Der Grosse Zapfenstreich

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1 Der Grosse Zapfenstreich Rudolf Julius Emanuel Clausius Dienstag zwanzig Juli, anno Domini MMX 1 Q1 (P1), a placa de gelo 1.1 Enunciado Uma grande placa de gelo flutua dentro de uma piscina cheio de água. A piscina tem uma forma cilíndrica com base circular de raio R = 5, 0m. A placa de gelo tem também uma forma cilíndrica com raio r = 3, 0m e uma altura h = 0, 25m. Um disco de ferro com base de raio r 0 = 10, 0cm e altura h 0 = 5, 0cm está colocada em cima da placa de gelo. (a) (1,0) Determine a altura h sub da parte submersa da placa de gelo. (b) (1,0) Com o disco de ferro em cima da placa de gelo, a altura da água na piscina é de H = 2, 0 m. Determine o volume da água na piscina. (c) (0,5) Depois de o gelo derreter, determine se H final, a nova altura da água na piscina, é menor, igual ou maior do que H? Dados: densidade da água : ρ agua = 0, kg/m 3, do gelo : ρ gelo = 0, kg/m 3 e do ferro : ρ ferro = 7, kg/m 3. 1

2 1.2 Q1 (P1), solução (a) (0,8) Archimedes falou : π r 2 h ρ gelo + π r 2 0 h 0 ρ ferro = π r 2 h sub ρ agua donde : h sub = h ρ 2 gelo r 0 ρ ferro + h 0 ρ agua r 2 ρ agua = cm cm 23, 0 cm (b) (0,8) V agua = π R 2 H V sub = π ( R 2 H r 2 ) h sub = π ( , 23) m m 3 (c) (0,9) Archimedes fala de novo : π R 2 H final = V ferro + V agua + V gelo derretido = π r 0 2 h 0 + ( π R 2 H π r 2 h sub ) + π r0 2 h 0 ρ gelo ρ agua = π R 2 H π r 2 ρ ferro 0 h 0 1 ρ agua onde usamos a expressão de h sub! Logo obtemos : H final = H r 0 2 ρ ferro ρ agua h R 2 0 ρ agua que, visto que ρ ferro > ρ agua, é menor do que H. 2

3 Para o ítem (c) há um argumento mais archimedeano que é que o volume de ferro V ferro vezes a sua densidade ρ ferro que é a massa, corresponde a uma mesma massa de água submersa que é um volume V imersa vezes a densidade da água ρ agua. Como o ferro é mais denso, o seu volume equivalente de água será maior do que quando ele, o ferro, estiver imerso. Logo o ferro imerso ocupa menos espaç que o ferro em cima do gelo e H fin < H. 3

4 2 Q2 (P1,PF), o açougueiro esperto Enunciado Uma balança de açougueiro funciona com uma mola com massa desprezível. A mola está fixada verticalmente numa extremidade ao fundo da balança e na outra extremidade a um prato de massa m = 100 g. Com o prato vazio, a mola se encontra comprimida de z = 0, 25 cm. (a) (0,6) determine a constante elástica equivalente da mola. O açougueiro deixa cair uma posta de carne de massa M = 1, 5 kg de uma altura de h = 5 cm acima do prato. O choque com o prato é completamente inelástico. Determine : (b) (0,6) a velocidade do conjunto prato + carne, logo após a colisão; (c) (0,6) a amplitude da oscilação subsequente; (d) (0,7) o período da oscilação. Um belo desenho da balança 4

5 2.1 Q2 (P1,PF), solução (a) (0,6) k = mg 0, 1 9, 8 = z 0, N/m = 392 N/m (b) (0,6) A conservação do momento linear resulta em : M V 0 = 2gh M + m = 1, , 8 0, 05 m/s = m/s 0, 93 m/s 1, 6 16 (c) (0,6) No instante inicial o conjunto carne prato está em cima do ponto de equilíbrio desse conjunto de : H = (m + M)g/k (mg)/k = Mg/k = M z = 0, 27 cm m Depois da colisão há conservação de energia e 1 2 ka2 = 1 2 k ( H) (m + M)V 0 2 determina a amplitude : A = ( H) 2 + (m + M)V k 0, 08 m

6 (d) (0,7) m + M T = 2 π k é o período da oscilação. 0, 40 s 6

7 3 Q3 (P1,PF), a corda 3.1 Enunciado Uma corda, submetida a uma tensão de 180 N e presa em ambos as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por : ( ) π y(x, t) = 0, 12 sin 2 x sin(24π t) onde x = 0 numa das pontas da corda, x e y são dados em metros e t em segundos. Determine : (a) (0,6) o comprimento da corda; (b) (0,6) a velocidade de propagação das ondas na corda; (c) (0,6) a massa da corda. (d) (0,7) Se a corda oscilar num padrão de onda estacionária referente ao terceiro harmônico, qual seria o período de oscilação? 7

