TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA COLECÇÃO DE PROBLEMAS

Transcrição

1 ERMODINÂMICA E ESRUURA DA MAÉRIA COLECÇÃO DE PROBLEMAS Luís Lemos Alves, 0

2 PARE - I INRODUÇÃO MAEMÁICA DEFINIÇÕES E CONCEIOS FUNDAMENAIS PRIMEIRO PRINCÍPIO DA ERMODINÂMICA CALORIMERIA

3 - Considere a função K p ( ) ( K const, K > 0) a) Represente graficamente p() para [, ],, > 0. b) Calcule a derivada dp/d e o diferencial dp. c) Calcule o integral, p ( ) d e interprete graficamente o resultado. p d) Calcule o integral dp, e interprete graficamente o resultado. p [Note que a variável independente é ]. - Considere a função p (, ) C ( C const, C > 0) [, ]; [, ];, > 0, > 0 a) Calcule as derivadas parciais p e p e o diferencial dp. b) Calcule o integral graficamente o resultado. p(, ) d para const, e interprete c) Calcule o integral p (, ) d para const, e interprete graficamente o resultado. d) Calcule o integral p(, ) d supondo d/ d/.

4 p e) Calcule o integral dp. p [Note que as variáveis independentes são e ]. 3- Classifique cada um dos seguintes sistemas quanto a serem abertos / fechados e isolados / não isolados, indicando se trocam calor / trabalho / massa com o seu exterior. a) motor de um automóvel; b) óleo de um amortecedor de automóvel; c) doce de morango dentro de um frasco selado, no frigorífico; d) café dentro de uma garrafa térmica, pousada numa prateleira; e) o mesmo café, na mesma garrafa térmica, a viajar na mala de um estudante; f) o planeta erra; g) o Universo, tal como é entendido pela ciência actual. 4- Calcule a altura de que deve cair a água duma cascata, para que a sua temperatura aumente o C após atingir a base da cascata. NOA: admita que, ao atingir o solo, a energia potencial da água se converte integralmente em energia interna.

5 5- Calcule a energia que é necessário fornecer a 00g de gelo, à temperatura de 0 o C e à pressão de atm, para obter a mesma quantidade de vapor de água a 00 o C. 6- Considere um fluido que realiza as transformações termodinâmicas representadas nos diagramas (a)-(c). p p p p 0 (a) (b) (c) a) Calcule o trabalho realizado sobre o fluido nas transformações (a) p p 0 const. (b) p k/, com k const. b) Indique como se pode calcular graficamente o trabalho realizado pelo fluido em cada uma das transformações. c) Indique se o fluido fornece ou recebe trabalho na transformação (c). 7- Calcule a temperatura indicada por um termómetro de gás (cheio com mol de gás, a volume constante), cuja coluna de mercúrio tem 5cm de altura. [NOA: mol de um gás diluído, à pressão atmosférica e temperatura de 0 o C, ocupa um volume de,4l].

6 8- Considere o eorema da Energia Cinética M ε k W ex +Win, onde M ε k... energia cinética (macroscópica) W ex... trabalho das forças exteriores W in... trabalho das forças interiores. a) Demonstre o eorema da Energia Mecânica M nc nc εm ε k + εp W in + Wex, onde ε m... energia mecânica ε p εp,in + εp,ex... energia potencial total ε p,in... energia potencial associada às forças interiores ε p,ex... energia potencial associada às forças exteriores nc W in... trabalho das forças interiores não conservativas nc W ex... trabalho das forças exteriores não conservativas. b) Combine o resultado de a) com o Primeiro Princípio da ermodinâmica, para mostrar que em sistemas mecânicos se tem U ε p,in Q W nc in onde U... energia interna Q... calor trocado entre o sistema e o exterior Interprete o resultado obtido.

7 c) Aplique o resultado de b) ao estudo do contacto, com atrito, entre dois sólidos indeformáveis. (i) (ii) Considere o contacto isotérmico ( const) de dois sólidos na atmosfera. Admita que a energia interna dos sólidos é apenas função da temperatura. Mostre que o trabalho das forças de atrito é totalmente dissipado sob a forma de calor. Considere o contacto adiabático (Q 0) de dois sólidos no vácuo. Mostre que o trabalho das forças de atrito conduz a uma diminuição da energia interna dos sólidos.

8 DADOS E CONSANES cal 4,86 J (equivalente mecânico da caloria) g 9,8 ms - C m,p (gelo) 0,5 cal g - o C - C m,p (água) cal g - o C - λ fusão (gelo) 80 cal g - λ vaporização (água) 540 cal g - ρ Hg 3,6x0 3 kg m -3

9 Soluções de questões seleccionadas - dp d b) ; dp d K K c) p( ) d K ln O integral corresponde à área limitada pela curva p() e pelas rectas e. d) p p dp K K - a) p C dp C d + ; C d p C te b) (, ) ln p d C ( cons ) C te c) (, ) p d ( cons ) d d te d) p cons ; p(, ) d p( ) p e) dp C p 4-47 m 5-6,x0 5 J

10 6- a) (a) p0( ) (b) k ln 7-9 K

11 PARE - II INRODUÇÃO À EORIA CINÉICA MUDANÇAS DE ESADO GASES PERFEIOS EQUAÇÃO DE ESADO GASES REAIS EQUAÇÃO DE AN DER WAALS RANSFORMAÇÕES NUCLEARES

12 - Considere um bloco de cobre, com massa kg, à pressão atmosférica. Aquece-se o cobre, fazendo variar a sua temperatura entre 0ºC e 50ºC. a) Calcule o calor absorvido pelo cobre. b) Mostre que β cobre 3α cobre para uma dilatação isotrópica do bloco, onde α cobre (/l)(dl/d) e β cobre (/)(d/d) são os coeficientes de dilatação linear e volúmica do cobre, respectivamente. Admita que o bloco é isotrópico e que o seu volume varia pouco. c) Estime o valor do trabalho realizado pelo bloco de cobre, supondo que o seu volume variou linearmente com a temperatura. d) Calcule a variação da energia interna do bloco de cobre. e) Compare os resultados obtidos nas alíneas a) e d). Interprete a diferença entre eles à luz das propriedades de um sólido e indique se, neste caso, faz sentido diferenciar os calores específicos a pressão e volume constante. - A partir da eoria Cinética, calcule o calor específico a volume constante dos seguintes sistemas: a) Gás perfeito monoatómico. b) Gás perfeito diatómico, à temperatura ambiente. c) Gás perfeito diatómico, à temperatura de 3000K. d) Gás perfeito triatómico, à temperatura de 3000K. e) Sólido cristalino. 3- O ar seco é uma mistura de gases que se comporta como um gás perfeito diatómico. Numa mole de ar existem 0,78mol de azoto N [m N 8 g mol - ], 0,mol de oxigénio O [m O 3 g mol - ], sendo as restantes 0,0mol compostas por vários outros gases tais como argon Ar e dióxido de carbono CO. A pressão atmosférica é a soma das pressões parciais dos vários gases.

13 a) Calcule o calor específico molar do ar seco a volume constante, C, e a pressão constante, C p, à temperatura ambiente. b) Calcule a massa molar e a densidade do ar seco em condições PN. c) Calcule o calor específico mássico a volume constante do ar seco, C m,, à temperatura ambiente. 4- Considere uma arca frigorífica com capacidade de 0L, cuja porta tem 0,8m de altura e 0,5m de largura. Quando se abre a porta não se observa uma alteração apreciável da quantidade de ar no interior da arca, muito embora a sua temperatura suba ligeiramente. Suponha que, quando se abre a porta, o ar interior atinge uma temperatura uniforme de 8 o C, estando em equilíbrio com a pressão atmosférica exterior. Quando se fecha a porta, o ar interior arrefece até à temperatura de 0 o C. Nestas condições, estime qual a força necessária para reabrir a porta da arca, admitindo que a sua junta é completamente hermética. [Considere que o ar é um gás perfeito.] 5- Considere um gás perfeito monoatómico à pressão p i,atm e temperatura i 300K, o qual se encontra em equilíbrio no interior dum êmbolo cilíndrico de volume i L, cujo pistão, de massa m kg e espessura desprezável, está a uma altura h 50cm. Admita que existe uma massa M sobre o pistão a qual, uma vez retirada, permite ao gás expandirse adiabaticamente até uma pressão p f, uma temperatura f e um volume f. p a) Calcule o valor da massa M. atm b) Calcule o valor da pressão final p f. c) Calcule a razão de expansão f / i. d) Calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o exterior. m+m e) Calcule o valor da temperatura final f.

14 6- Um reservatório de 5L, com paredes rígidas e adiabáticas, tem no seu interior hélio e um balão de borracha com oxigénio (ver figura). Na situação inicial o O hélio ocupa 4L e encontra-se à pressão p atm e temperatura 300K. Nessa He situação, o oxigénio no interior do balão (com volume b L) está em equilíbrio térmico com o hélio. Devido à elasticidade da borracha, a pressão do oxigénio é sempre superior à do hélio. Admita que a pressão exercida pela borracha é descrita por p borr K/ b, com K 0, atm L. Considere que, nas condições da experiência, o calor específico molar (a volume constante) do oxigénio é igual a 5R/. a) Calcule o número de moles de oxigénio no interior do balão. b) Retira-se hélio do reservatório, até se atingir uma pressão p 0,atm (mantendo-se inalterada a temperatura da atmosfera de hélio). Esta operação provoca uma expansão rápida (adiabática) do oxigénio no interior do balão, que mantém o equilíbrio entre as pressões interna (do oxigénio) e externa (do hélio e da borracha). No fim do processo, o balão aumentou de volume até b L e rebentou. b) Calcule a temperatura do oxigénio imediatamente antes do rebentamento do balão. Justifique porque razão o oxigénio se mantém no estado gasoso, após esta expansão, sabendo que a sua temperatura de vaporização é vaporização, O 90K (a atm). b) Calcule o trabalho realizado pelo oxigénio para expandir o balão, até ao seu rebentamento. [Sugestão: Utilize o Primeiro Princípio da ermodinâmica.] b3) Calcule a temperatura final de equilíbrio da mistura hélio-oxigénio, após o rebentamento do balão. 7- Considere um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas, no qual existem dois compartimentos (A e B) termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existe azoto (m N 8g mol - ; p A 6atm, A 90K, A L), enquanto no compartimento B existe hélio (m He 4g mol - ; p B,5atm, B A, B 4L). Considere estes gases como perfeitos. a) Calcule o número de moles de N e He, existentes nos recipientes A e B. b) Calcule a energia interna e os calores específicos a volume constante de cada um dos gases. c) Calcule a densidade mássica de cada um dos gases.

15 d) Obtenha a razão v q (N )/v q (He), entre as velocidades quadráticas médias dos dois gases. e) Admita que se retira a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases. e) Indique qual é a temperatura de equilíbrio, eq, da mistura. e) Calcule a energia interna de equilíbrio, U eq, da mistura. e3) Calcule a pressão de equilíbrio, p eq, da mistura. erifique a lei de Dalton. f) Suponha agora que se diminui em %, e de forma isotérmica, o volume total A + B do recipiente. Calcule os novos valores de equilíbrio da pressão e da energia interna da mistura. [NOA: nesta transformação, as paredes do recipiente deixam de ser rígidas e adiabáticas.] 8- A figura seguinte esquematiza o diagrama do ponto triplo para a água. Identifique as mudanças de estado que se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos A, B e C, indicados na figura. 9- Pretende-se obter algumas propriedades do amoníaco (NH 3 ) no ponto triplo. A pressão de vapor do amoníaco sólido é dada por : e a do amoníaco líquido por onde a pressão p está em orr e a temperatura em K. a) Calcule a temperatura 0 e a pressão p 0 do ponto triplo do amoníaco. b) Indique, justificando, qual é o estado físico do amoníaco a PN.

