TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA COLECÇÃO DE PROBLEMAS PARTE - III TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS ENTROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA

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1 ERMODINÂMICA E ESRUURA DA MAÉRIA COLECÇÃO DE PROBLEMAS PARE - III RANSFORMAÇÕES ERMODINÂMICAS ENROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA ERMODINÂMICA Luís Lemos Alves, 2004

2 1- Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 120L, dos quais 100L são ocupados por ar (gás diatómico ideal). A porta da arca tem 1m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética. Suponha que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura uniforme de 23 o C e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar interior arrefece até à temperatura de 28 o C, ficando o sistema em equilíbrio. a) Calcule o número de moles, n, de ar dentro da arca. b) Calcule, justificando, os calores específicos molares do ar a volume e a pressão constantes. Obtenha o coeficiente adiabático do ar (γ). c) Calcule o calor trocado pelo ar, após se ter fechado a porta e o equilíbrio ter sido atingido. d) Calcule a força necessária para reabrir a porta. e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da arca, o volume do ar aumenta 10L antes que a porta se abra e a pressão atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura do ar imediatamente antes de a porta se abrir. 2- Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1cm 3 de água, à temperatura de 100 o C. 3- Considere 100g de gelo à temperatura 0 = 0 o C, em contacto com o ar ambiente à temperatura amb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água líquida a 0 o C. a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo + ambiente = Universo), supondo amb =30 o C (Verão em Lisboa). b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse amb =0 o C (Inverno em Paris). [Despreze as variações de volume do sistema gelo-água]

3 4- Um cubo de gelo de massa 1g é colocado dentro de uma caixa hermética e termicamente isolada onde existem 2 moles de ar (gás diatómico ideal). Inicialmente o gelo encontra-se a 0 o C e o ar encontra-se a 10 o C à pressão atmosférica normal, p atm. a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores específicos molares a volume e pressão constantes, C V (ar) e C p (ar), para o ar dentro da caixa. b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura constante de 0 o C. Calcule a variação de energia interna U ar e a temperatura final f (ar) do ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo. c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, eq, após a fusão do gelo. [Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são idênticos.] d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão (a 0 o C). e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a fusão do gelo é um processo irreversível. f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0 C, está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da caixa não varia significativamente durante este processo de fusão. Discuta a veracidade desta aproximação.

4 5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com volume V cobre = 1L até à sua temperatura de fusão, cobre = 1083 o C. Para se arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume V água de água fria, à temperatura água = 20 o C. Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica: A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume V A de água (que abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do bloco até A, cobre = 100 o C; B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial água e uma temperatura final de equilíbrio eq. Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar ambiente. a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor específico mássico a volume constante do bloco de cobre, C V (cobre). b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água Q A, durante a transformação A. c) Calcule o volume V A de vapor de água, produzido durante a transformação A. d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a transformação A. e) Suponha que o volume total de água é V água = 5L.Obtenha o valor da temperatura de equilíbrio eq, após a transformação B. Indique, justificando, qual o valor de eq quando V água >> 1.

5 6- Considere uma mole de hélio à pressão p i = 1bar e temperatura i = 300K, em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão livre, de secção 10cm 2, tem massa desprezável. Coloca-se uma massa M = 20kg sobre o pistão, a qual é responsável por uma compressão isotérmica do gás até uma nova situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito. a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, p f. b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no processo de compressão. c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação. Indique se a transformação é reversível ou irreversível. 7- Considere hélio (He) à pressão p i = 6x10 5 Pa e temperatura i = 3000K, em equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com volume inicial V i = 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás se expanda de forma adiabática até uma temperatura f = 2000K. Admita que o hélio é um gás perfeito. a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo. b) Calcule a variação de energia interna U e o trabalho W gas realizado pelo gás na expansão. c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível. c1) Calcule o volume final V f ocupado pelo gás. c2) Calcule a pressão final p f do gás. d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior. d1) Calcule o volume final V f irr ocupado pelo gás. d2) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta transformação.

