5. DESENVOLVIMENTO Modelagem prática do motor CC

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1 1 1. RESUMO Neste trabalho, de vertente científica e tecnológica, estuda-se e modela um motor de corrente contínua (CC) pelo método de modelagem experimental de Hägglund e utiliza uma nova proposta de linearização do atraso de transporte por meio da série de potência de MacLaurin com um ajuste do valor linear para eliminar o erro agregado pela linearização de primeiro grau. 2. INTRODUÇÃO Em engenharia, ciências, economia, entre outras áreas, conhecer o comportamento dinâmico de determinado sistema ou fenômeno torna-se necessário o estudo de várias características, muitas vezes empíricas, no sistema/fenômeno utilizando-se ferramentas de modelagem matemática. Segundo Zill e Cullen (2001), geralmente o modelo matemático de um sistema/fenômeno é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais e, de acordo com Dorf e Bishop (2013, p. 36), os modelos matemáticos de sistemas físicos são os principais requisitos para o projeto e análise de sistemas de controle. As modelagens teóricas comumente se mostram não triviais em diversos sistemas ou fenômenos, seja pelo desconhecimento de todos os fatores que implicam na resposta dinâmica do sistema/fenômeno ou por sua complexidade algébrica. Esforços foram dedicados, ao longo dos tempos, onde foram criados diferentes métodos de modelagens experimentais, ou seja, uma modelagem matemática que, segundo Grimholt e Skogestad (2012, [n.p.]) e Coelho (2004, p. 65), conforma (aproximadamente) uma função de transferência de um sistema/fenômeno em uma função de primeira ordem com um atraso de transporte de caráter não linear. Apesar das modelagens experimentais possuírem caráter baseado diretamente na aplicação, existe o fator do atraso de transporte cujo qual não é linear e precisa sempre ser linearizado para tornar a função aplicável. Isso geralmente gera erros devido a aproximações em funções de baixa ordem forçando o uso de uma linearização mais elevada, o que dificulta o processo final. Visto isso, propôs-se um novo método de modelagem prática agregado com um novo método de linearização de baixo grau que não gere erros na saída do

2 2 sistema. Isso se fez útil, tendo sua importância prática demonstrada pela facilidade de aplicação, rapidez na obtenção dos resultados e, para sistemas embarcados, economia do uso de processamento. 3. OBJETIVOS Desenvolver a modelagem prática de um motor Corrente Contínua (CC) auxiliado por um método de linearização de primeiro grau que não acarreta erro na resposta temporal do sistema. 4. METODOLOGIA Através de uma revisão bibliográfica, adquirir conhecimentos necessários para o entendimento dos conceitos da modelagem prática com foco no atraso de transporte não linear. Auxiliado por ferramentas do Cálculo Integral Derivativo, observar possíveis correções para uma linearização de primeiro grau para atingir um erro mínimo ou mesmo nulo. 5. DESENVOLVIMENTO 5.1. Modelagem prática do motor CC Para obter a função de transferência do motor CC que será utilizada neste trabalho, utilizou-se o método de Hägglund, de acordo com Coelho (2004, p. 66). Neste método experimental, aplica-se um degrau na entrada do sistema (motor) e observa-se o gráfico da resposta obtido pelo supervisório fornecido com o hardware presente no motor. É importante observar que a função de transferência deste sistema conterá toda a planta, ou seja: motor, disco de inércia, encoder, etc. É possível observar isso também pela saída que está em RPM e não em tensão, portanto, em uma possível aplicação será necessário retirar esta proporção do encoder para trabalhar apenas com dados em tensão. A Fig. 5.1 mostra o gráfico rotação (RPM) por amostra (100 milissegundos) obtido com uma entrada degrau com intensidade 15.8V.

