Figura 1 Sinais e Transformadas de Fourier (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).

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1 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Aula 3 TFD: Transformada de Fourier Discreta Bibliografia OPPEHEIM, A. V.; SCHAFER, R W.; BUCK, J. R. Discrete-time signal processing, 3rd ed., Prentice-Hall, 2. ISB Páginas CARLSO, G. E. Signal and linear system analysis, 2nd ed., John Wiley, 998, ISB Páginas TFD: Transformada de Fourier Discreta A esta altura, você já conhece as seguintes representações de Fourier para sinais: Figura Sinais e Transformadas de Fourier (HAYKI; VA VEE, 2).

2 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Repare que quando temos um sinal de tempo discreto não periódico, a representação de Fourier é de tempo contínuo a (TFTD) o que dificulta sua representação computacional. Por isso, define-se a TFD que é muito mais fácil de implementar computacionalmente Definição Dada uma sequência aperiódica [ n] [ n] X [ k] x, n x, formado da seguinte maneira: 2, define-se a TFD como o par: I. Define-se uma sequência periódica construída a partir da sequência x [ n] dada com período : = r= [ n] x[ n + r ] x[ n módulo ] x[ n] ] ~ x = II. Para x~ [ n] periódico, já definimos a SFD como: e sua inversa ~ x ~ X = n= 2π j nk [ ] ~ k x[ n] e, k (, ) = k = III. Define-se a TFD { [ n] } ~ j kn [ n] X [ k] e, n (, ) X x como: ~ 2π [ k] = X [ k] R [ k], x[ n] = ~ x[ n] R [ n]

3 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 em que:, k R [ k] = (janela retangular),, caso contrário ou seja, define-se o par TFD como: x X [ n] [ k] n, = = = k =, x [ n] X e [ k] 2π j nk e, 2π j kn, k caso contrário n caso contrário Exercícios. Calcule a TFD da sequência impulso unitário para =. 2. Dada a sequência retângulo rect L Calcule a TFD de [ n] rect [ n] x 5 [ n] = para =, para n L = caso contrário. 3. (OPPEHEIM et al., 999, p. 6) Calcule a TFD de comprimento ( par) para: (a) x[ n] = δ [ n] 3

4 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 (b) x[ n] [ n ] (c) x [ n] (d) x[ n] = δ, n n, n par, n =, n ímpar, n n a, n =, caso contrário L6 Processamento digital de áudio e voz L.6. Exemplo simples de processamento digital de áudio Atividades. Um filtro que programa um eco acústico é dado por: [ n] = x[ n] +,7x[ n ] +,5x[ n 2] y. (a) Desenhe um diagrama de blocos que represente este sistema. (b) Determine sua resposta impulsiva (resposta quando x[ n] δ [ n] Resolução: = ). 2. Um filtro FIR pode ser utilizado para obtermos um efeito de eco acústico. Se o sinal é amostrado a 8kHz, por exemplo, o seguinte filtro gera um eco de,5s. [ n] = x[ n] +,7x[ n 4] y. Este filtro pode ser utilizando o comando filter. Obtenha e ouça o resultado da aplicação deste filtro ao sinal teste.wav. Para lê-lo no Matlab, use o comando: >> [x, fs] = wavread( teste.wav ); 4

5 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 L.6.2 Fundamentos de sinais de voz Fisicamente, a voz é produzida quando o ar dos pulmões excita o sistema de trato vocal mostrado na Figura. O trato vocal se comporta como uma cavidade ressonante de forma que o sinal que emana pela boca é uma soma ponderada de versões atrasadas do sinal vocal original mais as excitações. O modelo em tubos do trato vocal é mostrado nas Figuras 2 e 3. Os diferentes tipos de sons da voz podem ser divididos de forma simplificada em dois grupos: os sons vocálicos e os sons fricativos ou não vocálicos. Sons vocálicos: são produzidos usando uma sequência de impulsos como entrada; o período fundamental desta sequência determina a tonalidade ( pitch ). Por exemplo, vogais são sons vocálicos; quando se diz a, pode-se sentir a vibração das cordas vocais. Figura Detalhes do trato vocal. (SEDA, 25). Sons não vocálicos: são produzidos usando ruído branco como entrada. Estes sons geralmente são gerados por um fluxo turbulento de ar pela boca, por exemplo, quando se pronuncia sh. Assim, o modelo em tempo discreto da produção de voz é mostrado na Figura 4. L.6.3 Modelagem de voz em tempo discreto 5

