2 Teoria da Informação no Sistema MIMO

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1 Teora da Informação no Sstema MIMO esta sessão são apresentados os fundamentos teórcos relaconados à capacdade de um sstema com múltplas antenas no transmssor e receptor, procurando-se nterpretar os resultados e fazer uma comparação com os sstemas tradconas de transmssão. Incalmente são apresentados o modelo matemátco para o sstema MIMO e o ambente de propagação consderado para a análse da capacdade do canal..1 Modelo Matemátco para o canal MIMO Um canal rádo de faxa estreta é pratcamente caracterzado por um ganho que não vara ao longo da faxa. Fazendo esta consderação para os dversos canas de um sstema MIMO, pode-se escrever que o snal recebdo na antena receptora correspondente a um snal s j (t) na antena transmssora j será dado por G,j s j (t) onde G é o ganho do sub-canal entre a antena transmssora j e a antena receptora. Consderando o conjunto de antenas transmssoras, o snal recebdo na antena receptora será: r() t = s () t G + n (); t = 1,... M (1) j, j j= 1 onde n (t) é o ruído na saída da antena receptora. Defnndo os vetores T T T s s ( t), s ( t),..., s ( t), r s ( t), s ( t),..., s ( t), n n ( t), n ( t),..., n ( t) = 1 = 1 M e a matrz G (M ) de elemento genérco G,j, pode se escrever: = 1

2 Teora da Informação no Sstema MIMO 6 r = Gs + n () Em uma transmssão com snas passa-faxa, os snas, assm como os ganhos do canal, podem ser representados por suas envoltóras complexas. A Equação representa um únco usuáro MIMO comuncando através de um canal com desvanecmento plano e ruído gaussano branco (AWG). A únca nterferênca presente é a própra nterferênca entre os fluxos de entrada nos sstemas MIMO. o ambente de propagação é assumda a stuação deal para a transmssão. Assm, város canas paralelos que são aleatóros e estatstcamente ndependentes, são crados. O canal é conhecdo no receptor, mas não no transmssor [1, ].. Análse da capacdade A capacdade do canal é um dos parâmetros mas mportantes no desempenho de um sstema de transmssão e estabelece o lmte na taxa de bts que pode ser transmtda através do canal. Este lmte é obtdo utlzando-se um modelo probablístco para o sstema de transmssão onde mensagens de natureza aleatóra são transmtdas em um canal, usando-se para sto um conjunto de snas defndos de acordo com um determnado esquema de codfcação (modulação). este modelo, a capacdade do canal é defnda como o valor máxmo da nformação mútua entre os snas transmtdo e recebdo consderando o conjunto de possíves dstrbuções de probabldade do snal transmtdo. A nformação mútua entre os snas transmtdo e recebdo é uma função da densdade de probabldade conjunta dos dos snas. Conhecendo-se a função densdade de probabldade do snal transmtdo e as característcas do canal, podese determnar a função densdade conjunta dos snas transmtdos e recebdos e estabelecer um método de maxmzação que leve à capacdade do canal. Sabe-se que se o snal transmtdo é uma seqüênca {s k } de amostras dscretas no tempo com méda nula e varânca P s e o canal é de banda lmtada a um valor B com ruído adtvo Gaussano branco e ganho untáro, a capacdade é atngda supondo que {s k } é um vetor Gaussano com componentes

3 Teora da Informação no Sstema MIMO 7 estatstcamente ndependentes. este caso, tem-se a expressão conhecda da capacdade dada por P R C = log 1+ Pn bt / s / Hz (3) onde P R = P s é a potênca do snal no receptor e P n é a potênca do ruído na banda B do canal. A segur serão desenvolvdas algumas expressões de capacdade baseadas nos fundamentos resumdos acma. De níco o resultado contdo em (3) é estenddo ao caso de um únco canal, ou seja, um sstema SISO (Sngle-Input, Sngle-Output) transmtndo um snal complexo em canal com ganho complexo aleatóro, procurando-se obter uma expressão da capacdade do canal para um dado valor do ganho deste canal em função da razão snal-ruído méda. Com a consderação de um ganho G qualquer no canal fca PT G C = log 1+ Pn (4) sendo P T a potênca transmtda. Consderando G uma varável aleatóra, pode se defnr uma razão snal-ruído méda como ( ) PE T G ρ= (5) P n onde E representa o valor esperado e E ( G ) é o ganho médo de potênca do canal. Usando (4) e (5), pode se então escrever PT G C = log 1+ = log 1+ Pn ( ρ H ) (6) onde H = G ( ) E G Ou seja, H é o ganho normalzado do canal, caracterzado por uma varável aleatóra complexa de valor médo quadrátco de módulo untáro, sto é

