RETIFICAÇÃO DE UM SINAL DE VOZ TRANSMITIDO POR UM CANAL DE COMUNICAÇÃO UTILIZANDO A TRANFORMADA DE FOURIER DISCRETA

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1 RETIFICAÇÃO DE UM SINAL DE VOZ TRANSMITIDO POR UM CANAL DE COMUNICAÇÃO UTILIZANDO A TRANFORMADA DE FOURIER DISCRETA Edson dos Santos Araujo, Fernando Alberto Correia dos Santos Junior, Jhielson Montino Pimentel, João Carlos Nunes Bittencourt, Jody Maick Araujo de Matos, Maria Alice Oliveira Costa Leal, Thayane Brito de Santana TEC460-Sinais e Sistemas Digitais e Analógicos Departamento de Tecnologia Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) Feira de Santana, Brasil Resumo Este estudo apresenta uma análise de um sinal de voz, distorcido durante o processo de transmissão, proveniente de uma Estação Rádio Base (ERB). A partir da aplicação da Transformada Discreta de Fourier (DFT), e da análise do espectro do sinal, comparando-o com um sinal de voz sem distorções, foi possível identificar que as distorções encontradas no sinal poderiam ser revertidas com operações no domínio da frequência. Após identificadas e aplicadas as operações pertinentes, o resultado foi submetido a Transformada Inversa, obtendo, já no domínio do tempo, uma versão inteligível da mensagem original. Keywords-Sinais e Sistemas, Transformada de Fourier Discreta, Análise de Frquência. I. INTRODUÇÃO Com o surgimento de novas tecnologias, e o aprimoramento de métodos já existentes, a transmissão da informação tem se tornado cada vez mais dinâmica e utilizada nas mais diversas aplicações. Como exemplo pode-se citar sistemas mixed-signals, tais como telefones celulares, televisores, rádios e terminais de computador com acesso a Internet. A comunicação também é amplamente utilizada para orientação de navios em alto mar, aeronaves em vôo, foguetes e satélites no espaço, além de monitoramento remoto para análise meteorológica, através de redes de sensores sem fio. Para cada uma destas aplicações é estabelecido um sistema de comunicação, que possui três elementos básicos: transmissor, canal e receptor. O transmissor e o receptor estão localizados em diferentes pontos do espaço e estão interligados através do canal, o meio físico entre eles. A medida em que um sinal é transmitido através de um canal de comunicação, o mesmo sofre distorções devido a imperfeições do canal. Desta forma, faz-se necessário desenvolver técnicas que permitam a reconstrução do sinal distorcido, para que este seja compreendido pelo receptor []. Dentre as abordagens utilizadas para análise e operações em sinais discretos, destaca-se a Transformada de Fourier Discreta (DFT) [2]. Este processo visa representar um sinal qualquer no domínio da frequência, admitindo ainda o caminho de volta aplicando-se a transformada inversa. Esta representação possibilita a identificação de características não expostas quando analisando um sinal no domínio do tempo. Dentre as principais aplicações da DFT, destacamse a construção de filtros (passa-alta, passa-baixa, passafaixa), bem como demais operações em amplitude, fase e frequência, a partir do sinal resultante da DFT. Este trabalho apresenta um estudo baseado na análise e correção de um sinal de voz, transmitido apartir de uma Estação Rádio Base (ERB), que foi danificado ao longo da sua transmissão. O objetivo foi retornar este sinal à uma versão inteligível, a partir da identificação de ruídos, deslocamentos e alterações de fase/frequência do mesmo. A metodologia adotada neste relatório apresenta, nas Seção II a abordagem teórica necessária para compreenção do processo. A Seção III é apresentado o modelo de análise utilizado neste trabalho. Na Seção IV são apresentados discussões acercad dos resultados da implementação da função de análise e restauração do sinal de áudio, por meio de operações no domínio da frequência. Por fim, uma avaliação geral do estudo e as conclusões. II. TRANSFORMADA DE FOURIER As propriedades de Sistemas Lineares Invariantes no Tempo (LIT) implicam que um sistema pode ser representado a partir da combinação linear de impulsos deslocados no tempo, respeitando a propriedade da superposição [2]. Um sistema está em conformidade com o princípio da superposição se, aplicando-se a ele uma entrada composta pela soma ponderada de vários sinais, sua saída é a superposição, ou soma ponderada, das respostas de cada um desses sinais que compõe a citada entrada [3]. O matemático francês Fourier propôs que qualquer forma de onda periódica pode ser expressa como uma série de senoidais harmonicamente relacionadas, isto é, senoidais

