Física 2 Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação - MHS Torque e Momento Angular - Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori

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1 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS Moentos de nércia: 1. Deterine o oento de inércia de u triângulo de base b e altura h e relação: (a) ao eio da base; (b) ao eio y. r 3 r o d d o r r y 4 3. Deterine o oento de inércia da figura plana e relação a cada eio coordenado. Encontre o raio de giração: k b 7 k y k 3a 5 e k y y 1 b h y h y d y dy h corpo h bh 6 b 6 y d y corpo l h y da l dy b h. Deterine o oento polar de inércia de u disco de raio r. Encontre tabé e y. 4. Encontre, y e e cada caso: (a) (b) corpo r o o d dd r

2 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS 5. Deterine o oento polar de inércia O e o raio de giração da figura plana co respeito ao centro P. 8. Encontre o oento de inércia da figura coposta co respeito ao eio. 6. Deterine o oento polar de inércia O e o raio de giração da figura plana co respeito ao centro O. 9. Deterine o oento de inércia co respeito à u eio perpendicular à etreidade de ua barra de assa e copriento L. 7. Aplique o teorea dos eios paralelos ou teorea de Steiner: OG O G para encontrar o oento de inércia e relação aos eios indicados: (a) 1. Encontre o oento de inércia das figuras (triângulo equilátero de lado a) e assa e relação ao eio CC. (passando pelo centro de assa G=C). (a) (b) (b).

3 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS Torque e oento angular. Energia de rotação. rapa e relação à horizontal é. Qual é a aceleração da bola? Considere a bola ua esfera hoogênea sólida, desprezando seus orifícios. 1. Ua casca cilíndrica oca de raio R e assa M rola se deslizar co ua velocidade v CM ao longo de ua superfície plana. Qual a sua energia cinética? Dado: 1 1 K M vc c. Velocidade de u ioiô. U ioiô é feito enrolando-se u fio diversas vezes e torno de u cilindro de assa M e raio R. Manté-se presa a etreidade enquanto o cilindro é liberado se velocidade inicial. O fio se desenrola, as não desliza ne se dilata à edida que o cilindro cai e gira. Use considerações de energia para achar a velocidade do centro de assa v CM do cilindro sólido depois que ele caiu a ua distância h. 3. Copetição entre corpos girando. E ua deosntração durante a aula de física, o professor faz ua copetição de vários corpos rígidos redondos: cicllindro oco, cilindro sólido, aro, esfera oca e esfera sólida. Deiando-os rolar do alto de u plano inclinado, qual a fora do corpo que alcança prieiro a parte inferior? Dados: Conservação da energia ecânica: Dica: c K U K U 1 1 cm R Veja tabela. 4. Aceleração de ua esfera rolando. Ua esfera de bliche sólida rola se deslizar para baio de ua rapa ao longo de ua guia. O ângulo de inclinação da 5. Trabalho e potência no oviento de rotação. Podeos escrever: dw Ftan ds ds R d dw F Rd dw d tan d dw d W 1 d dw d dw d d dw d dw d 1 1 W d Wtot 1 1 dw d P U anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo otor de u autoóvel afira que o otor desenvolve W para ua rotação de 6 rp. Qual é o torque desenvolvido pelo otor? 6. A hélice da turbina de u otor a jato possui oento de inércia.5 kg.² e torno do eio de rotação. Quando a turbina coeça a girar, sua velocidade angular e função do tepo é dada por 3 4t rad s (a) Calcule o oento angular da hélice e função do tepo e ache seu valor e t = 3. s. (b) Deterine o torque resultante que atua sobre a hélice e função do tepo e calcule seu valor para t = 3. s. 3