16 0- A equação de an der Waals (DW), para uma mole de um fluido, pode escrever-se na forma reduzida 3 pr + 8 r ( 3 r ) r onde p r p / pc, r / c e r / c representam, respectivamente, a pressão reduzida, o volume reduzido e a temperatura reduzida do fluido, definidos em relação aos parâmetros críticos correspondentes. a) erifique que as propriedades matemáticas do ponto crítico do fluido são correctamente descritas pela equação reduzida de DW. b) Obtenha a expressão da equação reduzida de DW, no limite de altas temperaturas e altas diluições do fluido. Utilize a expressão obtida para deduzir a relação entre os parâmetros críticos p c, c e c. c) Discuta o significado físico do termo aditivo em pressão e do termo subtractivo em volume, na equação reduzida de DW. - O hélio e a água são correctamente descritos, na transição líquido-vapor, pela equação de an der Waals (DW) n a p + ( nb) nr a qual conduz às seguintes expressões para a pressão crítica p c e o volume crítico c a p c ; nb c 3. 7b Para o hélio tem-se a 0,0340x0 6 atm cm 6 mol - b 3,40 cm 3 mol - e para a água a 5,460x0 6 atm cm 6 mol - b 30,45 cm 3 mol - a) Indique qual das duas substâncias tem forças de interacção molecular mais intensas. Calcule a relação de ordem de grandeza entre as suas intensidades, considerando que os seus átomos / moléculas têm dimensões semelhantes.

17 b) Indique, justificando, qual das duas substâncias tem um ponto de ebulição mais baixo, à pressão atmosférica. c) Indique qual das duas substâncias tem moléculas maiores. Calcule o valor do raio do átomo de hélio, no quadro do modelo de DW. d) Mostre que os parâmetros críticos de DW verificam a expressão pc c 3 nrc, 8 onde c é a temperatura crítica do sistema. e) Calcule c para o hélio e para a água, e compare o comportamento destes sistemas à temperatura ambiente (~300 K). - O hélio é bem descrito pela equação de estado de an der Waals (DW) n a p + ( nb) nr com a 3,44x0-3 Pa m 6 mol - e b 3,40x0-6 m 3 mol -. a) Calcule o valor do raio dum átomo de hélio. b) Deduza as expressões das coordenadas (p c, c, c ) do ponto crítico dum gás real, a partir da equação de DW. Calcule p c e c para o hélio. c) Considere uma mole de hélio à temperatura inicial 40K, sobre a qual se realiza uma expansão livre de Joule entre L e. Admita que o calor específico molar a volume constante do hélio é C (3/) R. c) Utilize a expressão geral da variação da energia interna du nc d p + p d para calcular a temperatura final do gás, após a expansão. c) Calcule a variação da entropia do hélio na expansão. c3) Compare os resultados das alíneas c) e c) com os que se obteriam admitindo que o hélio é um gás perfeito. Interprete.

18 3- Considere os seguintes sistemas: (I) Um plasma de fusão, de densidade electrónica n e 0 8 cm -3 e energia electrónica k B e ke. (II) Uma lâmpada fluorescente, onde n e 0 cm -3 e k B e e. (III) A ionosfera terrestre, onde n e 0 6 cm -3 e k B e 0,e. a) Calcule o comprimento de Debye e a frequência de plasma desses sistemas. Compare os resultados obtidos. b) Sugira uma explicação para o facto da expressão da frequência de plasma ser independente da temperatura electrónica do sistema. c) Explique porque razão o tubo da lâmpada fluorescente não se encontra à temperatura de e (~ 3000K, era capaz de fundir!). (NOA: o gás no interior da lâmpada encontra-se à pressão de orr e a uma temperatura de 70 o C). 4- Numa estação arqueológica no Egipto encontrou-se uma múmia que se pretende datar. A actividade do 4 C existente na múmia, por unidade de massa de carbono, é de 9 (desintegrações) s - g -, e a sua actividade na atmosfera (e na matéria viva), por unidade de massa de carbono, é actualmente de 3,5 (desintegrações) s - g -. Sabe-se que o período de semi-transformação do 4 C é de 5730 anos. a) Calcule a constante de decaimento do 4 C. b) Suponha que a actividade do 4 C na atmosfera se tem mantido constante ao longo dos anos. Calcule a idade da múmia, e faça a datação da estação arqueológica. c) Discuta a validade da aproximação utilizada na alínea b), relativamente à variação da actividade do 4 C na atmosfera. Indique de que modo esta aproximação tem influência nas datações antes calculadas. 5- Considere uma rocha em cuja composição existe 87 Rb (rubídio) e 87 Sr (estrôncio). Suponha que o 87 Sr da rocha resultou exclusivamente do decaimento do 87 Rb, ao longo dos anos. Sabe-se que o período de semi-transformação do 87 Rb em 87 Sr é de 4,7x0 0 anos. a) A análise da rocha revela uma percentagem relativa de 99% de 87 Rb. Indique se será possível encontrar fósseis dos primeiros mamíferos nessa rocha. [NOA: o aparecimento dos primeiros mamíferos ocorreu há 9,5x0 7 anos.]

19 b) Calcule a percentagem mínima de 87 Rb que tem de existir nessa rocha, para que a estimativa actual da idade da erra (4,5x0 9 anos) permaneça válida. 6- Uma das mais importantes reacções de fusão nuclear no Sol envolve a colisão de dois átomos de 3 He (cujo núcleo é formado por protões e um neutrão), dando origem a Hélio-4 e hidrogénio 3 He + 3 He 4 He + H + H As massas dos núcleos intervenientes nesta reacção são m( 3 He) 5,00837x0-7 kg m( 4 He) 6,646483x0-7 kg m( H),673534x0-7 kg Calcule a energia libertada pela fusão de cada par de átomos de 3 He em repouso. Expresse o resultado em e. 7- Uma das mais importantes reacções de fissão nuclear do 35 U envolve a formação de 94 Zr e de 40 Ce, segundo 35 U + n 94 Zr + 40 Ce + n + 6 e Sabe-se que a diferença entre as massas dos produtos e dos reagentes desta reacção é 4x0-5 g. Calcule a energia por nucleão libertada devida à fissão dum núcleo de 35 U em repouso. Expresse o resultado em e. 8- Considere uma fonte pontual de raios-γ (com 0,8Me de energia) no vácuo, cuja taxa isotrópica de emissão é S 4x0 s -. Pretende-se atenuar este feixe de radiação, colocando a fonte no interior duma câmara de ferro com cm de raio. Sabe-se que o comprimento de semi-redução do ferro é L /,33cm (para raios-γ de 0,8Me). a) Mostre que o fluxo J de raios-γ, calculado à distância r da fonte, é dado por S J 4πr b) Calcule o fluxo de radiação que incide na parede interna da câmara. c) Calcule o coeficiente de atenuação mássico do ferro (para raios-γ de 0,8Me). d) Estime a espessura mínima da câmara de ferro, que garante uma atenuação a 80% do fluxo de raios-γ.

20 DADOS E CONSANES Condições PN (Pressão e emperatura Normais) p atm 760orr; 73K atm,03 x 0 5 Pa R 8,34 J K - mol - N A 6,03 x 0 3 mol - M cobre 63,55 g mol - C p (cobre) 0,384 J g - ºC - ρ cobre 8,9 g cm -3 (valor a 0 o C) α cobre,7x0-5 K - (coeficiente de dilatação linear; valor a 0 o C) ρ ferro 7,86 g cm -3 m e 9, x 0-3 kg e,60 x 0-9 C ε 0 8,85 x 0 - C N - m -

21 Soluções de questões seleccionadas - a) Q,5x0 4 J b) W,74x0 - J c) U Q + W,5x0 4 J - a) C 3R/ b) C 5R/ c) C 7R/ d) C 3R/ (moléculas lineares) ; C 6R (moléculas não lineares) e) C 3R 3- a) C 0,8 J K - mol - C p 9, J K - mol - b) M ar 8,6 g mol - ρ ar,8 kg m -3 c) C m, 0,73 J K - g N 5- a) M 3,3 kg b) p f,06x0 5 Pa c) f / i,09 d) W gas 9,54 J e) f 85 K 6- a) n 0,045 mol b) b) 8, K b) W 04,6 J b3) eq,4 K

22 7- a) n N 0,50 mol n He 0,5 mol b) C, N 0,8 J K - mol - C p, N 9, J K - mol - U N ~ 3 kj C, He,5 J K - mol - C p, He 0,8 J K - mol - U He ~ 0,9 kj c) ρ N 7 kg m -3 ρ He 0,5 kg m -3 d) v q (N ) / v q (He) 0,38 e) e) eq 90 K e) U eq ~ 3,9 kj e3) p eq ~ 3 atm p N + p He f) p eq ~ 3,06 atm U eq U eq ~ 3,9 kj 9- a) 0 95, K p 0 44,6 orr b) Estado gasoso 0- a) p c 3 Rc 8 c - a) F H0 / F He ~ 0 b) a He < a H0 A intensidade das forças inter-moleculares é mais fraca no hélio, e portanto a temperatura de ebulição do hélio é menor que a da água. c) b He < b H0 A água tem moléculas maiores que o hélio. r He,3 Å 8a 3 d) c pc c nrc 7Rb 8

23 e) c (He) 5, K << amb Estado fluido à temperatura ambiente. c (H O) 647,3 K >> amb Estados líquido ou gasoso à temperatura ambiente, dependendo da pressão. - a) r He,3 Å b) p c,3x0 5 Pa c 5, K c) c) 39,9 K c) S (5,9 8,9x0-3 ) J K - 3- a) (I) λ D,35x0-7 m ; ω p 5,6x0 3 s - (II) λ D 3,3x0-5 m ; ω p,8x0 0 s - (III) λ D,35x0-3 m ; ω p 5,6x0 7 s - c) N/ 5x0 m -3 ; n e 0 7 m a) λ 3,8x0 - s - b) 335 anos 5- b) 94% 6-,9 Me 7-0,96 Me / nucleão 8- a) J(rcm) 3,x0 cm - s - b) µ/ρ (ln / L / ) / ρ 0,066 cm g - c) x ln5 / µ 3,0 cm

24 PARE - III RANSFORMAÇÕES ERMODINÂMICAS ENROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA ERMODINÂMICA

25 - Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 0L, dos quais 00L são ocupados por ar (gás perfeito diatómico). A porta da arca tem m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética. Suponha que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura uniforme de 3 o C e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar interior arrefece até à temperatura de 8 o C, ficando o sistema em equilíbrio. a) Calcule o número de moles, n, de ar dentro da arca. b) Calcule, justificando, os calores específicos molares do ar a volume e a pressão constantes. Obtenha o coeficiente adiabático do ar (γ). c) Calcule o calor trocado pelo ar, após se ter fechado a porta e o equilíbrio ter sido atingido. d) Calcule a força necessária para reabrir a porta. e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da arca, o volume do ar aumenta 0L antes que a porta se abra e a pressão atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura do ar imediatamente antes de a porta se abrir. - Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de cm 3 de água, à temperatura de 00 o C. 3- Considere 00g de gelo à temperatura 0 0 o C, em contacto com o ar ambiente à temperatura amb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água líquida a 0 o C. a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo + ambiente Universo), supondo amb 30 o C (erão em Lisboa). b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse amb 0 o C (Inverno em Paris). [Despreze as variações de volume do sistema gelo-água]

26 4- Um cubo de gelo de massa g é colocado dentro de uma caixa hermética e termicamente isolada onde existem moles de ar (gás perfeito diatómico). Inicialmente o gelo encontra-se a 0 o C e o ar encontra-se a 0 o C à pressão atmosférica normal, p atm. a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores específicos molares a volume e pressão constantes, C (ar) e C p (ar), para o ar dentro da caixa. b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura constante de 0 o C. Calcule a variação de energia interna U ar e a temperatura final f (ar) do ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo. c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, eq, após a fusão do gelo. [Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são idênticos.] d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão (a 0 o C). e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a fusão do gelo é um processo irreversível. f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0 C, está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da caixa não varia significativamente durante este processo de fusão. Discuta a veracidade desta aproximação.