6 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Um modelo em equações de diferenças para o trato vocal pode ser desenvolvido como se segue. Como cada amostra de sinal de voz é muito relacionada com as anteriores, o valor da amostra atual de voz pode ser estimado como uma combinação linear das anteriores. Figura 2 Modelo do trato vocal. (SEDA, 25). 6

7 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Figura 3 Modelo em tubos do trato vocal. (McLELLA et al., 997). Figura 4 Modelo em diagrama de blocos da geração da fala humana (McLELLA et al., 997). sˆ p [ n] = α s[ n i] i= O sinal ŝ [ n] é a estimação do sinal de voz [ n] original e o estimado é: e [ n] s[ n] sˆ [ n] i 7 () s para a n -ésima amostra. O erro entre o sinal = (2)

8 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 L.6.4 Modelo de predição A combinação das duas equações acima leva a um modelo por equações de diferenças da predição do processo de fala: s p α i (3) i= [ n] s[ n i] = e[ n] Este modelo de predição é usado em telecomunicações para aumentar o número de sinais de voz que podem ser transmitidos por um canal. Se os coeficientes α i são conhecidos pelo transmissor e pelo receptor, então apenas o erro precisa ser transmitido e o sinal de voz pode ser reconstruído no receptor utilizando a equação de diferenças acima. o transmissor s [ n] é a entrada do filtro de predição e [ n] a inversa. e é a saída. o receptor a situação é A transmissão do sinal de erro resulta em economia substancial da banda de transmissão. A Figura 5 mostra um exemplo de sinal predito, o erro e a reconstrução para um sinal de voz s [ n]. 8

9 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 original x 4 Predicao Reconstruido Erro de predicao x x x 4 Figura 5 Exemplo de predição e reconstrução de um sinal de voz. L.6.5 Modelo de síntese Pode-se modificar o mesmo modelo básico de predição de voz para usar em síntese de voz. Se o objetivo for criar um sinal s~ [ n] que imita o sinal de voz original, podemos substituir o erro e [ n] por um sinal de entrada [ n] x multiplicado por um ganho G. Usando a mesma forma da equação de diferenças do modelo de predição, Eq. (3), resulta o seguinte modelo de síntese: p [ n] ~ s [ n i] = Gx[ n] ~ s α i. (4) i= Tipicamente, os coeficientes α i mudam a cada -2ms conforme o trato vocal muda para produzir sons diferentes. Veja a Figura 6. 9

10 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Figura 6 Segmentação do sinal de voz (STOICK; BRADLEY, 996). a síntese aplica-se uma sequência de excitação conveniente para que naquele intervalo de tempo seja gerada uma sequência de sons adequada. L6.6 Transmissão de voz Uma linha telefônica normal opera simplesmente amostrando a voz de uma pessoa, digitalizando as amostras com 8 bits e transmitindo estes bits para o receptor, onde novamente é convertido em voz. Um método alternativo é realizar a análise e predição como resumido anteriormente, digitalizar o sinal de erro e transmitir o sinal de erro digital resultante e coeficientes da predição linear. Por que fazer isso? Voz normal necessita de 8 bits x 8 khz = 64 bits por segundo para ser transmitido. Suponha que o sinal de erro possa ser quantizado com 4 bits ao invés de 8 e que cada coeficiente seja representado com 6 bits. Então, para transmitir a mesma quantidade de informação é necessário 4bits x 8kHz + 6 x coeficientes x blocos de dez milissegundos por segundo = 48 bits por segundo 75% da taxa anterior. Se for utilizado apenas bit de quantização para o sinal de erro, 24 bits por segundo são necessários 37,5% da taxa anterior.

