Se considerarmos, por exemplo, uma função f real de variável real,

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1 107 5 Gráfcos 5.1 Introdução Dada uma função real de varável real 16 f, o gráfco desta função é o conjunto de pontos ( x, y), onde x pertence ao domíno da função e f ( x) y =, ou seja, {( x y) x D y f ( x) } G =, : f =. A representação gráfca da função f produzda por uma calculadora gráfca corresponde a um conjunto de pontos ( f ( )) x,, = 0,1..., n. Como o x conjunto G é nfnto, o gráfco da função f não poderá ser completamente representado no ecrã da calculadora. Assm, em determnados casos, poderá não ser possível encontrar uma representação computaconal do gráfco da função que permta analsar o seu comportamento global. Isto acontece, por exemplo, quando o domíno ou o contradomíno da função são conjuntos não lmtados de números reas. Se consderarmos, por exemplo, uma função f real de varável real, contínua num ntervalo [ a, b], então o gráfco de f é uma curva contínua que devera ser traçada sem levantar o láps do papel. No entanto, esta curva 16 As máqunas Texas Instruments TI 92 e Caso ClassPad 300 permtem a representação de funções de duas varáves reas. No entanto, este assunto não será abordado uma vez que não faz parte do programa do Ensno Secundáro.

2 108 traçada numa calculadora gráfca é na realdade um conjunto fnto de pontos que mutas vezes poderá ser uma representação pouco fável da curva verdadera. A selecção do conjunto de pontos ( f ( )) consegunte um papel essencal no estudo da função. x, desempenha por x 5.2 Representação gráfca de funções Quer nos computadores quer nas calculadoras gráfcas, os gráfcos das funções são representados num rectângulo ou janela de vsualzação. Se escolhermos as varações de x de X mn = a até X max = b e os valores de y de Y mn =c até Y = d, então a parte do gráfco que está no rectângulo é max [ ab] [ c, d ] = {( x, y) : a x b, c y d},. A defnção do rectângulo de vsualzação é um aspecto fundamental na obtenção da representação gráfca de uma função. Um conhecmento prévo das característcas da função permte escolher o rectângulo de vsualzação mas aproprado. Se a janela não for adequada, pode não ser possível detectar descontnudades da função, pontos de ntersecção com os exos coordenados, extremos da função, varação da função, etc. A vsualzação gráfca das prncpas propredades de uma função exge normalmente que se observe mas do que uma representação gráfca da função, o que corresponde a defnr váras janelas de vsualzação na calculadora. Em casos mas complcados, mesmo com a defnção de dversas janelas, este objectvo pode não ser possível. Vejamos as característcas prncpas de cada uma das máqunas utlzadas neste estudo no que se refere à representação gráfca de funções.

3 Texas Instruments TI 83 Plus Nesta máquna, a janela de vsualzação é a parte do plano de coordenadas defndas por X mn, X max, Y mn e Y max ([67]). A dstânca entre as marcas é defnda por Xscl (escala de X) no exo dos xx e Yscl (escala de Y) no exo dos yy. A opção Xres defne a resolução de pxels 17 (de 1 a 8) apenas para gráfcos de funções. A predefnção é 1. Esta calculadora possu 95 pxels horzontas por 63 pxels vertcas, num total de 5985 pxels. Em Xres = 1, a função é calculada em cada pxel no exo dos xx. Em Xres = 8, as funções são calculadas e traçadas de oto em oto pxels ao longo do exo dos xx, ou seja, são calculados somente 12 pontos pertencentes ao gráfco e portanto a precsão é muto menor. É claro que quantos mas pxels tver o écran, melhor será a sua resolução e apresentação gráfca. As varáves X e Y 18 defnem a dstânca do centro de um pxel ao centro de qualquer pxel adjacente num gráfco (precsão do gráfco). X e Y são calculados a partr dos valores de vsualzação do gráfco. X mn, X max, Y mn e Y max no momento da calcula Dado o rectângulo de vsualzação do [, X ] [ Y Y ] X max X X = mn e 94 uma função será um subconjunto dos pontos ( ) y j y j X, a máquna mn max mn, Y max Y Y = mn. Nestas condções, o gráfco de 62 max x, tal que = X mn + X, com = 0,1,..., 94 e = Y mn + j Y, com j = 0,1,..., 62. Nesta máquna, o gráfco de uma função terá no máxmo 95 pontos. x Uma das prncpas lmtações da calculadora gráfca é que o que é vsualzado no écran está condconado pela janela de vsualzação que é defnda. Assm, o que podera ser uma das grandes vantagens da calculadora gráfca fornecer uma dea global do comportamento de uma função nem sempre é consegudo. 17 A palavra pxel é a contracção das palavras Pcture Element, ou seja, elemento de magem. 18 Itens 8 e 9 no menu secundáro VARS(1:Wndow) X/Y.

