ; b = Zsenθ Zሶ = Z (±θ) Zሶ = Z(±cosθ ± jsenθ)..4 Forma exponencial (Fórmula de Euler) A fórmula de Euler (Leonhard Euler: ) é uma fórmula matemática específica da análise complexa, que demonstra a relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. Fasores e números complexos Pág. 10

11 j Eixo Imaginário e jθ = cos(θ) + jsen(θ) e ±jθ = cos(θ) ± jsen(θ) 0 sen(θ) θ cos(θ) 1 Eixo Real Onde: θ é o argumento real (em radianos); e é a base do logaritmo natural. Sendo: e =, Figura 11: A fórmula de Euler trata cos(θ) e jsen(θ) como sendo as partes real e imaginária de e jθ. Então, partindo-se de um fasor Zሶ = Z (θ) representado em sua forma trigonométrica, tem-se: Zሶ = Z [cos(θ) ± jsen(θ)] = Z e ±jθ Fasor Zሶ = Formas Retangular Trigonométrica Exponencial Polar ±X Z ± jy Z = Z cos(θ) ± jzsen(θ) = Z [cos(θ) ± jsen(θ)] = Z e ±jθ = Z (±θ) A fórmula de Euler permite representar uma onda senoidal, que varia no decorrer do tempo por um fasor girando a uma velocidade angular ω, igual à da onda senoidal, cuja magnitude (Z) é definida pela amplitude da onda senoidal. A representação através de um fasor indica a condição da onda no instante t = 0, através do ângulo de fase θ. Na representação de ondas senoidais, de amplitude e frequência definidas, através de fasores: Zሶ = ±X Z ± X Z = Z (±θ) = Z e (±jθ) Parte real: Z cos(ωt ± θ) = Re[Z e j(ωt±θ) ] Parte imaginária: Z sen(ωt ± θ) = Im[Z e j(ωt±θ) ] Nota importante: Na forma exponencial, o ângulo (θ) precisa, necessariamente, estar em radianos..3 Operações Matemáticas com as Grandezas Complexas Os fasores, representados por números complexos, podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, além das operações de potenciação, radiciação e logaritmo..3.1 Adição Sejam os fasores Aሶ e Bሶ definidos como: Aሶ = a + jb Bሶ = c + jd O fasor Cሶ, resultante da soma de Aሶ e Bሶ, é dado por: Cሶ = Aሶ + Bሶ = (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d) Cሶ = Aሶ + Bሶ = (a + c) + j(b + d) Exemplo: Fazendo: Aሶ = 4 + j5 e Bሶ = 4 j6 Então: Aሶ + Bሶ = (4 + j5) + (4 j6) = (4 + 4) + j(5 6) Cሶ = Aሶ + Bሶ = 8 j Fasores e números complexos Pág. 11

12 A representação gráfica da soma dos fasores é mostrada na Figura 1: Aሶ = 4 + j5 Aሶ = 4 + j5 Bሶ = 4 j6 Cሶ = 8 j Cሶ = 8 j Bሶ = 4 j6 Figura 1: Representações gráficas da soma dos fasores Aሶ + Bሶ = Cሶ.3. Subtração O fasor Dሶ, resultante da subtração dos fasores Aሶ e Bሶ, é dado por: Dሶ = Aሶ Bሶ = (a + jb) (c + jd) = (a c) + j(b d); ou Dሶ = Aሶ Bሶ = Aሶ + ൫ Bሶ ൯ = (a + jb) + ( c jd) = (a c) + j(b d) Dሶ = Aሶ Bሶ = (a c) + j(b d) Para Aሶ = 4 + j5 e Bሶ = 4 j6 Aሶ Bሶ = (4 + j5) (4 j6) = (4 + j5) + ( 4 + j6) = (4 4) + j(5 + 6) Aሶ Bሶ = j11 A representação gráfica da subtração dos fasores é mostrada na Figura 13: Dሶ = j11 Bሶ = 4 + j6 Aሶ = 4 + j5 Bሶ = 4 j6 Figura 13: Subtração dos fasores Aሶ Bሶ = Dሶ. Fasores e números complexos Pág. 1