6 8- Considere uma mole de N 2 que se encontra dentro de um recipiente isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os compartimentos A e B estão separados por uma divisória móvel, de massa m e espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base do recipiente. Em B existe vácuo. Considere o azoto como um gás ideal. Sejam ainda: V A = 1m 3 ; V B = V A ; A = 200K; m = 2,5kg; h = 8,3m. Num primeiro processo de transformação a divisória é removida horizontalmente. Para este caso: a) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. b) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a expansão, para repor a pressão inicial. c) Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse tratado como um gás real. Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considerase que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este caso: d) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. e) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea b) e comente. f) Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer calor). Comente a diferença entre os valores calculados.

7 9- Considere um gás ideal monoatómico, de calor específico molar C V = 3R/2, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo pistão, de área A = 20cm 2, possui uma massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura 0 = 300K, em equilíbrio com a pressão atmosférica exterior p 0 =1atm e ocupando um volume V 0 =1L. a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M = 10kg sobre o pistão, provocando-se a compressão isotérmica do gás. a1) Calcule a pressão p i de equilíbrio após a compressão. a2) Calcule o volume V i de equilíbrio após a compressão. a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com o exterior, durante a compressão. b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio. b1) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão, respectivamente p f e V f. b2) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com o exterior, durante a expansão. c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial ( 0, p 0, V 0 ) e o equilíbrio final ( 0, p f, V f ). Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade. 10- Considere um gás ideal, de calor específico molar C V = 3R/2, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura 0 = 300K, em equilíbrio à pressão p 0 = p atm, e ocupando um volume V 0 = 1dm 3. O pistão está sujeito à pressão atmosférica exterior p atm = 1atm. Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás. Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de temperatura 1 = 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás até um volume V 1. Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura 0 = 300K, o que provoca uma compressão isobárica do gás.

8 a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu processo de expansão. b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de expansão. c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão, a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre o gás e o calor total fornecido ao gás. d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global (expansão seguida de compressão) é ou não reversível. 11- O ar no interior dum pneu encontra-se à pressão p i = 3,5atm e à temperatura i = 300K. Admita que o ar se comporta como um gás perfeito diatómico. a) Calcule a densidade do ar (em partículas m -3 ) no interior do pneu, e os seus calores específicos molares a pressão e a volume constantes. b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente a sua válvula. Admita que o ar realiza uma expansão rápida (adiabática) entre os volumes V i (p i, i ) e V f (p atm, f ). (NOA: p atm = 1 atm é a pressão atmosférica). b1) Suponha que a expansão realizada pelo ar do pneu era reversível. Calcule a nova temperatura final do ar, f rev, após a expansão. b2) Suponha agora que o ar do pneu se expande de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior (o que é bem mais realista). Admita que, nestas condições, o ar do pneu realiza um trabalho sobre o exterior dado por W = p atm (V f - V i ). Calcule a nova temperatura final do ar, f irrev, após a expansão. Será esta forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula? Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.

9 12- Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c 1 e c 2 e temperaturas 1 e 2, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que atinjam o equilíbrio térmico à temperatura f. Admita c 1 e c 2 independentes da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume dos sólidos. a) Obtenha a expressão de f em função de 1 e 2. b) Obtenha a expressão da variação de entropia, S, do sistema dos dois sólidos. c) Mostre que S = S Universo > 0. [Sugestão: escreva S como a soma de duas funções de x / 1, e analise-as graficamente.] 13- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENES, que ocupam os dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas. Os compartimentos (de volumes V A e V B ) encontram-se termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existem n A moles de gás em equilíbrio à temperatura A, e no compartimento B existem n B moles de gás em equilíbrio à temperatura B. Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases. a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da mistura. b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois gases. c) Escreva a expressão obtida em b) para V A = V B e A = B.

10 14- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o ar se comporta como um gás perfeito de massa M = 29g mol -1, em "equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração da gravidade (g = 9,8ms -2 ) e o coeficiente adiabático do ar (γ = 1,4) não variam com a altitude z. a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p do gás e da sua massa volúmica ρ. b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z. c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p para z = 1km, sabendo que p 0 = 1atm e 0 = 300K à altitude z = O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.

