Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

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1 Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos

2 3.1 INTRODUÇÃO No estudo de sistemas de controle, o leitor deve ser capaz de modelar sistemas dinâmicos e analisar características dinâmicas. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa com precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem a dinâmica do sistema. Note que um modelo matemático não é único para determinado sistema. Um sistema é representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter vários modelos matemáticos, dependendo da perspectiva a ser considerada. A dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos ou outros, é descrita em termos de equações diferenciais. Essas equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem determinado sistema, por exemplo, as leis de Newton para sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos. Devemos ter em mente que construir modelos matemáticos adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo. Neste livro, assumiremos que o princípio de causalidade se aplica aos sistemas considerados. Isso significa que a atual saída do sistema (no instante t = 0) depende da entrada anterior (a entrada em um instante t < 0), mas não depende da entrada futura (as entradas nos instantes t > 0). Modelos matemáticos. Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas. Dependendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares, um modelo matemático pode ser mais adequado do que outros. Por exemplo, nos sistemas de controle ótimo, é vantajoso utilizar representações do modelo de estado. Por outro lado, para a análise da resposta transitória ou da resposta em freqüência de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e saída únicas, a representação pela função de transferência pode ser mais conveniente do que qualquer outra. Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema, podem ser utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e síntese. Simplicidade versus precisão. Na obtenção de um modelo matemático devemos estabelecer uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. Na obtenção de um modelo matemático relativamente simplificado, com freqüência, torna-se necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema. Em particular, se for desejável um modelo matemático linear de parâmetros concentrados (isto é, se quisermos empregar equações diferenciais ordinárias), é sempre necessário ignorar certas não-linearidades e os parâmetros distribuídos que podem estar presentes no sistema físico. Se os efeitos que essas propriedades ignoradas têm na resposta forem pequenos, pode-se obter

3 boa aproximação entre os resultados da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema físico. Em geral, na solução de um novo problema, é conveniente construir um modelo simplificado para que possamos ter uma percepção geral em relação à solução. Um modelo matemático mais completo pode, então, ser construído e utilizado para que sejam obtidas análises mais precisas. Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parâmetros concentrados, válido em operações de baixa freqüência, pode não ser válido para freqüências suficientemente altas, uma vez que a propriedade de parâmetros distribuídos não considerada pode se tornar um fator importante no comportamento dinâmico do sistema. Por exemplo, a massa de uma mola pode ser desprezada em operações de baixa freqüência, mas se torna uma propriedade importante do sistema em freqüências elevadas. (Para o caso em que um modelo matemático envolve erros consideráveis, a teoria de controle robusto pode ser aplicada.) Sistemas lineares. Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. O princípio da superposição afirma que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções diversas é a soma das duas respostas individuais. Então, para um sistema linear, a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados. Esse é o princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais lineares a partir de soluções simples. Na pesquisa experimental de um sistema dinâmico, se causa e efeito forem proporcionais, significando assim que é válida a aplicação do princípio da superposição, então o sistema pode ser considerado linear. Sistemas lineares invariantes no tempo e sistemas lineares variantes no tempo. Uma equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente funções da variável independente. Os sistemas dinâmicos compostos por componentes lineares de parâmetros concentrados invariantes no tempo podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo (de coeficientes constantes). Esses sistemas são denominados sistemas lineares invariantes no tempo (ou lineares de coeficientes constantes). Os sistemas representados por equações diferenciais, cujos coeficientes são funções de tempo são chamados de sistemas lineares variantes no tempo. Um exemplo de sistema de controle variante no tempo é um sistema de controle de veículo espacial. (A massa de um veículo espacial muda devido ao consumo do combustível.)

4 3.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA E DE RESPOSTA IMPULSIVA Na teoria de controle, as funções de transferência são comumente utilizadas para caracterizar as relações de entrada e saída de componentes ou de sistemas, que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo. Começamos pela definição de função de transferência e seguimos com a dedução da função de transferência de um sistema mecânico. Em seguida, discutimos a função de resposta impulsiva. Função de transferência. A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída (função de resposta response function) e a transformada de Laplace da entrada (função de excitação driving function), admitindo-se todas as condições iniciais nulas. Considere o sistema linear invariante no tempo, definido pela seguinte equação diferencial: onde y é a saída do sistema e x é a entrada. A função de transferência desse sistema é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, quando todas as condições iniciais são zero ou Utilizando o conceito de função de transferência, é possível representar a dinâmica de um sistema por meio de uma equação algébrica em s. Se a maior potência de s no denominador da função de transferência for igual a n, o sistema será denominado sistema de ordem n. Comentários sobre a função de transferência. A aplicabilidade do conceito de função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo. O método da função de transferência, entretanto, é