13 Observação: para um número complexo definido por Zሶ = Z (±θ), tem-se: Zሶ = Z (±θ) = Z (180 ± θ) Uma aplicação direta da soma e subtração de números complexos em circuitos de corrente alternada consiste na soma ou subtração de tensões ou de correntes alternadas. Sejam: v 1 (t) = V 1Max sen(ωt + θ 1 ) Vሶ1 = V 1Max θ 1 v (t) = V Max sen(ωt + θ ) Vሶ = V Max θ Dada a maior aplicabilidade na análise de circuitos, as amplitudes dos fasores são comumente expressas em termos dos seus valores eficazes em vez dos valores máximos. Então, considerando V 1 o valor eficaz de v 1 (t) e V o valor eficaz de v (t), tem-se: v 1 (t) = V 1Max sen(ωt + θ 1 ) Vሶ1 = V 1 θ 1 V 1 = V 1Max v (t) = V Max sen(ωt + θ ) Vሶ = V θ V = V Max A soma ou a subtração de duas ou mais funções senoidais quaisquer de uma determinada grandeza, com uma mesma frequência, têm como resultado uma outra função senoidal com a mesma frequência das funções iniciais. Somar ou subtrair duas ou mais funções senoidais diretamente no domínio do tempo não é um procedimento matemático trivial. No entanto, expressando-se cada uma destas funções na forma complexa, o procedimento torna-se mais simples. v 1 (t) + v (t) Vሶ1 + Vሶ = V 1 θ 1 + V θ Vሶ1 + Vሶ = ൫V 1 cos(θ 1 ) + jv 1 sen(θ 1 )൯ + ൫V cos(θ ) + jv sen(θ )൯ Definindo-se: a = V 1 cos(θ 1 ); b = V 1 sen(θ 1 ); c = V cos(θ ); d = V sen(θ ) Então: Vሶ1 + Vሶ = (a + jb) + (c + jd) Vሶ1 + Vሶ = (a + c) + j(b + d) = Vሶ1 + Vሶ θ (V ሶ 1 +Vሶ 1 ) Sendo: Vሶ1 + Vሶ = Vሶ1 + Vሶ θ (V1 +V 1 ) Vሶ1 + Vሶ1 Max = V 1 + V 1 Vሶ1 + Vሶ1 = (a + c) + (b + d) ; (b + d) θ (V ሶ 1 +Vሶ 1 ) = arctg ( (a + c) ) Então: v 1 (t) + v (t) = Vሶ 1 + Vሶ 1 Max sen (ωt + θ ൫V ሶ 1+Vሶ 1൯ ) Exemplo: As duas fontes ligadas em série têm as suas tensões e 1 e e, aplicadas no resistor R. Determine a tensão e, a intensidade da corrente i e a potência total P dissipada no resistor. Fasores e números complexos Pág. 13

14 e 1 = 311 sen൫10πt + π 3 ൯ [V] i R = 5,0 Ω e = 1 sen൫10πt + π ൯ [V] Resolução: Cálculo da tensão total: E 1 = E 1Max = 311 V E 1 = 0 V Eሶ1 = E 1 θ 1 = 0 ൫ π 3 ൯[V] = 0 (60,0 )[V] Eሶ1 = 0 (60,0 ) = 0 cos(60,0 ) + j0 sen(60,0 ) Eሶ1 = 0 (60,0 )[V] = (0 1 E = E Max 3 + j0 ) = (110 + j191) [V] = 1 V E 1 = 150 V Eሶ1 = E 1 θ 1 Eሶ1 = 150 ൫ π ൯[V] = 150 (90,0 )[V] Eሶ = 150 (90,0 ) = 150 cos(90,0 ) + j150 sen(90,0 ) Eሶ = 150 (90,0 )[V] = 0 + j150 [V] = j150 [V] Eሶ = Eሶ1 + Eሶ = (110 + j191) [V] + (j150) [V] = j( ) Eሶ = (110 + j341) [V] = arctg ( ) Eሶ = Eሶ 1 + Eሶ = 358 (7, 1 ) [V] = (110 + j341) [V] E Max = V = 358 V E Max = 506 V e = E Max sen(ωt + θ V ) E = 506 sen(10πt + 7, 1 ) [V] Cálculo da corrente: i = e R = 506 sen(10πt + 7,1 ) [V] 5,0 Ω Iሶ = I Max (θ I) = 0, (7,1 ) I ሶ = 14, 3 (7, 1 ) [A] Ou: Iሶ = E ሶ 358 (7,1 ) [V] = Iሶ = 14, 3 (7, 1 ) [A] R 5,0 Ω Cálculo da potência dissipada no resistor: i = 0, sen(10πt + 7, 1 ) [V] Fasores e números complexos Pág. 14

