1 Q1, Dilatando réguas

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1 1 Q1, Dilatando réguas nome : Rômulo Loiola Rodrigues Gaspar, Entregar 04/10/ Enunciado Uma régua de aço foi usada para medir o comprimento de uma barra de determinado material. A medida foi l B (20) = 20, 05 cm a temperatura de 20 o C. A barra e a régua foram colocada juntas em um forno. Na temperatura de 270 o C, a barra passou a medir l B (270) = 20, 11 cm de acordo com a mesma régua. Determine o coeficiente de expansão linear do material da barra. Dados: : αaço = ( o C) Solução Na temperatura de 20 o C, a medida da barra coincide com uma medida na régua de l B (20) = l R (20) = 20, 05 cm. Quando a temperatura chega a 270 o C, essa medida na régua ainda é de l R (270) = 20, 05 cm(270) mas corresponde a um comprimento real de l R (270) = (1 + αaço 250)l R (20) = 20, 05 cm(270) O comprimento da barra medida pela régua é de 20, 11 cm(270) l B (270) = (1 + α B 250)l B (20) = 20, 11cm(270) Obtemos : Donde 1 + α B αaço 250 = α B = ( o C) 1 1

2 2 Q2, A bela figura nome : Diogo Adelino da Silva, Entregar 04/10/ Enunciado A figura ao lado mostra, em corte, um recipiente de paredes adiabáticas que é munido de um pistão móvel, também feito de material adiabático, de massa M = 10 kg e área A = 200 cm 2. Este recipiente contém em seu interior 3 litros de gás Hélio (He, monoatômico, com masssa molar M = 4, 0g/mol) na temperatura e 20 o C. Um aquecedor elétrico, interno ao recipiente, é posto para funcionar de modo a elevar gradualmente a temperatura do gás até 70 o C. Supondo que o pistão move-se sem atrito e que a pressão externa ao recipiente é de 1 atm, detemine para este gás : (a) (0,7) a sua densidade volumétrica ρ; Não essa :(b) (0,6) a velocidade quadrática média inicial v rms de seus átomos constituintes; (c) (0,6) o volume final V f que ele ocupa; (d) (0,6) o trabalho W if realizado ( pelo ou sobre o gás???), a variação da energia interna U if e o calor Q if fornecido ao sistema. Dados : R = 8, 31J/(mol K), p atm = 1, Pa. 2.2 Solução (a) (0,7) A pressão dentro do recipiente compensa a pressão atmosférica e o peso do êmbolo : p = p atm + M g A = 1, Pa o que determina e a densidade : nr = pv T = (1, ) ( ) 293 ρ = n M V = p M R T = (1, ) 4, 0 8, = 1, 087 J/K g/m 3 = 174, 5 g/m 3

3 Não essa : (b) (0,6) Para 1 mol temos : (c) (0,6) 1 2 Mv rms 2 = 3 3R T 2 RT v rms = M V f = V i T f T i = 3, 51 l (d) (0,6) A pressão fica constante de modo que = 1351 m/s W if = p(v f V i ) = nr (T f T i ) = 54, 3 J Temos a capacidade térmica molar a pressão constante C p = 5R/2 donde Q if = nc p (T f T i ) = 5 2 nr (T f T i ) = 135, 8J e a variação da energia interna U if = 3 2 nr (T f T i ) = 81, 5J Verificamos que U if = Q if W f 3

