EE-253: Controle Ótimo de Sistemas. Aula 6 (04 Setembro 2018)

Transcrição

1 EE-253: Controle Ótimo de Sistemas Aula 6 (4 Setembro 218) 1 / 54

2 Regulador Linear Quadrático Modelo linear: ẋ = Ax + Bu com (A, B) estabilizável. Funcional de custo quadrático: J = [ ] x T (t)qx(t) + u T (t)ru(t) dt Q = Q T, R = R T > com (A, Q 1/2 ) observável. 2 / 54

3 Regulador Linear Quadrático: Solução Solução da forma u(t) = Kx(t), com K = R 1 B T P sendo P = P T > obtida como solução da seguinte Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBR 1 B T P + Q = 3 / 54

4 Demonstração de estabilidade assintótica Será aqui apresentada a demonstração para o caso Q >. Seja K = R 1 B T P, com P = P T > obtida como solução da Equação Algébrica de Riccati: Tem-se então: A T P + PA PBR 1 B T P + Q = (A BK) T P + P(A BK) = A T P + PA K T B T P PBK = A } T P + PA {{ PBR 1 B T P } PBR 1 B T P = (Q + PBR 1 B T P) < Q Conclui-se, portanto, que V (x) = x T Px é uma função de Lyapunov para a dinâmica de malha fechada. 4 / 54

5 Demonstração de otimalidade J = [ ] x T (t)qx(t) + u T (t)ru(t) dt Concluímos que a lei de controle u(t) = Kx, com K = R 1 B T P, é estabilizante. Pergunta: Existe algum outro controle que resulte em um valor menor para o custo J? 5 / 54

6 Seja V (x) = x T Px, com P = P T > obtida como solução da Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBR 1 B T P + Q = Sabendo que ẋ = Ax + Bu, pode-se escrever: V (x) = ẋ T Px + x T Pẋ = (Ax + Bu) T Px + x T P(Ax + Bu) = x T (A T P + PA) x + u T B T Px + x T PBu }{{} Q+PBR 1 B T P = x T Qx + x T PBR 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu 6 / 54

7 V (x) = x T Qx + x T PBR 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu = x T Qx + x T PBR 1 B T Px + u T B T Px + x T PBu + u T Ru u T Ru = x T Qx u T Ru + (u + R 1 B T Px) T R(u + R 1 B T Px) 7 / 54

8 V (x) = x T Qx u T Ru + (u + R 1 B T Px) T R(u + R 1 B T Px) Desse modo, tem-se J {}}{ [ ] V (x(t))dt = x T (t)qx(t) + u T (t)ru T (t) dt + e, portanto: = J + [ (u(t) + R 1 B T Px(t) ) T R ( u(t) + R 1 B T Px(t) )] dt lim t V (x(t)) V (x()) = [ (u(t) + R 1 B T Px(t) ) T R ( u(t) + R 1 B T Px(t) )] dt Como V (x) = x T Px, segue que J = x T ()Px() lim t x T (t)px(t) + [ ] dt 8 / 54

9 + J = x T ()Px() lim x T (t)px(t)+ }{{} t constante [ (u(t) + R 1 B T Px(t) ) T ( R u(t) + R 1 B T Px(t) )] dt O controle ótimo deve ser tal que x(t) t (Por quê?) Desse modo, como R >, o custo J é minimizado tomando-se u(t) = R 1 B T Px(t) que corresponde à solução apresentada para o problema LQR. Vale notar que o custo mínimo assim obtido é J = x T ()Px(). 9 / 54

10 Exemplo (sistema de primeira ordem) Equação de estado: ẋ = 2x + u Funcional de custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Passo 1: Obter P > resolvendo a Equação Algébrica de Riccati: A T P + PA PBR 1 B T P + Q = (Neste caso, tem-se A = 2, B = 1, Q = q, R = ρ) Passo 2: Calcular o ganho K: K = ρ 1 B T P 1 / 54