15 S = E I = E R = R I = (506 V) (14, A) S = 7, 19 kw.3.3 Produto O produto de Aሶ e Bሶ é dado por: Ou: Aሶ Bሶ = (a + jb) (c + jd) = a c + a jd + jb c + jb jd = ac + jad + jbc + j bd Aሶ Bሶ = ac + j bd + jad + jbc = ac + ( 1) bd + j(ad + bc) Aሶ Bሶ = (ac bd) + j(ad + bc) Aሶ Bሶ = ൫A e jθ A൯ ൫B e jθ B൯ Aሶ Bሶ = A B e j(θ A+θ B ) Aሶ Bሶ = A B (θ A + θ B ) Então, se sobre um fasor Aሶ = A e jθ A for aplicado um fasor Bሶ de magnitude B e ângulo θ B, i.é. Bሶ = B e jθ B = [cos(θ B ) + jsen(θ B )], o fasor Eሶ resultante será: Eሶ = A B e jθ A e jθ B Eሶ = A B [cos(θ A + θ B ) + jsen(θ A + θ B )] O fasor Eሶ tem módulo A B, e está avançado de θ B desde a posição de Aሶ formando um ângulo com o eixo de referência igual a θ A + θ B. Pode-se também concluir que, o operador e jθ = cos(θ) + jsen(θ) aplicado sobre um fasor Aሶ faz este fasor girar de um ângulo +θ desde sua posição inicial: e jθ Aሶ = e jθ A e jθ A e jθ Aሶ = A e j(θ+θ A ) = A (θ A + θ) Igualmente, o operador e jθ = cos(θ) jsen(θ) aplicado sobre um fasor Aሶ, faz este fasor girar de um ângulo ( θ): e jθ Aሶ = e jθ A e jθ A e jθ Aሶ = A e j( θ+θ A ) = A (θ A θ) A multiplicação é mais simples de ser realizada quando as grandezas complexas envolvidas estão na forma polar..3.4 Divisão Aሶ (a + jb) = Bሶ (c + jd) Multiplicando-se o numerador e o denominador da fração acima por (c jd), tem-se: Aሶ = Bሶ (a + jb) (c + jd) (a + jb) (c jd) (a + jb) (c jd) = = (c + jd) (c jd) (c + jd) (c jd) Aሶ a c a jd + jb c jb jd = Bሶ c c c jd + jd c jd jd = ac jad + jbc j bd ac ( 1) bd + j(bc ad) c jcd + jcd j = d c ( 1) d Aሶ Bሶ (ac + bd) + j(bc ad) = c + d = Ou, usando a forma exponencial, tem-se: ac + bd bc ad c + j + d c + d Aሶ = A ejθ A Bሶ B e jθ = A B B ejθ A e jθ B A ሶ = A Bሶ B ej(θ A θ B ) Fasores e números complexos Pág. 15