4 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS 7. Ua grandeza análoga ao oento linear de ua partícula é o oento angular, que representaos por L. Definios coo: L r p p 1. Qualquer u pode ser bailarino. U professor de física acrobata está de pé sobre o centro de ua esa girante, antendo seus braços estendidos horizontalente co u haltere de 5. kg e cada ão. 4 Se u corpo de kg possui vetor posição dado por: E vetor velocidade: ˆ r iˆ 3 ˆj 5 k ˆ v 3iˆ 4 ˆj k s Deterine seu oento angula L 8. Ua pedra de. kg possui ua velocidade horizontal co odulo de 1. /s quando esta no ponto P na Figura. (a) Nesse instante, qual é o odulo, a direção e o sentido do seu oento angular e relação ao ponto O? (b) Caso a única força que atue sobre a pedra seja seu peso, qual é a taa de variação (ódulo, direção e sentido) do oento angular nesse instante? 9. U patinador girando. Podeos considerar as ãos e os braços esticados para fora de u patinador que se prepara para girar coo ua barra delgada cujo eio de giro passa pelo seu centro de gravidade (Figura 14). Quando suas ãos e braços se aproia do corpo e se cruza e torno do corpo para eecutar o giro, as ãos e os braços pode ser considerados u cilindro oco co parede fina. A assa total das ãos e dos braços e igual a 8. kg. Quando esticadas para tora, a envergadura é de 1.8 ; quando torcidas, elas fora u cilindro de raio igual a 5 c. O oento de inércia das parles restantes do corpo e relação ao eio de rotação é constante e igual a,4 kg ². Se sua velocidade angular inicial é de,4 rev/s, qual é sua velocidade angular final?. Ele está girando e torno de u eio vertical copletando ua volta a cada. s. Calcule a nova velocidade angular do professor quando ele aproia os dois halteres do seu estôago e discuta coo isso odifica a sua energia cinética. Seu oento de inércia (se os halteres) é igual a 3. kg.² quando seus braços estão distendidos para fora, diinuindo para. kg.² quando suas ãos estão próias do seu estôago. Os halteres estão inicialente a ua distância de 1. do eio e a distância final é igual a.. Considere o halteres coo partículas. 11. A figura ostra discos, u deles é o volante de u otor e o outro é u disco ligado a u eio de transissão. Seus oentos de inércia são A e B, respectivaente; inicialente eles estão girando co a esa velocidade angular A e B, respectivaente. A seguir epurraos os dois discos u contra o outro aplicando forças que atua ao longo do eio, de odo que sobre nenhu dos dois discos surge torque e relação ao eio. Os discos peranece unidos u contra o outro e atinge ua velocidade angular final. Deduza ua epressão para.

5 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS 1. No eeplo anterior, suponha que o volante A tenha assa de. kg, u raio de. e ua velocidade angular inicial de rad/s. Calcule a velocidade angular cou final depois que os discos fica e contato. A energia cinética se conserva nesse processo? 13. Moento angular e ua ação policial. Ua porta de largura 1 e assa de 15 kg é articulada co dobradiças e u dos lados de odo que possa girar se atrito e torno de u eio vertical. Ela inicialente não está aberta. U policial dá u tiro co ua bala de 1 g e velocidade de 4 /s eataente no canto da porta. Calcule a velocidade angular da porta iediataente depois que a bala penetra na porta. A energia cinética se conserva? 16. U disco gira e torno de u eio se atrito, que coincide co o respectivo eio de sietria, co velocidade angular inicial i, coo ostra a figura. O seu oento de inércia e relação ao eio é 1. Nu certo instante, o disco cai sobre o outro, de oento de inércia, ontado sobre o eso eio. Graças ao atrito entre as duas superfícies e contato, os dois discos atinge ua velocidade angular cou aos dois, f. Calcular essa velocidade angular Deterinar, e cada caso, o oento angular para as seguintes situações: (a) u carro de 1 kg percorre no sentido anti-horário u círculo co de raio co velocidade de 15 /s. (b) o carro encionado desloca-se co velocidade v 15 si ˆ sobre a reta y = y =, paralela ao eio. (c) u disco, no plano y, co raio de e a assa de 1 kg, girando a.75 rad/s e torno do seu eio, que coincide co o eio z. 15. A áquina de Atwood te dois corpos de assa 1 e ( sendo 1 aior que ), ligados por u cordel de assa desprezível que passa por ua polia cujos rolaentos não oferece atrito. A polia é u disco unifore, de assa M e raio R. O cordel não escorrega na polia. Deterinar a aceleração angular da polia e a aceleração dos dois corpos pela equação: N i1 i, et dl 17. U carrossel co de raio e 5 kg. de oento de inércia gira e torno de seu eio, se atrito, copletando ua volta a cada 5 s. Ua criança, co 5 kg, está inicialente no centro do carrossel e depois cainha até a borda. Calcular a velocidade angular que terá, então, o carrossel. 18. A criança encionada no eeplo anterior corre co velocidade.5 /s sobre ua tangente à beira da platafora do carrossel, que está ióvel, e pula para a platafora. Calcular a velocidade angular final da criança no carrossel.

