1 Sistemas multidimensionais e Linearização

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1 Teoria de Controle (sinopse) Sistemas multidimensionais e Linearização J. A. M. Felippe de Souza

2 Sistemas multidimensionais Linearização Aideia de sistemas é quase que intuitiva. Eemplos de sistemas físicos são muitos: o corpo humano, um carro se locomovendo, um elevador, um relógio em funcionamento, um foguete em direção ao espaço, um processo químico, etc. Portanto, uma primeira classificação de sistemas pode ser quanto a sua natureza: mecânica, elétrica, eletromecânica, biológica, económica, sociológica, etc. Modelo é uma idealização de um sistema físico obtido através de um estudo analítico deste. Um aparelho de rádio pode ser visto como sendo um sistema físico e o diagrama de circuitos no seu manual como sendo o seu modelo. Modelagem, ou Modelamento, ou Modelização (ou Modelling, em inglês) é um problema importante porque o sucesso de um projeto depende da construção de um bom modelo do sistema físico.

3 Sistemas multidimensionais Linearização Sem sombra de dúvida a maior classe de modelos matemáticos usados em Engenharia são aqueles descritos por equações diferenciais (ordinárias ou parciais). Eistem no entanto outros tipos de modelos descritos por equações de diferenças, equações com retardo, etc. É comum na prática identificar os termos sistemas modelo do sistema. Logo, fala-se comummente: este sistema, quando na realidade estamos nos referindo às equações que descrevem o sistema. O problema de Controlo surge quando se deseja atingir uma meta com determinado sistema ( modelo ). Geralmente um sistema apresenta entrada (input) e saída (output).

4 Sistemas multidimensionais Linearização A entrada, também chamada de controlo (pois é a variável que dispomos para controlar o sistema) é normalmente representada por u. Ela é uma função do tempo, não necessariamente unidimensional. Isto é, podem haver mais de uma entrada e isto é representado por um vetor u ( u, u,, u m ) R m, para cada t onde m é o número de entradas. A saída, também chamada de resposta ou observação do sistema é normalmente representada por y. A saída é também uma função do tempo, não necessariamente unidimensional. Por eemplo, no caso de haverem q saídas, y é o vetor y ( y, y,, y q ) R q, para cada t

5 Sistemas multidimensionais Linearização Os casos que trataremos aqui nesta disciplina, u e y serão funções contínuas definidas num intervalo [ t o, t f ] Ronde t o instante inicial, e t f instante final No entanto, eistem sistemas onde estas funções u e y não são contínuas, como é o caso de sistemas discretos. Numa formulação mais geral de sistemas nós temos u U e y Y para cada t onde U espaço de entrada (contém todos os valores possíveis para a entrada), e Y espaço de saída (contém todos os valores possíveis para a saída).

6 Sistemas multidimensionais Linearização O caso que trataremos nesta disciplina, como já foi mostrado acima, é quando U R m e Y R q A Teoria de Controlo estuda as funções u que levam, ou conduzem, o sistema de um para um estado inicial (t o ) no instante de tempo t o estado final (t f )desejado no instante de tempo t f. Com isso surge o conceito de estado do sistema que será ilustrado em alguns eemplos a seguir, e X R n espaço de estado do sistema, onde n é a dimensão do espaço de estado que é também a ordem do sistema.

7 Sistemas multidimensionais Linearização Eemplo Circuito elétrico u controlo (input) fonte de tensão ysaída (output) tensão na resistência A equação que descreve este circuito é di dt + i u (de ª ordem) com condição inicial dada por i(t o ) i o

8 Sistemas multidimensionais Linearização Definindo o estado do sistema como sendo a corrente i, i e portanto,. + u, (t o ) i o (.) e a saída do sistema é, y Neste eemplo, o espaço de entrada é de dimensão (U R ) pois u R e o espaço de saída é também de dimensão pois y Y R

9 Sistemas multidimensionais Linearização Além disso, X R para cada t logo, o espaço de estado é de dimensão também. Este sistema é linear e por isso foi possível colocar na forma matricial A + B u y C onde A [ ] B [] C [] O problema de controlo seria determinar que funções u aplicar na fonte de tensão (entrada do sistema) para conduzir este sistema de um para um estado inicial i o no instante t o estado final (t f ) desejado no instante t f.

10 Sistemas multidimensionais Linearização Eemplo Foguete lançado verticalmente µ controlo (input) empuo ( thrust ) aplicado ao foguete Para simplificar, vamos supor que o foguete tem massa unitária ( m ) e ausência de forças aerodinâmicas. Aequação que descreve o sistema é,.. µ g onde altura vertical, µ empuo (força/unidade de massa) aplicado ao foguete, g aceleração gravitacional. (.)