4 3 Q3, De novo, um cíclo com 3 etapas nome : Thiago Coutinho Guerra, Entregar 04/10/ Enunciado Um mol de um gás ideal di-atômico sofre o processo mostrado no diagrama p V da figura abaixo, em que p é dada em atmosferas (atm) e V em litros (l). Sabe-se que cada ciclo é descrito no sentido a b c a, sendo o processo a b uma expansão adiabática reversível, o processo b c uma compressão isotérmica e c a um aumento de pressão isovolumétrico. Na figura V a = V c = 25l e V b = 40l, a pressão no estado c vale p c = 1 atm (a) (0,6) Determine a pressão p a e a temperatura T a no estado a. (b) (0,7) Calcule o calor Q trocado e o trabalho W realizado nos três processoa que compõem o ciclo. (c) (0,6 Obtenha o rendimento η de uma máquina térmica cujo agente opera neste ciclo. (d) (0,6) Compare η com o rendimento de uma máquina térmica de Carnot que operasse entre as temperaturas mais alta e mais baixa deste ciclo. 3.2 Solução (a) (0,6) O processo b c é isotérmico donde p b = p c V c /V b = p c (V a /V b ) e ( ) γ ( ) γ 1 Vb Vb p a = p b = p c = p c (1, 6) 0,4 = 1, 21atm V a V a Como 1atm 1l 100 J, achamos : R T a = p a V a = 3025 J e T a = p a V a R = 1, , K = 364 K 4

5 (b) (0,7) Para o processo isovolumétrico c a temos : W ca = 0 Para o processo adiabático a b temos : W ab Q ca = C V (T a T c ) = (5/2)(RT a RT c ) Q ab = 0 Para o processo isotérmico b c temos : = 2, 5 (p a p c )V c = 1312 J = C V (T b T a ) = C V (T a T c ) = 1312 J W bc = Q bc = R T c ln V c V b = 1175J (c) (0,6) (d) (0,6) η = W ab + W bc = Q ca 1312 η Carnot = T a T c T a = p a p c p a = 0, 21 1, 21 = 0, 10 = 0, 17 5

6 4 Q4, Caliente no calorímetro nome : Rafael Maiocchi Alves Costa, Entregar 04/10/ Enunciado Dentro de um calorímetro com capacidade calorífica desprezível, mistura-se 0, 5 l de água a temperatura de 10 o C com 5, 0 kg de gelo a uma temperatura de 20 o C. Supondo que o sistema gelo água se encontra isolado térmicamente, determine : (a) (0,5) a temperatura final de equilíbrio T eq do sistema; (b) (0,5) a massa de gelo restante m eq no equilíbrio; (c) (0,5) a variação da entropia S a da água; (d) (0,5) a variação da entropia S g do gelo; (e) (0,5) a variação da entropia S a+g do sistema água + gelo. Dados : c agua = 1, 0 cal/(g o C) ; c gelo = 0, 5 cal/(g o C) ; L fusao = 80, 0 cal/g 4.2 Solução (a) (0,5) A água vai se resfriar até 0 o C cedendo : Q 1 = 500 1, 0 10 cal = 5000cal, congelando em 0 o C vai ceder mais : Q 2 = cal = cal. O gelo para ir até 0 o C precisa de : Q 3 = , 5 20 cal = 50000cal. Está faltando 5000 cal que vão resfriar 5, 5kg de gelo a 0 o C até θ tal que : 5500 g 0, 5 cal/(g o C) θ cal = 0, donde θ = 1, 8 o C (b) (0,5) Todo água foi congelada m eq = 5500 g. (c) (0,5) O processo se faz em três etapas : S 1 S 2 S 3 = 500 g 1, 0 cal 273 ln = 17, 99 cal/k g K g 80, 0 cal/g = = 146, 52 cal/k 273 K = 500 g 0, 5 cal g K ln 271, = 1, 65 cal/k Com a soma S agua = 166, 16 cal/k 6

7 (d) (0,5) S gelo = 5000 g 0, 5 cal g K ln 271, = +173, 67 cal/k (e) (0,5) que é positivo como deve ser. Para uma resposta em Joules : S universo = +7, 51 cal/k 1 cal = 4, 18 J 7

8 5 Q5, Conduzindo calor nome : Nadini Odorizi Carega, Entregar 04/10/ Enunciado (2,0) Um bastão cilíndrico de cobre, de comprimento L = 1, 2 m e área de seção reta S = 4, 8cm 2 é isolado, para evitar perda de calor pela sua superfície lateral. Os extremos são mantidos à diferença de temperatura de 100 o C, um colocado em uma mistura água-gelo e outro em água fervendo e vapor. (a)(1,0) Ache a taxa em que o calor é conduzido através do bastão. (b)(1,0) Ache a taxa em que o gelo derrete no extremo frio. A condutividade térmica do cobre vale κ = 400 W/m K e o calor latente de fusão do gelo é L fusao = J/kg. 5.2 Solução (a)(1,0) H Q t = κ S T C T H L = 400 4, , 2 W = 16 W (b)(1,0) M t = Q/ t L fusao = 16 J/s 333kJ/kg 4, kg/s 8