16 E na forma polar: Aሶ = A Bሶ B e(jθ A jθ B ) A ሶ Bሶ = A θ A B θ B A ሶ Bሶ = A B (θ A θ B ) Tal como na multiplicação, a divisão também é mais fácil quando as grandezas estão na forma polar. Exemplo: Ao ser aplicada uma tensão eficaz de 0 V com uma frequência de 60 Hz em um circuito elétrico, registrou-se uma corrente também eficaz de 150 A. O ângulo de fase da tensão é de π 6 rad e o da corrente de π 6 rad. Com base nestas informações: a) Calcular os valores máximos da tensão e da corrente; b) Elaborar as expressões dos valores instantâneos da tensão e da corrente; c) Elaborar o diagrama fasorial da tensão e da corrente usando os valores máximos; d) Esboçar graficamente as senoides da tensão e da corrente; e) Calcular o valor da impedância complexa, considerando os módulos iguais aos valores máximos e iguais aos valores eficazes. Resolução: a) Cálculo dos valores máximos da tensão e da corrente: U Max = U Ef = 0 V U Max = 311 V I Max = I Ef = 150 A I Max = 1 A b) Expressões dos valores instantâneos da tensão e da corrente; ω = πf = 3,14 60 Hz ω = 377 rad/s u(t) = U Max sen(ωt + θ U ) u = 311 sen൫377t + π 6 ൯ [V] i(t) = I Max sen(ωt + θ I ) i = 1 sen൫377t π 6 ൯ [A] c) e d) Diagramas fasoriais e esboço dos valores instantâneos para um ciclo: T = 1 F = 1 T = 16, 7 ms 60 Hz u i 311 V 0 V 150 A π 6 π 6 0 π/ π 3π/ π ωt [rad] 1 A θ U θ I 16,7 ms Figura 14 Fasores e números complexos Pág. 16

17 e) Cálculo do valor da impedância complexa: Zሶ = U ሶ Iሶ = U θ U I θ I = U I (θ U θ I ) Cálculo a partir dos valores eficazes: Zሶ = 0 V 150 A [π 6 ൫ π 6 ൯] Zሶ = 1, 47 ൫ π 3 ൯ [Ω] = 1, 47 (60, 0⁰) [Ω] Cálculo a partir dos valores máximos: Zሶ = 311 V 1 A [π 6 ൫ π 6 ൯] +j Zሶ = 1, 47 ൫ π 3 ൯ [Ω] π 3 rad j Figura Potenciação Para: Aሶn = ൫A e jθ ൯ n = A n e jn θ Aሶ n = A n e jn θ = A n (nθ) Importante: As potências de um número imaginário também pertencem a C: j = 1, j = 1, j 3 = j, j 4 = 1, j 5 = j, j 6 = 1,..., j n = ( 1) n, j n+1 = ( 1) n j.3.6 Radiciação n Aሶ = Aሶ൫ 1 n ൯ = ൫A e jθ ൯ 1 n n Aሶ n Aሶ = A 1 n e j൫θ n ൯ n = A ൫ θ n൯ = A 1 n ൫ θ n൯.3.7 Logaritmo Revisão: y = a x log a (y) = log a (a x ) = x log a (a) = x y = a x ln(y) = ln(a x ) = x ln(a) Fasores e números complexos Pág. 17

18 y = e x ln(y) = ln(e x ) = x ln(e) = x y = Ae x ln(y) = ln(ae x ) = ln(a) + ln(e x ) = ln(a) + x ln(e) = ln(a) + x Para um número complexo Zሶ dado por: Zሶ = Z θ = Z(cosθ + jsenθ) = Z e jθ O logaritmo de ln൫zሶ൯ será: ln൫zሶ൯ = ln൫z e jθ ൯ = ln(z) + ln൫e jθ ൯ = ln(z) + jθ ln(e) ln൫zሶ ൯ = ln(z) + jθ ln൫zሶ൯ = ln(z) + jθ ln(z) = Re൫ln൫Zሶ൯൯ parte real de ln൫zሶ൯ θ = Im൫ln൫Zሶ൯൯ parte imaginária de ln൫zሶ൯.4 Conjugado de um número complexo Em Matemática, o conjugado de um número complexo Zሶ = a + jb = Z (θ) é o número representado por Zሶ = a jb = Z ( θ). Ou seja, o conjugado de um número complexo é obtido invertendo-se o sinal da parte imaginária, quando na forma retangular, ou invertendo-se o sinal do ângulo de fase, quando na forma polar. Além de representar a reflexão do número em torno do eixo horizontal no plano complexo, o conjugado de um número complexo é muito útil nos cálculos com variáveis complexas. jy Z = jzsen(θ) Zሶ = X Z + jy Z = Z (θ) Z θ X Z = Zcos(θ) θ Z jy Z = jzsen(θ) Zሶ = X Z jy Z = Z ( θ) Figura 16: Representação gráfica do conjugado de um número complexo. Nos circuitos de corrente alternada, ao invés de seu usar a corrente, usa-se o conjugado da corrente para o cálculo da potência complexa (Sሶ), também chamada de potência aparente. Então, Sሶ é igual ao produto da tensão (Vሶ ), pelo conjugado da corrente (I ሶ ). Considerando-se Vሶ = V (θ V ), Iሶ = I (θ I ) e o conjugado da corrente I ሶ = I ( θ I ), a potência complexa (potência aparente) será definida por: Sሶ = Vሶ I ሶ = V (θ V ) I ( θ I ) Sሶ = V I (θ V θ I ) = V I (θ). Sendo θ o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, determinado por: θ = θ V θ I Fasores e números complexos Pág. 18