11 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 L.6.7 Atividades. Assuma que você tem um sinal de voz digitalizado com uma amostragem de 8kHz. Se este sinal for quebrado em segmentos de 2ms, quantas amostras S existem por bloco? 2. Se segundo deste sinal estiver num vetor Matlab, quantos blocos de 2ms BLKS podem ser obtidos? 3. Suponha que se deseje usar como entrada para seu modelo de voz sintética um trem de impulsos unitários igualmente espaçados e que gostaríamos que o pitch fosse 2Hz. Se a voz foi amostrada a 8kHz, quantas amostras devem ser colocadas por período, ou seja, quanto vale em: [ n] = [ n i ] i= x δ, n < S. 4. Como devem ser definidos os vetores a e b usados como entrada do filter em termos de α i e G para criar equações de diferenças que realizem as seguintes operações: (a) fornecer ŝ [ n] como saída quando [ n] (b) fornecer e [ n] como saída quando [ n] (c) fornecer s~ [ n] como saída quando [ n] s é a entrada. (predição) s é a entrada. (erro de predição) e é a entrada. (síntese)

12 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março A função sintetizavoz2 gera uma voz sintética a partir dos coeficientes α i e um trem de impulsos com frequência fundamental dada por pitch ou um ruído branco gaussiano. Seu formato é: %[SYTHimp, SYTHnoise] = sintetizavoz2(nomarq,s,pitch, P); % Sintetiza voz com sequencia de impulsos e ruído gaussiano % nomarq - nome do arquivo.wav (entre aspas simples) % S - numero de amostras por bloco % pitch - frequência fundamental da sequencia de impulsos % P - numero de coeficientes utilizados na predição % SYTHimp - voz sintetizada com impulsos % SYTHnoise - voz sintetizada com ruído Teste este programa utilizando o arquivo aula5.wav. Utilize S=6, P = e um pitch de 5Hz. Verifique o que ocorre ao se mudar estes parâmetros. Em seguida, repita para o arquivo teste.wav. Tente encontrar um valor de pitch mais adequado para este sinal. Repita para os arquivos show.wav e chinelo.wav que possuem muitos fricativos. Grave um sinal de voz e tente gerar uma voz sintética com o pitch mais adequando para a sua voz. 6. O programa predivozquant simula a quantização do sinal de erro que é enviado ao receptor. % [RECO] = predivozquant(nomarq,s,p, bits); % nomarq - nome do arquivo.wav (entre aspas simples) % S - numero de amostras por bloco % P - numero de coeficientes utilizados na predição % bits - numero de bits utilizados na quantização do erro % RECO - Sinal reconstruído no receptor 2

13 Processamento Digital de Sinais Aula 3 Professor Marcio Eisencraft março 22 Utilizando novamente o arquivo aula5.wav e as mesmas configurações da Atividade 5, verifique qual a menor quantidade de bits que devem ser utilizados na quantização do erro de predição de forma que o sinal possa ser recuperado de forma integral no receptor. Calcule, neste caso, a taxa necessária de transmissão. 7. Deseja-se adicionar um efeito de eco a uma música gravada a uma taxa de 44,kHz (qualidade de CD). Deseja-se que o eco esteja atrasado de segundo e atenuado de,5 em relação ao som principal. (a) Escreva uma equação de diferenças que represente um filtro que implemente este efeito; (b) Supondo que as amostras do sinal musical tenham sido lidas e guardadas no vetor x, escreva comandos que permitam implementar o efeito de eco descrito e tocar o som resultante nos altofalantes do PC. 3