9 6 Q6, Um ciclo em três etapas nome : Ariane Campani Mattos, Entregar 04/10/ Enunciado Um gás ideal, diatômico, ocupa um volume V 1 = 2, 5 l, a pressão p 1 = 1 bar = 10 5 Pa e à temperatura T 1 = 300 K. Ele é submetido aos seguintes processos reversíveis : (1 2) um aquecimento isovolumétrico até a sua pressão quintuplicar, depois (2 3) uma expansão isotérmica até a pressão original e, finalmente, (3 1) uma transformação isobárica voltando ao estado inicial. (a)(0,5) Desenhe o ciclo do gás no diagrama de Boyle-Clapeyron (p versus V ), indicando a escala das unidades. (b)(1,8) Calcule, em Joules, o trabalho feito W pelo gás, o calor Q que ele absorve e a sua variação de energia interna U em cada etapa do ciclo. (c)(0,2) O rendimento da máquina operando segundo este ciclo. 6.2 Solução O gás ideal, sendo diatômico, C V = 5R/2 de modo que U = n(5r/2) T. Achamos T 2 = 5 T 1 = 1.500, 0 K ; V 3 = 5V 1 ; nr = 250/300 J/K. (a)(0,5) Desenho do ciclo : (b)(1,8) Em Joules, W, Q e U, são : (1.250 ln ) W Q U (1 2) (2 3) (3 1) (c)(0,2) r = W tot Q absorvido = , 22 9

10 7 Q7 Maquinas nome : Felipe Romão Sousa Correia, Entregar 04/10/ Enunciado Uma maquina térmica opera entre a temperatura alta T A = 500 K e a temperatura baixa = 300 K, com um coeficiente de eficiência térmica ou rendimento, r = 0, 20. (a) (0,5) Determine a quantidade de calor Q B cedida à fonte fria quando, em cada ciclo, uma energia de W = 200 J é produzido sob forma de trabalho. (b) (1,0) Calcule S univ, a variação, por ciclo, da entropia do universo termodinâmico formado pelos reservatórios térmicos e a maquina. (c) (0,5) Calcule o coeficiente de eficiência de uma máquina de Carnot operando entre as mesmas temperaturas? (d) (1,0) Qual é a relação entre S univ e a energia desperdiçada, em cada ciclo, ao nâo usar uma máquina de Carnot? 7.2 Solução (a) (0,5) Q A = 5 W = J donde Q B = Q A W = 800 J (b) (1,0) A variação da entropia, no universo, é : (c) (0,5) O rendimento máximo é : (d) (1,0) W Carnot W = ( ) J e S total = Q A /T A + Q B / = 2 3 J/K r Carnot = T A T A = 0, 4 W Carnot W S tot = 200 J (2/3) J/K = 300 K 10