27 5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com volume cobre L até à sua temperatura de fusão, cobre 083 o C. Para se arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume água de água fria, à temperatura água 0 o C. Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica: A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume A de água (que abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do bloco até A, cobre 00 o C; B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial água e uma temperatura final de equilíbrio eq. Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar ambiente. a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor específico mássico a volume constante do bloco de cobre, C (cobre). b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água Q A, durante a transformação A. c) Calcule o volume A de vapor de água, produzido durante a transformação A. d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a transformação A. e) Suponha que o volume total de água é água 5L.Obtenha o valor da temperatura de equilíbrio eq, após a transformação B. Indique, justificando, qual o valor de eq quando água >>.

28 6- Considere uma mole de hélio à pressão p i bar e temperatura i 300K, em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão livre, de secção 0cm, tem massa desprezável. Coloca-se uma massa M 0kg sobre o pistão, a qual é responsável por uma compressão isotérmica do gás até uma nova situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito. a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, p f. b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no processo de compressão. c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação. Indique se a transformação é reversível ou irreversível. 7- Considere hélio (He) à pressão p i 6x0 5 Pa e temperatura i 3000K, em equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com volume inicial i 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás se expanda de forma adiabática até uma temperatura f 000K. Admita que o hélio é um gás perfeito. a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo. b) Calcule a variação de energia interna U e o trabalho W gas realizado pelo gás na expansão. c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível. c) Calcule o volume final f ocupado pelo gás. c) Calcule a pressão final p f do gás. d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior. d) Calcule o volume final f irr ocupado pelo gás. d) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta transformação.

29 8- Considere uma mole de N que se encontra dentro de um recipiente isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os compartimentos A e B estão separados por uma divisória, de massa m e espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base do recipiente. Em B existe vácuo. Considere o azoto como um gás perfeito. Sejam ainda: A m 3 ; B A ; A 00K; m,5kg; h 8,3m. Num primeiro processo de transformação a divisória é removida horizontalmente. Para este caso: a) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. b) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a expansão, para repor a pressão inicial. c) Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse tratado como um gás real. Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considerase que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este caso: d) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema. e) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea b) e comente. f) Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer calor). Comente a diferença entre os valores calculados.

30 9- Considere um gás perfeito monoatómico, de calor específico molar C 3R/, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo pistão, de área A 0cm, possui uma massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se em equilíbrio com o exterior, à temperatura ambiente 0 300K e pressão atmosférica p 0 atm, ocupando um volume 0 L. a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M 0kg sobre o pistão, provocando-se a compressão isotérmica do gás. a) Calcule a pressão p i de equilíbrio após a compressão. a) Calcule o volume i de equilíbrio após a compressão. a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com o exterior, durante a compressão. b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio. b) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão, respectivamente p f e f. b) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com o exterior, durante a expansão. c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial ( 0, p 0, 0 ) e o equilíbrio final ( 0, p f, f ). Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade. 0- Considere um gás perfeito, de calor específico molar C 3R/, o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura 0 300K, em equilíbrio à pressão p 0 p atm, e ocupando um volume 0 dm 3. O pistão está sujeito à pressão atmosférica exterior p atm atm. Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás. Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de temperatura 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás até um volume. Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura 0 300K, o que provoca uma compressão isobárica do gás.

31 a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu processo de expansão. b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de expansão. c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão, a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre o gás e o calor total fornecido ao gás. d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global (expansão seguida de compressão) é ou não reversível. - O ar no interior dum pneu encontra-se à pressão p i 3,5atm e à temperatura i 300K. Admita que o ar se comporta como um gás perfeito diatómico. a) Calcule a densidade do ar (em partículas m -3 ) no interior do pneu, e os seus calores específicos molares a pressão e a volume constantes. b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente a sua válvula. Admita que o ar realiza uma expansão rápida (adiabática) entre os volumes i (p i, i ) e f (p atm, f ). (NOA: p atm atm é a pressão atmosférica). b) Considere que o ar do pneu se expande de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior. Calcule a temperatura final do ar, f irrev, após a expansão. Será esta forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula? b) Suponha agora que a expansão realizada pelo ar do pneu era reversível (o que é bem menos realista). Calcule a nova temperatura final do ar, f rev, após a expansão. Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.

32 - Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c e c e temperaturas e, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que atinjam o equilíbrio térmico à temperatura f. Admita c e c independentes da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume dos sólidos. a) Obtenha a expressão de f em função de e. b) Obtenha a expressão da variação de entropia, S, do sistema dos dois sólidos. c) Mostre que S S Universo > 0. [Sugestão: escreva S como a soma de duas funções de x /, e analise-as graficamente.] 3- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENES, que ocupam os dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas. Os compartimentos (de volumes A e B ) encontram-se termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existem n A moles de gás em equilíbrio à temperatura A, e no compartimento B existem n B moles de gás em equilíbrio à temperatura B. Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases. a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da mistura. b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois gases. c) Escreva a expressão obtida em b) para A B e A B.

33 4- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o ar se comporta como um gás perfeito de massa M 9g mol -, em "equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração da gravidade (g 9,8ms - ) e o coeficiente adiabático do ar (γ,4) não variam com a altitude z. a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p do gás e da sua massa volúmica ρ. b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z. c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p para z km, sabendo que p 0 atm e 0 300K à altitude z O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.

34 O recipiente de volume (grandes dimensões) encontra-se ligado a um manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe ar, à pressão p e temperatura, sobre o qual se efectuam as seguintes transformações: 0) Com a válvula aberta pp atm, amb e h0. (p atm é a pressão atmosférica e amb a temperatura ambiente). ) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p p atm + ρ Hg gh (estado A). ) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até regressar à pressão pp atm (estado B). 3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura inicial, amb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p p atm + ρ Hg gh' (estado C). Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis. a) Represente num diagrama (p,) e num diagrama (,S) as transformações (AB e BC) sofridas pelo ar. b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro. (Suponha ρ Hg gh, ρ Hg gh' «p atm ). c) Calcule γ para h58 mm e h'6 mm.

35 6- O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura abaixo. p g z 0, p O recipiente de volume 0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verificase que a esfera se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à diferença de pressões p p 0 (p 0 representa a pressão atmosférica). Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observase que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis) sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas. a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de p p 0. b) Exprima a diferença de pressões p p 0 em função das variações de volume do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera. Admita que p p 0 << p 0 e << 0. c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão / ( m p ) π 0 / 0S γ. [Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório &.] sem atrito: + ( π / ) x 0 x& d) Calcule γ para m0 g, 0 0 L, S,36 cm, p Pa e s.

36 DADOS E CONSANES atm,03 x 0 5 Pa bar 0 5 Pa cal 4,86 J R 8,34 J K - mol - N A 6,03 x 0 3 mol - g 9,8 ms - ρ cobre 8,9 kg L - M cobre 63,54 g mol - ρ água kg L - C m,p (água) cal g - o C - λ fusão (gelo) 80 cal g - λ vaporização (água) 540 cal g -

37 Soluções de questões seleccionadas - a) n 4,9 mol b) C 0,8 J K - mol - C p 9, J K - mol - γ,4 c) Q 509,6 J d) F 745, N e) p 0,874x0 5 Pa 36 K -,447 cal K - 3- a) S gelo,7 J K - S amb 0,5 J K - S universo, J K - b) S universo 0 J K - 4- b) U ar 334,9 J f (ar),94 o C c) eq,74 o C d) S gelo,3 J K - f) p / p atm,8% << Aproximação válida 5- a) C m, (cobre) 0,39 J K - g - b) Q A 3,4 MJ c) A,3 L e) S A, cobre 4,48 kj K - f) eq 34,7 o C ( água 5 L) eq água 0 o C ( água >> L)

38 6- a) p f,96x0 5 Pa b) Q W 4,89x0 3 J c) S gás 9,0 J K - S ext 6,3 J K - S universo 7,3 J K - 7- c) n 0,96 mol d) U W gás kj e) c) f 73,5 L c) p f,x0 5 Pa irr f) d) f 58,5 L d) S Universo 6, J K - 8- a) A A 00 K p A 83 Pa b) Q 457 J d) A 90, K p A 79 Pa e) Q 4356 J f) S () 5,76 J K - ; S () 4,7 J K - 9- a) a) p i,5 atm a) i 0,67 L a3) W Q 49,6 J b) b) p f p 0 atm ; f 0 L b) W Q 33,4 J c) S Universo S ex 0,054 J K - 0- a) U exp 50,65 J b) W gás, exp 33,77 J c) U 0 J ; W 0 J ; Q 0 J (Q exp Q comp > 0)

39 - a) N/ 8,6x0 5 m -3 - b) b) f irrev 39 K 34 o C b) f rev 0 K 63 o C c + + c a) f c c b) S c ln( f ) + c ln( f ) 3- naa + nbb a) eq ; na + nb c) S ( na + nb ) Rln p eq R( na A A + n + B B B ) 4- c) 5- b) γ ρ0 p ( z) p0 g z γ p0 h γ h h' γ γ 6- d) γ,4

40 PARE - I CICLOS ERMODINÂMICOS MÁQUINAS ÉRMICAS E FRIGORÍFICAS

41 - É possível construir Centrais Eléctricas aproveitando a diferença de temperatura entre a superfície e o fundo do mar. Em 979 foi construído um protótipo no Hawai, onde a temperatura à superfície é de 30 C e a do fundo 8 C. Admita que este protótipo funciona como uma máquina de Carnot, permitindo a produção de 500MW de potência eléctrica. a) Calcule o rendimento deste protótipo de Central Eléctrica. b) Faça um esboço dos diagramas (p,) e (,S) deste ciclo, assinalando as transformações em que a Central realiza/recebe trabalho e as transformações em que fornece/recebe calor. c) Calcule a potência térmica extraída das águas superficiais. d) Calcule a potência térmica libertada para as águas profundas. e) Se a Central utilizar amoníaco este tem de coexistir nos estados líquido e de vapor, o que a 30 C conduz a uma pressão de ce rca de atm. Calcule a quantidade de amoníaco que se vaporiza por unidade de tempo, sabendo que, nessas condições, o seu calor latente de vaporização é 44 kj kg -. f) Calcule a variação de entropia, por unidade de tempo, das águas superficiais, das águas profundas e da Central. - Considere um ciclo de Carnot reversível, em que um caudal de ar (gás perfeito diatómico) de 0 mol s - sofre duas transformações adiabáticas e duas transformações isotérmicas às temperaturas Q 400K e F 300K. As transformações isotérmicas têm uma razão de compressão idêntica: Q-final / Q-inicial F-inicial / F-final e /R. a) Faça um esboço dos diagramas (p,) e (,S) deste ciclo, assinalando as transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e as transformações em que o ar fornece/recebe calor. b) Calcule a potência térmica trocada com as fontes de calor exteriores. c) Calcule a potência e o rendimento do ciclo.

42 3- Num ciclo de Carnot, realizado por um gás perfeito de coeficiente adiabático γ,7, o ponto de maior pressão iguala,4x0 6 Pa, para um volume de 0dm 3 e uma temperatura de 70K. A partir desse ponto (A), o gás expande-se isotermicamente até um estado (B) e de seguida adiabaticamente até um volume de 4dm 3 (C). Uma compressão isotérmica, até um volume de 5dm 3, leva-o ao ponto (D). Finalmente, o gás regressa ao estado (A) através dum processo adiabático. a) Esboce o ciclo num diagrama (p,) e num diagrama (,S). b) Complete a tabela seguinte. p (Pa) (dm 3 ) (K) A,4x B C 4 D 5 c) Calcule o rendimento deste ciclo de Carnot. d) Calcule a variação de entropia do sistema, das fontes e do Universo, na transformação CD. 4- Considere uma máquina frigorífica que opera entre as temperaturas de 0 C e 5 C. Durante / hora o fluído recebe 0 6 J do congelador. Admita que a máquina funciona reversivelmente. a) Calcule a eficiência da máquina. b) Calcule o valor da energia mecânica fornecida à máquina e da energia térmica cedida à fonte quente, durante / hora. c) Calcule o valor da potência indicada pelo fabricante para a máquina. d) Calcule (em g/s) o caudal do fluido que circula na máquina, supondo que se trata do R34A (λ vaporização -R34A 00kJ/kg).