2 cujas frequências são múltiplas de uma frequência fundamental, ou primeira harmônica [4]. Essa teoria conduziu ao que hoje é conhecido como Série de Fourier. Porém, há um vasto conjunto de formas de onda que despertam interesse no processamento de sinais e que caracterizam-se por ser não-periódica, não podendo ser representada através da Série de Fourier. Em seus estudos, Fourier concluiu que um sinal não-periódico pode ser representado como um sinal periódico de período infinitesimal, conduzindo à definição da Transformada de Fourier. As seções a seguir apresentam uma visão geral destes conceitos, explorando as principais características destas formas de representação. É salutar que essas análises são válidas tanto para sinais contínuos quanto discretos no tempo. Entretanto, esse trabalho tem seu escopo na abordagem discreta, tendo em vista compor conceitos necessários ao entendimento da Transformada de Fourier Discreta (DFT). A. Representação de Sequências Periódicas na Série de Fourier Diferente da representação e análise de um sistema LIT a partir da Soma de Convolução, representar um sinal periódico na Série de Fourier é fazê-lo como uma combinação linear de um conjunto de exponenciais complexas [2]. Um sinal x[n], discreto no tempo, é periódico com período N se: x[n] = x[n + N] O período fundamental é o menor inteiro positivo nãonulo N que satisfaça a equação acima, tendo como consequência ω 0 = 2π/N como frequência fundamental [2]. Um exemplo básico de um sinal exponencial complexo com período fundamental ω 0 é: x[n] = e jω0n Associado a esse sinal, um conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas pode ser representado por: φ k [n] = e jkω0n, k = 0, ±, ±2,... Neste caso existem somente N sinais distintos. Isso é consequência do fato de que exponenciais complexas discretas no tempo que diferem em frequência por um múltiplo de 2π são idênticos [3]. Uma combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas, como em: x[n] = k pode ter seus componentes k = +N e k = N referidos como N ésimas componentes harmônicas. Visto a periodicidade das sequências geradas com a variação de k por um múltiplo inteiro de N, os limites do somatório podem ser definidos com k = N [2]. Isto é: x[n] = O coeficiente a k é referido como o coeficiente da Série de Fourier, e é definido como: a k = N n= N x[n]e jkω0n B. Representação de Sinais Não-Periódicos: Transformada de Fourier de Tempo Discreto Considere x[n] uma sequência geral de duração finita, ou seja, para valores N e N 2, x[n] = 0 fora da faixa compreendida em N n N 2, a qual é ilustrada na Figura. A partir desse sinal não-periódico, uma sequência x[n] pode ser gerada, na qual x[n] é um período, como ilustra a Figura 2. À medida que o período N for propositalmente aumentado, x se torna idêntico a x[n] por um intervalo também maior. Fazendo N, x = x[n] para qualquer valor finito de n [2]. x[n] x[n] n Figura. Sinal x[n] de duração finita n Figura 2. Sinal x[n] periódico gerado a partir de x[n]. Ao analisar a representação na Série de Fourier de x[n], tem-se: x[n] = a k = N n= N x[n]e jkω0n Uma vez que x[n] = x[n] sobre um período que inclui o intervalo N n N 2, é conveniente escolher um

3 intervalo para o somatório que inclua o intervalo citado, podendo então substituir x[n] por x[n]: x[n] = a k = N n= N x[n]e jkω0n = N n= x[n]e jkω0n () Na Equação, o lado direito da segunda igualdade pode ser obtido pelo fato de que x[n] = 0 fora do intervalo N [2]. Tomando a seguinte equação: X(e jω ) = n= x[n]e jωn (2) A partir da Equação 2, o coeficiente a k pode ser reescrito como: a k = N X(ejkω0 ) Substituindo de volta na equação de x[n]: x[n] = N X(ejkω0 )e jkω0 Sabendo que ω 0 = 2πN, tem-se que N = ω0 2π. Assim, fazendo N, ω 0 0, tornando o somatório uma integral: x[n] = X(e jω )e jωn dω 2π 2π X(e jω ) = x[n]e jωn (3) n= A Equação 3 é conhecida como Discrete-Time Fourier Transform (DTFT). O par de equações acima são conhecidas como equação de síntese e equação de análise, respectivamente [2]. Apesar se capaz representar no domínio da frequência um sinal discreto no tempo, a DTFT não é utilizada no processamento digital de sinais, pois analisando-a como um sistema, sua saída é um espectro contínuo no domínio da frequência. O interessante seria que essa saída fosse também discreta, possibilitando seu processamento computacional sem custos operacionais muito grandes [3]. C. Representação de Fourier para sequências de duração finita: Transformada Discreta de Fourier