OLIMPÍADAS DE FÍSICA. Selecção para as provas internacionais. 30 de Maio de Resolução da Prova Teórica

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1 OLIMÍADAS D FÍSICA Selecção para as proas nternaconas 3 de Mao de 3 esolução da roa eórca I Város tópcos a Α h z Β Ο A água sa do ponto, onde se faz o furo, co elocdade horzontal de ódulo Aplcando a equação de ernoull aos pontos A e, A + ρ gh + ρgz + ρ onde ρ é a densdade da água Coo a pressão é a esa nos dos pontos (pressão atosférca, g( h z (esta é a elocdade de u projéctl deado car de A, ao passar por Consderando agora o oento de u projéctl lançado de co esta elocdade, t z gt g( h z t ; quando chega ao solo z gt z t g Substtundo este tepo na epressão de, obté-se z ( h z sta epressão ostra que se o furo for feto no co ou no fundo o alcance é nulo Derando e orde a z e gualando a zero (para encontrar o etreo, d dz h z gz( h z, de onde se conclu que z h / O furo dee ser feto a ea altura b Quando a resstênca é nula, o conjunto de resstêncas é equalente a

2 Ω Ω > Ω Ω > Ω Ω Ω Ω Ω > Ω Ω A resstênca equalente é, portanto, Ω A corrente edda no aperíetro é então V I 6 A Quando a resstênca não é zero, notar que os pontos A e anda estão ao eso potencal ortanto, atraés da resstênca não passa corrente (! e esses dos pontos pode estar lgados por ua resstênca de qualquer alor (entre zero e nfnto que a resstênca equalente é sepre Ω Α Ω Ω V A V > Ω Ω Β Ω A corrente no aperíetro é sepre 6 A qualquer que seja c Consdera-se que a drecção do óel é e desgna-se a sua aceleração por a Co o ateral dsponíel faz-se u pêndulo coo ostra a fgura O ângulo a edr co o transferdor é θ Ο θ snθ a cosθ g e, portanto, a g snθ d nerga do satélte e órbta ua alttude h:

3 orb M G + h A força graítca é a força centrípeta: G M donde ( h + h + M G + h Usando esta epressão no tero de energa cnétca da epressão anteror, e Junto ao solo a energa é orb M G + h solo M f G co f a elocdade co que o satélte atnge o solo A aração de energa ecânca é gual ao trabalho realzado pelas forças não conseratas (no caso, forças de resstênca do ar: W ec solo orb ds logo, W ds f GM,5 GJ ( + h e A equação de estado do gás deal é, onde V / n é o olue olar Atendendo aos dados da questão,,, 3, 4 O gás é onoatóco pelo que a sua capacdade térca olar a olue constante é 3 c Nu processo sotérco a aração de energa nterna é nula pos, para u gás deal, a energa nterna só depende da teperatura: ( u c O trabalho realzado nu processo sotérco é f w sotérco f d f d f ln 3

4 Nu processo a olue constante o trabalho é nulo A prera le da terodnâca escree-se u w + q rocesso sotérco 3 3 socórco ( 3 4 sotérco 4 3 socórco ( u w q ln ln ln O trabalho total realzado sobre o eteror é w ( 3 ln 3 ( ( O calor total ln recebdo pelo sstea é a soa dos calores nos processos e 4, ou seja q entra ln 3 + ( o rendento é η w / qentra, ou seja ( ln η 3 ln + ( f No referencal do coboo os tepos que os dos snas deora a chegar aos pontos A e são guas ncontra-se ddndo a dstânca percorrda, L / pela elocdade da luz: L t' A t' c Anda no referencal S, o tepo de da e olta do snal lunoso que é reflectdo e é L t' c pos a dstânca percorrda é L ste nteralo de tepo é própro e S S este nteralo de tepo é aor: 4

5 t t c c L L,36,8c ' II Capos eléctrcos e agnétcos De acordo co a le de Gauss, o fluo do capo eléctrco que sa atraés de ua superfíce fechada é proporconal à carga contda no nteror dessa superfíce: Q nˆ ds ε S a Coo a dstrbução de carga é uto longa, o capo é perpendcular ao eo do clndro e só depende da coordenada clíndrca r (dstânca ao eo dos zz que é o eo do clndro L r Usa-se coo superfíce de Gauss ua superfíce clíndrca de rao r e altura L, cujo eo concde co o eo da dstrbução clíndrca de carga sse fluo é não nulo apenas atraés da superfíce lateral, pos atraés das bases o capo eléctrco é perpendcular à noral a essas esas bases ntão nˆ ds πrl S Se r L, a carga total encerrada pela superfíce de Gauss é Q π Lρ pelo que π Lρ πrl ε 5