11 Sistemas multidimensionais Linearização A solução desta equação depende das condições iniciais (t o ) altura no instante t o e. (t o ) velocidade no instante t o Por eemplo, se no instante t o o foguete estiver ainda parado no solo, então. (.3) Definindo-se o estado do sistema como sendo onde. (t o ) e (t o ) (, ) T temos que., (t o ). g + µ, (t o ) (.4)

12 Sistemas multidimensionais Linearização e a equação diferencial de ª ordem acima (.) foi reduzida a um sistema de duas equações diferenciais de ª ordem, da mesma forma que no Eemplo acima escrevemos o estado na forma. f ( t,, µ ), (t o ) o (.5) onde o (, ) T Note que o estado do sistema, como foi definido acima, é o par posição-velocidade no instante t. Como R, para cada t, a dimensão do espaço de estado é. Como este sistema não é linear, não foi possível colocar na forma A + B u, () o (.6) Será necessário linearizar o sistema para podermos colocá-lo nesta forma.

13 Sistemas multidimensionais Linearização Para linearizar este sistema vamos redefinir o empuo µ como: µ g + u onde u são pequenas variações de µ em torno do valor g. Então (.4) torna-se., (t o ). u, (t o ) que está na forma (.6), ou seja A + B u, () o onde A, B e o e assim o sistema foi linearizado.

14 Sistemas multidimensionais Linearização O problema de controlo estuda as funções u que devemos aplicar para levar o sistema de um estado (i.e., de uma determinada posição e velocidade) no instante inicial t o para outro estado (i.e., outra posição e velocidade), no instante final t f. A saída (observação) deste sistema pode ser, por eemplo, a própria altura, e portanto y [ ] que tem a forma y C C (.7)

15 Sistemas multidimensionais Linearização Eemplo 3 Sistema Massa-Mola u controlo (input) força aplicada ao carro A equação que descreve este sistema é onde.. m k + u posição do carro no instante t, k constante de elasticidade da mola, u força aplicada.

16 Sistemas multidimensionais Linearização As condições iniciais são: Definindo-se. velocidade do carro no instante t temos (t o ) e (t o ). ɺ, ɺ k + u, m m que está novamente na forma (.5).. f ( t,, u ), (t ) o (t ) o (t o ) o (.8) Como (.8) acima é linear, o que não ocorria no Eemplo, podemos também reescrevê-las na forma (.6), ou seja, A + B u, () o

17 Sistemas multidimensionais Linearização onde A k / m B o, / m e Ou seja, se as equações dinâmicas do sistema, neste caso (.8), forem lineares, então o sistema pode ser reescrito na forma matricial (.6). Como (, ) R, a dimensão do espaço de estado é. A saída do sistema pode ser, por eemplo y [ ] que tem a forma (.7), ou seja, y C C

18 Sistemas multidimensionais Linearização Eemplo 4 Sistema Carro com pêndulo u controlo (input) força aplicada ao carro As equações que descrevem este sistema são

19 Sistemas multidimensionais Linearização Mɺɺ s u + F sen θ m d (s + lsen θ ) F sen θ dt (.9) (.) m d ( l cos θ ) F cos θ + mg dt (.) Eliminando-se F entre (.) e (.) temos l ɺɺ θ( t) + g sen θ + ɺs cos θ (.) Eliminando-se F entre (.9) e (.) temos u (M + m) ɺɺ s + ml ɺɺ θ cos θ ml θɺ sen θ (.3) Portanto, temos duas equações diferenciais ordinárias não lineares, (.) e (.3).

20 Sistemas multidimensionais Linearização As condições iniciais são: s(t o ) s deslocamento do carro no instante t o, s(t o ) s velocidade do carro no instante t o, θ(t o ) θ ângulo do pêndulo com a vertical no instante t o, e θ(t o ) θ velocidade angular do pêndulo no instante t o. Definindo-se o estado ( s, s, θ, θ ) R 4 pode-se facilmente escrever (.) e (.3) na forma (.5), isto é Entretanto nós iremos aproimar (.) e (.3) por equações lineares para podermos reescrever o sistema da forma matricial (.6).. f ( t,, u ). A + B u, (t o ) o Este procedimento é chamado de linearização do sistema.

21 Sistemas multidimensionais Linearização Assumindo-se θ e θ pequenos, isto é, pequenos ângulos e pequenas velocidades angulares para o pêndulo, podemos desprezar os termos não lineares das equações (.) e (.3): sen θ θ cos θ θ ɺ e as equações (.) e (.3) tornam-se l ɺɺ θ + g θ + ɺɺ s u (M + m) ɺɺ s + m l ɺɺ θ (.4) (.5) Agora multiplicando-se (.4) por m e substituindo-se em (.5) obtém-se (.6) abaio. Por outro lado, multiplicando-se (.4) por M e substituindo-se em (.5) obtém-se (.7) abaio.