6 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS 19. Ua partícula de assa descreve, co velocidade v, u círculo de raio r sobre a superfície de ua esa horizontal se atrito. A partícula está presa a u fio que passa por u buraco na esa, no centro do círculo. O fio é lentaente puado para baio, de odo que a partícula acaba descrevendo u círculo de raio r f. Moento de inércia de figuras: 6 (a) Calcular a velocidade final e teros de r, v e r f. (b) Calcular a tensão T no fio quando a partícula descreve u círculo de raio r f e teros de, r e do L v r. (c) Calcule o trabalho feito pela partícula pela tensão oento angular T dr T, integrando teros de r, r f e L. de r até r f. Dar a resposta e. Ua barra de assa M e copriento d pode girar e torno de u eio fio a ua de suas etreidades. Ua bola de assa plástica, co assa e velocidade v, atinge a barra a ua distância do eio e fica grudada na barra. Achar a razão entre a energia final e a energia inicial do sistea.

7 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS Lista e Trabalho: 1. Aplica-se ua força de 18 N a ua distância r s = 7 c do eio central da catraca traseira de ua bicicleta. Considere a roda de oento de inércia = M.R de raio R = 35 c e assa M =.4 kg. Qual a velocidade angular da roda após 5 s? O bloco de assa 1 desliza se atrito sobre ua superfície horizontal; o bloco de assa está suspenso. Encontre a aceleração dos blocos e as tensões T 1 e T assuindo que a corda não desliza sobre a polia. 1 R: R R R R a g T g T g 7. Ua haste de copriento L e assa M está pivotada e sua etreidade esquerda. O engaste está ausente de atrito. Encontre: (a) a aceleração angular iediataente a haste ser solta e (b) a força F A eercida no pivô nesse instante. 5. O áio torque produzido por u otor 8.-L V1 de u Dodge Viper é 675 N. a 37 rev/in. Encontre a potência desse carro operando nas condições de áio torque. (R: 6 kw). 6. A áia potência produzida por u Dodge Viper é 45 hp a 5 ver/in. Qual é o torque do otor quando operando na áia potência? (R: 616 N.) 7. Ua bola de raio 11 c e assa M = 7. kg está rolando se se deslizar sobre u plano horizontal co velocidade de /s. Se ela sobre o plano inclinado se se deslizar e para a ua altura h, deterine a altura h atingida. R: L F Mg 3g 1 A 4 3. U objeto de assa está ligado por u fio a ua polia que possui oento de inércia e raio R. O fio se ovienta se se deslizar pela polia e não há atrito. Encontre a tensão no fio e a aceleração do objeto. R: 7v h i 1 g 8. U taco atinge horizontalente ua esfera a ua distância de seu centro. Encontre o valor de para o qual a bola vai rolar se se deslizar. Epresse sua resposta e teros do raio R da bola. g g T a R 1 1 R R: 4. Dois blocos são conectados por ua corda e passa por ua polia de raio R e oento de inércia.

8 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS R: R 5 9. Ua bola sólida de assa e raio R rola se deslizar-se sobre u plano inclinado de u ângulo co a horizontal. Deterine a aceleração do centro de assa e a força de atrito. R: 5 ac g sen Fat g sen Ua esfera sólida, u cilindro sólido e u aro são abandonados de ua altura h de u plano inclinado. Deterine a velocidade co que chega ao solo. (para cada objeto). na orige de u carro de assa = 1 kg que se ove e u círculo de raio co velocidade de 15 /s. O círculo está no plano y, centrado na orige. Quando visto de u ponto no eio z o carro se ove no sentido anti-horário. 13. Encontre o oento angular L r p Ua áquina de Atwood possui duas assas 1 = 5 g e = 51 g conectadas por ua corda de assa desprezível que passa por ua polia (u disco unifore de assa 5 g e raio 4 c). A corda não se desliza sobre a polia. Encontre a aceleração dos objetos e as tensões que suporta as assas, 14. U disco está girando co velocidade angular inicial i e u sistea se atrito sobre u eio de sietria. O oento de inércia e relação a esse eio é 1. Ela cai sobre u outro disco de oento de inércia que está inicialente e repouso sobre o eso eio. Devido ao atrito, elas gira juntos. Deterine a velocidade angular cou dos dois discos. 1. Ua áquina de Atwood possui duas assas 1 e ( 1 > ) conectadas por u fio. A polia é u disco unifore de assa M e raio R. O fio não desliza sobre a polia. Aplique a relação: dl i para o sistea constituído pelos dois i blocos, a polia e o fio para encontrar a aceleração angular da polia e a aceleração linear dos blocos. (Aplicação: Os discos girando no eio de transissão de u cainhão faze colisões inelásticas.) 15. U carrossel co de raio e 5 kg. de oento de inércia gira e torno de seu eio, se atrito, copletando ua volta a cada 5 s. Ua criança, co 5 kg, está inicialente no centro do carrossel e depois cainha até a borda. Calcular a velocidade angular que terá, então, o carrossel.

