Figura 8.3: Modelo simplificado da junta flexível.

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1 15 rigidez K S, dada por: K S = δm δα, em α = 0 [ ] 2R [ ] K S = (Dd Rr 2 )F r + (D 3 2 d DLd + Rr 2 L)K D 3 2 (8.6) Figura 8.3: Modelo simplificado da junta flexível. A Fig. 8.3, mostra o modelo simplificado que será usado pela junta flexível. As equações dinâmicas do sistema podem ser obtidas usando a formulação Euler-Lagrange. Obtém-se as energias potencial e cinética do sistema como: Energia Potencial: V = 1 2 K Sα 2 (8.7) Energia Cinética: T = 1 2 J eq θ J elo( θ + α) 2 (8.8) Formando o Lagrangiano: L = T V = 1 2 J eq θ J elo( θ + α) K Sα 2 (8.9)

2 16 As duas coordenadas generalizadas são θ e α. Por essa razão, tem-se 2 equações: ( ) δ δl δt δ ( θ δ δl δt δ α δl δθ = T output B eq θ (8.10) ) δl δα = 0 (8.11) Resolvendo as equações (8.10) e (8.11), tem-se: J eq θ + Jelo ( θ + α) = T output B eq θ (8.12) J elo ( θ + α) + K S α = 0 (8.13) Voltando ao experimento de controle de posição, sabe-se que o torque de saída sobre a carga do motor é: T output = η mη g K t K g (V m K g K m θ) R m. (8.14) Finalmente, combinando as equações (8.12), (8.13) e (8.14), tem-se a representação do sistema em espaço de estados completa: θ α θ α = K S J eq K S (J eq+j elo ) J eqj elo η mη gk tk mkg+b 2 eqrm J eqr m 0 η mη gk tk mkg 2+BeqRm J eqr m 0 θ α θ α n mn gk tk g J eqr m n mn gk tk g J eqr m 8.4 Procedimento de Laboratório (8.15) O propósito deste laboratório é projetar um controlador por realimentação de estado visando atenuar as altas vibrações da junta flexível, mantendo uma resposta aceitável para a posição da mesma. A lei de controle de realimentação de estado u = kx é implementada neste laboratório, sendo u = [k 1 k 2 k 3 k 4 ] θ α θ α.

3 17 A primeira tarefa ao iniciar a prática é se familiarizar com o sistema. O sinal de inclinação (α) deve ser conectado ao encoder canal #1 e o sinal de posição dos servos motores θ deve ser conectado ao encoder canal #0. A saída analógica canal #0 deve ser conectada ao UPM (Amplificador) e da saída do amplificador para a entrada do servo motor. Este sistema tem um entrada (V m ) e duas saídas (θ eα) Análise da Influência dos Ganhos O controlador é inicializado com 4 ganhos (k 1,k 2,k 3,k 4 ) e o estudante deve variar cada parâmetro para 2 condições: (0.5 k i e 2 k i ), i = 1,,4. Preencha a Tabela 8.3, dada na Seção 8.5, conforme a tabela que se segue: Tabela 8.1: Tabela de análise dos ganho k 1 k 2 k 3 k 4 Tempo Vibração % Overshoot Faixa de α de Subida α γ Baixo Maior < α < Rápido Menor 35.00% 12 < α < 12 A Tabela 8.3 mostra as 2 condições para cada ganho. Para cada iteração, tenha certeza de configurar os outros ganhos para o valor padrão 1. Para as colunas Tempo de Subida e Vibração α somente uma observação qualitativa é suficiente. O objetivo deste exercício é notar os efeitos de cada ganho sobre os parâmetros individuais do sistema Especificações de Desempenho Os ganhos finais devem satisfazer as seguintes especificações: Tempo de subida similar ao padrão. Sem vibração em α (mínimo). 0 % de sobressinal em γ = θ + α. α não deve exceder ±10. *Dica: Use a tabela obtida anteriormente como um guia para selecionar o melhor conjunto de ganhos que alcancem os requisitos.