8 3.2 Q3 (P1,PF), solução (a) (0,6) No segundo harmônico o comprimento de onda é igual ao comprimento da corda : L = λ. π E λ é definido por : 2 (x + λ) = π x + 2π, donde 2 λ = 4 m, e L = 4 m (b) (0,6) O período T é definido por : 24 π (t + T) = 24 π t + 2π, donde T = 1 12 s, e a velocidade de propagação na corda c é obtida como : c = λ T = 48 m/s (c) (0,6) Da relação entre essa velocidade e as características mecânicas da corda : c = F/µ, onde µ = M/L é a densidade linear de massa, obtemos : M = F L c 2 = (48) 2 kg 0, 312 kg (d) (0,7) No terceiro harmônico, temos λ 3 = 2 L/3 e o período é T 3 = λ 3 /c = 2 3 T = 1 18 s 8

9 4 Q4 (P1), Doppler está vivo 4.1 Enunciado Dois diapasões idênticos oscilam a f 0 = 442Hz. O comandante encontra se em algum ponto no caminho (reto) entre os dois. Calcule a frequência de batimento percebida pelo comandante, se (a) (1,3) ele permanece imóvel e os diapasões são deslocados para direita a 31, 3 m/s; (b) (1,2) os diapasões permanecem estacionários e o ligeiro comandante move-se na mesma direção e no mesmo sentido para direita a 31, 3 m/s. Na prova, o formulário indicou um valor de 340 m/s para a velocidade do som. Eu utilizei 344 m/s. Nenhuma explicação foi dada para quê o valor de 31, 3 m/s 119 km/h, a velocidade na qual que o comandante corre entre os diapasões. 9

10 4.2 Q4 (P1), solução Seja f 1 a frequência do diapasão mais a esquerda, e seja f 2 a frequência do diapasão mais a direita que o comandante observe. (a) (1,3) O observador está parado e as fontes estão em movimento. 344 f 1 = 442 Hz = 480 Hz , f 2 = 442 Hz = 405 Hz , 3 Logo f = f 1 f 2 = 81 Hz (b) (1,2) O obsrvador move-se na para direita e as fontes permanecem paradas. Logo f 1 = f 2 = , Hz = 402 Hz , Hz = 482 Hz 343 f = f 2 f 1 = 80 Hz 10

11 5 Q5 (P2), Dilatando réguas 5.1 Enunciado (2,5) Uma régua de aço foi usada para medir o comprimento de uma barra de determinado material. A medida foi l B (20) = 20, 05 cm a temperatura de 20 o C. A barra e a régua foram colocada juntas em um forno. Na temperatura de 270 o C, a barra passou a medir l B (270) = 20, 11 cm de acordo com a mesma régua. Determine o coeficiente de expansão linear do material da barra. Dados: : αaço = ( o C) 1. 11

12 5.2 Q5 (P2), solução A 20 o C a medida da barra coincide com uma medida na régua de l B (20) = l R (20) = 20, 05 cm. Na temperatura de 270 o C, essa medida na régua ainda é de l R (270) = 20, 05 cm(270) mas corresponde a um comprimento real de l R (270) = (1 +αaço 250) l R (20) = 20, 05 cm(270) O comprimento da barra medida pela régua é de 20, 11 cm(270) l B (270) = (1 + α B 250) l B (20) = 20, 11 cm(270) Obtemos : Donde 1 + α B αaço 250 = α B = ( o C) 1 12

13 6 Q6 (P2), A bela figura 6.1 Enunciado A figura ao lado mostra, em corte, um recipiente de paredes adiabáticas que é munido de um pistão móvel, também feito de material adiabático, de massa M = 10 kg e área A = 200 cm 2. Este recipiente contém em seu interior 3 litros de gás Hélio (He, monoatômico, com masssa molar M = 4, 0g/mol) na temperatura e 20 o C. Um aquecedor elétrico, interno ao recipiente, é posto para funcionar de modo a elevar gradualmente a temperatura do gás até 70 o C. Supondo que o pistão move-se sem atrito e que a pressão externa ao recipiente é de 1 atm, detemine para este gás : (a) (0,7) a sua densidade volumétrica ρ; (b) (0,6) a velocidade quadrática média inicial v rms de seus átomos constituintes; (c) (0,6) o volume final V f que ele ocupa; (d) (0,6) o trabalho W if realizado ( pelo ou sobre o gás???), a variação da energia interna U if e o calor Q if fornecido ao sistema. Dados : R = 8, 31J/(mol K), p atm = 1bar = 1, Pa. 13