11 8 Q8 Outro ciclo em três etapas nome : Camila Silva Brasiliense, Entregar 04/10/ Enunciado Um mol de um gás ideal, monoatômico, à temperatura T 1 = 300 K é submetido aos seguintes processos reversíveis : (1 2) um aquecimento isovolumétrico até a sua temperatura dobrar T 2 = 600K, depois (2 3) uma expansão adiabática até o estado 3, onde a pressâo é igual à pressão inicial : p 3 = p 1 e, finalmente, uma transformação isobárica (3 1). (a)(0,5) Desenhe o ciclo no diagrama {p, V }. (b)(1,5) Calcule a temperatura T 3 e, em Joules, o trabalho feito W pelo gás, o calor trocado Q e a sua variação de energia interna U em cada etapa do ciclo. (c)(0,5) Se p 1 = 10 5 Pa, calcule {V 1, V 3 }. 2 0,6 = 1, Solução Temos U = (3/2)R T, γ 1 = 0, 6 e 1 γ 1 = 0, 4. A pressão, volume e temperatura são relacionados por : (1) p 1 ; V 1 T 1 = 300 K (2) p 2 = 2p 1 ; V 2 = V 1 T 2 = 2T 1 = 300 K (3) p 3 = p 1 ; V 3 = 2 0,6 V 1 1, 5V 1 T 3 = 2 0,6 T K (a)(0,5) Desenho do ciclo : (b)(1,5) T 3 = 2 1/γ T K e temos, em Joules : W Q U (1 2) , , 3 (2 3) +217, 5 8, , 5 8, 3 (3 1) 155 8, 3 387, 5 8, 3 232, 5 8, 3 ou W Q U (1 2) (2 3) (3 1) (c)(0,5) Se p 1 = 10 5 Pa, V 1 = 300 8, m 3 25 l, V 3 38 l 11

12 9 Q9 Outras Máquinas nome : Jessica de Souza Panisset, Entregar 04/10/ Enunciado (3,0) Uma refrigerador opera entre as temperaturas T A = 300 K e = 270 K, com um coeficiente de performance (desempenho) D. = Q B /W = 5, 0. (a) (0,5) Calcule em cada ciclo, a quantidade de calor Q A transferida à fonte quente ao gastar no refrigerador uma energia, por ciclo, de W = 200 J. (b) (1,0) Calcule S univ, a variação, por ciclo, da entropia do universo termodinâmico formado pelos reservatórios térmicos e o refrigerador. (c) (0,5) Calcule o coeficiente de desempenho de um refrigerador de Carnot operando entre as mesmas temperaturas? (d) (1,0) Qual é a relação entre S univ e o gasto EXTRA de energia que resulta da nâo utilização de um refrigerador de Carnot? 9.2 Solução (a) (0,5) : Q B = J donde (b) (1,0) : (c) (0,5) : Q A = W + Q B = J S total = Q A T A + Q B D Carnot. = = 8 27 J/K T A = 9, 0 (d) (1,0) : W EXTRA = W W Carnot = ( ) 1000 J = J, W EXTRA S total = (800/9) J (8/27) J/K = 300 K = T A 12

13 10 Q10 Frio lá fora! nome : Alice Helena Santos Alves de Sayão, Entregar 04/10/ Enunciado Um tanque de água foi construido ao ar livre em tempo frio e alí se formou uma camada de gelo de 5, 0 cm na superfície da água. O ar acima da água stá a 10 o C. Calcule a taxa de formação do gelo (em cm/h) na superfície inferior da placa de gelo. Suponha que o calor não seja transferido pelas paredes ou pelo fundo do tanque. Dados : A densidade do gelo é ρ = 0, 92 g/cm 3. O calor latente de transformação gelo - água é : L f = J/kg = 79, 5 cal/g e o coeficiente de conductividade térmica do gelo é dado por : 10.2 Solução 3 cal/s κ = 4, 0 10 o C cm = 1, 7 W K m A lei de condução fornece : Q T = κa t h 0 Essa quantidade de calor vai formar uma massa de gelo por unidade de tempo : M t = Q L f t ou, um volume : A taxa de crescimento do gelo será : V t = M ρ t h t = V A t = κ T 1, 97 cm/h ρl f h 0 13