3 3 Fig Resposta do sistema real submetido à entrada tipo degrau com intensidade 15.8V. Fonte: Os autores. Conforme Coelho (2004, p. 66), primeiramente, encontra-se o ganho do sistema k pela Eq k = Δy Δu = 1435 = 90,8228 Eq. (5.1) 15.8 Pelo gráfico também é possível observar o valor aproximado do coeficiente de atraso não linear θ definido pela Eq θ 3.0,1 = 0.3 Eq. (5.2) A constante de tempo T é definida pela Eq T HAG = t(0.632δy). 0,1 θ 0,220 Eq. (5.3) Portanto, a função de transferência do sistema real pode ser representada, aproximadamente, pela Eq. 5.4, conforme Grimholt e Skogestad (2012, [n.p.]) e Coelho (2004, p. 65).

4 4 G(s) = Y(s) U(s) = k Ts 1. = 90,8228 0,220s 1 0,3 Eq. (5.4) 5.2. Proposta de linearização de primeiro grau por MacLaurin. De acordo com Stewart (2009, p. 687), uma das maneiras de se linearizar funções é por meio de séries de potências, dentre elas a série de Taylor. Um caso particular desta série é quando a linearização ocorre centrada em zero, neste caso a série é chamada Série de MacLaurin. A Eq. 5.5 mostra a representação da função exponencial em série de MacLaurin. = ( 1)n θ n s n n! n=0 Eq. (5.5) Para fins de economia de processamento, pensando-se em aplicações embarcadas, é utilizada uma linearização de primeiro grau (Eq. 5.6) onde o parâmetro L define-se como o coeficiente de atraso linear. Ls 1 Eq. (5.6) Portanto, substituindo a Eq. 5.6 na Eq. 5.4, em termos de variáveis tem-se uma função de transferência linear (Eq. 5.7). G(s) = Y(s) U(s) = k ( Ls 1) Eq. (5.7) Ts 1 Ao analisar a função no tempo em relação a uma entrada do tipo degrau, pode-se observar qual a influencia da função de atraso de transporte. Para isso, segundo Nise (2012, p. 29), a função no tempo pode ser encontrada aplicando a Transformada Inversa de Laplace (Eq. 5.8). A Eq. 5.9 mostra a função de saída no tempo y(t) admitindo uma entrada degrau com intensidade D. [ (s)] = 1 2 (s) s Eq. (5.8)

5 5 y(t) = [Y(s)] = k [ Ts 1 ( Ls 1). s ] = k [1 (1 L ) T ] Eq. (5.9) Com a função temporal y(t) (Eq. 5.9) é possível observar que o comportamento possui caráter exponencial. Então, pode-se observar parte deste comportamento conhecendo o ponto inicial (t = 0) e o ponto final (t ). y(t) = k Eq. (5.10) k L y(t) = 0 T Eq. (5.11) Pela análise da Eq. 5.11, observa-se que a função de atraso linear ocasiona um deslocamento da condição inicial da função de zero para o resultado apresentado. Sendo assim, para encontrar o tempo de atraso linear, basta relacionar com o tempo necessário para que y(θ) = 0. A Fig. 5.2 mostra a resposta do sistema dinâmico representado pela Eq. 5.9, admitindo aleatoriamente valores T = 2, k = 10, = 10 e L = 1. θ Fig Resposta do sistema dinâmico com função de atraso linear. Fonte: Os autores.

6 6 Sendo assim, pode-se representar o coeficiente de atraso linear L (Eq. 5.13) pela relação da Eq com a Eq K [1 (1 y(θ) = 0 Eq. (5.12) L T ) θ ] = 0 L(θ) = T ( θ 1) Eq. (5.13) A fórmula apresentada na Eq representa uma conversão do valor não linear (θ) para o valor linear (L). Observa-se então que, através da definição apresentada, matematicamente a fórmula elimina o erro agregado pela linearização de baixo grau, visto que a fórmula fornece o valor exato cujo qual o sistema passa pelo eixo y = 0. Portanto, o valor linear que oferece o tempo de atraso desejado 0,3 segundos é representado pela Eq L(0,3) = 0,220 ( 0,3 0,220 1) 0,640 Eq. (5.14) Sendo assim, o sistema dinâmico pode ser representado, aproximadamente Eq G(s) = 90,8228 ( 0,640s 1) Eq. (5.15) 0,220s 1 6. RESULTADOS 6.1. Sistema linearizado sem conversão do coeficiente de atraso linear O atraso de transporte linearizado por MacLaurin em uma função de primeiro grau, quando utilizados os valores originais coletados pelo método de Hägglund (L = θ = 0,3), agrega um erro no atraso da resposta temporal do sistema, como mostra a Fig A função de transferência neste caso é representada pela Eq. 6.1.