14 6.2 Q6 (P2), solução (a) (0,7) A pressão dentro do recipiente compensa a pressão atmosférica e o peso do êmbolo : p = p atm + M g A = 1, Pa o que determina n R = p V T = (1, ) ( ) = 1, 087 J/K 293 e a densidade : ρ = n M V = p M R T = (1, ) 4, 0 g/m 3 = 174, 5 g/m 3 8, (b) (0,6) Para 1 mol temos : donde (c) (0,6) v rms = 1 2 M v rms 2 = 3 2 R T 3 R T M = 1351 m/s V f = V i T f T i = 3, 51 l 14

15 (d) (0,6) A pressão fica constante de modo que W if = p (V f V i ) = n R (T f T i ) = 54, 3 J Temos a capacidade térmica molar a pressão constante C p = 5R/2 donde Q if = n C p (T f T i ) = 5 2 nr (T f T i ) = 135, 8 J e a variação da energia interna Verificamos que U if = 3 2 nr(t f T i ) = 81, 5 J U if = Q if W f 15

16 7 Q7 (P2,PF), De novo, um cíclo com 3 etapas 7.1 Enunciado Um mol de um gás ideal di-atômico sofre o processo mostrado no diagrama p V da figura abaixo, em que p é dada em atmosferas (atm) e V em litros (l). Sabe-se que cada ciclo é descrito no sentido a b c a, sendo o processo a b uma expansão adiabática reversível, o processo b c uma compressão isotérmica e c a um aumento de pressão isovolumétrico. Na figura V a = V c = 25l e V b = 40l. (a) (0,6) Determine a pressão p a e a temperatura T a no estado a. (b) (0,7) Calcule o calor Q trocado e o trabalho W realizado nos três processoa que compõem o ciclo. (c) (0,6 Obtenha o rendimento η de uma máquina térmica cujo agente opera neste ciclo. (d) (0,6) Compare η com o rendimento de uma máquina térmica de Carnot que operasse entre as temperaturas mais alta e mais baixa deste ciclo. 16

17 7.2 Q7 (P2,PF), solução (a) (0,6) O processo b c é isotérmico donde p b = p c V c /V b = p c (V a /V b ) e p a = p b V b V a γ = p c V b V a γ 1 Como 1 atm 1 l 100 J, achamos : R T a = p a V a = 3025 J e T a = p a V a R = 1, , 31 = p c (1, 6) 0,4 = 1, 21 atm 100 K = 364 K (b) (0,7) Para o processo isovolumétrico c a temos : W ca = 0 Q ca = C V (T a T c ) = (5/2) (RT a RT c ) = 2, 5 (p a p c )V c = 1312 J Para o processo adiabático a b temos : W ab = C V (T b T a ) = C V (T a T c ) = 1312 J Q ab = 0 Para o processo isotérmico b c temos : W bc = Q bc = R T c ln V c V b = 1175 J 17

18 (c) (0,6) (d) (0,6) η = W ab + W bc Q ca = η Carnot = T a T c T a = p a p c p a = 0, 21 1, 21 = 0, 10 = 0, 17 18

19 8 Q8 (P2,PF), Caliente no calorímetro 8.1 Enunciado Dentro de um calorímetro com capacidade calorífica desprezível, mistura-se 0, 5 l de água a temperatura de 10 o C com 5, 0 kg de gelo a uma temperatura de 20 o C. Supondo que o sistema gelo água se encontra isolado térmicamente, determine : (a) (0,5) a temperatura final de equilíbrio T eq do sistema; (b) (0,5) a massa de gelo restante m eq no equilíbrio; (c) (0,5) a variação da entropia S a da água; (d) (0,5) a variação da entropia S g do gelo; (e) (0,5) a variação da entropia S a+g do sistema água + gelo. 19

20 8.2 Q8 (P2,PF), solução (a) (0,5) A água vai se resfriar até 0 o C cedendo : Q 1 = 500 1, 0 10 cal = 5000 cal, congelando em 0 o C vai ceder mais : Q 2 = cal = cal. O gelo para ir até 0 o C precisa de : Q 3 = , 5 20 cal = cal. Está faltando 5000 cal que vão resfriar 5, 5 kg de gelo a 0 o C até θ tal que : donde 5500 g 0, 5 cal/(g o C) θ cal = 0 θ = 1, 8 o C (b) (0,5) Todo água foi congelada m eq = 5500 g. (c) (0,5) O processo se faz em três etapas : S 1 = 500 g 1, 0 cal 273 ln = 17, 99 cal/k S 2 = g K 5000 g 80, 0 cal/g 273 K S 3 = 500 g 0, 5 cal g K Com a soma 283 ln 271, S agua = 164, 5 cal/k 20 = 145, 52 cal/k = 1, 65 cal/k

21 (d) (0,5) S gelo = 5000 g 0, 5 cal 271, 2 ln g K 253 (e) (0,5) S universo = +9, 16 cal/k que é positivo como deve ser. Para uma resposta em Joules : 1 cal = 4, 18 J = +173, 67 cal/k 21