5 amplamente utilizado na análise e no projeto desses sistemas. A seguir, mostraremos importantes comentários a respeito da função de transferência. (Note que o sistema ao qual a lista se refere é descrito por uma equação diferencial linear invariante no tempo.) 1. A função de transferência de um sistema é um modelo matemático que constitui um método operacional para expressar a equação diferencial que relaciona a variável de saída à variável de entrada. 2. A função de transferência é uma propriedade inerente ao sistema, independentemente da magnitude e da natureza da função de entrada ou de excitação. 3. A função de transferência inclui as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída: entretanto, não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do sistema. (As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas.) 4. Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a saída ou resposta poderá ser estudada para várias maneiras de entrada, visando ao entendimento da natureza do sistema. 5. Se a função de transferência de um sistema não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema. Uma vez determinada, a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmica do sistema, independentemente de sua descrição física. EXEMPLO 3.1 Considere o sistema de controle de posição, de um satélite, indicado na Figura 3.1. O diagrama mostra o controle apenas do ângulo de desvio θ. (No sistema real existem controles relativos aos três eixos.) Pequenos jatos aplicam forças de reação para girar o corpo do satélite conforme a posição desejada. Os dois jatos posicionados de forma anti-simétrica, denotados por A e B, operam em pares. Suponha que o empuxo de cada jato seja F/2 e o torque T = Fl seja aplicado ao sistema. Os jatos são aplicados por certo tempo e, assim, o torque pode ser escrito como T(t). O momento de inércia em relação ao eixo de rotação no centro da massa é J. Vamos obter a função de transferência desse sistema admitindo que o torque T(t) é a entrada e que o deslocamento angular θ(t) do satélite é a saída. (Vamos considerar o movimento somente no plano da página.) Para deduzir a função de transferência, procedemos de acordo com as seguintes etapas:

6 1. Escreva a equação diferencial do sistema. 2. Aplique a transformada de Laplace da equação diferencial, supondo que todas as condições iniciais são nulas. 3. Estabeleça a relação entre a saída Θ(s) e a entrada T(s). Essa relação é a função de transferência. Figura 3.1 Diagrama esquemático do sistema de controle de posição de um satélite. Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não existe atrito no ambiente em que o satélite se encontra, temos: Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados dessa última equação e supondo que todas as condições iniciais sejam nulas, resulta que: onde sistema é obtida como:. Assim, a função de transferência do

7 Integral de convolução. Para um sistema linear, invariante no tempo, a função de transferência G(s) é: onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de Laplace da saída, considerando que todas as condições iniciais envolvidas são nulas. Segue-se que a saída Y(s) pode ser escrita como o produto de G(s) e X(s) Y(s) = G(s) X(s) (3.1) Note que a multiplicação no domínio complexo é equivalente à convolução no domínio de tempo, de modo que a transformada inversa de Laplace da Equação (3.1) é dada pela seguinte integral de convolução: onde g(t) e x(t) são ambos 0 para t < 0. Função de resposta impulsiva. Considere a saída (resposta) de um sistema a um impulso unitário de entrada quando as condições iniciais são nulas. Como a transformada de Laplace da função impulso unitário é igual à unidade, a transformada de Laplace da saída do sistema é: Y(s) = G(s) (3.2) A transformada inversa de Laplace da saída, dada pela Equação (3.2), é a resposta impulsiva do sistema. A transformada inversa de Laplace de G(s) ou

8 é chamada de função de resposta impulsiva. Essa função g(t) é também chamada de função característica do sistema. A função de resposta impulsiva g(t) é, portanto, a resposta de um sistema linear a um impulso unitário de entrada, quando as condições iniciais do sistema são nulas. A transformada de Laplace dessa função fornece a função de transferência. Assim, a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. Dessa maneira, é possível obter informações completas sobre as características dinâmicas de um sistema, por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta. (Na prática, um pulso de entrada de duração muito pequena, comparado com constantes de tempo dominantes do sistema, pode ser considerado um impulso.) Figura 3.2 Elemento de um diagrama de blocos.