4 Controle Ótimo Dado o sistema no espaço de estados abaixo ẋ =Ax + Bu sendo x o estado, u a ação de controle e A e B as matrizes do sistema, o Controle Ótimo (Regulador Linear Quadrático (LQR)) busca encontrar uma lei de controle da forma u = kx tal que o seguinte funcional é minimizado: J = 0 x T Qx + u T Ru sendo Q e R matrizes de ponderação (simétricas e definidas positivas). Para o propósito deste laboratório, fixamos a matriz Q diagonal. Isto permite variar 4 parâmetros de Q, (q 1,q 2,q 3,q 4 ), e um parâmetro para R, (r) (R neste caso é escalar, pois temos apenas uma entrada): Q = q q q q 4,, R = r (8.16) Os valores padrões de Q e R são Q = diag([ ]) e R = 1. Deve-se observar que o maior valor em Q é q 2, para manter α tão perto quanto possível de 0. Portanto, o maior elemento de Q deve ser o que está associado com α. No total deverão ser preenchidas 10 entradas na tabela (variando cada parâmetro em 2 passos enquanto mantém-se os outros parâmetros constantes). Para uma idéia de quais valores testar, use como referência a faixa sugerida na tabela abaixo : Tabela 8.2: Faixa de parâmetros sugerida Parâmetro q 1 q 2 q 3 q 4 r Faixa 0 < q 1 < < q 2 < < q 3 < 10 0 < q 4 < < r < 10

5 Relatório da prática Integrantes do Grupo: 1: 2: 3: 4: 5: 6: 1. Análise da influência dos ganhos Tabela 8.3: Tabela de análise dos ganhos k 1 k 2 k 3 k 4 Tempo Vibração % Overshoot Faixa de α de Subida α γ Obtendo o ganho para as seguintes especificações: Tempo de subida similar ao padrão. Sem vibração em α (mínimo). 0 % de sobressinal em γ = θ + α. α não deve exceder ±10. k 1 k 2 k 3 k 4 Tempo Vibração % Overshoot Faixa de α de Subida α γ

6 20 3. Analise a influência dos ganhos no desempenho do sistema R. 4. Controle Ótimo LQR Tabela 8.4: Tabela de análise das matrizes de ponderação q 1 q 2 q 3 q 4 r Tempo de Sub. Vibração α % Overshoot γ Faixa de α 5. Analise a influência das matrizes de ponderação no desempenho do sistema R.

7 21 Capítulo 9 Levitação Magnética 9.1 Objetivos A planta MAGLEV, ilustrada na Fig. 9.1, é um sistema de levitação eletromagnética que atua sobre uma esfera de aço sólida de uma polegada. Essencialmente, o sistema consiste de um eletroímã, localizado na parte superior do instrumento, capaz de levantar a esfera de aço de seu suporte e mantê-la no espaço livre. Duas variáveis são diretamente controladas no equipamento MAGLEV: a corrente da bobina e a distância da esfera à face do eletroímã. Dois sistemas de controle são utilizados, um controlador PI para a corrente e um ontrolador PIV com alimentação direta para a posição da esfera. Ao final desta prática, você deverá saber: Como modelar matematicamente a planta MAGLEV e obter as duas funções de transferência em malha aberta que caracterizam os sistemas de corrente e de posição da esfera. Como linearizar a equação não linear de movimento sobre um ponto de operação estável. Como projetar, através da alocação de pólos, um controlador Proporcional Integral (PI) para a corrente do eletroímã, atendendo as especificações de projeto. Como projetar, através da alocação de pólos, um controlador Propocional, Integral mais Velocidade (PIV) com alimentação direto para a posição da esfera,

8 22 Figura 9.1: Módulo MAGLEV. atendendo as especificações de projeto. Como implementar os dois controladores em ambiente LabVIEW. Como determinar numericamente os pólos de malha fechada do sistema real, considerando o controle do sistema dinâmico da corrente da bobina. Na realização da prática o seguinte conjunto de equipamentos será utilizado: [ 1 ] Módulo de potência Quanser UPM 2405/1503 ou equivalente. [ 1 ] Quanser MultiQ/MQ3 ou equivalente. [ 1 ] Planta MAGLEV [ 1 ] PC equipado com o requirido programa como declarado no manual do usuário. 9.2 Especificações de desempenho dos controladores Neste laboratório serão projetados e implementados dois controladores conforme as especificações descritas a seguir.