43 5- Considere um frigorífico que opera com um fluido frigorigénio de massa molar M 0 g mol -. Admita que este fluido pode ser descrito como um gás perfeito de calores específicos a volume constante C 63,6 J mol - K - e a pressão constante C p C + R. Sabe-se que o fluido, com caudal m& 40 g s -, realiza o ciclo reversível representado no diagrama (,S) da figura. Considere que a razão de expansão do fluido, na isotérmica à temperatura mais baixa, é A / D 00. a) Calcule a eficiência ε do frigorífico. b) A transformação AB ocorre devido à acção do compressor sobre o fluido. b) Calcule a variação de energia interna do fluido, por unidade de tempo, em AB. b) Calcule a razão de compressão B / A do fluido em AB. c) Calcule a potência caloríficaq & DA que o frigorífico retira do congelador. [Sugestão: Comece por escrever a expressão da variação de entropia na transformação DA.] d) Calcule o custo de operação do frigorífico durante h, sabendo que o preço EDP de kwh de energia é 0,euro (IA incluído).

44 6- Pretende-se manter uma sala a ºC, num dia de inverno em que a temperatura média do ar exterior é de 6ºC. Para isso dispõe-se de uma bomba de calor de 000W de potência. Admita que a sala perde calor a uma taxa de 4,5 x 0 3 kj h -. Observa-se que a bomba de calor só funciona 5 minutos, em cada período de uma hora. Nesse período a) Calcule a energia consumida (trabalho) pela bomba. Calcule o calor que a bomba retira ao ambiente. Calcule a eficiência da bomba de calor. b) Calcule a variação da entropia do Universo devido ao funcionamento da bomba e conclua acerca da reversibilidade do seu funcionamento. c) Calcule a energia consumida por uma bomba de calor reversível, com a mesma capacidade de aquecimento. 7- Pretende-se manter o interior de uma sala a uma temperatura sala o C, num dia frio de Inverno em que a temperatura ambiente exterior é amb 3 o C. Para isso usa-se uma bomba de calor com uma potência W& kw e uma eficiênciaε BC 5. a) Estando a sala numa situação térmica estacionária, calcule a potência calorífica Q & sala fornecida à sala por esta bomba, bem como a taxa Q & à qual a sala perde calor. b) Calcule a potência calorífica Q & amb extraída do ambiente pela bomba de calor. c) Calcule a taxa de variação de entropia do Universo S & Universo devido à bomba de calor, e conclua quanto à reversibilidade ou irreversibilidade do seu funcionamento. d) Calcule, justificando, qual a eficiência máxima de uma bomba de calor que funciona entre duas fontes térmicas às temperaturas sala o C e amb 3 o C.

45 8- Um ciclo de Ericsson para a realização de trabalho é constituído pela seguinte sucessão de transformações: A compressão isobárica à pressão p min entre as temperaturas max e min B compressão isotérmica à temperatura min entre as pressões p min e p max C expansão isobárica à pressão p max entre as temperaturas min e max D expansão isotérmica à temperatura max entre as pressões p max e p min O ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico com C p 8 JK - mol - ) entre as temperaturas min 300K e max 600K, sendo p max / p min e 0/R ~ 3,33. As transformações isotérmicas são reversíveis. As transformações isobáricas A e C realizam-se em equilíbrio mecânico com o exterior, pondo o ar em contacto com duas fontes de calor às temperaturas min e max, respectivamente. a) Esboce os diagramas (p,) e (,S) deste ciclo, identificando no diagrama (p,) as transformações em que o ar realiza/recebe trabalho e no diagrama (,S) as transformações em que o ar recebe/cede calor. b) Calcule o calor recebido/cedido pelo ar em cada uma das quatro transformações do ciclo. c) Calcule o trabalho global W Ericsson realizado pelo ar neste ciclo. d) Calcule a variação de entropia do Universo S Universo devido a este ciclo, e conclua da sua reversibilidade ou irreversibilidade. e) Calcule o trabalho, W rev, realizado por um ciclo reversível que opere entre as temperaturas min e max e que receba da fonte quente a mesma quantidade de calor que o ciclo de Ericsson. erifique que W W rev W Ericsson min S Universo. f) Indique que alterações faria neste ciclo de Ericsson para maximizar o seu rendimento. Qual seria neste caso o trabalho global realizado pelo ar (mantendo a quantidade de calor recebida da fonte quente)?

46 9- Considere um ciclo real de produção de trabalho em que 0mol de um gás perfeito sofrem as seguintes transformações: AB: Compressão adiabática reversível entre as temperaturas 300K e 400K. BC: Expansão isotérmica a 400K em que o volume duplica ( C B ). CD: Expansão adiabática reversível entre as temperaturas 400K e 300K. DA: Compressão isotérmica a 300K até ao volume inicial ( A ). A fonte de calor que fornece calor ao gás encontra-se a FQ 40K e a fonte de calor que recebe calor do gás encontra-se a FF 80K. Admita que o trabalho realizado/recebido pelo gás nas transformações isotérmicas é reversível. a) Calcule, para este ciclo real: a) A variação de entropia do gás e o calor trocado entre o gás e as fontes de calor, em cada uma das quatro transformações. a) A variação de entropia das fontes de calor num ciclo completo. Conclua sobre a reversibilidade ou irreversiblidade do ciclo. a3) O rendimento do ciclo, comparando-o com o de um ciclo de Carnot que utilize as mesmas fontes de calor. Indique em que difere este ciclo de Carnot do ciclo real considerado. b) Considere que o valor da entropia do gás, nas transformações adiabáticas, é igual no ciclo real e no ciclo de Carnot correspondente. Esboce os dois ciclos num único diagrama (,S) e explique como se poderia calcular graficamente o rendimento de qualquer dos ciclos.

47 0- Um ciclo de Stirling para a realização de trabalho é constituído pela seguinte sucessão de transformações isométricas e isotérmicas: A aquecimento isométrico entre as temperaturas min e max B expansão isotérmica, à temperatura max, entre os volumes min e max C arrefecimento isométrico entre as temperaturas max e min D compressão isotérmica, à temperatura min, entre os volumes max e min Admita que o ciclo é realizado por uma mole de ar (gás perfeito diatómico, com C 0 J K - mol - ), entre as temperaturas min 600K e max 00K, para uma razão de compressão max / min e 0/R ~ 3,33. Considere que as transformações isotérmicas são reversíveis e que as transformações isométricas A e C se realizam pondo o ar em contacto com duas fontes de calor às temperaturas max e min, respectivamente. a) Esboce os diagramas (p,) e (,S) deste ciclo. Identifique, no diagrama (p,), quais as transformações em que o ar recebe / realiza trabalho. Identifique, no diagrama (,S), quais as transformações em que o ar recebe / cede calor. b) Calcule o trabalho recebido / realizado pelo ar em cada uma quatro transformações do ciclo. c) Calcule o calor recebido / cedido pelo ar em cada uma quatro transformações do ciclo. Indique que relação existe entre os calores trocados nas duas transformações isométricas. d) Calcule a variação de entropia do Universo (ar + fontes de calor) neste ciclo, e conclua acerca da sua reversibilidade ou irreversibilidade. e) Pretende-se optimizar a máquina que opera com este ciclo de Stirling. e) Calcule o rendimento η deste ciclo de Stirling. Compare-o com o rendimento η Carnot dum ciclo de Carnot a operar entre duas fontes às temperaturas max e min e interprete. e) Indique que alterações deveria realizar neste ciclo de Stirling para maximizar o seu rendimento.

48 - A figura representa o ciclo de Otto, constituído pelas seguintes transformações: AB - compressão adiabática de A a B BC - aquecimento isométrico de B a C CD - expansão adiabática de C B até D A DA - arrefecimento isométrico de D a A Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com coeficiente de adiabaticidade γ. Admita que as transformações adiabáticas são reversíveis, e que as trocas de calor se realizam apenas com duas fontes térmicas de temperaturas C e A. a) Mostre que B A C R D γ onde R A / 0 é o factor de compressão do ciclo. b) Utilize o resultado da alínea anterior para obter a expressão do rendimento η Otto do ciclo, em função de R e γ. c) Indique, justificando, se η Otto é igual, maior ou menor que o rendimento η Carnot de um ciclo de Carnot, que usasse as mesmas fontes térmicas às temperaturas C e A. d) Calcule a variação de entropia do Universo S Universo devido a este ciclo, e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.

49 - O ciclo de Otto representado na figura abaixo descreve o funcionamento do motor duma moto bi-cilíndrica a 4 tempos. Admita que o ciclo é descrito reversivelmente por um gás perfeito de energia interna U,5 n R (com n o número de moles do gás). Sabe-se que cada cilindro tem volume máximo A 300cm 3 e que a sua razão de compressão é A / 0 8. Considere p atm 0 5 Pa, A 93K, e que após a explosão o gás atinge uma temperatura de 03K. a) Mostre, a partir dos dados do enunciado, que o gás tem um coeficiente adiabático γ,4. b) Complete as tabelas seguintes. (K) p (Pa) (cm 3 ) A 93,0x B C 03 D Q (J) W (J) A B 0 97,3 B C 0 C D 0 47,9 D A 0 c) Calcule o rendimento do motor. d) Quantas rotações por minuto tem de atingir o motor bi-cilíndrico para que a moto debite 4 cavalos ( C ~ 736 W)? Neste motor, cada cilindro realiza um ciclo termodinâmico após duas transformações combinadas de compressão / expansão (ª transformação: admissão OA + compressão AB; ª transformação: expansão CD + escape AO; cada uma destas transformações combinadas corresponde a uma revolução da cambota).

50 3- Considere um motor Diesel a funcionar com uma razão de compressão R máx / min 6. Sabe-se que, durante a inflamação do combustível, o êmbolo do motor se move para um volume igual a,5 min. Admita que o ar que realiza o ciclo Diesel (suposto reversível) é um gás perfeito diatómico. a) Represente o ciclo num diagrama (p,), explicando cada um dos seus tempos de funcionamento. b) Represente o ciclo num diagrama (,S). c) Calcule o rendimento do motor. 4- Considere n moles de um gás perfeito, que executa um ciclo termodinâmico (passando sucessivamente pelos volumes B < A < C < D ), entre duas fontes térmicas às temperaturas e >. O ciclo é constituído pela seguinte sequência de transformações: - compressão adiabática reversível entre (, A ) e (, B ); - expansão até C contra a pressão atmosférica, realizada em contacto com a fonte térmica à temperatura. No final desta transformação, o gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico) com o exterior. - expansão adiabática reversível entre (, C ) e (, D ); - compressão até A sob a acção da pressão atmosférica, realizada em contacto com a fonte térmica à temperatura. No final desta transformação, o gás encontra-se em equilíbrio (mecânico e térmico) com o exterior. a) Marque os pontos A, B, C, D num diagrama (p,). Indique, justificando, se é possível representar as transformações deste ciclo no diagrama. b) Mostre que o ciclo tem uma única razão de compressão isotérmica R, verificando-se C D R c) Mostre que o rendimento do ciclo se pode escrever como η R B d) Escreva a expressão da variação de entropia do universo devida a este ciclo, e conclua quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade. A

51 5- A figura representa um esboço do diagrama (p,) do ciclo de Brayton, utilizado nos motores de reacção de foguetões e de turbopropulsores. p B C A D AB - compressão adiabática BC expansão isobárica CD - expansão adiabática DA compressão isobárica Considere que o ciclo é executado por n moles de um gás perfeito com um calor específico a pressão constante C p. Admita que as transformações adiabáticas são reversíveis, e que as trocas de calor do ciclo se realizam por contacto entre o gás e duas fontes térmicas de temperaturas C e A < C. a) Sejam n 0mol e C p 9, J mol - K -. Considere A 300K, B 900K, C 00K e D 400K. a) Sugira, justificando, uma estrutura possível (monoatómico / diatómico /... ) para este gás perfeito. a) Indique quais as transformações onde o gás recebe/cede calor, e calcule o trabalho total fornecido pelo gás após cada ciclo. a3) Calcule a razão de compressão A / B do ciclo de Brayton. a4) Calcule a variação de entropia do gás durante a transformação DA. Mostre que o resultado obtido não viola o º Princípio da ermodinâmica. b) Mostre que o rendimento η Brayton de um ciclo de Brayton pode ser calculado utilizando a expressão D η Brayton Indique, justificando, se η Brayton é igual, maior ou menor que o rendimento de um ciclo de Carnot, que utilizasse as mesmas fontes térmicas às temperaturas C e A. [Sugestão: comece por mostrar que.] A C D B C