14 11 Q11 ciclo de Stirling 1816 nome : Jefferson Xavier de Melo, Entregar 04/10/ Enunciado A máquina de Stirling usa n = 8, moles de um gás ideal, operando entre dois reservatórios de altae baixa temperatura T A = 368 K e = 297 K, funcionando à taxa de 0, 7 ciclos/s. Um ciclo consiste em quatro etapas : 1) uma expansão isotérmica a b à temperatura T A do volume V 0 até o volume V 1 = 1, 5V 0, seguida de 2) um processo iso-volumétrico b c até a temperatura, seguido de 3) uma compressão isotérmico c d à temperatura até o volume inicial V 0, seguida de 4) Um processo iso-volumétrico d a até o estado inicial. (a) Determine o trabalho realizado por ciclo. (b) Qual é a potência da máquina? (c) Supondo que o calor cedido pela máquina no processo b c seja aproveitado inteiramente no processo d a, qual será a eficiência da máquina? (o que queremos/o que pagamos) 11.2 Solução (a) Ao longo das isotérmas, temos : (b) W a b = nr T A ln V b V a, W c d = nr ln V d V c W tot = nr (T A ) ln(1, 5) = 8, , 3 71 ln(1, 5) 1, 9 J (c) Os calores trocados são : Pot = W tot 0, 7 1, 3 Watt Q a b = W a b = nr T A ln(1, 5) Q b c = nc V ( T A ) Q c d = W c d = nr ln(1, 5) Q d a = nc V (T A ) Teremos uma eficiência igual a eficiência de uma máquina de Carnot : e = W tot Q a b = T A T A 0, 20 14

15 12 Q12 ciclo de Otto O motor a gasolina de 4 tempos nome : Raphaella Barros Pereira da Silva, Entregar 04/10/ Enunciado A máquina de Otto opera em quatro etapas : 1) uma compressão adiabática a b diminuindo o volume de V a até o volume V b = V a /r e aumentando a temperatura de T a até T b, seguida de 2) um processo iso-volumétrico (a ignição ) b c aquecendo a mistura até a temperatura T c, seguido de 3) uma expansão adiabática dos gases aquecidas c d até o volume inicial V 0, movendo o pistão, seguida de 4) Um processo iso-volumétrico, a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão, d a até o estado inicial. Considerando a mistura como um gás ideal com coeficiente adiabática γ, mostre que o rendimento do ciclo é dado por : e = 1 T ( ) d T a 1 γ 1 = 1 T c T b r Observação : A taxa de compressão r não pode ser muito grande (r < 10) para evitar a pre-ignição 12.2 Solução Os trabalhos e os calores trocados são : W a b = nc V (T a T b ) < 0 Q b c = nc V (T c T b ) > 0 W c d = nc V (T c T d ) < 0 Q d a = nc V (T a T d ) < 0 com rendimento : e = W a b + W c d Q b c = 1 T d T a T c T b 15

16 Ao longo de uma adiabática reversível, temos T V γ 1 = constante, logo : ( ) Vd T c = T d V c ) T b = T a ( Va V b = T d r γ 1 = T a r γ 1 donde : ( ) T d T a 1 γ 1 = T c T b r 16

17 13 Q13 refrigerador de Carnot nome : Luiz Felipe Neris Cardoso, Entregar 04/10/ Enunciado Uma máquina de Carnot, sendo reversível, pode operar em sentido inverso, i.e.como refrigerador. As quatro etapas consistem em : 1) a b, uma compressão isotérmica à temperatura mais alta T A, seguida de 2) b c, uma expansão adiabática até a temperatura mais baixa, seguida de 3) c d, uma expansão isotérmica à temperatura mais baixa e, finalmente : 4) d a, uma compressão adiabática até o estado inicial a. Com T A = 305 K e = 275 K e sabendo que o sistema refrigerante cede 300J por ciclo à fonte quente, (a) Determine o trabalho W feito, por ciclo, sobre o sistema. (a conta da luz!) (b) Qual é a quantidade de calor Q B, tirada da fonte frio? (c) Definimos o coeficiente de performance K como a razão entre o que queremos Q B e o que pagamos W. Mostre que K = /(T A ) para um refrigerador de Carnot Solução Sabemos que, em um refrigerador de Carnot, a variação da entropia do universo é nula, logo Q A = Q B T A (a) (b) (c) ( W = Q A Q B = Q A 1 T ) B = 29, 5J T A Q B = Q A W = 270, 5 J K = Q B W 9, 2, /(T A )