19 ω [rad/s] θ = θ V θ I Vሶ = V (θ V ) θ Iሶ = I (θ I ) θ V θ I θ I Iሶ = I ( θ I ) Figura 17: A potência complexa Sሶ como produto Vሶ Iሶ. Convertendo-se a potência complexa (Sሶ) para a forma retangular, obtêm-se: Sሶ = V I (θ) = S (θ) = VI cos(θ) + jvi sen(θ) = S cos(θ) + js sen(θ). A parte real da potência complexa (Sሶ) recebe o nome de potência ativa ou potência média (P) e a parte imaginária de potência reativa (Q): Sendo: Sሶ = S (θ) = S cos(θ) + js sen(θ) = VI cos(θ) + jvi sen(θ) = P + jq Sሶ = S (θ) Sሶ = S cos(θ) + js sen(θ) Sሶ = VI cos(θ) + jvi sen(θ) Sሶ = P + jq P = Re൫Sሶ൯ componente real de Sሶ Q = Im(Sሶ) componente imaginária de Sሶ P = S cos(θ) = V I cos(θ) Q = S sen(θ) = V I sen(θ) A potência P é a parcela da potência aparente (complexa) Sሶ efetivamente consumida e a potência Q é a parcela de Sሶ que circula entre a fonte de alimentação e elementos passivos do circuito, capazes de armazenar energia, tais como indutores e capacitores. Esses elementos carregam e descarregam (recebem e devolvem energia) durante cada período da tensão, sem implicar em consumo efetivo de energia..4.1 Propriedades do conjugado de um número complexo Sejam dois números complexos quaisquer Aሶ = A φ A e Bሶ = B φ B, então: Aሶ = A φ A = ±A X ± ja Y Aሶ = A ( φ A ) = ±A X ja Y A X = A cos(φ A ) ; A Y = A sen(φ A ) Bሶ = B φ B = ±B X ± jb Y Bሶ = B ( φ B ) = ±B X jb Y B X = B cos(φ B ) ; B Y = B sen(φ B ) Fasores e números complexos Pág. 19

20 ja Y A Aሶ jb Y B Bሶ φ A φ B φ A A X φ B B X A B ja Y Aሶ jb Y Bሶ Figura 18: Representação gráfica dos números complexos Aሶ e Bሶ. a) Soma de um número complexo com o seu conjugado. Aሶ + Aሶ = (±A X ± ja Y ) + (±A X ja Y ) Aሶ + Aሶ = ±A X ja Y Aሶ Aሶ Aሶ ja Y Aሶ A A Aሶ + Aሶ 180 φ A φ A A X φ A A X A X A b) Diferença entre um número complexo e o seu conjugado. Aሶ Aሶ = (±A X ± ja Y ) (±A X ja Y ) = (±A X ± ja Y ) + ( A X ± ja Y ) Aሶ + Aሶ = ±ja Y c) O produto de um número complexo qualquer pelo seu conjugado. Aሶ Aሶ = A φ A A ( φ A ) = A A (φ A φ A ) Aሶ Aሶ = A d) Divisão de um número complexo pelo seu conjugado. Aሶ Aሶ = A φ A A ( φ A ) = A A (φ A + φ A ) A ሶ Aሶ = 1 (φ A) e) Conjugado de uma multiplicação. ja Y Figura 19: Representação gráfica da soma e da diferença de um número complexo pelo seu conjugado. ൫Aሶ Bሶ ൯ = (A φ A B φ B ) = ൫AB (φ A + φ B )൯ ൫Aሶ Bሶ ൯ = Aሶ Bሶ = AB ( φ A φ B ) Fasores e números complexos Pág. 0 Aሶ