Uma das abordagens que podem ser tomadas para a obtenção de uma saída discreta no domínio da frequência a partir de uma sequência discreta no domínio do tempo é realizar uma amostragem do escpectro em frequência da DTFT, utilizando uma frequência de amostragem conveniente. Outra abordagem é tomar como direta a representação de sinais aperiódicos como uma extensão infinitesimal, como fora discutido anteriormente, e utilizar a analogia proposta pela Série Discreta de Fourier para representar sequências de duração finita [2]. Dessa forma, fazendo W N = e jω0, a k = X[k] e algumas manipulações de constantes: X[k] = x[n] = N N n=0 N k=0 x[n]w kn N (4) X[k]W kn N (5) As Equações 4 e 5, respectivamente, as Equações de Análise e Síntese da Transformada Discreta de Fourier (DFT), as quais são extremamente úteis no processamento digital de sinais por possibilitar uma representatividade discreta de sinais no domínio da frequência [2]. III. METODOLOGIA Nesta seção serão abordadas as técnicas utilizadas para resolver o problema na comunicação entre a ERB e a central receptora do sinal. Técnicas como deslocamento na frequência e filtro de frequências foram utilizadas para obter um sinal inteligível. A proposta fundamental para solução do problema consistiu em deixar de abordar o sinal no domínio do tempo e passar a analisa-lo utilizando sua representação no domínio da frequência, pois, com esta estratégia, é possível extrair características do sinal analisando-o no que se refere a sua fase, amplitude e frequência. Essa técnica é válida em função da natureza complexa do sinal quando tratado no domínio da frequência. A partir da análise gráfica da magnitude e da fase do sinal, foi possível observar o comportamento do mesmo, em termos de amplitudes para determinadas frequências, como pode ser visto na Figura 3 Figura 3. Representação do espectro de magnitude de um sinal. A amplitude de cada amostra de frequência, na Figura 3, representa o nível de contribuição dos coeficiente de Fourier para uma determinada frequência do sinal. Por exemplo, uma frequência de magnitude igual a 750, possui 50% a mais de influência que uma frequência de magnitude igual a 250. Estes coeficientes podem ser entendidos como as senoides

4 harmônicas que compõem o sinal. A partir desta análise foi possível obter as frequências presentes no sinal, em termos de magnitude e fase. A. Definição da Frequência Fundamental do Sinal Para a visualização e correta interpretação do sinal obtido após aplicação de uma DFT, é preciso que este seja analisado em função da frequência, em Hertz (Hz). Para que essa análise seja possível, uma informação necessária para realização dessa representação é a frequência fundamental. Buscando viabilizar essa representação, foi preciso levantar essa informação a partir daquelas que compõem o sinal, tais como frequência de amostragem e número de amostras. Para tanto, considerando que o sinal distorcido fornecido pela ERB é um sinal aperiódico e, portanto, ao aplicar uma DFT ele será representado como um sinal periódico de período infinitesimal, tomando ainda F S como frequência de amostragem, T S como período de amostragem, N como número de amostras, T 0 como período fundamental e F 0 como frequência fundamental, tem-se: T S = F S Dessa forma é possível definir o período fundamental como o produto entre o número de amostras e o período em que cada amostra é realizada. T 0 = N T S = N F S F 0 = F 0 = T 0 N T S = F S N Como o sinal distorcido fora fornecido para análise em formato wav, as informações de frequência de amostragem e número de amostras foram obtidas, possibilitando a identificação da frequência fundamental e correta interpretação dos dados no domínio da frequência. B. Análise do Sinal de Voz no Domínio da Frequência Antes de analisar o sinal distorcido foi considerado um sinal de voz inteligível (sem distorções), baseando-se em suas características de fase, amplitude e frequência, extraídos pela aplicação da Fast Fourier Transform (FFT), ou Transformada Rápida de Fourier, o qual é um algoritmo computacional com resultados semelhantes a aplicaçao de uma DFT, porém com menor custo computacional e tempo de execução. Uma análise no seu espectro de frequência, exibido na Figura 4, leva a confirmação de uma das características principais associadas aos sinais de voz, onde se afirma que, em geral, estes apresentam baixas frequências, concentradas entre 22 Hz e 22kHz. Figura 4. Sinal de voz de referência (sem distorções). A partir da análise da Figura 4 é possível