11 O recipiente de volume V (grandes dimensões) encontra-se ligado a um manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe ar, à pressão p e temperatura, sobre o qual se efectuam as seguintes transformações: 0) Com a válvula aberta p=p atm, = amb e h=0. (p atm é a pressão atmosférica e amb a temperatura ambiente). 1) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p= p atm + ρ Hg gh (estado A). 2) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até regressar à pressão p=p atm (estado B). 3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura inicial, = amb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p= p atm + ρ Hg gh' (estado C). Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis. a) Represente num diagrama (p,v) e num diagrama (,S) as transformações (AB e BC) sofridas pelo ar. b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro. (Suponha ρ Hg gh, ρ Hg gh' «p atm ). c) Calcule γ para h=58 mm e h'=16 mm.

12 16- (e-lab) O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura abaixo. p g z V 0, p O recipiente de volume V 0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verificase que a esfera se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à diferença de pressões p p 0 (p 0 representa a pressão atmosférica). Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observase que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis) sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas. a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de p p 0. b) Exprima a diferença de pressões p p 0 em função das variações de volume V do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera. Admita que p p 0 << p 0 e V << V 0. c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão 2 1/ 2 ( mv p ) = 2π 0 / 0S γ. [Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório 2 sem atrito: & x& + 2π / x =.] ( ) 0 d) Calcule γ para m=20 g, V 0 =10 L, S=2,36 cm 2, p 0 =10 5 Pa e =1 s.

13 DADOS E CONSANES 1 atm = 1,013 x 10 5 Pa 1 cal = 4,186 J R = 8,314 J K -1 mol -1 g = 9,8 ms -2 ρ cobre = 8,9 kg L -1 M cobre = 63,54 g mol -1 ρ água = 1 kg L -1 C m,p (água) = 1 cal g -1 o C -1 λ fusão (gelo) = 80 cal g -1 λ vaporização (água) = 540 cal g -1

14 Soluções de questões seleccionadas 1- a) n = 4,9 mol b) C V = 20,8 J K -1 mol -1 C p = 29,1 J K -1 mol -1 γ = 1,4 c) Q = 509,6 J d) F = 1013 N e) p = 0,886x10 5 Pa = 239 K 2-1,447 cal o C a) S gelo = 122,7 J K -1 S amb = 110,5 J K -1 S universo = 12,2 J K -1 b) S universo = 0 J K b) U ar = 333,7 J f (ar) = 1,98 o C c) eq = 1,8 o C d) S gelo = 1,22 J K -1 f) p / p atm = 2,8% << 1 Aproximação válida 5- a) C m, V (cobre) = 0,39 J K -1 g -1 b) Q A = 3,412 MJ c) V A = 1,32 L e) S A, cobre = 4,48 kj K -1 f) eq = 34,7 o C (V água = 5 L) eq água = 20 o C (V água >> 1 L)

15 7- a) n = 0,96 mol b) U = W gás = 12 kj c) c1) V f = 73,5 L c2) p f = 2,2x10 5 Pa irr d) d1) V f = 158,5 L d2) S Universo = 6,1 J K a) A = A = 200 K p A = 831 Pa b) Q = 4155 J d) A = 190,2 K p A = 790 Pa e) Q = 4358 J f) S (1) = 5,76 J K -1 ; S (2) = 4,72 J K a) a1) p i = 1,5 atm a2) V i = 0,67 L a3) W = Q = 49,6 J b) b1) p f = p 0 = 1 atm ; V f = V 0 = 1 L b2) W = Q = 33,4 J c) S Universo = S ex = 0,054 J K a) U exp = 50,65 J b) W gás, exp = 33,77 J c) U = 0 J ; W = 0 J ; Q = 0 J (Q exp = Q comp > 0) 11- a) N/V = 8,6x10 25 m -3 b) b1) f rev = 210 K 63 o C b2) f irrev = 239 K 34 o C

16 12- a) f c c c c + + = b) ) ln( ) ln( 2 f 2 1 f 1 c c S + = 13- a) B A B B A A n n n n + + = eq ; B A B B A A V V n n R p + + = ) ( eq c) 2 ln ) ( R n n S B A + = 14- c) ) ( γ γ ρ γ γ = z g p p z p 15- b) h' h h γ 16- d) γ = 1,42