4 110 Para representar o gráfco de uma função f, para cada valor de x, a máquna calcula a magem correspondente f ( x ). Os pontos representados no ecrã são aqueles cuja ordenada está dentro dos lmtes do ntervalo [ Y mn,y max ]. No caso de f ( x ) não concdr com nenhum dos valores escolhe o valor mas próxmo com um erro nferor a Y y j, a calculadora (o que faz com que algumas zonas da representação do gráfco sejam vsualzadas como segmentos de recta horzontas). Se a calculadora estver a trabalhar em Mode Dot apenas os pxels correspondentes aos pontos ( f ( )) x, são acesos ; se estver a trabalhar em x Mode Connected a calculadora une os pontos através de segmentos de recta e, neste caso, acende mas pxels para efectuar essa lgação (o que pode fazer com que algumas zonas do gráfco sejam vsualzadas como segmentos de recta vertcas). Vejamos um exemplo. Exemplo 1 Seja f a função real de varável real defnda por 2 ( x) x f =. Consderemos o rectângulo de vsualzação [ 4.7,4.7] [ 3.1,3.1] X = 0.1 e = 0. 1 Y e o conjunto de pontos ( ) y j. Então x, dsponível para representar o gráfco da função f é tal que x = , com = 0,1,..., 94 e y j = j, com j = 0,1,..., 62. Na tabela 5.1 encontram-se alguns dos = 5985 pontos que a máquna dsponblza para o gráfco da função f.

5 111 x = y j j = 0, j = 0 x 0 = = 3. 1 = 1, j = 0 x 1 = = 3. 1 = 2, j = 0 x 2 = = 3. 1 = ( x, ) y j y ( 4.7, 3.1) y ( 4.6, 3.1) y ( 4.5, 3.1) = 94, j = 0 x 94 = = 3. 1 = 0, j = 1 x 0 = = 3. 0 = 1, j = 1 x 1 = = 3. 0 = 2, j = 1 x 2 = = 3. 0 y ( 4.7, 3.1) y ( 4.7, 3.0) y ( 4.6, 3.0) y ( 4.5, 3.0) = 94, j = 1 x 94 = = 3. 0 y ( 4.7, 3.0) = 94, j = 62 x 94 = = 3. 1 Tabela 5.1 y ( 4.7,3.0) Neste caso, a máquna calcula as magens de x = , com = 0,1,..., 94 3 f x e marca os pontos desde que a ordenada seja tal que.1 ( ) 3. 1 seja, a máquna consdera apenas como podemos observar nas tabelas seguntes:, ou x uma vez que 0 ( x ) f,