4 Teora da Informação no Sstema MIMO 8 ( ) E H = 1 (7).3 Capacdade com dversdade Para um sstema com uma únca antena transmssora e M receptoras, ou seja SIMO (Sngle-Input, Multple-Output), supondo que o valor médo quadrátco dos ganhos é gual, sto é, E ( Gj,1 ) E( G ) = j=1,,...m, e que os snas podem ser combnados coerentemente, tem-se que a potênca méda do snal combnado será ( ) M PE T G. Levando em conta as M componentes de ruído de mesma potênca, P n que se somam de forma descorrelaconadas, obtém-se: ( ) M PT E G n SRSIMO = = M ρ H (8) MP e a capacdade é dada por C = log 1 + H bts / s / Hz M ρ j1 (9) = 1 onde H j,1 são os ganhos do canal normalzado para a antena receptora j e ρ é a razão snal-ruído méda dada por (5). É mportante observar na Equação (9) que o aumento do número das antenas no receptor resulta em apenas um crescmento logarítmco da capacdade méda. Para um sstema MISO (Multple-Input, Sngle-Output), antenas são utlzadas para transmtr e a potênca total transmtda é dvdda entre as antenas.). Supondo que o valor médo quadrátco dos ganhos é gual, sto é, ( 1, ) E( G ) E G = =1,,..., a potênca do snal combnado coerentemente será ( T ) ( ) P E G. A razão snal-ruído méda de longo prazo será ( T ) ( ) P E G SRMISO = = ρ H (10) P n

5 Teora da Informação no Sstema MIMO 9 e a capacdade pode ser dada por: C = log 1 + H b/ s/ Hz ρ 1, (11) = 1 sendo H 1, os ganhos do canal normalzado e ρ é dado por (5). É possível perceber novamente o crescmento logarítmco da capacdade méda com o aumento das antenas transmssoras. Para os sstemas SIMO e MISO, técncas que maxmzam a SR (antenas adaptatvas e MRC - Maxmum Rato Combnng) são utlzadas para aumentar a capacdade do canal. O sstema MIMO (Multple-Input, Multple-Output) pode ser vsto como uma combnação dos casos SIMO e MISO. Para um sstema MIMO com transmssores e M receptores, a capacdade do canal é dada por C = log 1 + ρ H b/ s/ Hz M j (1) j= 1 = 1 Consdera-se aqu que todos os canas têm o mesmo ganho médo de potênca de longo prazo, ou seja, j = E G E G. Isto permte utlzar (5). Como nos outros sstemas com múltplas antenas, a premssa da Equação (1) é maxmzar a capacdade do canal pela maxmzação da razão snal-ruído para um únco snal transmtdo. Contudo, a capacdade de um canal MIMO pode ser aumentada drastcamente se for consderado a transmssão de dferentes snas através de cada antena transmssora [1, 3], aprovetando os múltplos canas que o sstema MIMO proporcona. Este problema é analsado na próxma seção..4 Capacdade de canas paralelos Em [47] são mostrados os seguntes resultados fundamentas da teora da nformação para canas dscretos sem memóra com ruído adtvo gaussano branco e potênca total de transmssão restrta a um valor P. o caso de canas paralelos e descorrelaconados, cada um com ganho untáro, tem-se:

6 Teora da Informação no Sstema MIMO 30 r = s + n (13) onde r é o snal recebdo, s o snal transmtdo e n o ruído gaussano branco. Supondo que a potênca de ruído em cada canal é σ, = 1,,..., a capacdade do canal é atngda quando as dversas componentes do snal são estatstcamente ndependentes e é dada por: π C = max log 1+ π (14) = 1 σ sujeto a π P (15) = 1 Onde π é a potênca transmtda em cada canal paralelo. O máxmo em (14) é obtdo para π * σ σ > μ π ; μ 0 π = σ 0 ; μ 0 π (16) onde μ deve ser determnado para satsfazer (15) com gualdade. O processo de obtenção do valor μ é denomnado waterfllng, e a potênca ótma é achada teratvamente. A capacdade é dada por * π C = log 1+ = 1 σ (17) Confrontando (17) com (3) observa-se que a capacdade total é a soma das capacdades de cada um canas paralelos com as potêncas ótmas. Os resultados acma podem ser estenddos a canas com ganho G quasquer. Em partcular, consdere se o caso em que as potêncas do ruído em todos os receptores são guas a σ. Então, pode se re-escrever (13) como: r = Gs + n; = 1,... (18)