21 f) Conjugado de uma divisão. ( A ሶ ) = ( A φ A ) = ( A Bሶ B φ B B (φ A φ B )) ( A ሶ ) = A ሶ Bሶ Bሶ = A B ( φ A + φ B ).5 Inverso ou recíproco de um número complexo O inverso ou recíproco de um número complexo é obtido trocando o numerador pelo denominador. Para um número complexo Zሶ não nulo, tal que: Zሶ = a + jb = a + b arctg ( b a ) = Z (θ Z) O seu inverso é: Z 1 ሶ = 1 Zሶ = 1 a + jb Multiplicando-se o numerador e o denominador por (a jb): 1 = 1 (a jb) Zሶ a + jb (a jb) = 1 (a jb) (a + jb) (a jb) = a jb a (jb) = Tem-se que o inversos de Zሶ = a + jb, na forma retangular é dado por: 1 Zሶ a b = a j + b a + b Convertendo para a forma polar, tem-se: 1 = Zሶ a a + b j b a + b = a b ( a + b ) + ( a + b ) arctg ( a jb a jb a j = b a + b b a + b a ) a + b O módulo do inverso de Zሶ é: Zሶ 1 a b = ( a + b ) + ( a + b ) Desenvolvendo o módulo do inverso de Zሶ: E o argumento do inverso de Zሶ é: b θ Z 1 = arctg ( a + b a ) a + b Zሶ 1 a b a = ( a + b ) + ( a + b ) = (a + b ) + b (a + b ) = a + b (a + b ) 1 = (a + b ) Zሶ (a + b ) = 1 (a + b ) 1 1 = Zሶ a = 1 + b Z Desenvolvendo o argumento (ângulo) do inverso de Zሶ: b θ Z 1 = arctg ( a + b b a ) = arctg ( a + b b a ) = arctg ( a ) = arctg (b a ) a + b a + b θ Z 1 = θ Z Concluindo: Fasores e números complexos Pág. 1

22 Zሶ 1 = 1 Zሶ = 1 Z (θ Z ) = 1 Z ( θ Z) Zሶ 1 = 1 a + jb = a b a j + b a + b = 1 a ( arctg (b + b a )) Fasores e números complexos Pág.

23 3 Resumo 3.1 Resumo sobre fasores Após o estudo de conceitos sobre números complexos, é possível fazer um resumo sobre fasores, relacionando-os à álgebra complexa. Fasores ou constituem-se numa forma conveniente para a representação das funções senoidais. Na representação fasorial, as grandezas senoidais são matemática e graficamente representadas por fasores em termos de suas magnitudes e ângulos de fase. Uma grandeza senoidal cujos valores instantâneos são definidos por: v(t) = V Max sen(ωt + θ V ) Pode então ser expressada como: v(t) = V Max sen(ωt + θ V ) = Re[V Max e j(ωt+θ V ) ] Vሶ = V Max θ V Na representação fasorial, o fator e j(ωt) foi suprimido e a frequência não aparece no fasor por ser constante, porém a resposta depende dela, por isso, o domínio fasor é também conhecido como domínio da frequência. Nota importante: Nos cálculos dos circuitos elétricos, se os valores eficazes (V) forem usados para definir a magnitude dos fasores de uma grandeza (tensão ou corrente), esta regra deverá ser estendida a todas as demais grandezas senoidais (tensões e correntes). Representação Fasorial: No domínio da frequência Representação Senoidal: No domínio do tempo Fasor: Vሶ = V Max θ v(t) Função: v(t) = V Max sen(ωt + θ) π/ Referência V Max π θ 0 π 0 Referência π θ π/ π 3π/ π ωt [rad] θ ω 3π/ V Max Ângulo de fase Representação gráfica do sinal senoidal Figura 0: Representações no domínio da frequência e no domínio do tempo de uma grandeza senoidal. A análise de fasores somente se aplica quando a frequência é constante e é a mesma para dois ou mais sinais senoidais. Na representação domínio da frequência, a grandeza é expressa por um fasor, que matematicamente corresponde a um número complexo de magnitude V Max e ângulo de fase θ V, no plano complexo, definido por um eixo real (horizontal) e um eixo imaginário (vertical). Na representação no domínio do tempo, a grandeza é expressa por uma função senoidal v(t) = f(t) = V Max sen(ωt + θ V ) dependente do tempo, no plano cartesiano definido por dois eixos reais. O valor da função é expresso no eixo vertical (y), enquanto no eixo horizontal (x) é expressa a variação do tempo (t) ou de uma função do tempo (ωt). Fasores e números complexos Pág. 3