11 A T P + PA PBR 1 B T P + Q = A = 2, B = 1, Q = q >, R = ρ > Deve-se obter P > resolvendo a equação 4P ρ 1 P 2 + q = ou seja: Obtém-se, então: P 2 + 4ρP ρq = P = 4ρ ± 16ρ 2 + 4ρq 2 = 2ρ ± 4ρ 2 + ρq Adotando a solução positiva, chega-se a P = 2ρ + 4ρ 2 + ρq 11 / 54

12 P = 2ρ + 4ρ 2 + ρq Como resultado, o ganho K é dado por K = ρ 1 B T P B=1 = ρ 1( 2ρ + ) 4ρ 2 + ρq ou seja, K = q/ρ 12 / 54

13 Discussão Equação de estado: ẋ = 2x + u Custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Ganho ótimo: K = q/ρ A solução depende apenas da razão q/ρ. Isso faz sentido? J = [ ] qx 2 (t) + ρu 2 (t) dt = ρ Fazendo u = Kx, chega-se a ẋ = 2x ( q/ρ)x = [ ] (q/ρ)x 2 (t) + u 2 (t) dt < {}}{ ( 4 + q/ρ) x ou seja, tem-se estabilidade assintótica, quaisquer que sejam q > e ρ >. (Qual seria o resultado de se tomar a solução P <?) 13 / 54

14 Custo: J = [ qx 2 (t) + ρu 2 (t) ] dt, q >, ρ > Ganho ótimo: K = ( q/ρ) > Equação de estado em malha fechada: ẋ = ( 4 + q/ρ)x Aumentando (q/ρ), tem-se uma convergência mais rápida do estado para zero, à custa de maior esforço de controle. 14 / 54

15 Introdução de referência na malha de controle (Apresentação no quadro negro) 15 / 54

16 Margens de estabilidade (considerando entrada u escalar) Lei de controle: u(t) = Kx(t) + Fr(t) r t u t y t F K x t r t F u t x t x t Ax t Bu t C y t K 16 / 54

17 r t F u t x t x t Ax t Bu t C y t K Introduzindo a notação ψ = Kx, pode-se redesenhar o diagrama de blocos na seguinte forma: C y t r t F u t x t Ax t Bu t x t K t 17 / 54

18 Para análise de estabilidade da malha de controle, pode-se considerar apenas os elementos destacados abaixo: C y t r t u t F x t Ax t Bu t x t K t Portanto, pode-se realizar a análise considerando o seguinte diagrama: r t u t F x t Ax t Bu t x t K t 18 / 54

19 r t u t F x t Ax t Bu t x t K t Considerando estas equações de estado e saída: ẋ = Ax + Bu, ψ = Kx pode-se escrever a seguinte função de transferência: H(s) = Ψ(s) U(s) = K(sI A) 1 B R s F U s H s s 19 / 54

20 R s F U s H s s Se a malha for estável, a robustez da estabilidade dependerá da distância entre a curva H(jω), ω R, e o ponto crítico ( 1, ) no plano complexo (pelo critério de Nyquist). Terminologia: Neste caso, está sendo analisada a robustez considerando a malha aberta na entrada da planta. 2 / 54

21 Exemplo: Sistema de levitação magnética Eletroímã i Fonte de Corrente ḣ = v m v = mg f, f = K f i 2 h 2 v f mg h Entrada: u = i Saída: y = h Estados: x 1 = h, x 2 = v 21 / 54

22 Modelo linearizado em torno de uma posição de equiĺıbrio h: Valores adotados neste exemplo: δẋ = Aδx + Bδu 1 A = 2g, B = 2 h Kf g h m m =,2 kg, g = 9,8 m/s 2, K f = Nm 2 /A 2, h =,2 m [ ] [ ] 1 A =, B = 98 22,1 Matriz A com autovalores em ±31,3 (dinâmica instável em malha aberta) Par (A, B) controlável 22 / 54