7 Teora da Informação no Sstema MIMO 31 onde E n = σ. Dvdndo-se por G, tem se: r n r = = s + (19) ' G G Observa se então que o sstema pode ser analsado como os resultados σ anterores fazendo σ =. Ou seja, a capacdade será dada por: G C = π + * log 1 G = 1 σ (0) * π * ota-se que G = SR é a razão snal-ruído no -ézmo receptor. σ Assm a capacdade pode ser escrta como: * ( SR ) log 1 (1) = 1 C = + Para uma dstrbução gual de potênca entre os transmssores, tem se: PT log 1 G () = 1 σ C = + A extensão para o caso de snas de RF representados por suas envoltóras complexas pode ser feta sem maores dfculdades. As prncpas consderações a serem fetas são: () que as componentes do snal do ruído e os ganhos do canal são complexos; () os valores médos quadrátcos destas componentes devem ser tomados em módulo. o caso de um canal com ganhos aleatóros, pode se fazer a mesma normalzação realzada anterormente: H G = (3) ( ) E G Adconalmente, pode se consderar que todos os ganhos têm o mesmo valor médo quadrátco, e assm defnr:

8 Teora da Informação no Sstema MIMO 3 ( ) PE T G ρ = (4) σ e tem se a segunte capacdade: C = + π * log 1 ρ H = 1 P (5) T sendo π * P T a fração da potênca atrbuída ao transmssor. Se a potênca for dstrbuída gualmente entre todos os transmssores, chega se a: ρ C = + log 1 H = 1 (6).5 Redução de um sstema MIMO a um sstema de canas paralelos Será mostrado a segur que um sstema MIMO pode ser reduzdo a um sstema de canas paralelos com a mesma capacdade obtda para o mesmo snal de entrada. Esta redução é feta através da decomposção de valor sngular da matrz de ganhos do canal, ou seja G = UDV H (7) onde G é uma matrz (M ), U e V são matrzes ortogonas UU H = I, VV H = I com dmensões M M e, respectvamente, D é uma matrz dagonal M cujos os elementos da dagonal são guas à raz quadrada dos autovalores de GG H e ( H ) sgnfca conjugada-transposta. As colunas de U e V são os autovetores de GG H e G H G, respectvamente. Usando (7) em (), tem se: r = UDV H s + n (8) Defnndo

9 Teora da Informação no Sstema MIMO 33 r = = H U r H s V s n = H U n tem se: r = Ds + n (9) Pode-se mostrar que este sstema com entrada ~ s, canal D, ruído n ~ e saída r ~ é equvalente a (8) no que se refere à capacdade, ou seja, tem se a mesma capacdade para a mesma fdp (função densdade de probabldade) do snal de entrada. Pode-se mostrar também que o número máxmo de autovalores não nulos é gual a m = mn(m, ). Assm, D pode ser escrta como: 1 λ D = λ se M > ou 1 λ D = λm 0 se M < Para o caso M > : 1 r 1 λ s 1 n = λ r M s M n M r = λ s + n r = λ s + n 1... r = λ s + n 1... r M = n M

10 Teora da Informação no Sstema MIMO 34 Assm, tem-se canas paralelos para (M > ). Todos os snas transmtdos são relevantes e tem-se M receptores apenas com ruído. Para o caso M < : ~ ~ ~ r1 s 1 1 n1 λ = λ 0 ~ M ~ ~ r M s n M ~ ~ ~ 1 r1 = λ1 s1+ n1 ~ ~ ~ 1 = λ + r s n... ~ ~ ~ 1 M = λm M+ M r s n Assm, tem-se M canas paralelos para (M < ). Todos os receptores são relevantes e M transmssores não são usados. Com a redução do sstema MIMO de matrz do canal G a um sstema com m canas paralelos ndependentes, pode se determnar a capacdade do canal através de (0) substtundo G por λ, sto é m * π C = log 1+ λ = 1 σ (30) Para um sstema em que a potênca, P T, é dstrbuída gualmente nas antenas transmssoras, pode se aplcar () obtendo C = + P m T log 1 λ = 1 σ (31) Supondo uma matrz G com { } j E G constante para todo e j. Pode se defnr a razão snal ruído de longo prazo através de (5) e a capacdade por: ρ C = + λ m * log 1 = 1 (3)