18 14 Q14 Entropia do Universo nome : Camilla de Assis Magalhães, Entregar 04/10/ Enunciado Uma máquina térmica opera entre reservatórios térmicos nas temperaturas T A e, sendo T A >. Sejam Q A o calor tirado do reservayório R A a alta temperatura e Q B, o calor cedido ao reservatório R B a baixa temperatura. Determine a variação de entropia de (1) o resrvatório R A, (2) do reservatório a baixa temperatura R B e (3) do sistema operando em ciclo. Mostre que o princípio S universo 0 implica que o rendimento de uma máquina térmica qualquer é sempre menor do que η Carnot = 1 /T A Solução Temos e implica em : donde o rendimento : S A = Q A T A ; S B = Q B S universo = S A + S B = Q B Q A T A 0 Q B Q A T A e η = W Q A = Q A Q B Q A 1 T A = η Carnot = 1 Q B Q A 1 T A 18

19 15 Q15 Entropia e Economia nome : Nathalia da Silva Henrique de Moura e Victor dos Santos Costa Entregar 04/10/ Enunciado Queremos resfriar um objeto metálico de capacidade calorífica C na temperatura de T i = 290, 0 K até T f = 270, 0 K. Dispomos de um refrigerador de Carnot, operando entre T A = 300, 0 K e = 275 K. Ele possue um compartimento de congelador, funcionando também como máquina de Carnot, entre as temperaturas T A = 300, 0 K e T f = 270, 0 K. Podemos proceder de duas maneiras : 1. A primeira maneira, M I, consiste numa única etapa : colocar diretamente o objeto no compartimento congelador até chegar à temperatura T f. 2. A segunda maneira, M II, se faz em duas etapas : E 1 colocar o objeto refrigerador até ele atingir a temperatura, para numa segunda etapa E 2, colocar ele no comportamento do congelador até chegar à temperatura T f. Supondo que o objeto não sofre perda de calor na transferência do refrigerador para o congelador, determine : (a) : A energia W I necessária para realizar M I. (b) : As energias W II (1) e W II (2) necessárias para realizar cada etapa E 1 e E 2 do segundo procedimento M II. (c) : Compare W I com W II (1) + W II (2). (d) : Calcule a variação da entropia S I do universo termodinâmico formado pelo objeto e o refrigerador no primeiro procedimento M I. (e) : Calcule a variação da entropia S II (1) e S II (2), para cada etapa de M II, do universo termodinâmico formado pelo objeto, o refrigerador e o congelador. (f) : A razão entre W W I (W II (1) + W II (2)) e S S I ( S II (1) + S II (2)) tem a dimensão de uma temperatura. Que temperatura é essa? 19

20 15.2 Solução (a) : Supomos que a capacidade calorífica fica constante de modo que o calor que precisamos tirar do objeto é Q I = C (T f T i ) = Via a fonte fria na temperatura do congelador T f, esse calor é transferido para a fonte quente junto com a energia W I e a fonte quente absorbe Q A = W I + Q I, donde ( ) QA Q I W I = Q A Q I = Q I = T A T f Q I = T f Q I (b) : De mesma maneira achamos os calores em cada etapa do segundo procedimento Q II (1) = C ( T i ) = Q II (2) = C (T f ) = As energias gastas são : ( ) QA Q II (1) W II (1) = Q A (1) Q II (1) = Q II (1) ( ) QA Q II (2) W II (2) = Q A (2) Q II (2) = Q II (1) (c) : Como Q I = Q II (1) + Q II (2), temos : W W I (W II (1) + W II (2)) = T A ( 1 T f 1 que é positivo, logo o primeiro processo é mais caro! (d) : S I = Q Tf A + C dt T A T i T = Q I + C ln T f = T f T i (e) : S II (1) = Q II(1) TB + S II (2) = Q II(2) T f + T i Tf C dt T = Q II(1) C dt T = Q II(2) T f Q II (1) = T A Q II (1) = Q II (1) = T A T f T f Q II (2) = ) Q II (1) = + C ln T i = + C ln T f = (f) : A diferença entre as variações da entropia nos dois procedimentos é : S S I ( S II (1) + S II (2)) = Q II(1) T f 20 Q II(1)

21 Vemos que W = T A S Concluimos que o processo no qual a variação de entropia é maior, isto é menos reversível, é o mais caro! 21