9 3.4 MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS Sistemas complexos podem ter entradas e saídas múltiplas e ser variantes no tempo. Em razão da necessidade de atender às crescentes e rigorosas exigências de desempenho dos sistemas de controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e ao acesso fácil e em larga escala aos computadores, a teoria de controle moderno, que é uma nova abordagem para a análise e o projeto de sistemas de controle complexos, tem sido desenvolvida desde aproximadamente Essa nova teoria tem como base o conceito de estado. O conceito de estado propriamente dito não é novo, pois existe há bastante tempo, no campo da dinâmica clássica e em outras áreas. Estado. O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamadas de variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variáveis em t=t 0, juntamente com o conhecimento da entrada para t t 0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t 0. Note que o conceito de estado não é limitado ao caso dos sistemas físicos, ele é aplicável também a sistemas biológicos, econômicos, sociais e outros. Variáveis de estado. As variáveis de estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis x 1, x 2,..., x n são necessárias para descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico (de tal modo que, sendo dada a entrada para t t 0 e especificado o estado inicial em t = t 0, o estado futuro do sistema fique completamente determinado), então essas n variáveis formam um conjunto de variáveis de estado. Note que as variáveis de estado não necessitam ser quantidades fisicamente mensuráveis ou observáveis. As variáveis que não representam grandezas físicas e aquelas que não são nem mensuráveis nem observáveis podem ser escolhidas como variáveis de estado. Essa liberdade de escolha das variáveis de estado é uma vantagem dos métodos de espaço de estados. Na prática, entretanto, é conveniente escolher para variáveis de estado grandezas que sejam facilmente mensuráveis, se isso for possível, porque as leis do controle ótimo requerem a realimentação de todas as variáveis de estado com ponderação adequada. Vetor de estado. Se forem necessárias n variáveis de estado para descrever completamente o comportamento de um dado sistema, então essas n variáveis de estado poderão ser consideradas os n componentes de um vetor x. Esse vetor é chamado de vetor de estado. Assim, um vetor de estado é aquele que determina univocamente o estado do sistema x(t) para qualquer instante t t 0, uma vez dado o estado em t = t 0 e especificada a entrada u(t) para t t 0.

10 Espaço de estados. O espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados pelos eixos de x 1, x 2,..., x n onde x 1, x 2,..., x n são as variáveis de estado, é chamado de espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados. Equações no espaço de estados. A análise no espaço de estados envolve três tipos de variáveis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, variáveis de saída e variáveis de estado. Como veremos na Seção 3.5, a representação de um dado sistema no espaço de estados não é única, mas o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer uma das diferentes representações do mesmo sistema, no espaço de estados. O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada para t t 1. Uma vez que os integradores, em um sistema de controle de tempo contínuo, servem como dispositivos de memória, as saídas desses integradores podem ser consideradas variáveis que definem o estado interno do sistema dinâmico. Assim, as saídas dos integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado. O número de variáveis de estado que definem completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de integradores existentes no sistema. Suponha que um sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas envolva n integradores. Considere também que existam r entradas u 1 (t), u 2 (t),..., u r (t) e m saídas y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t). Defina as n saídas dos integradores como variáveis de estado: x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t). Então o sistema pode ser descrito como: (3.8) As saídas y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t) do sistema podem ser dadas por: (3.9)

11 Se definirmos as equações (3.8) e (3.9) tornam-se: onde a Equação (3.10) é a equação de estado e a Equação (3.11) é a equação de saída. Se as funções vetoriais f e/ou g envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema será chamado de sistema variante no tempo. Se as equações (3.10) e (3.1 1) forem linearizadas em torno de um ponto de operação, então teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas: onde A(t) é chamada de matriz de estado, B(t), de matriz de entrada, C(t), de matriz de saída, e D(t), de matriz de transmissão direta. (Os detalhes da linearização de sistemas não-lineares em torno de um estado de operação serão discutidos na Seção 3.10.) Uma representação do diagrama de blocos das equações (3.12) e (3.13) é mostrada na Figura Se as funções vetoriais f e g não envolverem o tempo t explicitamente, então o sistema será chamado de sistema invariante no tempo. Nesse caso, as equações (3.12) e (3.13) podem ser simplificadas para:

12 Figura 3.15 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo, representado no espaço de estados. A Equação (3.14) é a equação de estado de um sistema linear invariante no tempo. A Equação (3.15) é a equação de saída para o mesmo sistema. Neste livro, vamonos referir principalmente aos sistemas descritos pelas equações (3.14) e (3.15). A seguir, apresentamos um exemplo que mostra como se obtém a equação de estado e a equação de saída de um sistema. EXEMPLO 3.3 Considere o sistema mecânico indicado na Figura Admitamos que o sistema é linear. A força externa u(t) é a entrada do sistema e o deslocamento y(t) da massa é a saída. O deslocamento y(t) é medido a partir da posição de equilíbrio, na ausência da força externa. Esse sistema é um sistema de entrada e saída únicas. Figura 3.16 Sistema mecânico.

13 De acordo com o diagrama, a equação do sistema é: (3.16) Esse sistema é de segunda ordem. Isso significa que ele contém dois integradores. Vamos definir as variáveis de estado x 1 (t) e x 2 (t) como: Então, obtemos: ou A equação de saída é: Sob a forma vetorial-matricial, as equações (3.17) e (3.18) podem ser escritas como:

14 A equação de saída, Equação (3.19), pode ser escrita como: A Equação (3.20) é uma equação de estado e a Equação (3.21) é uma equação de saída para o sistema. As equações (3.20) e (3.21) estão escritas na forma padrão: onde A Figura 3.17 é um diagrama de blocos do sistema. Note que as saídas dos integradores são variáveis de estado. Figura 3.17 Diagrama de blocos do sistema mecânico da Figura Correlação entre funções de transferência e equações no espaço de estados. A seguir mostraremos como obter uma função de transferência de um sistema de entrada e saída únicas a partir das equações no espaço de estados. Consideremos o sistema cuja função de transferência é dada por: Y(s) / U(s) = G(s) (3.22) Esse sistema pode ser representado no espaço de estados pelas seguintes equações:

15 onde x é o vetor de estado, u é a entrada e y é a saída. A transformada de Laplace das equações (3.23) e (3.24) é dada por: sx(s) - x(0) = AX(s) + BU(s) (3.25) Y(s) = CX(s) + DU(s) (3.26) Uma vez que a função de transferência foi previamente definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais são nulas, estabelecemos x(0) igual a zero na Equação (3.25). Então, ou sx(s) - AX(s) = BU(s) (si - A)X(s) = BU(s) Multiplicando à esquerda ambos os lados dessa última equação por (si - A) -1, obtemos: X(s) = (si - A) -1 BU(s) (3.27) Substituindo a Equação (3.27) na Equação (3.26), temos: Y(s) = [C(sI - A) -1 B + D]U(s) (3.28) Comparando a Equação (3.28) com a Equação (3.22), vemos que: G(s) = C(sI - A) -1 B + D (3.29) Essa é a expressão da função de transferência do sistema em termos de A, B, C e D. Note que o lado direito da Equação (3.29) contém a matriz (si-a) -1. Em conseqüência, G(s) pode ser escrito da seguinte maneira: onde Q(s) é um polinômio em s. Assim, si-a é igual ao polinômio característico de G(s). Em outras palavras, os autovalores de A são idênticos aos pólos de G(s).

16 EXEMPLO 3.4 Considere novamente o sistema mecânico mostrado na Figura As equações de espaço de estados para o sistema são dadas pelas equações (3.20) e (3.21). Vamos obter a função de transferência do sistema a partir das equações do espaço de estados. Pela substituição de A, B, C e D na Equação (3.29), obtemos: Como tem-se: que é a função de transferência do sistema. A mesma função de transferência pode ser obtida a partir da Equação (3.16). Matriz de transferência. A seguir, considere um sistema de múltiplas entradas e múltiplas saídas. Suponha que existam r entradas u 1, u 2,...,u r e m saídas y 1, y 2,..., y m. Defina

17 A matriz de transferência G(s) relaciona a saída Y(s) com a entrada U(s), ou seja. onde G(s) é dado por: Y(s) = G(s)U(s) G(s) = C(sI - A) -1 B + D [ A dedução dessa equação é a mesma que a da Equação (3.29).].Como o vetor de entrada u é de dimensão r e o vetor de saída y é de dimensão m, a matriz de transferência G(s) é uma matriz de m x r.