23 Projeto por alocação de polos: Fator de amortecimento ξ des =,9 Frequência natural ω n,des = 1 rad/s t r ( 1%) = π acos(ξ) ω n (1 ξ 2 ) =,62 s 23 / 54

24 >> A = [ 1;98 ]; >> B = [;-22.1]; >> csi =.9; wn = 1; >> p = roots([1 2*csi*wn wn^2]); >> K = place(a,b,p); K = / 54

25 1 u dx2/dt 1 s Integrator x2 dx1/dt 1 s Integrator x1 1 y 2 x Constant y u x Planta y To Workspace K* u Condição inicial: x 1 () =,1 m, x 2 () = m/s. 25 / 54

26 12 x y (m) t (s) 26 / 54

27 Introdução de ganho α na entrada da planta: alfa Constant y u x Planta y To Workspace K* u 27 / 54

28 12 x alfa = 1. alfa =.95 alfa =.9 y (m) t (s) 28 / 54

29 >> sys_h = ss(a,b,k,); >> nyquist(sys_h) >> margin(sys_h) 29 / 54

30 .4 Nyquist Diagram.3.2 Imaginary Axis Real Axis 3 / 54

31 Bode Diagram Gm =.844 db (at rad/s), Pm = 1.2 deg (at 1.8 rad/s) Magnitude (db) PM = 1,2 GM =.844 db >> 1^(-.844/2) Phase (deg) Frequency (rad/s) ans = / 54

32 Cálculo da margem de ganho [ ] [ ] 1 A =, B =, K = [ 48,87,8145 ] 98 22,1 H(s) = K(sI A) 1 B = 18s + 18 s 2 98 H(jω) = 18jω + 18 ω 2 98 H(jω cg ) = 18 ω cg = H(jω cg ) = H() = = 1,12 32 / 54

33 H(jω cg ) = 1,12 Suponha que seja acrescentado um ganho α na entrada da planta. No limiar da instabilidade, tem-se α crit H(jω cg ) = 1 ou seja, α crit = 1/ H(jω cg ) = 1/1,12 =,974 (que corresponde a,844 db). 33 / 54

34 Cálculo da margem de fase (Exercício) H(jω) = 18jω + 18 ω 2 98 Passo 1: Calcular ω cp tal que H(jω cp ) = 1. Resultado: ω cp = 1,8 rad/s Passo 2: Calcular H(jω cp ) (em graus). Resultado: H(jω cp ) = 169,8 Passo 3: Calcular PM = H(jω cp ) ( 18 ). Resultado: PM = 1,2 34 / 54

35 Resumo Imaginary Axis Nyquist Diagram Real Axis Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram Gm =.844 db (at rad/s), Pm = 1.2 deg (at 1.8 rad/s) Frequency (rad/s) Margem de ganho inferior de,844 db. Margem de ganho superior infinita. Margem de fase de 1,2 35 / 54

36 Alternativa: Projeto LQR >> A = [ 1;98 ]; >> B = [;-22.1]; >> Q = diag([1 1]); rho = 1; >> K = lqr(a,b,q,rho); K = / 54

37 12 x alfa = 1. alfa =.95 alfa =.9 y (m) t (s) 37 / 54

38 12 x alfa = 1. alfa =.7 alfa =.6 y (m) t (s) 38 / 54

39 1.5 Nyquist Diagram 1 Bode Diagram Gm = 6.2 db (at rad/s), Pm = 62.9 deg (at 57.6 rad/s) Imaginary Axis Real Axis Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Margem de ganho inferior de 6,2 db (isto é, α crit = 1 6,2/2 =,5). Margem de ganho superior infinita. Margem de fase de 62,9 39 / 54