comparála com uma amostra de sinal distorcido, apresentado na Figura 5. A análise gráfica permite observar que as principais contribuições encontram-se nas altas frequências (acima de 22kHz). Considerado um sinal de voz, este comportamento pode ser caracterizado como um deslocamento em frequência. Figura 5. Sinal de voz de transmitido com distorções. Além da hipótese de deslocamento em frequência, observa-se a existência de dois conjuntos de frequências com amplitudes máximas distintas, vide Figura 6, um primeiro conjunto (A) com uma amplitude máxima próxima a 2500 e o segundo (B) próxima a Como pode ser visto na Figura 4 o sinal de referência possui amplitude máxima de valor próximo a O que leva a conclusão de que no sinal há, além de voz, alguma outra informação. Figura 6. Sinal de voz de referência (sem distorções). IV. RESULTADOS Diante da hipóteses estabelecidas durante a análise do sinal distorcido, e a partir da comparação com um sinal de voz sem distorções, as principais estratégias utilizadas para corrigir o sinal de voz foram o deslocamento da frequência e aplicação de um filtro passa-baixa. A primeira etapa foi deslocar o sinal utilizando o método fftshift do software MatLab [5], trocando os quadrantes do sinal. O resultado da operação pode ser visto na Figura 7. Neste momento é possível notar a existência do sinal de voz, quando comparado à Figura 4, e a existência de uma informação em alta frequência.

5 Figura 7. Deslocamento na frequência e inversão dos quadrantes. Ainda analisando a Figura 7, verifica-se a necessidade de deslocar mais uma vez o sinal, no intuito de eliminar o espaço vazio próximo aos eixos, sabendo-se que o sinal distorcido trata-se de um sinal de voz e que este caracteriza-se por ter baixas frequências. Aplicando esse deslocamento utilizando como parâmetros valores obtidos a partir da análise gráfica, obteve-se o resultado exibido na Figura 8. Ao comparar graficamente esse resultado com o sinal de referência, observa-se a coerência nos limites do sinal de voz, e a existência de um ruído em alta frequência. Verificando a impossibilidade do humano ouvir sinais de áudio a níveis de frequência fora da faixa entre 20Hz e 20kHz, houve a necessidade de implementação de um filtro passa-baixa capaz de eliminar frequências fora desta faixa. O filtro implementado reduziu a zero tanto a magnitude quanto a fase das frequências maiores que 20KHz. O resultado desta operação é apresentado por meio da Figura 9. Figura 9. Aplicação do filtro passa baixa. Figura 8. referência. (a) Distorcido (b) Referência Resultado do deslocamento e comparação com sinal de Trazendo o sinal obtido, até então, de volta para o domínio do tempo, obtemos o audio corrigido e completamente inteligível. Vale ressaltar que todas as operações citadas acima são refletidas tanto na fase quanto na magnitude do sinal, mesmo que algumas abordagens observavam apenas o gráfico da magnitude. V. CONCLUSÃO O avanço tecnológico nas telecomunicações, tais como a popularização da telefonia móvel e surgimento da televisão digital, permitiu que a transmissão de sinais pudesse ser utilizada nas mais diversas aplicações e diversificaram a forma como estes sinais podem ser transmitidos. No entanto, um sinal pode ser distorcido durante sua transmissão e tornase essencial desenvolver técnicas que permitam identificar e corrigir tais distorções. O processo de retificação de um sinal de voz distorcido apresentado neste trabalho foi composto por uma etapa

6 inicial de pesquisa sobre análise de frequência, que engloba os conceitos relacionados com as representações de Fourier (Série e Transformada). A partir de então, foi possível analisar o espectro de frequência do sinal de voz distorcido e identificar as alterações realizadas sobre ele. Embora a correção realizada não tenha eliminado totalmente as distorções, o sinal de voz tornou-se inteligível novamente. REFERÊNCIAS [] S. Haykin, Sistemas de Comunicação Analógicos e Digitais, 4th ed. Porto Alegre, RS: Bookman, [2] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, and S. H. Nawab, Signals & System, 2nd ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 997. [3] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, and e John R. Buck, Discrete- Time Signal Processing, 2nd ed. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 998. [4] S. T. Karris, Signals and Systems with MATLAB Aplications, st ed. California: Orchard Publications, [5] MATLAB, MATLAB - The Language Of Technical Computing. [Online]. Available: products/matlab/