11 Teora da Informação no Sstema MIMO 35 sendo { * } λ os autovalores de HH H e H = G. E G j { } Assm, o valor da capacdade dependerá dos números de canas paralelos ndependentes (m) que poderão ser utlzados na transmssão. O valor de m será defndo pelo número de autovalores ndependentes obtdos da matrz da decomposção da matrz do canal. Pode ser vsto em (31) que a capacdade cresce lnearmente com m = mn(m,) [1, 3]. Pode-se mostrar que a capacdade de um canal MIMO dada por (3) também pode calculada pela equação abaxo [1, 3]. ρ H C = log det I + HH b/s/hz (33) onde I é uma matrz dentdade M M, ρé a razão snal-ruído méda recebda em cada antena receptora e H é a matrz determnístca do canal M. Maores detalhes da determnação da Equação (33) podem ser encontrados em [1, 3]. Para mostrar que (33) pode calculada por (3), dagonalzamos HH H : H H HH = UΛ U onde U é uma matrz ortogonal, ou seja, * defnda pela seus os autovalores λ, onde U 1 H = U, e Λ uma matrz dagonal D Λ= E{ G } j. Assm: ρ H C = log det I + UΛU H ρ H C = log detuu I + UΛU H ρ H C = log detu U + ΛU ρ H C = log detu det I + Λ detu m ρ ρ * C = log det I + Λ log 1 λ = + = 1 m ρ * C = log 1+ λ = 1

12 Teora da Informação no Sstema MIMO 36.6 Exemplos Para observar o comportamento da capacdade em função da matrz do canal, será apresentado alguns exemplos. Suponha que H = I. A matrz Λ é dada por: Λ= Para esta stuação obtém-se o número máxmo de canas paralelos com todos possundo o mesmo ganho. Para este caso temos a capacdade máxma dada por [3,8] para M: ρ CMAX = log 1+ M bts/s/hz (34) Suponha agora que H, j = 1 para todo e j. A matrz HH H tem todo os elementos guas e portanto todas as lnhas são guas. A matrz Λ é dada por: M Λ= Só exste um autovalor dferente de zero, ou seja, exste apenas um únco canal paralelo. A capacdade obtda é a capacdade mínma que é dada por [3, 8]: CMI ( ρm) = log 1+ bts/s/hz (35) Os dos canas acma representam as stuações extremas: () todos os subcanas com ganhos guas; neste caso a capacdade é mínma; () apenas pares dstntos de antenas transmssoras e receptoras com ganhos não nulos (guas) com um únco canal paralelo e apenas sub-canas com ganhos não nulos; neste caso a capacdade é máxma.

13 Teora da Informação no Sstema MIMO 37 o caso de canas aleatóros, o grau de correlação entre os canas paralelos tem nfluênca mportante na capacdade do canal. Em geral, espera-se um aumento na capacdade com o decréscmo da correlação entre sub-canas. Isto fo verfcado em város expermentos como por exemplo em [9, 10, 11]. Em [9, 10, 11, 35], foram observados que aumentando a dstanca entre os elementos do arranjo ou utlzar elementos com polarzação dferentes reduz a correlação dos sub-canas. Contudo, aumentar a dstanca entre os elementos do arranjo nem sempre é possível e, de fato, nem sempre garante uma descorrelação dos snas como mostrado em [11, 1]. O aumento e decréscmo da capacdade podem também estar assocados a outros parâmetros de propagação tas como espalhamento angular, espalhamento de retardos, número de multpercurso e a potênca carregada por eles. É mportante anda notar que o número sgnfcante de autovalores depende da razão snal-ruído do enlace. Canas com valores baxos de capacdade têm sdo estudados e avalados em város trabalhos e são chamados de keyhole ou pnhole [11, 1]. Para caracterzar este tpo de canal, vamos supor que a matrz do canal é dada por H = h Rx (h Tx ) T, onde Tx h e( h ) T = ( h Tx 1, h Tx... h Tx ). este caso, o snal Rx ( ) T = ( h Rx 1, h Rx... h Rx M ) recebdo é dado por: Rx Tx h1 sh 1 Rx Tx Rx Tx Rx Tx = 1 h1 h1 h1 h h1 h s1 Rx Tx Rx Tx Rx Tx s h h1 h h h sh 1 r = + n r = = 1 + n Rx Tx Rx Tx h s M h1 hm h Rx Tx hm sh 1 = 1 Observa-se que as lnhas e colunas da matrz de ganhos são lnearmente dependentes causando, assm, a redução do posto da matrz. Para uma nterpretação físca do modelo matemátco sugerdo acma, suponha que o sstema MIMO esteja operando em um canal rco em espalhadores, e que os elementos dos arranjos de transmssão e recepção estejam sufcentemente separados, de manera a produzr uma descorrelação nos snas dos sub-canas. Suponha também que entre o arranjo de transmssão e recepção