18 3.5 REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NO ESPAÇO DE ESTADOS Um sistema dinâmico que consiste em um número finito de elementos concentrados pode ser descrito por equações diferenciais ordinárias, nas quais o tempo é a variável independente. Utilizando-se a notação vetorial-matricial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação diferencial vetorial-matricial de primeira ordem. Se n elementos do vetor formam um conjunto de variáveis de estado, então a equação diferencial vetorial-matricial é uma equação de estado. Nesta seção, apresentaremos métodos para obter as representações no espaço de estados de sistemas de tempo contínuo. Representação no espaço de estados de sistemas de equações diferenciais lineares de ordem n, cuja função de entrada não possui derivadas. Considere o seguinte sistema de ordem n: Observando-se que o conhecimento de, junto com a entrada u(t) para t 0,determina completamente o comportamento futuro do sistema, podese considerar como um conjunto de n variáveis de estado. (matematicamente, essa escolha das variáveis de estado é bastante satisfatória. Na prática, entretanto, em virtude dos ruídos inerentes a qualquer situação prática e da imprecisão causada pelos termos com derivadas de ordem elevada, a escolha dessas variáveis de estado pode não ser desejável.) Definindo a Equação (3.30) pode ser escrita do seguinte modo:

19 ou onde A saída pode ser dada por: ou y = Cx (3.32) onde C=[ ] [Note que D na Equação (3.24) é zero.] A equação diferencial de primeira ordem, Equação (3.31), é a equação de estado e a equação algébrica, Equação (3.32), é a equação de saída. Veja que a representação no espaço de estados de um sistema cuja função de transferência é é dada também pelas equações (3.31) e (3.32).

20 Representação no espaço de estados de um sistema de equações diferenciais lineares de ordem n, cuja função de entrada possui derivadas. Considere o sistema de equações diferenciais que possui derivadas na função de entrada, como: O principal problema na definição das variáveis de estado para esse caso ocorre nos termos com derivadas. As variáveis de estado devem ser tais que eliminem as derivadas de u na equação de estado. Uma maneira de obter a equação de estado e a equação de saída é definir as seguintes n variáveis como um conjunto de n variáveis de estado: onde β 0, β 1, β 2,..., β n, são determinadas a partir de Com essa escolha de variáveis de estado, a existência e a unicidade da solução da equação de estado estão garantidas. (Note que essa não é a única escolha de um conjunto de variáveis de estado.) Com essa escolha obtemos:

21 [Para deduzir a Equação (3.36), veja o Problema A.3.6.] Em termos de equações vetorial-matriciais, a Equação (3.36) e a equação de saída podem ser escritas como: ou onde

22 Com essa representação no espaço de estados, as matrizes A e C são exatamente as mesmas do sistema da Equação (3.30). As derivadas do termo à direita da Equação (3.33) afetam somente os elementos da matriz B. Note que a representação no espaço de estados para a função de transferência é dada pelas equações (3.37) e (3.38). Existem diversas maneiras de obter a representação de sistemas no espaço de estados. Algumas delas são representadas neste capítulo. Os métodos para a obtenção das representações canônicas de sistemas no espaço de estados (como a forma canônica controlável, forma canônica observável, forma canônica diagonal e forma canônica de Jordan) são apresentados no Capítulo 11 de Ogata. O MATLAB pode ser utilizado para a obtenção de representações de sistemas no espaço de estados a partir da função de transferência e vice-versa. Esse assunto será apresentado na Seção 3.6. EXEMPLO 3.5 Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro de massa desprezível, como mostra a Figura Um amortecedor é um dispositivo que produz um atrito ou amortecimento hidráulico. Ele consiste em um pistão e um cilindro preenchido com óleo. Qualquer movimento relativo entre a barra do pistão e o cilindro sofre a resistência oferecida pelo óleo, porque o óleo deve fluir em torno do pistão (ou pelos orifícios existentes no pistão), de um lado para o outro. O amortecedor, essencialmente, absorve energia. Essa energia absorvida é dissipada sob a forma de calor e o amortecedor não armazena energia cinética nem potencial. O amortecedor hidráulico (dashpot) é também simplesmente chamado de amortecedor. Vamos obter modelos matemáticos para esse sistema, supondo que o carro está parado para t < 0 e o sistema massa-mola-amortecedor no carro também está em repouso para t < 0. Nesse sistema, u(t) é o deslocamento do carro e é a entrada do sistema. Em t = 0, o carro se move a uma velocidade constante ou u = constante. O deslocamento y(t) da massa é a saída. (O deslocamento é relativo ao solo.) Nesse sistema, m representa a massa, b o coeficiente de atrito viscoso, e k, seja a constante da mola. Vamos supor que a força de atrito do amortecedor seja proporcional a y u e que a mola seja linear, isto é, a força da mola seja proporcional a y-u.