6 112 Assm, a máquna só rá marcar correctamente os pontos ( 1,1 ), ( 0,0) e (,1) Todos os outros 32 pontos terão de ser aproxmados. Vejamos o gráfco da função obtdo no modo Connected e no modo Dot (foram excluídos os exos): 1. Fg. 5.1 Gráfco de f no modo Connected Fg. 5.2 Gráfco de f no modo Dot Após uma análse atenta destes dos gráfcos podemos verfcar que: os pontos de abcssa x 0.2, 0.1,0,0. 1 e 0. 2 têm todos ordenada gual a zero (uma vez que o valor de y mas próxmo é zero; para x = ±0. 3, cuja j magem é o valor de y j mas próxmo já é 0.1), por consegunte, a representação gráfca desta função sugere que f é constante para 0.2 x 0.2 ; a utlzação do modo Connected, para crar a lusão da função ser contínua, leva à exstênca de segmentos de recta vertcas e portanto, o gráfco dexa de representar uma função. a janela utlzada não é a mas adequada uma vez que utlza somente 35 dos 95 pontos dsponíves. Consderando a janela de vsualzação (obtda utlzando o ZoomFt defnremos posterormente esta janela)

7 113 obtemos, no modo Dot, o segunte gráfco: Fg. 5.3 Gráfco de f no modo Dot Com esta janela já são utlzados os 95 pontos dsponíves. Esta calculadora possu alguns rectângulos de vsualzação pré-defndos que são selecconados no menu ZOOM: - ZDecmal (gráfco com a mesma escala nos dos exos, sto é, monométrco)

8 114 - ZTrg (janela trgonométrca modo radanos, é adequada para as funções trgonométrcas) - ZStandard - ZSquare (altera uma janela exstente numa outra com a mesma escala nos dos exos). No menu ZOOM exstem anda dos outros comandos: o comando ZoomStat e o comando ZoomFt. O prmero, com nteresse para a estatístca, defne uma janela adequada aos dados ntroduzdos e o segundo, com nteresse para as funções, defne uma janela ajustada à função em estudo. Normalmente a janela de vsualzação obtda com o ZoomFt é a mas adequada (como vmos no exemplo anteror); no entanto, este Zoom nem sempre nos dá a janela mas aproprada para termos uma dea das característcas da função (ver exemplo 3). Em qualquer dos casos, observa-se que estes permtem defnr janelas dferentes para dados ou funções dferentes. Já no caso dos comandos anterores, cada um defne sempre a mesma janela de vsualzação, ndependentemente dos dados ou funções consderadas. Vejamos o exemplo do gráfco de uma função nos zoom s mas usuas.

9 115 Exemplo 2 Seja f a função real de varável real defnda por ( x) lnx, f = com + x R. Fg. 5.4 Gráfco de f no ZDecmal Fg. 5.5 Gráfco de f no ZoomFt Fg. 5.6 Gráfco de f no ZStandard Neste caso ambos os gráfcos das fguras 5.4 e 5.5 são mas satsfatóros do que o gráfco da fgura 5.6. Exemplo Consderemos a função quadrátca defnda por g ( x) = x 1 gráfco é uma parábola de vértce V ( 0,1)., cujo Fg. 5.7 Gráfco de f no ZDecmal Fg. 5.8 Gráfco de f no ZStandard

10 116 Fg. 5.9 Gráfco de f no ZoomFt O gráfco da fgura 5.9 sugere, por exemplo, que o vértce da parábola é a orgem do referencal. Por consegunte, a janela defnda pelo ZoomFt, não é a mas ndcada para lustrar o gráfco da função g Caso CFX 9850 GB Plus As característcas desta máquna são muto semelhantes à da Texas TI 83. De facto, esta máquna também possu rectângulos de vsualzação, desgnados por Vew Wndow, onde surgem máxmo e X mn valor mínmo, X max valor X scale ncremento do exo dos xx (análogo para o exo dos yy ). Os rectângulos de vsualzação pré-defndos desta calculadora são: - INIT: ncal (gráfco monométrco) - TRIG: trgonométrco (modo em radanos)