14 Teora da Informação no Sstema MIMO 38 exsta apenas uma abertura estreta (um keyhole ou pnhole), através da qual todos os snas de propagação devem passar (Fguras e 3). Fgura - Representação matemátca do canal Pnhole ou Keyhole channel Fgura 3 - Fscamente o canal Pnhole ou Keyhole Essa pequena abertura estreta força todos os componentes de multpercurso de um lado propagarem em conjunto no outro lado. Como resultado, tem-se um canal MIMO que não permte uma separação espacal dos snas no receptor, ndependentemente de quasquer outras condções favoráves. enhum ganho de multplexação é obtdo, contudo um ganho de dversdade é obtdo com a ordem de dversdade dado por mn(m,). a lteratura especula-se que portas e corredores poderam atuar como um keyhole para um sstema MIMO ndoor, e grandes dstâncas entre o transmssor e receptor poderam atuar como um keyhole para um sstema outdoor.

15 Teora da Informação no Sstema MIMO 39.7 Capacdade Ergódca e Capacdade Condconada a modelagem desenvolvda até aqu a capacdade tem sdo calculada para valores determnados da matrz de ganhos do canal. Como a matrz do canal é aleatóra, a capacdade do canal MIMO é também uma varável aleatóra e, neste caso duas defnções estatístcas da capacdade são usualmente utlzadas: a capacdade ergódca e a capacdade condconada. A capacdade ergódca é defnda como o valor esperado da capacdade e é dada por: ρ C =Ε + H log det IM HH b/s/hz (36) Ou seja, a capacdade ergódca do canal é a méda dos valores máxmos da taxa de nformação que pode ser transmtda consderando-se as varações do canal. A capacdade condconada (outage capacty) é um valor de capacdade C assocado a um valor de probabldade p, sgnfcando que exste uma probabldade p deste valor C não ser alcançado. A capacdade condconada é dada por: ρ H Pr ob log det IMR + HH Coutage = p MT (37) Varando-se p entre 0 e 1, obtém-se a função dstrbução cumulatva da capacdade. A segur são apresentados dversos resultados de capacdade para um sstema MIMO com sub-canas estatstcamente ndependentes todos com desvanecmento plano de Raylegh. este caso, todos os elementos da matrz H do canal são varáves aleatóras complexas Gaussanas estatstcamente ndependentes de méda nula e varânca untára. Os resultados foram obtdos por smulação. Para uma razão snal ruído e = M varáves, tem se as seguntes capacdades apresentadas na Fgura 4.

16 Teora da Informação no Sstema MIMO 40 Fgura 4 - Capacdades obtdas para uma razão snal ruído e = M varável Para uma razão snal-ruído e M varáves e = 4, temos as seguntes capacdades apresentadas na Fgura 5. Fgura 5 - Capacdade obtda para uma razão snal-ruído e M varáves e = 4 Através das Fguras 4 e 5, pode se observar o crescmento lnear da capacdade com o aumento da razão snal-ruído.