22 Sistemas multidimensionais Linearização Mɺɺ s mg θ u M l ɺɺ θ + (m + M) g θ u Portanto, como s, θ 3 e θ 4 (.6) (.7) podemos reescrever as equações (.6) e (.7) acima obtendo as equações (.8) e (.9) abaio: M ɺ mg + u 3 Ml ɺ (m + M) g u 4 3 ɺ mg ɺ 3 + u M M ɺ 3 4 (m + M) ɺ 4 g 3 u Ml Ml (.8) (.9) Pela definição de estado acima obtém-se s e 3 θ 4, logo: (.)

23 Sistemas multidimensionais Linearização que está na forma (.6) A + B u, (t o ) o onde Ml / M / B + M M)g (m M mg A l θ θ o s s e E, claro, a dimensão do espaço de estado é 4. (.),

24 Sistemas multidimensionais Linearização Observe que as equações em (.), ou (.), só são válidas para valores de 3 e 4 próimos de zero. Isto é, este sistema foi linearizado, nas componentes 3 e 4, em torno de zero. Suponha agora que pode-se medir s (deslocamento do carro) e θ (ângulo do pêndulo) a cada instante t, mas não s ou θ. A saída y torna-se portanto: y s θ 3 (.) ou seja, na forma (.7), y C C

25 Sistemas multidimensionais Linearização Neste eemplo a linearização também podia ser vista como substituindo θ θɺ onde 3, 4 e ambos 3 e 4 são valores pequenos, ou seja, próimos de zero. 3 4 Ou seja, linearizar um sistema consiste em definir um ponto de operação e redefinir as variáveis não lineares como pequenas variações em torno deste ponto de operação. O sistema linearizado só é válido nas proimidades do ponto de operação. Para outras situações torna-se necessário definir um novo ponto de operação e linearizar novamente o sistema.

26 Sistemas multidimensionais Linearização Eemplo 5 Um tanque de mistura Este tanque mistura o líquido (de concentração c, constante) com o líquido (de concentração c, constante).

27 Sistemas multidimensionais Linearização µ i fluo ou caudal (em m 3 /s) do líquido i no instante t, i, c concentração do líquido no tanque concentração do líquido na saída. V volume do líquido no tanque S h h altura do líquido no tanque. S área secional do tanque. Este sistema é descrito por dv dt d dt µ + η [ c V ] c µ + c µ c η O fluo (caudal) de saída η pode ser epresso como µ (.3) η( t) k h k V / S onde k é uma constante eperimental.

28 Sistemas multidimensionais Linearização Portanto, (.7) torna-se dv dt d dt k V / S [ c V ] c k V / S + c µ + c µ Neste ponto nós poderíamos definir o estado e a entrada u como ( V, c ) R n, n u ( µ, µ ) R m, m e escrever este sistema na forma (.5), isto é,. + f ( t,, u ). No entanto, semelhantemente ao Eemplo 4, nós iremos linearizar as equações em (.4) acima e escrevemos o sistema na forma matricial (.6), isto é, A µ + µ + B u, (t o ) o (.4)

29 Sistemas multidimensionais Linearização No Eemplo 4 o sistema foi linearizado com relação a duas componentes do estado, em torno de zero. Aqui nós iremos linearizar (.4) com relação a µ, µ, η, V e c em torno dos valores nominais µ, µ, η, V e c. do sistema em regime estacionário onde estas quantidades são constantes e satisfazem, µ + µ η verificação da consistência c µ + c µ c η (.5) Dado µ e µ (fluo, ou caudal, estacionário de entrada) estas equações podem ser resolvidas para η k V / S η, V e c

30 Sistemas multidimensionais Linearização Agora vamos assumir apenas pequenas variações do regime estacionário e definir que o estado (, ), a entrada u ( u, u ), e a saída y como sendo eatamente estas variações do regime estacionário, isto é, µ µ + u µ µ + u V V + c c + η η + y

31 Sistemas multidimensionais Linearização ɺ k V V / S + u + u ɺ V + c ɺ c k V V / S [ ] k V / S + c u + c u Usando a terceira equação em (.5) obtemos ɺ ɺ V ( η / V) + c ɺ + c ( η u / V) + u η + c u + c u (.6) Defina θ V η tempo para esvaziar o tanque com volume V e o fluo (ou caudal) de saída η

32 Sistemas multidimensionais Linearização ou seja, e elimine da segunda equação de (.6) acima, então As condições iniciais são dadas por A + B u... () V() V () c() c + θ θ u u V c c V c c ɺ ɺ ɺ (.7)

33 Sistemas multidimensionais Linearização Asaída completa é onde y já foi definida acima e y Isto é, ao invés de considerarmos a saída como sendo o fluo de saída η e a concentração c, nós tomamos as variações destes com respeito aos valores nominais η e c. Portanto, y que tem a forma (.7) y ( y, y ), θ C y C C (.8)

34 Obrigado! Felippe de Souza