11 117 - STD: standard Nesta calculadora é também possível escolher a confguração (em Draw Type) do gráfco: connect (os pontos são lgados ) e plot (os pontos não são lgados ). Esta calculadora possu 127 por 63 pxels (num total de 8001 pxels, ou seja, mas 2016 pxels que a Texas TI 83). Analogamente à Texas TI 83, é também possível defnr uma janela que utlza o maor número de pontos (neste caso 127), através dos comandos Zoom Auto. 5.3 Lmtações da calculadora gráfca Exstem dversas stuações em que os gráfcos na calculadora poderão levar a város enganos. Nesta secção pretendem-se lustrar algumas das lmtações que devemos ter em conta quando recorremos às capacdades gráfcas das calculadoras. É muto mportante que quer o professor quer o aluno tenham conscênca deste facto, para que não trem conclusões erróneas. Como refere M. Conscênca ([12]), a prncpal lmtação da calculadora ao construr a representação do gráfco de uma função prende-se com a resolução do écran, uma vez que se passa de uma artmétca contínua para uma artmétca dscreta e, portanto, não se sabe qual o comportamento da função para os valores de x entre dos pxels consecutvos. Esta lmtação faz com que se possam vsualzar representações do gráfco bastante dstntas para uma mesma função.

12 118 Vejamos alguns exemplos. Exemplo Consderemos a função f ( x) = x 12x + 46x 42 ([64] p. 31), cuja representação gráfca, com o rectângulo de vsualzação ZDecmal é (gráfco obtdo na Texas TI 83): Fg Gráfco de f no ZDecmal Utlzando o ZoomFt obtemos o segunte gráfco: Fg Gráfco de f no ZoomFt Certamente estes não são os rectângulos de vsualzação mas adequados. Para encontrar o rectângulo de vsualzação que permte um melhor conhecmento da função é necessáro conhecer a magem de alguns objectos da função. Por exemplo, se defnrmos que 3 x 10, entre que valores vara y? Para sso recorremos à opção Table que permte determnar o valor da função para determnados objectos:

13 119 E portanto, podemos conclur que 315 y 218. Assm sendo podemos utlzar, por exemplo, o rectângulo de vsualzação [ 3,10] [ 200,150] : Fg Gráfco de f em [ 3,10] [ 200,150] Por comparação com os gráfcos das fguras 5.10 e 5.11, o gráfco obtdo agora com esta janela de vsualzação dá-nos uma dea melhor do comportamento global da função; é curoso observar que um destes gráfcos se aproxma de uma recta vertcal (fgura 5.10) enquanto que o gráfco da fgura 5.12, por exemplo, sugere que para 2.2 <x < 5. 9, o gráfco é horzontal. Estas duas stuações surgem pelas razões já apontadas no exemplo 1 da secção No exemplo anteror fo possível encontrar um rectângulo de vsualzação que permte ter uma dea do comportamento global da função. No entanto sto nem sempre é possível, como lustra o exemplo segunte. Exemplo 2 Como representar grafcamente a função polnomal do tercero grau que tem raízes x = 0, x = 1 e x = 300, em que o coefcente do termo de grau 3 é

14 120 gual a 1? ([64] p. 20) Por outras palavras, como representar grafcamente a função ( x 1)( 300) f ( x) = x x? Apresentam-se a segur os gráfcos obtdos na Caso CFX 9850: Fg Gráfco de f na janela STD Fg Gráfco de f na janela INIT Fg Gráfco de f na janela Zoom Auto Em nenhuma destas janelas fo possível ter uma dea do comportamento global da função. De facto, uma vez que esta função possu os três zeros muto afastados, não é possível obter uma representação gráfca que nclua smultaneamente os zeros; para captar no gráfco os três zeros de f, tem de ser X mn 0 e X 300 e portanto o espaçamento entre os max 300 pontos é X > 2. Então, neste caso, não é possível representar 127 smultaneamente os zeros x = 0 e x = 1, como podemos constatar no gráfco da fgura Fg Gráfco de f na janela [ 100,350] [ 4 10,6 10 ]