52 6- Considere o motor nuclear duma nave espacial, que utiliza plutónio ( 39 Pu 94 ) como combustível e mercúrio (Hg) como fluido circulante. O aquecimento do mercúrio faz-se com a energia das partículas α( 4 He ), obtidas na transformação nuclear 39 Pu U He + γ A figura esquematiza o diagrama (p,) do ciclo termodinâmico (reversível) realizado pelo mercúrio. p p max 3 líquido gás 3 4 líquido gás p min gás líquido 3 () () CONDENSADOR - condensação isobárica do mercúrio () (3) BOMBA MAGNEO-HIDRODINÂMICA - compressão isométrica (do mercúrio líquido) (3) (3 ) CALDEIRA - vaporização isobárica do mercúrio (3 ) (4) CALDEIRA - sobreaquecimento isobárico (do mercúrio gasoso) (4) () URBINA - expansão adiabática (do mercúrio gasoso) Em (), a pressão e a temperatura do mercúrio (gasoso) são p min 0 5 Pa e 630 K, respectivamente. Em (), a densidade do mercúrio (líquido) é ρ 4 g cm -3 e em (3) a sua pressão e temperatura são p max 3x0 6 Pa e 3 89 K. O mercúrio tem massa molar M 00 g mol -, calor latente de vaporização λ vap 60 kj mol -, e coeficiente adiabático γ,4. Considere que o mercúrio gasoso se comporta como um gás perfeito, com calor específico a pressão constante C p 8 J K - mol -. Recorde que a temperatura dum sistema não se altera, durante uma mudança de estado a pressão constante. a) Calcule a temperatura 4 do mercúrio em (4), antes de entrar na turbina. b) Calcule a razão de expansão / 4 na turbina, e a razão volumétrica / no condensador. c) A condensação () - () do mercúrio é conseguida colocando-o em contacto com uma fonte térmica, à temperatura de 300 K. Calcule a variação de entropia do Universo, por unidade de massa do mercúrio, durante esta transformação. 4

53 d) Sabe-se que a actividade do plutónio, utilizado como combustível nuclear, é de 6x0 5 desintegrações por segundo. Cada desintegração dá origem a uma partícula α( 4 He ) com 5,5 Me de energia. O 39 Pu 94 tem um período de semi-desintegração /,4x0 4 anos. d) Calcule a potência (em watts) fornecida pelo combustível nuclear. Determine o valor mínimo do caudal mássico (em g s - ) de mercúrio, que garante a refrigeração do motor. [Sugestão: Note que a potência fornecida pelo combustível nuclear é utilizada em (3) - (3 ) para vaporizar o mercúrio, e em (3 ) - (4) para sobreaquecer o gás obtido.] d) Suponha que a nave espacial é enviada em missão com duração de dois anos. Calcule a actividade do plutónio após a missão. Justifique se a perda de actividade poderá pôr em causa a realização da missão. 7- Os ciclos de absorção são uma forma de produzir frio utilizando uma fonte de calor (por exemplo, energia solar). Uma máquina de absorção utiliza três fontes de calor (Fonte Quente, Ambiente e Fonte Fria) a temperaturas diferentes. Entre a Fonte Quente e o Ambiente produz-se trabalho, o qual serve para retirar calor da Fonte Fria transferindo-o para o Ambiente. Considere uma máquina de absorção que funciona entre uma Fonte Quente a 7 o C e uma Fonte Fria a 7 o C. Para uma temperatura ambiente de 40 o C, a máquina extrai uma potência calorífica de 0kW da Fonte Fria. a) Proponha, justificando, uma expressão para a eficiência total ε da máquina de absorção. [Sugestão: Comece por escrever as expressões do rendimento da produção de trabalho e da eficiência da extracção de calor]. b) Calcule a eficiência total ε,rev da máquina de absorção, supondo o seu funcionamento reversível. c) Sabe-se que a máquina de absorção tem uma eficiência total ε 0,5. Calcule a potência calorífica fornecida pela Fonte Quente e a potência calorífica total transferida para o Ambiente. d) Calcule a variação global de entropia do Universo, por unidade de tempo, para esta máquina de absorção. e) Discuta de que modo seria possível arrefecer uma cerveja no deserto, utilizando como fonte de energia água aquecida por um colector solar.

54 8- Considere uma máquina térmica cíclica que funciona entre duas fontes térmicas (de capacidade calorífica c Q c F c 400 kj K - ) às temperaturas Q e F < Q. Suponha que, durante cada ciclo, a máquina realiza trocas de calor infinitesimais e reversíveis com as fontes, e que essas trocas de calor conduzem a uma modificação das temperaturas das fontes, cujos valores iniciais são Q0 373K e F0 83K. a) Calcule a temperatura de equilíbrio das fontes, eq, para a qual a máquina deixa de funcionar. b) Calcule o trabalho fornecido pela máquina até deixar de funcionar. c) Calcule o rendimento da máquina e compare-o com o rendimento duma máquina de Carnot a funcionar entre Q0 e F0. Interprete. 9- Pretende-se arrefecer até uma temperatura de 0ºC o ar seco duma sala (capacidade calorífica c 4x0 3 kj K - ), inicialmente à temperatura ambiente exterior de 3ºC. Para isso liga-se um aparelho de ar condicionado que funciona durante uma hora sem parar. Calcule a potência (média) do aparelho de ar condicionado, supondo o seu funcionamento reversível.

55 DADOS E CONSANES atm,03 x 0 5 Pa R 8,34 J K - mol - N A 6,03 x 0 3 mol -

56 Soluções de questões seleccionadas - a) η 3,96% c) Q & 66 MW d) Q & FF 6 MW e) m& ~ x0 3 kg s - f) S & FQ 4,67x0 6 W K - S & FF 4,67x0 6 W K - S & 0 W K - - a) p W Q A D W B W Q A Q B W C F F D Q C Qi Ff Qf Fi S b) Q & Q 4 kw ; Q & F 3 kw c) W& kw ; η 5% 3- a)

57 b) p (Pa) (dm 3 ) (K) A,4x B 8,8x0 5 5,9 70 C 4,4x D 7,0x γ A p p D pa D D D A D pa A C D p D C pd C B A B pa A pb p C B pc B c) η B 5% A d) D p A A S D CD nrln n 9,4 J K - C A C FQ S CD SCD 9,4 J K - γ γ Universo S CD SCD FQ + S CD 0 4- a) ε 750% 5- b) W 0,3x0 6 J Q,3x0 6 J c) P 7 W d) m&,8 g s - a) ε DA BC DA 7,4

58 b) m& M b) U& AB C ( BC DA) 74 W b) B DA γ A BC C p γ,3 C 0,38 m c) S& & A DA R ln,8 W K - M D Q & DA DA S& DA 393 W Q & ε W& xh x 0,x0 d) W & DA 445 W -3 Custo 0,04 euros 6- a) W 900 kj Q FF 3600 kj ε 500% b) SUniverso,4 kj K - > 0 Bomba irreversível c) W rev 44 kj 7- a) Q & sala Q & 5 kw b) Q & amb 4 kw c) S & Universo,46 W K - > 0 Bomba irreversível d) ε max sala sala amb 553% ; Eficiência duma máquina reversível

59 8- a) p min W C Q D p max W B W D max Q C Q A p min W A max min Q B S b) Q A 8400 J ; c) W Ericsson 3000 J Q B 3000 J ; Q C 8400 J ; d) SUniverso 4 JK - > 0 Ciclo irreversível Q D 6000 J W η Carnot ( Q C + Q D ) 0,5 x ( ) 700 J W W rev W Ericsson 400 J 400 J e) rev min S Universo f) Maximizar rendimento ciclo de Ericsson η Ericsson η Carnot W Ericsson W rev 700 J W W rev WEricsson 0 S 0 ciclo reversível min Universo ransformar isobáricas em transformações reversíveis, realizadas pondo o ar em contacto com uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas temperaturas diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos práticos, utilizar um recuperador de calor que reinjecta na isobárica C o calor cedido na isobárica A. 9- a) a) SAB 0 ; SBC 57,6 J K - ; SCD 0 ; S DA SBC 57,6 J K - Q AB 0 ; QBC BC SBC 3,0 kj ; Q CD 0 ; Q DA 7,3 kj a) SUniverso SFQ + SFF 6,9 JK - > 0 ciclo irreversível

60 a3) η ( DA / ) 5% ; η Carnot ( FF / ) 33% BC FQ Em Carnot as isotérmicas são reversíveis porque realizadas em contacto directo com as fontes de calor. b) 0- a) p W B Q B Q A Q C W D Q D S b) W A 0 J ; W B x0 3 J ; W C 0 J ; W D 6x0 3 J c) QA U A x0 3 J ; QB WB x0 3 J ; QC UC QA x0 3 J ; QD WD 6x0 3 J d) SUniverso 0 JK - > 0 Ciclo irreversível e) e) η ( W D + WB ) /( QA + QB) 5% η Carnot ( min / ) 50% max η < η Carnot porque este ciclo de Stirling é irreversível.

61 e) Eliminar irreversibilidades. Realizar transformações isométricas pondo o ar em contacto com uma infinidade de fontes de calor cujas sucessivas temperaturas diferem de uma quantidade infinitesimal. Em termos práticos, utilizar um recuperador de calor que reinjecta na isométrica A o calor cedido na isométrica C. - a) Utilizar a relação (válida para uma transformação isentrópica num gás perfeito) nas transformações AB e CD. γ constante b) η Otto Q Q f q R γ f A A B B c) ηcarnot > η γ γ Otto q C B C R C R d) S Universo S + S nc nc B B C FQ C + ciclo irreversível + S C C B FF + D Q 0 A A nc BC C Q + ( ) - a) U,5nR C, 5R ; C p C + 3,5 γ R R, 4 C C,5 B B C C DA A > 0 b) (K) p (Pa) (cm 3 ) A 93,0x B 673,8x0 6 37,5 C 03,8x0 6 37,5 D 445,5x B C 0 A /8 D A

62 γ A p p B pa B B B C A p A C pa B pa A A C γ C p p D pc D D D A D pa A Q (J) W (J) A B 0 97,3 B C 89,6 0 C D 0 47,9 D A 39 0 QBC QDA UBC WAB p,5,5 A nr A BC ( C B ) A Q W BC CD QDA c) η 56% QBC d) f P W P W AB + W CD 4 x ,6 x 60 x / cil / ciclo rot min cil x 0,5 ciclo / cil 3- c) η Diesel ρ γ γ( ρ ) R γ ~ 59% (ρ,5 ; γ,4 ; R 6) 4- a) p B p atm A C D

63 γ γ b) C D C D R γ γ B A B A c) η Q Q FF FQ W W DA BC p p atm atm ( ( D C A B ) ) p p atm atm A B D A C B p p atm atm A C C B R d) SUniverso SFF p atm ( D nr R O ciclo é irreversível. + SFQ A) ( R ) > 0 patm QFF ( C QFQ ) D B nr A B C 5- a) a) C C R 0,8 J K - mol - C p l + ( lvib ) R / 0,8 J K - mol - para l e l vib 0 Estrutura possível: gás diatómico com graus de liberdade vibracionais congelados. a) Gás recebe calor em BC; gás cede calor em DA W Q + Q nc p ( + D ) 58, kj gás BC DA [ /( γ ) ] a3) / ( / 5,6 A B B A ) C B A a4) SDA nc p ln( A / D ) 83,7 J K - ; SF QDA /A 97 J K - SUniverso SDA + SF > 0... O º Princípio é respeitado.