9 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS Trabalho e potência no oviento de rotação Podeos escrever: dw F ds ds R d tan dw Ftan R d dw d W Podeos desenvolver: dw d 1 d d dw d dw d d dw d dw d W d Wtot 1 dw d P 16. U anúncio fazendo propaganda da potência desenvolvida pelo otor de u autoóvel afira que o otor desenvolve W para ua rotação de 6 rp. Qual é o torque desenvolvido pelo otor? Solução: P P 6 f 6rp Hz 6 f 1Hz f 1 rad s N 17. U otor elétrico desenvolve u torque constante de = 1 N. sobre o eseril ontado no seu eio otor. O oento de inércia é =. kg.². Sabendo que o sistea coeça a se over a partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo otor e 8. s e a energia cinética no instante final. Qual a potência édia desenvolvida pelo otor? Solução: rad 1 s t 58 4 rad s K K K 16 J t 16 rad W W 116 W 16 J W 16 P P P W t 8 A potência instantânea P = não é constante, porque cresce continuaente. Poré podeos calcular o trabalho total por: t t W P W t1 t1 t 8 W t 15t t1 t8 t W 5 W 16J t 9

10 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS MHS Moviento Harônico Siples Pêndulo Siples e Energia Mecânica 1. A corda de u piano eite u dó édio vibrando co ua freqüência priária igual a Hz. (a) Calcule o período e a freqüência angular, (b) Calcule a freqüência angular de u soprano eitindo u "dó alto", duas oitavas acia, que é igual a quatro vezes a freqüência da corda do piano.. U corpo é deslocado,1 da sua posição de equilíbrio e libertado co velocidade inicial igual a zero. Depois de,8 s seu deslocaento é de,1 no lado oposto e ultrapassou ua vez a posição de equilíbrio durante este intervalo. Ache: (a) a aplitude, (b) o período, (c) a freqüência. 3. Ao projetar ua estrutura e ua região propensa à ocorrência de terreotos, qual deve ser a relação entre a freqüência da estrutura e a freqüência típica de u terreoto? Por quê? A estrutura deve possuir u aorteciento grande 1 pequeno? 4. U corpo de assa desconhecida é ligado a ua ola k cuja constante é igual a 1 N/. Verifica-se que ele oscila co u co ua freqüência igual a 6, Ache: (a) o período, (b) a freqüência angular, (c) a assa do corpo. 5. U oscilador harônico é feito usando-se u bloco se atrito de,6 kg e ua ola ideal cuja constante é desconhecida. Verifica-se que ele oscila co u período igual a,15 s. Ache o valor da constante da ola. 6. Teos u oscilador harônico possui assa de,5 kg e ua ola ideal cuja constante é igual a 14 N/. Ache (a) o período, (b) a freqüência, (c) a freqüência angular. 7. A corda de u violão vibra co ua freqüência igual a 4 Hz. U ponto e seu centro se ove co MHS co aplitude igual a 3, e u ângulo de fase igual a zero. (a) Escreva ua equação para a posição do centro da corda e função do tepo; (b) Quais são os valores áios dos ódulos da velocidade e da aceleração do centro da corda? c) A derivada da aceleração e relação ao tepo pode ser chaada de "arrancada". Escreva ua equação para a arrancada do centro da corda e função do tepo e calcule o valor áio do ódulo da arrancada. 8. U bloco de, kg se atrito está presa a ua ola leal cuja constante é igual a 3 N/. Para t = O a ola não está ipriida ne esticada e o bloco se ove no sentido negativo co 1, /s. Ache: (a) a aplitude, (b) o ângulo de fase. (Escreva ua equação para a posição e função do tepo). 9. Repita o Eercício anterior, poré suponha que para t = s o bloco possua velocidade -4, /s e deslocaento igual+,. 1. A etreidade da agulha de ua áquina de costura se ove co MHS ao longo de u eio O co ua freqüência igual a,5 Hz. Para t = os coponentes da posição e da velocidade são +1,1 c e - 15 c/s. (a) Ache o coponente da aceleração da agulha para t =. (b) Escreva equações para os iponentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado e função do tepo. 11. Escreva as equações de (t), v(t) e a(t). 1. U certo pêndulo siples possui na Terra u período igual a l,6 s. Qual é o período na superfície de Marte onde g = 3,71 /s? 13. Escreva a equação diferencial do pêndulo siples da figura e sua solução (t). 1