15 121 Este gráfco que parece permtr ter uma dea do comportamento global da função no que dz respeto aos extremos, leva-nos a uma conclusão errada: o zero é um máxmo relatvo. Fg Gráfco de f em [ 1,2] [ 10,100] De facto, consderando uma janela de vsualzação mas aproprada, 1 verfcamos que o máxmo da função é f = (fgura 5.17). 2 Assm sendo, é necessáro recorrer a dversos rectângulos de vsualzação, estudando a função por partes, para se poderem conhecer as característcas geras da função. Os alunos deverão ser sempre ncentvados a expermentar dversos rectângulos de vsualzação e a ter em conta as propredades conhecdas ou que decorrem da expressão analítca das funções que estão a estudar. Em certos casos, o gráfco poderá levar a conclur que alguns valores pertencem ao domíno da função quando sso não acontece. É muto mportante que desde o prncípo os alunos sejam confrontados com exemplos que lhes permtem perceber a vantagem da nformação dada pela expressão analítca da função, como podemos constatar pelos exemplos 3, 4 e 5. De um modo geral, nem as calculadoras, nem o software para gráfcos em computador, desenham as assmptotas ou assnalam os domínos com as convenções estabelecdas.

16 122 Exemplo 3 As calculadoras apresentam o gráfco da função y nt( x) =, função característca de x, por vezes denotada por C ( x), que a cada número real x faz corresponder o maor ntero não superor a x, com o segunte aspecto ([64] p. 32): Fg Gráfco obtdo na Texas TI 83 com a janela ZDecmal O gráfco sugere que a função é contínua e sto resulta do facto da calculadora unr os pontos quando se utlza a opção no modo Connected. Para se obter uma representação gráfca mas correcta, é necessáro colocar a calculadora em modo Dot, chamando a atenção dos alunos para este facto. Obtemos assm a segunte representação: Fg Gráfco da função com a janela ZDecmal No entanto, este anda não é o gráfco correcto de y nt( x) os alunos deverão corrg-lo apresentando o gráfco: =, pelo que

17 123 Fg Gráfco da função y nt( x) = Exemplo 4 Para a função um gráfco gual ao de 2 x + x = x + 1 y de domíno R \ { 1}, a calculadora apresenta y = x de domíno R (fgura gráfco realzado com a Caso CFX ), excepto se x = 1 for um dos valores x da janela de vsualzação, como se pode aprecar na fgura Fg Gráfco da função na janela standard Fg Gráfco da função na janela ncal Nestes casos, os alunos deverão corrgr as representações gráfcas fornecdas pela calculadora, ntroduzndo nomeadamente a bola aberta nos pontos que não pertencem ao domíno. No entanto, qualquer que seja o rectângulo de vsualzação, estamos sempre a representar uma curva contínua por um conjunto dscreto de pontos e sto é claro tem consequêncas mportantes. Por exemplo ([54]), consderemos a função defnda por 19 Com a máquna Texas TI 83 obtnham-se gráfcos semelhantes.

18 124 ( x) ( x 1)( x 2) ( x 2) g =. Apresentam-se a segur o gráfco da função obtdo pelas duas máqunas utlzadas neste trabalho. Fg Gráfco de g na Caso CFX-9850 Fg Gráfco de g na Texas TI - 83 Temos que o gráfco de g é a recta y =x 1 puncturada no ponto de abcssa 2. Uma vez que x = 2 não é uma das abcssas dos pontos do gráfco, é claro que a calculadora não detectará a descontnudade (fguras 5.23 e 5.24). Exemplo 5 x + 2 = x 3 Consderemos agora a função f ( x), de domíno R \ { 3}, cujo gráfco possu uma assmptota vertcal de equação x = 3. Representando esta função nas duas máqunas utlzadas neste trabalho e utlzando a janela standard, obtemos resultados dferentes (fguras 5.25 e 5.26). Fg Gráfco def na Caso CFX Fg Gráfco de f na Texas TI - 83 Por que razão surge na máquna Texas TI 83 um segmento de recta vertcal? Como o gráfco da função fo obtdo com o Mode Connected (para dar