9 Especificações do controle de corrente Em resposta a uma entrada desejada quadrada de amplitude 1A, ajuste o controlador de corrente PI para atender os seguintes requisitos: 1. Sobressinal nulo. 2. Erro de regime nulo. 3. Tempo de subida menor que 0.35 segundos, ou seja: t r 0.35[s] Especificações do controle de posição da esfera A primeira especificação é projetar o controlador de posição da esfera para o seguinte ponto de operação (posição de equilíbrio): x b0 = 6[mm]. Em resposta a uma entrada desejada quadrada de amplitude ±1 mm da posição de equilíbrio, o comportamento da posição da esfera deve satisfazer aos requisitos: 1. Sobressinal menor que 15%: M p 15[%] 2. Erro de regime nulo. 3. Tempo de acomodação menor que 1.0 segundo: t s b 1.0[s] 4. Ação de controle mínima (A tensão aplicada à bobina não deve saturar). 9.3 Modelagem e controle do sistema MAGLEV O esquema da planta de levitação magnética (MAGLEV) é representado na Fig A nomenclatura do sistema MAGLEV é dada no Apêndice A. Como ilustrado na Fig. 9.2, a direção positiva do deslocamento vertical é decrescente, com a origem do sistema global de coordenadas cartesianas fixo na face da superfície do núcleo do eletroímã. Embora a esfera tenha seis graus de liberdade no espaço, somente o eixo vertical é controlado. O sistema MAGLEV consiste de dois sub-sistemas: um elétrico e um eletro-mecânico.

10 24 Figura 9.2: Esquema da planta MAGLEV Modelagem do sistema elétrico Nesta seção, o modelo matemático do sistema elétrico MAGLEV será derivado, resultando uma função de transferência em malha aberta G c (s) que será usada para o projeto do controlador PI. Esta função de transferência relaciona a tensão da bobina com a corrente da bobina, sendo definida como mostrado abaixo: G c (s) = I c(s) V c (s) (9.1) Como representado na Fig. 9.2, a bobina do MAGLEV tem uma indutância e uma resistência. Adicionalmente, o sistema real é equipado com um resistor em série com a bobina e cuja tensão, V s, pode ser medida usando o conversor analógico digital da placa de aquisição de dados. A corrente da bobina pode então ser calculada usando a relação que segue: I c (t) = V s(t) R s. (9.2)

11 25 Usando o circuito elétrico equivalente do MAGLEV mostrado na Fig. 9.2, deriva-se a equação diferencial que governa a corrente I c que flui através da bobina do eletroímã real como resultado de uma tensão aplicada V c. Usando lei de tensão de Kirchhoff, obtém-se a equação diferencial de primeira ordem que segue: ( ) d V c (t) = (R c + R s )I c (t) + L c dc I c(t). (9.3) Através desta equação diferencial, determina-se a função de transferência do sistema elétrico aplicando a transformada de Laplace na equação (9.1): G c (s) = K c τ c s + 1 (9.4) sendo K c = 1 Rc + Rs e τ c = L c R c + R s. (9.5) O sistema é estável, pois seu um único pólo (sistema de ordem 1) está localizado no semiplano esquerdo do plano s. Por não ter nenhum pólo na origem do plano s, G c (s) é do tipo zero Projeto do controlador de corrente: Alocação de pólos Antes de controlar a posição da esfera de aço, a corrente que flui através do eletroímã precisa ser controlada. O laço de controle da corrente do eletroímã consiste de um esquema de malha fechada com controlador Proporcional Integral (PI), como ilustrado na Fig. 9.3 abaixo. A função de transferência em malha fechada é dada por: T c (s) = K p c s + K i c L c s 2 + (R c + R s + K p c )s + K i c. (9.6) Usando a equação (9.6), a equação característica do sistema elétrico é dada por s 2 + (R c + R s + K p c )s L c + K i c L c = 0. (9.7)

12 26 Figura 9.3: Sistema de controle de corrente. A equação característica desejada do sistema é dada por: s 2 + ( p c2 p c1 )s + p c1 p c2 = 0. (9.8) sendo p c1 e p c2 os pólos de malha fechada desejadas, escolhidos apropriadamente para satisfazer os requisitos de desempenho. Comparando as duas equações, os ganhos do controlador PI são expressos por: K p c = ( p c1 + p c2 )L c R c R s (9.9) e K i c = p c1 p c2 L c. (9.10) Modelagem do sistema eletro-mecânico: Equação não linear de movimento Usando as notações e convenções descritas na Fig. 9.2, pode-se derivar a equação de movimento do sistema eletro-mecânico do MAGLEV. A força devido a gravidade aplicada na esfera é expressa por: F g = M b g. (9.11)