23 Figura 3.18 Sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro. Para sistemas de translação, a segunda lei de Newton estabelece que: ma= F onde m é a massa, a é a aceleração da massa e F é a soma das forças atuantes na massa, na mesma direção da aceleração a. Aplicando a segunda lei de Newton para o presente sistema e considerando que o carro não possui massa, obtemos: ou Essa equação representa o modelo matemático do sistema considerado. Obtendo a transformada de Laplace dessa última equação e supondo que as condições iniciais sejam nulas, resulta que: (ms 2 + bs + k)y(s) = (bs + k)u(s) Pela relação entre Y(s) e U(s), encontramos a função de transferência do sistema como: Essa representação de um modelo matemático por função de transferência é utilizada com muita freqüência na engenharia de controle.

24 A seguir, obtemos um modelo no espaço de estados desse sistema. Primeiramente, vamos comparar a equação diferencial desse sistema com a forma padronizada e identificar a 1, a 2, b 0, b 1 e b 2, como se segue: Com referência à Equação (3.35), temos: Então, com base na Equação (3.34), define-se: A partir da Equação (3.36), temos: e a equação de saída torna-se: ou y = x 1 e

25 As equações (3.39) e (3.40) constituem uma representação do sistema no espaço de estados. (Note que essa não é a única representação no espaço de estados. Existe uma infinidade de representações para o sistema.) 3.6 TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS COM MATLAB O MATLAB é amplamente utilizado para transformar o modelo do sistema de função de transferência para o espaço de estados e vice-versa. Vamos começar nossa discussão com a transformação a partir da função de transferência para o modelo no espaço de estados. Seja a função de transferência escrita do seguinte modo: Uma vez obtida a expressão da função de transferência, o comando MATLAB, a seguir, [A, B, C, D] = tf2ss(num,den) vai fornecer a representação no espaço de estados. É importante notar que a representação no espaço de estados para um dado sistema não é única. Existem diversas (infinitas) representações no espaço de estados para um mesmo sistema. O comando MATLAB fornece uma dessas possíveis representações. Transformação da função de transferência para o espaço de estados. Considere a função de transferência do sistema Existem várias (infinitas) representações no espaço de estados possíveis para esse sistema. Uma delas é:

26 Outra representação (entre várias alternativas possíveis) é: O MATLAB transforma a função de transferência dada pela Equação (3.41) em uma representação no espaço de estados dada pelas equações (3.42) e (3.43). Para o exemplo de sistema considerado aqui, o Programa 3.2 em MATLAB vai produzir as matrizes A, B, C e D. Transformação do espaço de estados para função de transferência. Para obter a função de transferência a partir das equações no espaço de estados, utilize o seguinte comando: [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,iu) onde iu deve ser especificado para sistemas com mais de uma entrada. Por exemplo, se o sistema tiver três entradas (u 1, u 2, u 3 ), então iu deverá ser 1, 2 ou 3, onde 1 representa u 1, 2 representa u 2 e 3 representa u 3. Se o sistema tiver somente uma entrada, os comandos [num,den] = ss2tf(a,b,c,d)

27 ou [num,den] = ss2tf(a,b,c,d,1) poderão ser utilizados. Para os casos em que o sistema tenha múltiplas entradas e saídas, veja o Problema A EXEMPLO 3.6 Obtenha a função de transferência de um sistema definido pelas seguintes equações no espaço de estados: O Programa 3.3 em MATLAB vai fornecer a função de transferência para o sistema em questão. A função de transferência obtida é dada por:

28 3.7 SISTEMAS MECÂNICOS Discutiremos, nesta seção, a modelagem matemática de sistemas mecânicos. A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a segunda lei de Newton. Ela pode ser aplicada a qualquer sistema mecânico. Nesta seção, vamos deduzir modelos matemáticos de três sistemas mecânicos. (Os modelos matemáticos de outros sistemas serão deduzidos e analisados nos demais capítulos.) EXEMPLO 3.7 Obtenha as funções de transferência X(s)/U(s) e X(s)/U(s) do sistema mecânico mostrado na Figura Figura 3.19 Sistema mecânico. As equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 3.19 são: Simplificando, obtemos: Transformando por Laplace essas duas equações, admitindo condições iniciais nulas, obtemos: Resolvendo a Equação (3.45) para X 2 (s), substituindo-a na Equação (3.44) e simplificando, temos: a partir da qual obtemos:

29 A partir das equações (3.45) e (3.46) temos: As equações (3.46) e (3.47) são as funções de transferência X 1 (s)/u(s) e X 2 (s)/u(s). respectivamente. EXEMPLO 3.8 Um pêndulo invertido montado em um carro motorizado é mostrado na Figura 3.20(a). Esse é um modelo de controle de posição de um foguete na fase de lançamento. (O objetivo do problema de controle de posição é manter o foguete na posição vertical.) O pêndulo invertido é instável, pois pode cair a qualquer instante, para qualquer direção, a menos que uma força adequada de controle seja aplicada a ele. Vamos considerar aqui somente o problema bidimensional, em que o movimento do pêndulo fica restrito só ao plano da página. A força de controle u é aplicada ao carro. Considere que o centro de gravidade da haste do pêndulo esteja situado no centro geométrico dele. Obtenha um modelo matemático para esse sistema. Figura 3.20 (a) Sistema de pêndulo invertido; (b) diagrama do corpo livre.

30 Defina o ângulo da haste a partir da linha vertical como θ. Defina também as coordenadas (x, y) do centro de gravidade da haste como (x G, y G ). Então, Para deduzir as equações de movimento do sistema, considere o diagrama do corpo livre, mostrado na Figura 3.20(b). O movimento rotacional da haste do pêndulo em torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por: onde I é o momento de inércia da haste em relação ao centro de gravidade. O movimento horizontal do centro de gravidade da haste do pêndulo é dado por: O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pêndulo é: O movimento horizontal do carro é descrito por: Como devemos manter o pêndulo invertido na posição vertical, podemos admitir que θ(t) e (t) sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer senθ=θ, cosθ=1 e 2 0. Então, as equações de (3.48) a (3.50) podem ser linearizadas como se segue: Com o auxílio das equações (3.51) e (3.53), obtemos: e a partir das equações (3.52), (3.53) e (3.54) obtemos:

31 ou As equações (3.55) e (3.56) descrevem o movimento do sistema de pêndulo invertido sobre o carro. Elas constituem o modelo matemático do sistema. EXEMPLO 3.9 Considere o sistema de pêndulo invertido mostrado na Figura Como nesse sistema a massa está concentrada no topo da haste, o centro de gravidade é o centro da bola do pêndulo. Figura 3.21 Sistema de pêndulo invertido. Para esse caso, o momento de inércia do pêndulo sobre seu centro de gravidade é pequeno e vamos supor que t = 0 na Equação (3.56). Então, o modelo matemático para esse sistema passa a ser: As equações (3.57) e (3.58) podem ser modificadas para

32 A Equação (3.59) foi obtida pela eliminação de x das equações (3.57) e (3.58). A Equação (3.60) foi obtida pela eliminação de das equações (3.57) e (3.58). Utilizando a Equação (3.59), obtemos a função de transferência da planta como: O sistema de pêndulo invertido tem um pólo no semi-eixo negativo do eixo real e outro no semi-eixo positivo do eixo real. Então, a planta é instável em malha aberta. Defina as variáveis de estado x 1, x 2, x 3 e x 4 como: Note que o ângulo θ indica a rotação da haste do pêndulo em torno do ponto P e x é a localização do carro. Se considerarmos θ e x como saídas do sistema, então (Note que tanto θ como x são quantidades facilmente mensuráveis.) Então, a partir da definição das variáveis de estado pelas equações (3.59) e (3.60), obtemos: Em termos de equações vetorial-matriciais, temos:

33 As equações (3.61) e (3.62) são uma representação do sistema de pêndulo invertido no espaço de estados. (Note que a representação no espaço de estados do sistema não é única. Existe uma infinidade de representações possíveis para esse sistema.)