19 125 a dea da função ser contínua, como já fo referdo), a calculadora une os pontos calculados. Assm, uma vez que a função f admte uma assmptota vertcal em x = 3, a máquna calcula as magens dos valores de x próxmos de 3. Neste caso, para x tem-se y = 234 e para x tem-se y = 27.(1). Ao efectuar a lgação destes dos pontos surge aquele segmento de recta vertcal. É de notar que a máquna não apresenta o segmento de recta pelo facto do gráfco da função possur uma assmptota vertcal. De facto, utlzando o modo Dot (fgura 5.27) ou mesmo com a escolha de um outro rectângulo de vsualzação (fgura 5.28), já não surge no ecrã da calculadora um segmento de recta vertcal. Fg Gráfco def obtdo pela Texas TI 83 no Mode Dot Fg Gráfco def obtdo pela Texas TI 83 com a janela [ 2.7;6.7] [ 30,30] Fg Gráfco da função f obtdo pela Caso CFX 9850 O aparecmento do segmento de recta vertcal não surge somente na máquna Texas TI 83. De facto, consderando na Caso CFX 9850 a função

20 126 f, com a janela de vsualzação [ 10,10] [ 40,40] fgura obtemos o gráfco da Os alunos deverão ser alertados para os casos em que as duas máqunas apresentam gráfcos dstntos (já lustrado pelo exemplo anteror). De facto, apesar da construção do gráfco ser semelhante, o número de pxels dsponível por cada uma das máqunas é dferente. Vejamos exemplos lustradores deste aspecto. Exemplo 6 2 Consderemos a função real de varável real f ( x) 36 x ' D = [ 6,6] e = [ 0,6] =, com D (em [64] p. 34 surge um exemplo semelhante, não sendo todava apresentada uma justfcação pormenorzada e não havendo qualquer comparação entre as duas máqunas). A representação gráfca desta função é uma semcrcunferênca de centro na orgem e rao 6. No entanto, a representação gráfca obtda, com a janela standard, só está correcta na Texas TI 83 (fguras 5.30 e 5.31). Assm não poderíamos, por exemplo, determnar o domíno e o contradomíno desta função com base na análse da representação gráfca obtda na Caso CFX Fg Gráfco da função f na Caso CFX 9850 Fg Gráfco da função f na Texas TI -83 Qual a razão pela qual o gráfco da função obtdo na Caso CFX 9850 não ntersecta o exo das abcssas nos pontos x = 6 e x = 6? Isto deve-se ao facto dos zeros da função não corresponderem a nenhum dos valores x. De

21 127 facto, com a janela [ 10,10] [ 10,10], tem-se Para x = 6, por exemplo, tnha-se que = 25, 2 10 x = 10 +, com = 0,..., Uma vez que a função não está defnda à esquerda de 6 escolhe-se = 26 e portanto, 370 x 26 = (fgura 5.32). 63 Fg Gráfco da função f na Caso CFX 9850 Se consderarmos, por exemplo, a janela ncal (onde x = 6 e x = 6 são dos dos valores de x dsponíves), a representação gráfca obtda já nos mostra os zeros da função (fgura 5.33). Fg Gráfco da função f na Caso CFX 9850 É claro que também podemos constatar que a forma da representação gráfca sugerda é a de uma elpse. Esta stuação deve-se ao facto de X Y, podendo todava ser corrgda utlzando o zoom Zsquare (na Texas TI 83) ou o ZoomSQR (na Caso CFX 9850).