7 L = θ = 0,3 G(s) = 90,8228 ( 0,3s 1) Eq. (6.1) 0,220s 1 7 Por sua vez, quando utilizada a conversão proposta nesta pesquisa (Eq. 5.13) Fig Resposta do sistema com função de atraso linear para L = θ = 0,3 (vermelho) versus real (azul). Fonte: Os autores. Com base na Fig. 6.1 acima, é possível observar que a influência da função linearizada de primeiro grau sem conversão do valor do coeficiente de atraso (L = θ) gera um atraso de aproximadamente 0,19 segundos, um erro de aproximadamente 63,3% em relação ao valor 0,3 segundos de saída do motor real. Isso se deve à interrupção da série de MacLaurin ao primeiro polinômio. Também se pode observar que a função de atraso linear não interfere no comportamento característico da resposta, mantendo as mesmas características de constante de tempo T e ganho k Sistema linearizado com conversão do coeficiente de atraso linear Com a utilização da formula de conversão do valor linear L apresentada pela Eq. 5.13, pode-se observar a respectiva resposta pela Fig A função de transferência neste caso é representada pela Eq

8 8 Fig Resposta do sistema com correção do atraso linear L = 0,640 (vermelho) versus real (azul). Fonte: Os autores. Com base na Fig. 6.2 acima, é possível observar que, com o uso da fórmula de conversão do coeficiente de atraso linear apresentada neste trabalho, o erro agregado a interrupção da série de MacLaurin ao primeiro polinômio é eliminado, gerando o atraso necessário, para este caso, de 0,3 segundos, mesmo valor de atraso do motor real. Também se pode constatar a relativa precisão do método de modelagem experimental de Hägglund, que gera uma resposta com características muito próximas às características do motor real. Possuindo mesmo valor de estabilização e uma constante de tempo com um erro aceitável para este trabalho. 7. CONSIDERAÇÕES FINAIS Com base nos resultados apresentados, o presente estudo mostra que é possível o uso de uma linearização de baixo grau, especificamente, de primeiro grau, que possibilita um erro mínimo ou mesmo nulo para o atraso de transporte de uma função de transferência prática, ou seja, uma função de primeira ordem com um atraso de transporte não linear. Os resultados também revelam uma boa precisão da modelagem prática

9 9 pelo método de Hägglund confirmando a viabilidade de utilização para determinar funções aproximadas de sistemas dinâmicos que apresentem uma característica exponencial da resposta em malha aberta. 8. FONTES CONSULTADAS COELHO, A. A. R.; COELHO, L. D. Identificação de Sistemas Dinâmicos Lineares. Editora da UFSC, 1ª ed., Florianópolis, DORF, R. C; BISHOP, R. H. Sistemas de controle modernos. Tradução e revisão técnica Jackson Paul Matsuura. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, GRIMHOLT, C; SKOGESTAD, S. Optimal PI-Control and Verication of the SIMC Tuning Rule. Brescia, Disponível em: < /2012/grimholt-pi/article.pdf>. Acesso em: 15 Jun NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. Tradução e revisão técnica Jackson Paul Matsuura. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, OGATA, K. Engenharia de controle moderno. Tradutora Heloísa Coimbra de Souza; Revisor técnico Eduardo Aoun Tannuri. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Equações Diferenciais, vol. 1. Tradução Antonio Zumpano, revisão técnica: Antonio Pertence Jr. São Paulo: Pearson Makron Book, 2001.