64 b) - p pa ( γ ) / γ p D const ; p B p C A D B C η Brayton W QDA nc p ( D A) D ( A / D ) QBC QBC nc p D A C B ( ) ( / C ) D C η Brayton 6- a) 4 666,5 K b) / 4,35 / 3666,5 D A < ηcarnot c) S Universo 5,36x0 J K - kg - C C ( D > A ) d) d) P 5,04x0 3 W m& g s - d) A(t) / A 0 exp(-λt) ~ A actividade da amostra não se reduz significativamente. 7- Energia útil Q f a) ε ηε Energia motora Qq b) ε,rev 84,5% c) Q & q 0 kw ; Q & amb d) S & Universo 0, JK - 8- a) eq 35 K b) W 400 kj 30 kw c) η,5% ; η Carnot 4% η < η Carnot, porque a evolução da temperatura das fontes conduz a uma diminuição da capacidade de realização de trabalho W

65 PARE - INRODUÇÃO À FÍSICA ESAÍSICA

66 - Calcule a razão entre o número de microestados acessíveis às moléculas de água após e antes da fusão, a 0ºC, dum cubo de gelo com 00g [ver problema III-3a)]. - Considere um sistema de 3 partículas discerníveis, as quais se podem distribuir entre três níveis de energia, ε i 0,, (para i0,, ). Assuma que o quantum mínimo de energia é de uma unidade. I. Admita que a temperatura do sistema é suficientemente elevada para que exista uma equiprobabilidade de ocorrência de qualquer um dos seus microestados. a) Calcule o número total de microestados do sistema. b) Considere os seguintes macroestados: A: "rês partículas no nível de energia ε 0 " B: "Uma partícula em cada nível de energia ε i " b) Calcule o número de microestados correspondentes aos macroestados A e B. b) Calcule a probabilidade de ocorrência dos macroestados A e B. II. Admita agora que o sistema obedece a uma distribuição de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann, com β / k B ln (em unidades de energia). c) Determine a ocupação média de cada nível de energia. d) Calcule a energia média total do sistema (isto é, a energia interna do sistema). e) Calcule a energia média, por partícula, do sistema.

67 3- Considere um sistema isolado de N partículas distinguíveis (N >> ), as quais se podem distribuir em estados. a) Escreva a expressão do número total de microestados do sistema Ω. b) Obtenha a expressão da entropia do sistema, S(x), com x N / N a fracção de partículas que se encontra no estado. [Sugestão: Utilize a fórmula de Stirling e expresse S(x) em função de f(x) x ln x (- x) ln(- x)]. c) Esboce graficamente a função S(x) / Nk B, no intervalo x [0,]. d) Esboce graficamente a função Ω(x), no intervalo x [0,] e obtenha a sua expressão aproximada em torno do máximo. [Sugestão: Desenvolva f(x) em torno desse máximo]. e) Mostre que a função Ω(N ), quando tomada em torno do seu máximo, corresponde de facto a uma distribuição normal com centro em N/ e desvio padrão σ (/) N /. Mostre que a largura a meia altura desta gaussiana é ( N ) /,35 σ. f) Aplique os resultados anteriores ao estudo do movimento browniano (movimento incessante e desordenado de partículas em suspensão num fluido, R. Brown, 87). Estime o valor das flutuações de energia das partículas brownianas. [Sugestão: Comece por estimar as flutuações da entropia de equilíbrio quando N ~ σ].

68 4- Considere um sistema magnético isolado de N partículas distinguíveis (N >> ), cada uma delas com momento magnético µ. O sistema, que tem energia total ε encontra-se submetido à acção dum campo magnético exterior Η, pelo que cada partícula se pode encontrar num dos seguintes níveis de energia potencial: Nível (+) µη < 0 se µ é paralelo a Η Nível ( ) + µη > 0 se µ é anti-paralelo a Η a) Escreva a expressão dos números de partículas N + e N em cada um dos níveis de energia, em função de N, u µη e ε. b) Obtenha a expressão da entropia do sistema. Represente graficamente S / Nk B em função de η ε / (Nu). [Utilize os resultados do problema -3]. c) Obtenha a expressão de β / (k B ) (em que é a temperatura do sistema) em função de η e represente graficamente esta função. Interprete. d) Utilize os resultados de c) para obter as expressões de N + e N em função de β. Represente-as graficamente. Identifique a distribuição estatística de equilíbrio que corresponde às expressões obtidas. e) Mostre que o momento magnético médio do sistema é dado pela expressão e µ µ e βu βu e + e βu βu µ tgh ( βu) a qual tem os seguintes limites assimptóticos µ ~ µ βu, µ ~ µ, se se βu << βu >> f) Define-se "magnetização de um material" como M Nµ. Utilize os resultados da alínea e) para representar graficamente a função M M(βu), e verifique a lei de Curie M Nµ H, k B

69 5- Considere a distribuição de velocidades de Maxwell m F( v) πkb 3 / exp mv k B relativa a um gás, de massa 40uma, em equilíbrio termodinâmico à temperatura. a) Dê o significado físico de F(v)d 3 v e de f(v)dv F(v) 4πv dv. b) Determine os seguintes valores médios, sobre esta distribuição a 300K. b) elocidade, v r b) Módulo da velocidade, v b3) elocidade quadrática, v b4) elocidade mais provável, v mp c) Utilize o resultado b3) para calcular a energia cinética média de translação dos átomos. Interprete o resultado obtido com base no Princípio de Equipartição da Energia. d) Esboce o gráfico de f(v) para 300K e 600K. 6- Considere um sistema de volume constante, constituído por N partículas, as quais se podem distribuir entre dois níveis de energia u 0 e u ε. Suponha que o sistema se encontra em equilíbrio à temperatura e que segue a distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann. a) Escreva as expressões das ocupações médias N i ( i,) de cada nível de energia do sistema. b) Obtenha a expressão da energia interna do sistema, e esboce o seu gráfico em função de. Especifique as distribuições de partículas associadas aos limites assimptóticos 0 e. c) Suponha que o sistema se encontra num macroestado de equilíbrio, correspondente a uma distribuição de N/ partículas em cada nível de energia. Calcule a entropia desse macroestado. Qual será, neste caso, a probabilidade de ocorrência dum qualquer microestado do sistema?

70 7- Considere um sistema de volume constante, constituído por N 6000x0 partículas distinguíveis, as quais se podem distribuir entre três níveis de energia: u 0, u ε, u 3 ε, com ε 0-0 J. a) O sistema encontra-se inicialmente num macroestado A, correspondente a N A 5300x0 partículas no nível de energia N A 400x0 partículas no nível de energia N 3 A 300x0 partículas no nível 3 de energia a) Calcule a energia interna do sistema. a) Escreva a expressão do número de microestados Ω A, correspondente ao macroestado A. b) Admita que o sistema se encontra isolado do exterior (isto é, que a sua energia interna U é constante). Nestas condições, deixa-se o sistema evoluir para o seu macroestado de equilíbrio X, correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann. b) Calcule a ocupação média de equilíbrio de cada nível de energia, N i X (i,,3) e a temperatura de equilíbrio X do sistema. b) Calcule a variação de entropia do sistema na evolução A - X. c) Admita agora que o sistema deixa de estar isolado. Nestas condições, eleva-se a temperatura do sistema até maximizar a sua energia interna (mantendo-se as condições de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann). c) Calcule o valor máximo da energia interna do sistema, U max, e a ocupação média de cada nível de energia, N i max, para U U max. c) Esboce o gráfico de N i (i,,3) em função de.

71 8- Considere um sistema de N 6x0 3 partículas distinguíveis, as quais se podem distribuir em três estados i,,3. a) Suponha que o sistema se encontra isolado. a) Escreva a expressão do número total de microestados acessíveis ao sistema. a) Escreva a expressão geral da entropia do sistema, quando este se encontra num macroestado genérico com N partículas no estado i N partículas no estado i N 3 partículas no estado i 3 a3) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que corresponde(m) ao seu mínimo de entropia. Calcule esse valor mínimo. a4) Apresente a(s) configuração(ões) microscópica(s) do sistema que corresponde(m) ao seu máximo de entropia. Calcule esse valor máximo. b) Suponha que os três estados do sistema correspondem de facto a três níveis de energia, tais que u 0, u ε e u 3 ε, com ε 0 0 J. Nessas condições, admita que o sistema é posto em contacto com uma fonte de calor à temperatura, evoluindo para um macroestado de equilíbrio correspondente a uma distribuição de Maxwell-Boltzmann. b) Calcule a ocupação média de cada nível de energia e a energia interna do sistema, nos seguintes limites: ba) Baixas temperaturas, 0. bb) Altas temperaturas,. b) Esboce o gráfico de N i (i,,3) em função de. 9- O modelo de atmosfera isotérmica admite que, dentro das variações de altitude consideradas, o ar se comporta como um gás perfeito em equilíbrio térmico à temperatura, sob a acção de um campo gravítico de aceleração constante g. a) Escreva a expressão da energia de cada partícula (de massa m) do ar. b) Obtenha a expressão da densidade do ar em função da altitude z.

72 0- Considere um sistema de N átomos distinguíveis (N >> ), em equilíbrio térmico à temperatura, os quais se encontram imersos num campo magnético de intensidade H. Os valores discretos da energia magnética de cada átomo são dados pela expressão ε, m αhm onde α é uma constante positiva e m é um número inteiro que pode assumir os valores m J, J +, J +,..., J, J, J, num total de J + níveis de energia ( J é um inteiro, associado à quantificação do momento angular). a) Escreva a expressão da ocupação média N m ( H, ) de cada nível m de energia do sistema. b) Mostre que ln z( H, ) M ( H, ) NkB, H onde M ( H, ) Nα m( H, ) representa a magnetização do sistema (sendo m( H, ) o valor médio de m sobre a distribuição de átomos), e z ( H, ) é a função de partição para os níveis de energia magnética de um átomo. c) Admita que o sistema se encontra no limite de muito baixas temperaturas, caracterizado por αh K B >>. Utilize argumentos físicos para escrever a expressão assimptótica da magnetização do sistema, neste caso limite. d) Admita que o sistema se encontra no limite de muito altas temperaturas, caracterizado por αh K B <<. Obtenha a expressão da entropia do sistema neste caso limite, justificando os cálculos que efectuar. [Sugestão: comece por escrever, para este caso particular, a expressão do número total de microestados do sistema.]

73 - Considere um plasma (gás ionizado) produzido no interior duma lâmpada fluorescente cilíndrica de raio R cm. Suponha que os electrões desse plasma se encontram em equilíbrio com uma temperatura e 05K e uma densidade n m -3 no eixo da lâmpada (r 0), estando sujeitos a uma energia potencial com U 0 4,x0-8 J. 0 ( r / ) U ( r) U R a) Calcule a velocidade quadrática média dos electrões no eixo da lâmpada. b) Escreva a expressão de equilíbrio da densidade de electrões (n e ) em função de r, e represente-a graficamente. c) Suponha que a temperatura dos electrões se eleva até e '06K, mantendo-se constante o número total de electrões dentro da lâmpada. Estime o novo valor n 0 ' da densidade de equilíbrio dos electrões em r 0.