22 128 Exemplo 7 Consderemos a função trgonométrca f x) cos( 48x) ( = ([12]). Com o auxílo da calculadora gráfca e, utlzando a janela trgonométrca 20, poderemos deduzr qual o período desta função? Vejamos o gráfco da função obtdo nas duas máqunas que estamos a utlzar neste estudo: Fg Gráfco de f na Caso CFX 9850 Fg Gráfco de f na Texas TI 83 Claramente, o gráfco obtdo pela Texas TI 83 não nos dá uma vsão correcta do gráfco da função. Porque é que sto ocorreu? Na janela trgonométrca da Texas TI 83 tem-se X = e mn X max = Então X = e, por consegunte, 94 x Como o período mínmo postvo da função é 2π p = 0.13, então, para cada pxel 48 x, tem-se ( ) = 1 f. Para obtermos um gráfco mas aproprado na Texas TI 83, teríamos de escolher uma janela de vsualzação em que x X fosse sufcentemente pequeno para se poder captar o período da função (fgura 5.36). Fg Gráfco de f com a janela [ 0.25,0.25] [ 1.2,1.2 ], com X Ao representarmos as funções trgonométrcas devemos ter sempre em consderação o modo da calculadora: graus ou radanos.

23 129 Exstem dversos gráfcos surpreendentes de funções trgonométrcas, como por exemplo g( x) = sn( 49x) e h( x) cos( 23x) = (fguras 5.37 a 5.40). Fg Gráfco de g na Caso CFX 9850 Fg Gráfco de g na Texas TI 83 Fg Gráfco de h na Caso CFX 9850 Fg Gráfco de h na Texas TI 83 Todava, em todos estes exemplos é possível escolher uma janela aproprada de modo a ter uma vsão correcta do gráfco da função. No entanto, esta solução nem sempre é possível. Um outro aspecto a ter em consderação, quando se trabalha com uma calculadora gráfca, dz respeto ao modo como as funções são calculadas nas máqunas. Apesar de não ter sdo possível ter conhecmento, uma vez que os manuas de ambas as máqunas não referem, presume-se que o modo de construção das dversas funções é muto semelhante. Contudo, como podemos verfcar pelo exemplo segunte, exste uma função para a qual a afrmação anteror não é verdadera. Exemplo 8 3 Consderemos a função ( x) x 2 f = (exemplo apresentado em [1] com a máquna Texas Instruments TI-81, não havendo qualquer comparação com

24 130 uma máquna da marca Caso) e representemos grafcamente usando as duas máqunas gráfcas. Temos Fg Gráfco de f na Caso CFX 9850 Fg Gráfco de f na Texas TI 83 Ou seja, o gráfco obtdo pela Caso CFX 9850 não está correcto, uma 2 3 vez que nesta máquna, para x > 0, x é calculado como ( 2 ) lnx 3 e e ln x não está defnda para x < 0. A Texas TI 83, deverá utlzar uma das seguntes expressões = x y ou ( ) 3 1 y = x. Fg Gráfco de f obtdo pela Caso CFX 9850 Exstem funções cuja representação gráfca não é possível realzar numa calculadora ou num computador. Vejamos um exemplo que lustra o que acaba de ser afrmado. Exemplo 9 Consderemos a função g : R R, defnda por g ( x) 1 = 1 se se x Q. x Q

25 131 Uma vez que na calculadora todos os valores de x são raconas, a ser possível representar grafcamente esta função, o seu gráfco sera a recta y = 1. Assm sendo, a função sera, por exemplo, contínua e dferencável em todo o seu domíno! Em síntese, todos os exemplos apresentados levam a conclur que os gráfcos obtdos através das máqunas gráfcas podem ajudar à compreensão do gráfco de uma função, mas deverão ser cudadosamente nterpretados. Não nos devemos esquecer que um dos grandes trunfos do cálculo é a possbldade de analsar o gráfco de uma função sem recorrer aos computadores ou calculadoras e sem determnar mutos pontos desse gráfco. Como refere R. Ralha ([54]) a utlzação de ferramentas computaconas deverá ser efectuada com cautela, pos apesar de serem uma ajuda precosa no estudo de funções (...) não podemos confar cegamente nos resultados que nos oferecem, sejam eles numércos ou gráfcos.

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