11 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS U bloco de, kg se atrito está presa a ua ola leal cuja constante é igual a 3 N/. Para t = O a ola não está ipriida ne esticada e o bloco se ove no sentido negativo co 1, /s. Ache: (a) a aplitude, (b) o ângulo de fase (c) Escreva ua equação para a posição e função do tepo. (d) Escreva v(t) e a(t) e função do tepo. v ; v arctg k t sen t ; ; T ; 17. Calcule o período, a freqüência angular para u relógio típico. 15. MHS no otor de u carro. O oviento do pistão no interior do otor de u carro é aproiadaente u MHS. (a) Sabendo que o percurso (o dobro da aplitude) é igual a,1 e que o otor gira co 35 rev/in, calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso, (b) Sabendo que a assa do pistão é igual a,45 kg, qual é a força resultante eercida sobre ele neste ponto? (c) Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto édio do percurso, (d) Qual é a potência édia necessária para acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no ite (c)? e) Se o otor gira co 7 rev/in, quais são as respostas das partes (b), (c) e (d)? (a) Encontre as epressões para a posição, velocidade e aceleração instantânea.

12 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS (b) Assuindo a assa do corpo 1 kg encontre a energia cinética e potencial elástica para = A e = A /. (c) Qual o valor da energia ecânica? (d) Esboce os gráficos de E c(t), E k(t) e E (t) usando o prograa disponível. Oscilações aortecidas 1. A figura ostra u tipo de oscilação aortecida e as curvas (t) para dois casos de subaorteciento. Discuta quais deles possui aior constante de aorteciento c. k ; cc Aorteciento supercrítico c > cc : Dados: 1t t ( t) Ae Be c c 1, v v A B 1 ; Co: ; 1 1 Aorteciento crítico c = cc : t ( t) ( A Bt) e ; ; B v A 1 Aorteciento subcrítico c < cc c t ( ) cos t e A t Bsent ou c t ( ) ( ) t e sen t. q 1 cc c q 1 cc c arctg v c v c ; ; Chaaos de período da vibração aortecida: Discuta os casos possíveis de aorteciento e função da constante de aorteciento crítica c c e construa os gráficos de posição (t), velocidade v(t) e aceleração a(t) para os seguintes osciladores livres, através do prograa do site

13 Física Atividade 3 -Rotação de corpos rígidos e Dinâica do Moviento de Rotação - MHS (i) c =. i k (N/) (kg) (t=) () v(t=) (/s) 1 4 1,5 1, 16 5,5,5 3 5,1, ,5,5 Faça ua pesquisa sobre esse caso na internet coentando sobre a aplicação de vibrações forçadas. Para cada caso, encontre: (a) A freqüência f, a freqüência angular período T. (b) A velocidade áia e a aceleração áia. Construa os gráficos de posição (t), velocidade v(t) e aceleração a(t) para os seguintes aortecedores:,o 13 k (N/) (kg) c (N.s/) (t=)= () v(t=)=v (/s) ,5 1, 4 1 4,5 1, ,5 1, ,5, ,1, ,5,5 Para cada caso, encontre: (a) A freqüência f, a freqüência angular,o período T. (b) A velocidade áia e a aceleração áia. 3. A figura ostra a ponte de Tacoa Narrows, destruída 4 eses e 6 dias após sua inauguração, devido à vibrações de torção e co freqüência de ressonância de aproiadaente. Hz.