13 27 A força devido ao campo magnético gerado pela bobina na esfera é dada por: F c = 1 K m Ic 2 2 x 2 b para x b > 0, (9.12) que mostra que a atração do eletroímã é proporcional ao quadrado da corrente e inversamente proporcional ao quadrado da abertura de ar (posição da esfera). A força total experimentada pela esfera usando o eletroímã é dada por: F c + F g = 1 K m Ic 2 2 x 2 b + M b g. (9.13) Aplicando a segunda lei de movimento de Newton para a esfera, a equação não linear de movimento torna-se: 2 t 2x b = 1 K m Ic 2 2 M b x 2 b + g. (9.14) A corrente nominal da bobina I c0 para o par eletroímã-esfera pode ser determinado no equilíbrio estático do sistema. Por definição, equilíbrio estático em um ponto de operação nominal (x b0,i c0 ) é caracterizado pela suspensão da esfera no ar em uma posição constante x b0 devido a uma força constante do eletroímã gerada pela corrente I c0. No equilíbrio, a derivada no tempo iguala-se a zero e a equação (9.14) torna-se: 1 K m Ic0 2 2 x 2 + M b g = 0. (9.15) b0 Como uma observação, pode-se ver a partir da equação (9.15) que no ponto de equilíbrio a força do eletroímã é igual ao peso da esfera. A corrente da bobina no equilíbrio I c0 em função de x b0 e K m pode ser expressa como abaixo: I c0 = Mb g 2 x b0. (9.16) K m Usando as especificações do sistema e os requisitos de projeto (x b0 = 6[mm]), a equação (9.16) resulta em: I c0 = 0.86[A]. (9.17)

14 28 Finalmente, a constante de força K m do eletroímã em função do par nominal (x b0,i c0 ) é dada por: K m = 2M bgx 2 b0 Ic0 2. (9.18) Modelagem do sistema eletro-mecânico: Linearização da equação de movimento e função de transferência Para projetar e implementar um controlador linear de posição para o sistema MA- GLEV, a função de transferência de malha aberta deve ser obtida. No entanto, por definição uma função de transferência pode representar somente o sistema dinâmico de um equação diferencial linear. Portanto, a equação não linear de movimento encontrada na Subseção deve ser linearizada em torno do ponto de operação estável. Para o caso da levitação da esfera, a faixa de operação corresponde a pequenas variações de posição x b1 e pequenas variações de corrente I c1, em torno do ponto de equilíbrio desejado (x b0,i c0 ). Assim, x b e I c podem ser expressos como a soma de duas quantidades como mostrado abaixo: x b = x b0 + x b1 e I c = I c0 + I c1. (9.19) Para a função não linear de duas variáveis f(x b,i c ), a linearização para pequenas variações em torno do ponto (x b,i c ) = (x b0,i c0 ) é da pela seguinte aproximação da série de Taylor: ( ) ( ) f(x b,i c ) = f(x b0,i c0 ) + f(x b0,i c0 ) (x b x b0 ) + f(x b0,i c0 ) (I c I c0 ) x b I c (9.20) Portanto, a equação (9.14) torna-se: 2 t 2x b1 = 1 KmIc0 2 2 M b x 2 + g + K mic0 2 x b1 b0 M b x 3 b0 K mi c0 I c1 Mbx 2. (9.21) b0

15 29 Substituindo K m, equação (9.18), tem-se: 2 t 2x b1 = 2gx b1 2gI c1. (9.22) x b0 I c0 Aplicando a transformada de Laplace para a equação (9.22), a função de transferência em malha aberta entre a corrente e a posição da esfera é dada por: G b1(s) = K bω 2 b s 2 ω 2 b (9.23) com K b = x b0 e ω b = g 2. (9.24) I c0 x b0 A equação (9.23) mostra um sistema de segunda ordem do tipo zero. O dois pólos de malha aberta são localizados sobre o eixo real em s = ±ω b. Tendo um pólo no semiplano direito do plano s, o sistema em malha aberta é instável e a realimentação de controle é requirida Projeto do controlador de posição da esfera: Alocação de pólos A posição da esfera de aço é controlada por meio de um esquema em malha fechada com controlador Proporcional, Integral mais Velocidade (PIV) e com alimentação direta, como mostrado na Fig Como mostrado na Fig. 9.4, a alimentação direta é caracterizada por: I c ff = K ff b x b des (9.25) e I c = I c1 + I cff. (9.26) Esta ação é necessária pois o sistema de controle PIV é projetado para compensar pequenas variações (distúrbios) da operação em torno do ponto linearizado (x b0,i c0 ). Em outras palavras, enquanto a alimentação direta compensa a gravidade atuando na