74 - Considere um gás monoatómico, com massa molar M 40 g mol -, que se encontra em equilíbrio térmico a uma temperatura 300K. a) Indique, justificando, qual é a velocidade média x dos átomos do gás, segundo a direcçãoox. b) Calcule a velocidade quadrática média segundo a mesma direcçãoox. x, q x dos átomos do gás, c) Pretende-se agora estudar o efeito da distribuição de velocidades do gás sobre a sua radiação, emitida segundo a direcçãoox. Um átomo em repouso emitiria radiação a uma frequência bem definida ν 0 3x0 5 Hz. Contudo, a frequência da radiação emitida na direcçãoox, por um átomo com velocidade, é dada pela expressão do efeito Doppler x ( c) ν ν0 + x onde c é a velocidade da luz no vácuo. Em consequência, a radiação observada é caracterizada por uma distribuição em frequência, sendo I ( ν) dν a fracção de intensidade luminosa no intervalo de frequência entre ν e ν + d ν. Para a radiação observada: c) Calcule a frequência média ν e o desvio quadrático médio em frequência ( ν) ( ν ν) q, para a temperatura de equilíbrio 300K. [Sugestão: utilize os resultados das alíneas a) e b).] c) Mostre que I( ν) dν I( ν0)exp onde R é a constante dos gases. Mc ( ν ν Rν 0 0 ) dν c3) Obtenha a expressão do desvio de intensidade luminosa, I ν I ν I, no limite de altas temperaturas. [ ( ) ( )] ( ) 0 ν

75 3- O modelo de Einstein (907) permite obter uma expressão para o calor específico da rede cristalina de um sólido. O modelo admite que cada um dos N átomos da rede cristalina se encontra ligado a três osciladores harmónicos clássicos independentes (um por cada grau de liberdade), os quais oscilam todos com a mesma frequência angular ω. O sistema de 3N osciladores harmónicos distribui-se segundo uma estatística de Maxwell-Boltzmann segundo um conjunto de níveis quânticos de energia E ( n + ( 0,,,..., ) ) ω n n h, onde h h / π. a) Mostre que a função de partição para um oscilador, em equilíbrio à temperatura, é dada pela expressão onde β /. k B [Nota: recorde que se tem razão r <.] ( exp( βhω) z β) exp( βhω) n 0 r n, para uma série geométrica de r b) Mostre que a energia interna do sólido é dada pela expressão hω hω ( β) 3N + exp( βhω) U. ln z( β) β Θ h ω k, a qual se designa como [Sugestão: comece por obter a relação U ( β) 3N.] c) Considere a grandeza E B temperatura de Einstein. c) Obtenha, em função da razão Θ E / volume constante c do sólido., a capacidade calorífica a c) Obtenha e interprete fisicamente os seguintes limites assimptóticos de c c.) c ( Θ / ) E. c.) c ( Θ / 0) E.

76 4- Considere um recipiente cúbico de lado L no interior do qual se encontram N iões positivos de carga q, em equilíbrio térmico à temperatura. O sistema está sujeito à acção dum campo electrostático constante r r E E e x (ver figura), podendo-se considerar que cada ião tem uma energia potencial electrostática ε ( x) qe x. Admita que os iões seguem uma estatística clássica de Maxwell-Boltzmann. p E 0 L x a) Escreva, justificando, a expressão da energia cinética média dos iões em função da sua temperatura. b) Mostre que o perfil da densidade iónica (número de iões por unidade de volume), entre 0 x L, tem a forma n( x) n0 exp( qex / kb ) N qel / kb n0 3 L exp( qel / kb ) c) Obtenha as expressões aproximadas de n (x) nos limites k B >> qel e k B << qel. Esboce os respectivos gráficos e interprete.

77 DADOS E CONSANES k B,38x0-3 J K - R 8,34 J K - mol - h 6,66x0-34 J s c 3x0 8 ms - g 9,8 ms - m e 9,x0-3 kg Fórmula de Stirling ln N! N ln N N ( N >> ) R 0 exp( ar ) rdr a [ exp( ar )]

78 Soluções de questões seleccionadas Ω f 4 - exp( 8,9x0 ) Ω i gelo 3- a) N Ω b) S Nk f (x) B f) E kb 4- ε a) N± N m u S( η) Nk B b) ln [( η) ln( η) + ( + η) ln( + η) ] η c) β ln u + η d) N N + βu Ne βu e + e Ne βu e + e βu βu βu 5- b) r b) v 0 b) b3) / 8k v B 398,5 ms - πm v 3 / k B m 43,5 ms -

79 b4) v mp v / k B m 353, ms - 3 c) ε k m kb 6,x0 - J 6- a) N N N + e Ne + e βε βε βε β k B b) Nε U βε + e N N 0 ( β ) : U ( ) 0 ; N 0 Distribuição concentrada no nível fundamental N ( β 0) : U ( ) ε ; N N Distribuição uniforme N c) S Nk B ln p s N 7- a) a) U 0 4 J a) Ω 5300x0 6000x0!400x0!!300x0! b) b) X N N N X X 3 38K X 56x0 768x0 6x0

80 b) S A X,9 JK - c) 4 max max max c) U max 6x0 J ; N N N3 N / 3 8- a) a) Ω x 3 microestados a) S kb lnω N! Ω N! N! N3! N! a3) S kb ln kb ln 0 N!0!0! Configuração m N partículas no estado i 0 partículas no estado i 0 partículas no estado i 3 Configuração m 0 partículas no estado i N partículas no estado i 0 partículas no estado i 3 Configuração m 3 0 partículas no estado i 0 partículas no estado i N partículas no estado i 3 a4) S k B ln N! [( N /3)!] Nk 3 B ln3 Configuração M N/3 partículas no estado i N/3 partículas no estado i N/3 partículas no estado i 3

81 b) b) β + + β β β k e e Ne N B u u u i / ba) 0 0 Ne N N Ne N i i 3 0 i i i u N u N U bb) 3 N N N i + + ε J 3 3 i i i N u N U 9- a) mgz m + ε v b) ) 0)exp( ( ) ( mgz z n z n β 0- a) ), ( ) / exp( ) / exp( ) / exp( ), ( H z k Hm N k Hm k Hm N H N B m B B m α α α b) H H z Nk H z z Nk k Hm H Nk z mn H M B B B m B m n α α ), ( ln ) / exp( ), ( c) No limite de muito baixas temperaturas, o sistema de átomos encontrase todo no nível mais baixo de energia, pelo que J N JN N mn m m n e J N H M α ) 0, ( d) No limite de muito altas temperaturas, ocorre uma equidistribuição dos átomos por todos os J+ níveis de energia do sistema. Assim ( ) [ ]!! ), ( + + Ω J J N N H (átomos distinguíveis) ( ) ln ), ( ln ), ( + Ω J Nk H k H S B B

82 - a) x 0 m s - (Distribuição isotrópica de velocidades) b) x, q R M 50 m s - (eorema da equipartição da energia segundo Ox ) c) ν c) ν ν0 3x0 5 0 R Hz ( ν) q,5x0 9 Hz c M c) O resultado obtém-se directamente a partir da distribuição de velocidades de Maxwell para x, utilizando a expressão do efeito Doppler. 3- a) Mc ( ν ν 0) c3) I ( ν) I( ν0) Rν0 z( β) n 0 exp exp( βhω) exp( βhω) ( β ) exp( βhω) [ exp( βhω) ] E n n 0 n b) U ( β) 3N εoscilador 3N β ln z 3N β βhω ln ( β) [ exp( βhω) ] hω 3N + exp hω ( βhω) c) c) C ( Θ E / ) 3Nk B Θ E exp( Θ / ) [ exp( Θ / ) ] E E ΘE c.) C ( ΘE / ) 3NkB 0 exp( ΘE / ) odos os osciladores se encontram no estado de energia mais baixo do sistema (congelamento dos graus de liberdade vibracionais, a muito baixas temperaturas).

83 c.) C ( Θ / 0) 3Nk E B Lei clássica de Dulong e Petit (equipartição da energia por graus de liberdade vibracionais). 4- a) Distribuição de velocidades de Maxwell a 3D 3 N k ε k B (eorema da equipartição da energia) N c) n( x), kb >> qel 3 L Distribuição uniforme (os iões não "sentem" o efeito do campo) n(x) N/L 3 0 L x n( x) 0, x L n( x), x L, kb << qel Distribuição delta de Dirac (os iões só "sentem" o efeito do campo) n(x) 0 L x

84 PARE - I RANSPORE DE ENERGIA GÁS DE FOÕES

85 - Uma placa infinita é constituída por um material de condutividade térmica W m - K -. A placa tem 0cm de espessura e a sua face mais quente encontra-se a 60 C. Calcule a temperatura da sua fa ce mais fria, sabendo que a potência calorífica por unidade de área que a atravessa é 80 W m -. - Considere um cilindro metálico homogéneo com raio R 0cm, à temperatura int 500K, o qual se revestiu exteriormente de um isolante de condutividade k 0,5 W m - K - e espessura e cm. a) Obtenha a expressão da resistência térmica de um troço do isolante de comprimento L. b) Calcule a potência térmica, por unidade de comprimento, que atravessa o isolante, quando a temperatura exterior do sistema é ext 300K. c) Represente graficamente o perfil radial de temperatura no interior do isolante. 3- A figura representa um cilindro metálico muito longo, de raio R int 0mm, à temperatura int 500K, o qual se revestiu exteriormente com um isolante de condutividade k 0, W m - K - e espessura e 5mm. O coeficiente de convecção na face exterior do sistema metal + isolante é h ext 5 W m - K -. R int 0mm R ext R int + e 5mm a) Obtenha a expressão da resistência térmica R th de um troço de comprimento L do sistema. b) Calcule a potência térmica por unidade de comprimento, que atravessa radialmente o sistema, quando a temperatura exterior é ext 300K. c) Calcule, justificando, a espessura e 0 do isolante a partir da qual o fluxo radial de calor diminui com o aumento de e. [Sugestão: comece por mostrar que a função R th (e) tem um mínimo].

86 4- Uma sala é aquecida por forma a ter uma temperatura constante e igual a C. No exterior, a temperatura ambiente é de C. A sala tem uma janela composta por dois vidros (cada um com uma espessura de 4mm), separados por uma caixa de ar de cm (janela de vidro duplo). A condutividade térmica do vidro é 0,8 W m - K -, o coeficiente de convecção na face interior da janela é 8 W m - K -, na sua face exterior é 5 W m - K - (há vento! - convecção forçada) e na caixa de ar é 7 W m - K -. a) Admita que a janela tem uma área de m de vidro, desprezando-se a presença da sua caixilharia. a) Calcule a potência térmica que atravessa a janela. a) Esboce graficamente o perfil de temperatura através do vidro da janela, desde o interior até ao exterior da sala. b) Pretende-se agora estudar o efeito da caixilharia da janela nas perdas de potência térmica. Admita que a caixilharia tem uma espessura de,5cm, e que a sua presença faz aumentar em 0% a área total da janela (que continua a ter uma superfície de m de vidro). Considere que a caixilharia é de alumínio, com uma condutividade equivalente tendo em conta que não é maciço de 5 W m - K -. b) Calcule a potência térmica que atravessa a janela, se se considerar a presença da caixilharia. b) Esboce graficamente o perfil de temperatura através da caixilharia da janela, desde o interior até ao exterior da sala. Compare com o gráfico obtido em a), e indique o que poderá suceder na superfície interior da caixilharia. 5- Um tubo cilíndrico de diâmetro D cm, onde passa água quente com um caudal de 0,5 kg s - e uma temperatura de 80 C, é utilizado para aquece r uma estufa que se encontra a 40 C. O tubo tem espes sura desprezável pelo que a sua área exterior é igual à área interior. Considere um troço de m de tubo, em que pode considerar a temperatura da água constante. a) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no interior do tubo (regime forçado). b) Calcule o coeficiente de transmissão de calor por convecção no exterior do tubo (convecção natural).