40 Alterando os pesos >> A = [ 1;98 ]; >> B = [;-22.1]; >> Q = diag([1 1]); rho = 1; >> K = lqr(a,b,q,rho); K = / 54

41 12 x alfa = 1. alfa =.7 alfa =.6 y (m) t (s) 41 / 54

42 1.5 Nyquist Diagram 1 Bode Diagram Gm = 6.2 db (at rad/s), Pm = 76.2 deg (at 85.1 rad/s) Imaginary Axis Real Axis Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Margem de ganho inferior de 6,2 db (isto é, α crit = 1 6,2/2 =,5). Margem de ganho superior infinita. Margem de fase de 76,2 42 / 54

43 LQR: Margens de estabilidade garantidas R s F U s H s s H(s) = K(sI A) 1 B Se o ganho K for obtido por meio de um projeto LQR, pode-se mostrar (vide material suplementar ao final dos slides) que 1 + H(jω) 1, ω R ou seja, H(jω) ( 1) 1, ω R 43 / 54

44 LQR: Margem de ganho H(jω) ( 1) 1, ω R H j cg H j Margem de ganho superior infinita Malha garantidamente estável, mesmo que o ganho na entrada da planta seja reduzido à metade: Margem de ganho inferior de pelo menos 2log 1 (2) = 6 db. 44 / 54

45 LQR: Margens de fase H j H j cp 45 / 54

46 LQR: Margens de fase PM H j H j cp 46 / 54

47 LQR: Margens de fase H j H j cp 47 / 54

48 LQR: Margens de fase o H j H j cp 48 / 54

49 LQR: Margens de fase o PM H j H j cp Margem de fase de pelo menos 6 49 / 54

50 Material suplementar O desenvolvimento adotado nos próximos slides segue a linha apresentada em Faleiros e Yoneyama (22, p. 174 e 175) 1. 1 Faleiros, A. C. e Yoneyama, T. Teoria Matemática de Sistemas. São Paulo: Arte e Ciência, / 54

51 Seja P R n n uma solução simétrica e positivo-definida da seguinte equação algébrica de Riccati: A T P + PA PBρ 1 B T P + Q = com A R n n, B R n 1, Q R n n simétrica e positivo-definida e ρ um escalar positivo. Pode-se então escrever ou ainda (sp Ps) A T P PA + PBρ 1 B T P Q = (si A T )P + P( si A) + PBρ 1 B T P Q = 51 / 54

52 (si A T )P + P( si A) + PBρ 1 B T P Q = (1) Multiplicando ambos os lados de (1) por B T (si A T ) 1 à esquerda e ( si A) 1 B à direita, chega-se a B T P( si A) 1 B + B T (si A T ) 1 PB + B T (si A T ) 1 PBρ 1 B T P( si A) 1 B B T (si A T ) 1 Q( si A) 1 B = (2) Multiplicando (2) pelo escalar ρ 1, tem-se então (ρ 1 B T P)( si A) 1 B + B T (si A T ) 1 (PBρ 1 ) + B T (si A T ) 1 (PBρ 1 )(ρ 1 B T P)( si A) 1 B ρ 1 B T (si A T ) 1 Q( si A) 1 B = (3) 52 / 54

53 (ρ 1 B T P)( si A) 1 B + B T (si A T ) 1 (PBρ 1 ) + B T (si A T ) 1 (PBρ 1 )(ρ 1 B T P)( si A) 1 B ρ 1 B T (si A T ) 1 Q( si A) 1 B = (4) Definindo K = ρ 1 B T P, H(s) = K(sI A) 1 B, V (s) = Q 1/2 (si A) 1 B pode-se reescrever (4) como H( s) + H(s) + H(s)H( s) ρ 1 V T (s)v ( s) = ou então [ ][ ] 1 + H(s) 1 + H( s) = 1 + ρ 1 V T (s)v ( s) 53 / 54

54 [ ][ ] 1 + H(s) 1 + H( s) = 1 + ρ 1 V T (s)v ( s) Finalmente, fazendo s = jω, conclui-se que ou seja, 1 + H(jω) H(jω) 2 = 1 + ρ 1 V T (jω)v ( jω) }{{} 54 / 54