6 donde ρ êr, r ε r ara r L, a carga encerrada é Q' πr Lρ, pelo que ρ r êr, r ε b O furo no clndro pode ser sto coo tendo sdo obtdo por eo de ua sobreposção de carga negata O capo eléctrco no nteror do clndro co eo e / e carga negata é ρ r' ' ê', r r' + ε O capo eléctrco dedo ao clndro aor é ( rê r ê + ê ρ + ε ( eˆ ˆ r e O capo dedo ao clndro enor é ( r ê' ' r r ' ê + ê ρ ' ê + ê ε O capo total é rata-se de u capo constante ρ + ' ê 4 ε c ara o oento ser crcular unfore a força agnétca te de ser centrípeta: F, sendo a elocdade da partícula de assa e o rao da trajectóra crcular or outro lado, F q, sendo q a carga eléctrca da partícula e o capo agnétco A força é perpendcular à elocdade e ao capo agnétco e estes dos ectores são perpendculares entre s (se não o oento sera e espral 6

7 F A ntensdade da força agnétca é q, donde F q Inserndo na equação anteror, e q O período do oento crcular unfore é π π q A frequênca que é o nerso do período é que não depende da elocdade f q π d Desgnando por l a dstânca da resstênca à barra deslzante e sendo l ( t L área ltada pelo crcuto é ( t h ( L Asnωth S( t l +, a h L Α Α l(tl+a sn ωt O fluo do capo agnétco é o produto da área, S (t por, pos o capo agnétco é perpendcular ao plano do crcuto coo se ostra na fgura: 7

8 ( L + Asnωt φ h A força electrootrz nduzda é dφ ε haω cosωt dt e a corrente nduzda no crcuto é ε haω I cosωt A potênca nstantânea dsspada na resstênca é ( t I ( ha ω cos ωt A potênca éda é o alor da energa dsspada nu período da osclação,, a ddr pelo período: ( t dt ( haω cos ωt dt Ora, cos π ωt dt cos π d e portanto ( haω III Mecânca a O equlbrsta pode ser consderado, do ponto de sta da dstrbução de assas, coo sendo equalente a ua barra hoogénea de assa M e coprento l O seu oento de nérca para rotação e torno de u eo paralelo à corda baba que passe pelo centro de assa do funâbulo é portanto I F,CM Ml Coo o eo de rotação concde co a corda baba é precso supor que o centro de assa do funâbulo se encontra precsaente a ea altura e recorrer ao eorea de Stener para obter o oento de nérca do equlbrsta e relação à corda: l I F I F,CM + M 3 Ml 8

9 Co a barra passa-se algo seelhante O seu oento de nérca para rotação e torno de u eo paralelo à corda baba que passe pelo centro de assa da barra é L I,CM Ass, o oento de nérca da barra e relação à corda baba é ( I ( I,CM + f l L + f l O oento de nérca do sstea funâbulo+barra é pos I I ( F + I Ml + L + fl 3 b A força responsáel pelo eentual desequlíbro do funâbulo é a força da gradade O oento desta força e relação ao ponto da corda onde o equlbrsta se apoa é, quando o funâbulo está nclnado de u ângulo θ e relação à ertcal: l G GF + G Mg snθ + gfl snθ Dedo a este oento o funâbulo descree u oento de rotação e torno da corda, sendo a sua aceleração angular dada por I θ G eparar que este oento não é u oento de restauro: ua ez perddo o equlíbro c Se o funâbulo se ter afastado uto pouco da ertcal o ângulo θ é pequeno, logo snθ θ ntão a equação anteror fca: As soluções desta equação são: gl gl I θ ( M + fsnθ ( M + f θ co t Λt θ ( t Ae Λ + e, gl( M + f 6gl( M + f Λ I + L + ( fl Coo e t o funâbulo anda não se tnha desequlbrado, ( Λ t Λt e θ ( t A e A, logo 9

10 ara alores de t próos de zero Λ e t + Λt, logo [( + Λt ( Λt ] AΛt θ ( t A Λ pode então ser sta coo o nerso dua constante de tepo que ede o tepo necessáro para que θ auente de A d A razão entre os alores de /Λ para estas duas stuações é: / Λ / Λ co barra se barra Λ Λ se barra co barra 6glM 6gl( M + f + L + ( fl + L + ( fl 4l ( M + f 3,39,89, ou seja, o tepo de que o funâbulo dspõe para se reequlbrar é quase duplcado se ele lear ua barra co estas característcas e Neste caso o oento de nérca da barra relataente à corda é: ( L ( I ( I,CM + fl + f l L + f 4 l A constante de tepo fca então: gl( M + f Λ I logo / Λ / Λ co barra se barra Λ Λ se barra co barra gl( M + f Ml + L + ( fl 3 4 6gl( M + f Ml + L ( 6glM 6gl( M + f + 3L + ( fl fl + 3L + ( fl 4l ( M + f, 8,3,83, sendo por sso quase trplcado o tepo de resposta do funâbulo sta barra é as efcaz! f Atendendo a que o alor de Λ auenta co o auento de l ou de M, o funâbulo deal é u ndíduo lee e de baa estatura, as sufcenteente forte para transportar a barra