87 c) Calcule a potência calorífica cedida pelo tubo à estufa. d) Confirme as hipóteses que utilizou para resolver as alíneas anteriores. (er tabelas abaixo) Definições: Número de Reynolds Número de Prandl Número de Grashof Número de Nusselt Re 4 (dm/dt) /π µ D Pr c p µ / k Gr g ρ β D 3 / µ Nu h D / k Convecção natural de ar em tubos cilíndricos horizontais: β / ar g 9,8m s - Se Gr < 0 9, h,3 ( / D) 0,5 (regime laminar) Se Gr > 0 9, h,4 0,33 (regime turbulento) Convecção forçada dentro de tubos cilíndricos horizontais: Se Re < 300, Nu 3,657 (regime laminar) Se Re > 300, Nu 0,03 Re 0,8 Pr 0,4 (regime turbulento) abelas: Propriedades do ar seco à pressão atmosférica (K) ρ (kg m -3 ) Pr µ x0 5 (kg m - s - ) k x0 (W m - K - ) 00 3,60 0,77 0,69 0,9 50,37 0,75,03,4 00,77 0,74,33,8 50,4 0,7,49, 300,8 0,7,98,6 350,00 0,70,08 3,0 400,0 0,69,9 3,4 Propriedades da água saturada ( C) ρ (kg m -3 ) Pr µ/ρ x0 6 (m s - ) k (W.m -.K - ) c p (kj kg - K - ) ,0,0 0,60 4, ,3 0,66 0,63 4, ,0 0,48 0,65 4, , 0,36 0,67 4, ,7 0,9 0,68 4,6

88 6- Considere uma sala em equilíbrio térmico, a qual é aquecida por um permutador de calor onde circula água quente, num regime de escoamento estacionário. O permutador é constituído por um conjunto de 0 tubos cilíndricos, paralelos e verticais, cada um com raio interior r in cm, raio exterior r ex 3cm, e comprimento L m. As superfícies interior e exterior de cada tubo encontram-se às temperaturas in 9 C e ex 8,99 C, respectivamente. Admita que a temperatura da água, ao longo de cada tubo, se pode considerar constante. Sabe-se que a potência térmica trocada por convecção entre o permutador de calor e o ar da sala é 00W. O coeficiente de transferência de energia por convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é h ex 0 W m - K -. O coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no interior de cada tubo é h in 000 W m - K -. a) Calcule a temperatura da sala devido à presença do permutador de calor. b) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo. c) Mostre que a resistência térmica (radial) de condução R cond de cada tubo cilíndrico é dada por R cond ( r / r ) ln ex π Lk onde k é a condutividade térmica do material de cada tubo. Utilize estes resultados para calcular k. [Sugestão: utilize a lei de Fourier e integre-a radialmente.] dq d ka( r) dt dr A( r) L área lateral dum cilindro de raio r in

89 7- Uma máquina é construída com base no ciclo descrito no problema I-, sofrendo o ar igualmente transformações isotérmicas às temperaturas Q 400K e F 300K. Na máquina, o calor é trocado com as fontes de calor (nas transformações isotérmicas) através de dois permutadores de placas. Nestes permutadores, o ar está separado da água (fonte quente ou fonte fria) por placas metálicas rectangulares de condutividade k 0 W m - K - e espessura l mm. Cada um dos permutadores tem uma área de m, um coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado do ar h ar 0 W m - K - e um coeficiente de transmissão de calor por convecção do lado da água h água 0 4 W m - K -. a) Calcule a resistência térmica total R, para a transferência de energia entre o ar e a água. b) Calcule as temperaturas FQ e FF das fontes (água quente e água fria), admitindo que as potências térmicas trocadas com as fontes quente e fria são Q & kw e Q &,5kW, respectivamente. Q F c) Calcule a variação de entropia por unidade de tempo do Universo devido ao funcionamento da máquina. Conclua da reversibilidade do ciclo. d) Se fosse incumbido de melhorar o rendimento desta máquina que alterações sugeriria? 8- Considere uma sala numa situação térmica estacionária, a qual é aquecida por um sistema de chão radiante, com os ladrilhos do chão assentes sobre um conjunto de tubos horizontais onde circula água quente. Admita que a temperatura da água é constante ao longo de cada tubo (de raio r cm e espessura desprezável). Os ladrilhos têm uma espessura l cm e uma condutividade térmica k W m - K -. A temperatura do ar da sala é ar C, a temperatura das paredes e do tecto é paredes 7 C e a temperatura da superfície superior dos ladrilhos é chão 7 C. Estas temperaturas mantêm-se constantes durante as trocas de energias entre os vários componentes do sistema. O chão de ladrilhos tem uma emissividade 0,75 e uma área de 0m. As paredes e o tecto podem ser considerados como corpos negros. O coeficiente de transferência de energia por convecção entre o chão e o ar da sala é h 0 W m - K -.

90 a) Calcule a potência Q & conv, trocada por convecção entre o chão e o ar da sala. b) Calcule a potência Q & rad, trocada por radiação entre o chão e o conjunto paredes e tecto. c) Calcule a temperatura da superfície inferior dos ladrilhos. d) Estime o caudal mínimo de água quente (em L h - ), que garante uma variação máxima de C para a sua temperatura, no i nterior de cada tubo. e) Explique porque motivo existe uma diferença entre a temperatura do ar da sala e a temperatura das suas paredes e tecto. 9- Considere uma sala numa situação térmica estacionária, a qual é aquecida por um permutador de calor onde circula água quente. O permutador de calor é constituído por um conjunto de 0 tubos cilíndricos, paralelos e verticais (ver esquema junto), cada um com raio r 3cm, comprimento L m e espessura desprezável. Admita que a temperatura da água, ao longo de cada tubo, se pode considerar constante. IN m OU A temperatura do ar da sala é ar C, a temperatura da sua superfície (paredes, chão e tecto) é sup 7 C (ignora-se a pequena porção de parede por detrás do permutador), e a temperatura da superfície de cada tubo é tubo 9 C. O coeficiente de transferência de energia por convecção (natural) entre cada tubo e o ar da sala é h ex 0 W m - K -. O coeficiente de transferência de energia por convecção (forçada) no interior de cada tubo é h in 000 W m - K -. Considere que, quer o permutador de calor, quer a superfície da sala, são corpos negros. a) Calcule a potência Q & conv, trocada por convecção entre o permutador de calor e o ar da sala. b) Calcule a potência Q & rad, trocada por radiação entre o permutador de calor e a superfície da sala, considerando que a área efectiva radiante do permutador é S 0,75m. c) Calcule a temperatura da água que circula no interior de cada tubo.

91 0- Considere um forno eléctrico, com uma área aquecida total de m, dentro do qual se pretende assar um frango com uma área exposta de 0,05m. As trocas de energia entre o forno e o frango são controladas por radiação, podendo-se desprezar a convecção do ar no interior do forno. Suponha que o forno é um corpo negro e que o frango tem emissividade 0,8. A superfície aquecida do forno encontra-se isolada do exterior através de um material de 4cm de espessura e condutividade térmica 0,04 W m - K -. O forno encontra-se numa cozinha cuja temperatura ambiente é amb 7 C, e o coeficiente de convecção médio do lado exterior do forno é W m - K -. Quando o frango está a assar a sua temperatura é frango 0 C, para uma temperatura do forno forno 50 C. a) Apresente um esquema do circuito térmico do problema, onde deverá assinalar as suas diferentes temperaturas. b) Calcule a potência térmica perdida pelo forno para a cozinha. c) Calcule a temperatura da superfície exterior do forno. d) Admita que toda a radiação emitida pelo frango chega às paredes do forno. d) Calcule a potência térmica trocada entre o forno e o frango. d) Calcule a fracção da potência de radiação emitida pelo forno, que incide no frango. [Sugestão: utilize o eorema da Reciprocidade.] - Para armazenar um líquido a certa temperatura utiliza-se um reservatório com parede dupla. A espessura de cada uma das paredes é 5mm e o espaço entre elas, preenchido com ar, tem uma espessura de mm. Admita que o volume do reservatório é suficientemente grande de modo a poder considerar-se que as paredes (de condutividade térmica k parede W m - K - ) têm todas a mesma área de m. Os coeficientes de convecção no interior do líquido e na caixa de ar são, respectivamente, h liq 0 W m - K - e h ar 5 W m - K -. As paredes interiores (espelhadas) têm todas emissividade nula, enquanto que a parede exterior tem emissividade 0,8. O reservatório encontra-se no interior duma sala, havendo lugar a trocas de energia térmica por radiação com as paredes da sala e por convecção com o ar da sala.

92 a) Apresente o esquema do circuito térmico do sistema líquidoreservatório-sala, identificando as suas resistências. b) Calcule a potência térmica Q & reser que atravessa o reservatório, sabendo que a temperatura do líquido é 65ºC e que a temperatura da superfície exterior do reservatório é 30ºC. c) Calcule a potência trocada por radiação Q & rad entre a parede exterior do reservatório e as superfícies da sala (tecto, paredes, ), sabendo que estas se encontram a uma temperatura de 0ºC. Considere que as superfícies da sala se comportam como um corpo negro. d) Calcule o coeficiente de convecção do ar existente em volta do reservatório, sabendo que a temperatura do ar é 5ºC. - A radiação de fundo do Universo foi descoberta por Penzias e Wilson em 964, quando tentavam medir os sinais de rádio emitidos por uma galáxia. Essa radiação (semelhante à dum corpo negro à temperatura de 3K), é uma das provas mais importantes da validade do modelo Big Bang do Universo. a) Calcule o comprimento de onda que corresponde ao máximo de intensidade da radiação de fundo do Universo. b) Calcule a potência global por unidade de área, associada à radiação de fundo do Universo. 3- Equipa-se uma máquina fotográfica com um filme preparado para reproduzir correctamente as cores de imagens em dias de Sol ( Sol ~ 6000K). Caracterize a cor das fotografias obtidas com esse filme, dentro de uma casa iluminada com lâmpadas de tungsténio ( ung ~ 300K). Indique como deve proceder, se quiser tirar fotografias de melhor qualidade dentro de casa (sem mudar de filme!).

93 4- Um campista possui uma tenda que tem o tecto interior em plástico transparente. Numa noite de erão, num planalto da Serra da Estrela, decidiu não montar o tecto exterior e adormeceu a ver as estrelas. Além disso, como estava uma temperatura agradável de ºC, deitou-se em calções. Suponha que o efeito do "céu" (considerado como um corpo negro) na superfície da pele do campista se traduz por uma temperatura equivalente céu 5ºC (sem atmosfera seria ~3 K!). A área de pele do campista voltada para cima é de 0,9m e a emissividade da sua pele é 0,9. a) Calcule o comprimento de onda correspondente à intensidade máxima de radiação emitida pelo campista, sabendo que a superfície da sua pele estava a uma temperatura camp 35ºC. b) Escreva a expressão da potência calorífica perdida pelo campista, em função de céu e camp, das emissividades do céu e do campista, e da superfície de pele do campista. c) Calcule a potência calorífica perdida pelo campista, devido às trocas de energia por radiação entre este e o céu. d) Admita que o metabolismo de uma pessoa deitada fornece ao corpo uma potência de 50W. Calcule a temperatura de equilíbrio da pele do campista, se se desprezarem as trocas de energia com o ar ambiente e o solo. e) O campista acorda a meio da noite (enregelado!) e puxa um cobertor que tem a mesma emissividade da pele e uma espessura de cm. Calcule o valor da condutividade térmica do cobertor que garante, em equilíbrio, que o campista não sente frio. [Sugestão: recorde que o metabolismo do campista fornece 50W e note que a temperatura da superfície exterior do cobertor deve ser igual ao resultado da alínea d)].

94 5- Pretende-se estudar o transporte de energia por radiação para o sistema Sol-erra, admitindo que estes dois astros se podem tratar como corpos negros. Considere que o Sol é uma esfera de raio é R S 7x0 8 m e temperatura superficial S 6000K. Considere que a erra é uma esfera de raio é R 6,4x0 6 m e temperatura superficial. Sabe-se que a distância Sol-erra é d,5x0 m. a) Calcule a energia dos fotões responsáveis pela intensidade máxima da radiação emitida pelo Sol, e indique em que banda espectral se situam (U, visível, I,...). b) Calcule a potência total radiada pelo Sol. c) Mostre que a fracção de potência radiada pelo Sol que é absorvida pela erra é dada por P abs σ R d π R d) Admita que a erra se encontra em equilíbrio térmico de radiação, havendo uma igualdade entre as potências absorvida e radiada pela erra. Utilize esta condição de equilíbrio, para calcular a temperatura superficial da erra. e) Deduza a expressão e calcule o valor da pressão de radiação exercida pelos fotões emitidos pelo Sol, sabendo que um gás de fotões em equilíbrio à temperatura tem 4 4σ 3 uma entropia S e uma energia interna 3 c 3 U S. 4 S 4 S