34 3.10 LINEARIZAÇÃO DE MODELOS Sistemas não-lineares. Um sistema é não-linear se o princípio da superposição não se aplicar a ele. Assim, para um sistema não-linear, não se pode obter a resposta a duas entradas simultâneas considerando as entradas individualmente e somando os resultados. Embora muitas relações de grandezas físicas sejam representadas por equações lineares, na maioria dos casos a relação entre elas não é efetivamente linear. De fato, um estudo cuidadoso dos sistemas físicos revela que mesmo os chamados sistemas lineares são realmente lineares somente para intervalos limitados de operação. Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos e outros envolvem relações não-lineares entre as variáveis. Por exemplo, a saída de um componente pode ser saturada para sinais de entrada de grande amplitude. Pode haver um espaço morto que afeta pequenos sinais. (O espaço morto de um componente é uma pequena gama de variações de entrada às quais o componente é insensível.) Não-linearidades quadráticas podem ocorrer em alguns componentes. Por exemplo, amortecedores utilizados em sistemas físicos podem ser lineares para operações de baixa velocidade, mas podem tornar-se não-lineares para velocidades elevadas e a ação de amortecimento pode se tornar proporcional ao quadrado da velocidade de operação. Linearização de sistemas não-lineares. Em dinâmica, uma operação normal do sistema pode ser em torno do ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno do equilíbrio. (Deve-se notar que existem várias exceções para esse caso.) Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinais envolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não-linear por um sistema linear. Esse sistema linear é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de um conjunto limitado de operações. Esse modelo linearizado (modelo linear, invariante no tempo) é muito importante na engenharia de controle. O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento da função não-linear em uma série de Taylor em torno do ponto de operação e a retenção somente do termo linear. Em virtude de desprezarmos os termos de ordem elevada da expansão da série de Taylor, esses termos desprezados devem ser suficientemente pequenos; isto é, as variáveis devem se desviar apenas ligeiramente das condições de operação. Aproximação linear de modelos matemáticos não-lineares. Para obter um modelo matemático linear de um sistema não-linear, admitimos que as variáveis desviem apenas ligeiramente de alguma condição de operação. Considere um sistema em que a entrada é x(t) e a saída é y(t). A relação entre y(t) e x(t) é dada por:

35 y = f(x) (3.83) Se a condição de operação normal corresponde a x, y, então a Equação (3.83) pode ser expandida em uma série de Taylor em torno desse ponto, como se segue: y=f(x) onde as derivadas df/dx, d 2 f/dx 2,... são avaliadas em x = x. Se a variação de x- x for pequena, podemos desprezar os termos de ordem mais elevada em x- x. Então, a Equação (3.84) pode ser escrita como: onde A Equação (3.85) pode ser reescrita como: que indica que y- y é proporcional a x- x. A Equação (3.86) fornece um modelo matemático linear para o sistema não-linear dado pela Equação (3.83), próximo do ponto de operação x- x, y- y. A seguir, considere o sistema não-linear cuja saída y é uma função de duas entradas, x 1 e x 2, tal que y = f(x 1,x 2 ) (3.87) Para obter uma aproximação linear desse sistema não-linear, podemos expandir a Equação (3.87) em uma série de Taylor em torno do ponto normal de operação x 1, x. A Equação (3.87) torna-se: 2

36 onde as derivadas parciais são calculadas em x 1 = x 1, x 2= x 2. Nas proximidades do ponto normal de operação, os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados. O modelo matemático linear desse sistema não-linear, nas proximidades das condições normais de operação, é então dado por: onde A técnica de linearização apresentada aqui é válida nas proximidades das condições de operação. Se as condições de operação variam muito, entretanto, essas equações linearizadas não são adequadas, e as equações não-lineares devem ser utilizadas. É importante lembrar que um modelo matemático particular, utilizado para fins de análise e projeto, pode representar com precisão a dinâmica de um sistema real para certas condições de operação, mas pode não ser preciso para outras condições de operação. EXEMPLO 3.15 Linearize a equação não-linear na região 5 x 7, 10 y 12. Encontre o erro para o caso em que a equação linearizada seja utilizada para calcular o valor de z quando x=5 e y=10. Como a região considerada é dada por 5 x 7, 10 y 12, selecione x =6, y =11. Então, z xy 66. Vamos obter a equação linearizada para a equação não-linear nas proximidades do ponto x =6, y =11. Expandindo a equação não-linear em uma série de Taylor próxima do ponto x= x, y= y e desprezando os termos de ordem mais elevada, temos: onde

37 Então, a equação linearizada é: ou Quando x=5, y=10, o valor de z dado pela equação linearizada é: o valor exato de z é z=xy=50. Assim, o erro é 50-49=1. Em termos de porcentagem, o erro é de 2%.