Controle por Rastreamento em Espaço de Estados

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1 Controle por Rastreamento em Espaço de Estados O termo rastreamento (tracking) significa que desejamos que o processo rastreie um sinal de referencia. Exemplo de rastreamento: suponha que estamos lidando com um motor DC e nele temos um sinal de referencia senoidal r(t) = 2+sin(2t), o que significa que desejamos que a saída (velocidade angular) siga a referencia de modo perfeito, ou seja w(t) = 2+sin(2t). Se após algum tempo breve, a saída w(t) seguir perfeitamente o sinal de entrada então dizemos que o rastreamento foi obtido com sucesso. Em sistemas no formato uma única entrada uma única saída utilizamos o controlador PI tradicional, pois já vimos que usualmente ele consegue promover um erro estacionário nulo. Em sistemas multiplas entradas multiplas saídas vamos utilizar a motivação do PI de modo a implementar um PI modificado, e esse será responsável por realizar o rastreamento. 1 of 10

2 Figura: Representação do sistema de controle com multiplas entradas-multiplas saídas. O controlador precisa ser elaborado (programado) de modo que a saída rastreie o sinal da entrada de referencia. 2 of 10

3 Rastreamento Vamos considerar o projeto de rastreamento de uma única variável. Veja o esquemático. Desejamos que r(t) y(t) 0. 3 of 10

4 Rastreamento Desse esquema acima extraímos as equações ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t) u(t) = Kx(t)+Hq(t), q(t) = t 0 (r(τ) y(τ))dτ A ultima equação q(t) = t (r(τ) y(τ))dτ pode ser reescrita de modo 0 equivalente a q(t) = r(t) y(t). 4 of 10

5 Fazendo as substituições encontramos: ẋ(t) = Ax(t)+BKx(t)+BHq(t); y(t) = Cx(t); q(t) = r(t) y(t). Escrevendo o sistema na forma aumentada chegamos em: [ẋ(t) ] [ ][ ] [ ] A+BK BH x(t) 0 = + r(t) q(t) C 0 q(t) 1 y(t) = [ C 0 ][ ] x(t) q(t) 5 of 10

6 Estabilidade Vamos definir a matriz P = [ ] A+BK BH C 0 Dizemos que o sistema de equações [ẋ(t) ] [ ][ ] A+BK BH x(t) = q(t) C 0 q(t) [ ] 0 + r(t) 1 y(t) = [ C 0 ][ ] x(t) q(t) é estável quando a parte real de todos os autovalores de P são negativas. Isso significa que todos os autovalores (pólos) de P estão localizados no semiplano esquerdo. Raízes de det(λi P) = 0 geram os autovalores de P. Use a Tabela de Routh para encontrar K e H que estabilizam o sistema em malha fechada. 6 of 10

7 Exemplo Considere um motor DC descrito por um sistema linear na forma [ẇ(t) ] [ ][ ] [ 1 3 w(t) 0 = + u(t), y(t) = [1 0]x(t) i(t) 2 3 i(t) 5] no qual w(t) representa a velocidade angular (rad/s) e i(t) a corrente elétrica (A). Determine um esquema de controlador de realimentação de estados que seja estável e que faça com que a velocidade angular w(t) rastreie um sinal de entrada r(t) qualquer. Solução: O esquema de controlador a ser adotado deve ser o esquema dos slides anteriores. Nele precisaremos determinar K e H adequados de modo a garantir a estabilidade do sistema [ẋ(t) ] = q(t) [ A+BK BH C 0 ][ x(t) q(t) ] [ ] 0 + r(t) 1 y(t) = [ C 0 ][ ] x(t) q(t) 7 of 10

8 Exemplo Desejamos determinar valores de K = [k 1 k 2 ] e H = [h 1 ] de modo que o sistema seja estável. Então montamos a matriz P: [ ] A+BK BH P = = 2+5k C k 2 5h Para calcular os autovalores de P precisamos avaliar o polinomio λ det(λi P) = det 2 5k 1 λ+3 5k 2 5h λ Há infinitas combinações de k 1,k 2,h 1 que garantem a estabilidade. Por exemplo, se adotamos h 1 = 1, as contas para determinar k 1 e k 2 se simplificam com Tabela de Routh. 8 of 10

9 Exemplo O polinomio de det(λi P) será igual a λ 3 +(4 5k 2 )λ 2 +(9 15k 2 5k 2 )λ+15 λ k 2 5k 2 λ 2 4 5k 2 0 Tabela de Routh do polinomio: λ 1 (4 5k 2)(9 15k 2 5k 2) k 2 λ 0 15 O polinomio é estável quando a 1a. coluna não tem troca de sinal. Portanto 4 5k 2 > 0 (4 5k 2 )(9 15k 2 5k 2 ) k 2 > 0 Fixe k 2 = 1/5 e k 1 = 1. Ambos satisfazem as desigualdades acima. Portanto, como todos os autovalores estão no semiplano esquerdo, o sistema será estável e fará o rastreamento desejado. 9 of 10

10 Homework Homework Considere o sistema do exercicio anterior. Determine k 1,k 2,h 1 de modo que todos os autovalores de P tenham parte real à esquerda de 3. (Determine k 1,k 2,h 1 algebricamente sem o uso do computador). 10 of 10