24 Cada valor instantâneo se constitui num par ordenado [t, v(t)], cujo conjunto para um intervalo de tempo igual a um período (T) constitui-se no gráfico da função v(t). Na amplitude do fasor Vሶ é mais comum o uso do valor eficaz da função, em vez do valor máximo. Vሶ = V Max θ V ou, se usados os valores eficazes: Vሶ = V θ V, para V = V Max As diferenças entre v(t) e Vሶ são: a) v(t) é a representação instantânea ou no domínio do tempo, enquanto Vሶ é a representação fasor ou no domínio da frequência; b) v(t) é dependente do tempo, enquanto Vሶ não é; c) v(t) é sempre real sem termo complexo, enquanto Vሶ é geralmente complexo 3. Resumo sobre números complexos Im jb Zሶ = a + jb Z 0 θ a Re Formas: Retangular: Zሶ = a + jb Polar: Zሶ = Z θ Trigonométrica: Zሶ = Z(cosθ + jsenθ) Exponencial: Zሶ = Z e jθ Equivalências: a = Z cosθ; b = Z senθ Z = a + b ; θ = arctg ( b a ) cosθ = a a + b = a Z ; senθ = b a + b = b Z e jθ = cosθ + jsenθ Observação: na forma exponencial, o ângulo θ, necessariamente, deve estar em radianos. Conjugado: ൫Zሶ1൯ = Z 1 ( θ 1 ) = a jb = a + b [ arctg ( b a )] ൫Zሶ1൯ = Z 1 [cos( θ 1 ) + jsen( θ 1 )] = Z 1 e jθ 1 Fasores e números complexos Pág. 4

25 Inverso ou recíproco: 1 = 1 a ( θ Zሶ1 Z 1 ) = 1 a + b j b a + b = 1 a + b [ arctg (b a )] 1 = 1 [cos( θ Zሶ1 Z 1 ) + jsen( θ 1 )] = 1 e jθ 1 1 Z 1 Operações matemáticas para: Zሶ 1 = a + jb = Z 1 θ 1 e Zሶ = c + jd = Z θ Adição: Zሶ1 + Zሶ = (a + c) + j(b + d) = (a + c) + j(b + d) b + d arctg ( a + c ) = Z A θ A Zሶ1 + Zሶ = Z A (cosθ A + jsenθ A ) = Z A e jθ A Subtração: Zሶ1 Zሶ = (a c) + j(b d) = (a c) + j(b d) b d arctg ( a c ) = Z S θ S Zሶ1 Zሶ = Z S (cosθ S + jsenθ S ) = Z S e jθ S Multiplicação: Zሶ1 Zሶ = (ac bd) + j(ad + bc) = (ac bd) + j(ad + bc) ad + bc arctg ( ac bd ) = Z M θ M Zሶ1 Zሶ = Z 1 Z (θ 1 + θ ) = Z 1 Z [cos(θ 1 + θ ) + jsen(θ 1 + θ )] = Z 1 Z e j(θ 1+θ ) Divisão: Zሶ1 ac + bd bc ad = Zሶ c + j + d c + d = ac + bd ( c + d ) bc ad + j ( c + d ) bc ad arctg ( ac + bd ) = Z D θ D Zሶ1 Zሶ = Z 1 Z (θ 1 θ ) = Z 1 Z [cos(θ 1 θ ) + jsen(θ 1 θ )] = Z 1 Z e j(θ 1 θ ) Potenciação: ൫Zሶ1൯ n = (Z 1 ) n (nθ 1 ) = (Z 1 ) n e jnθ 1 Radiciação: n Zሶ1 1 = ൫Zሶ 1 ൯ n = (Z 1 ) n 1 ( θ 1 n ) = (Z 1 ) 1 n e jθ 1 n Fasores e números complexos Pág. 5

26 Exercício resolvido: 01. Um alternador alimenta uma carga constituída por uma resistência de 747 mω e uma indutância de 3,43 mh com uma tensão cujo valor instantâneo é dado pela expressão: v = 311 sen(10πt) [V] i R = 755 mω v = 311 sen(10πt) [V] L = 3,47 mh a) Determine os valores de V Max, V Ef, ω, T, F e θ para a tensão; b) A impedância do circuito, nas formas polar e retangular; c) Determine, para a corrente, os valores de I Max, I Ef, θ I e a expressão matemática do valor instantâneo; d) Represente gráfica e vetorialmente a tensão e a corrente do circuito. e) Determine as tensões no resistor VሶR e no indutor VሶL; f) Esboce o diagrama vetorial das três tensões. Resolução: a) Resolução dos valores de V Max, V Max, ω, T, F e θ para a tensão: v = 311 sen(10πt) [V] V Max = 311 V V Ef = V Max = 311 V = 0 V ω = 10π rad s T = π ω s = F = 1 T = ω π = 10π π θ V = 0 = 377 rad s π = 0,0167 s = 16,7 ms 10π = 60,0 Hz b) A impedância do circuito Zሶ, nas formas retangular e polar: X L = ωl = 377 rad/s 3,47 mh X L = 1, 31 Ω Zሶ = R + jx L = (0,755 + j1,31) Ω = (0,755) + (1,31) arctg ( 1,31 0,755 ) Zሶ = (0, j1, 31) Ω = 1, 51 60, 0 [Ω] c) Determinação dos valores de I Max, I Ef, θ I e a expressão matemática do valor instantâneo para a corrente: Iሶ = V ሶ = 0 0 Zሶ 1,51 60,0 I ሶ = 146 ( 60, 0 ) I Max = I Ef = 146 A I Max = 06 A i = 06 sen൫10πt π 6 ൯ [A] I Ef = 146 A θ I = 60, 0 θ I = π 3 rad Fasores e números complexos Pág. 6

27 d) Representação gráfica e vetorial da tensão e da corrente: ω [rad/s] v [V] i [A] Tensão (v) Corrente (i) 311 V 07 A 311 V π 6 rad 0 π/ π 3π/ π ωt [rad] 07 A 07 A 311 V π/3 e) Cálculo das tensões no resistor Vሶ R e no indutor Vሶ L: VሶR = Rሶ Iሶ = [mω] 146 ( 60,0 ) Vሶ R = 110 ( 60, 0 ) [V] VሶL = XሶL Iሶ = 1,31 90,0 [Ω] 146 ( 60,0 ) Vሶ L = 191 (30, 0 ) [V] f) Esboço do diagrama vetorial das três tensões: V L = 191 V 30 V = 0 V 60 V R = 110 V Fasores e números complexos Pág. 7

28 4. Bibliografia BARRRETO, Gilmar et al. Circuitos de corrente alternada fundamentos e prática. São Paulo: Oficina de Textos, 013. GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. Tradução de José Lucimar do Nascimento.. ed. Porto Alegre: Bookman, 009. BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. Tradução de J. A. Souza. Rio de Janeiro: Pearson, 1. ed. Pearson, 01. Fasores e números complexos Pág. 8