17 Teora da Informação no Sstema MIMO 41 Para uma razão snal ruído SR = 0 fxo e = M varáves, tem se as capacdades apresentadas na Fgura 6. Fgura 6 - Capacdades obtdas para uma razão snal ruído, SR = 0, fxo e = M varáves Para uma razão snal ruído SR = 0 fxo, M varável e = 4, temos as capacdades mostradas na Fgura 7. Fgura 7 - Capacdades obtdas para uma razão snal ruído, SR = 0, fxo, M varável e = 4

18 Teora da Informação no Sstema MIMO 4.8 Capacdade do sstema MIMO com um canal seletvo em freqüênca Toda a análse de capacdade feta até aqu supõe um canal de faxa estreta o que permte expressar o snal recebdo como produto do snal transmtdo por um coefcente constante, determnístco ou aleatóro, ou seja, o canal bascamente ntroduz um ganho determnístco ou aleatóro no snal transmtdo. Em um canal de faxa larga, obvamente esta aproxmação não é válda e o canal deverá ser representado por sua resposta mpulsva temporal ou sua função de transferênca G(f). Defnndo como g,j (t) a resposta mpulsva do canal entre a antena transmssora j e a antena receptora tem-se a segunte expressão do snal recebdo: r() t = s () t g () t + n(); t = 1,... M (38) j, j j= 1 a ausênca de ruído, pode-se obter a segunte expressão em forma matrcal para o snal no receptor: R(f) = S(f)G(f) (39) onde G(f) é a matrz cujo elemento genérco é G,j (f), a transformada de Fourer de g,j (t) e S(f) é o vetor cujas componentes são as transformadas de Fourer de s j (t). Pode-se mostrar que a capacdade do canal neste caso pode ser expressa por 1 ρ C = + ( f ) ( f ) df B H log det B I H H (40) onde H(f) é a matrz de função de transferênca normalzada do canal e B é a banda consderada. Uma forma prátca de calcular (40) é dvdr a banda do canal em subbandas sufcentemente estretas para que a varação da função de transferênca seja pequena e possa ser consderada constante, como mostra a Fgura 8. este caso, cada sub-banda representara um canal de faxa estreta sujeto a um desvanecmento plano e a capacdade é aproxmadamente a méda das

19 Teora da Informação no Sstema MIMO 43 capacdades obtdas para cada sub-banda, de acordo com a formulação desenvolvda anterormente, sto é: 1 ρ C = + s H log det I bt/s/hz s = 1 H H (41) onde H é a matrz de ganhos normalzados para a sub-banda. Um parâmetro mportante de um canal de faxa larga aleatóro, também denomnado canal com desvanecmento seletvo em freqüênca, é a sua banda de coerênca, defnda como a largura de faxa dentro da qual a covarânca da função de transferênca do canal está acma de um determnado lmte. Sub-canas com largura menor do que a banda de coerênca de um canal seletvo são geralmente consderados de faxa estreta e este crtéro pode ser utlzado para determnar as sub-bandas no cálculo da capacdade de um canal de faxa larga. H1 H HQ b <= Banda de Coerênca Q = B/ b B Hz Fgura 8 - Capacdade de um canal seletvo em freqüênca A análse do sstema MIMO com um canal seletvo em freqüênca, possbltou a ntegração do sstema MIMO com a modulação OFDM (Orthogonal Frequency-Dvson Multplexng). Um modelo de canal seletvo em freqüênca para o sstema MIMO-OFDM fo deduzdo e uma análse do comportamento da capacdade fo realzada em [4].

20 Teora da Informação no Sstema MIMO 44.9 Grau de Lberdade Efetvo (EDOF) e úmero de Condção (C) A grande capacdade conseguda no sstema MIMO vem bascamente do ganho de multplexação, ou seja, vem da possbldade de transmtr smultaneamente dferentes snas através dos canas paralelos. O posto da matrz do canal é uma manera de se medr o ganho de multplexação. Porém, mutos desses canas paralelos podem ter ganhos baxos e, dependendo da potênca de transmssão dsponível, podem não ser utlzados. Por essa razão, é de nteresse conhecer o número efetvo dos canas paralelos. Assm, é mportante defnr o grau de lberdade efetvo do canal, dado pela Equação (4) [10]. EDOF Δ = d dc x ( ) ( x) ( log ) x = SR (4) Esta medda quantfca o numero de sub-canas que contrbuem na capacdade. Para valores altos de SR, o EDOF é aproxmadamente gual ao posto da matrz. Um aspecto chave na avalação da capacdade é a caracterzação dos canas paralelos ndependentes que podem ser dentfcadas na matrz do canal. O número de canas paralelos está relaconado ao número dos autovalores sgnfcatvos (posto da matrz da correlação). Os autovalores podem ser nterpretados como os ganhos de potênca dos canas paralelos. A dstrbução dos autovalores determna a capacdade do sstema, e algumas técncas de transmssão que tem por objetvo aumentar a taxa de transmssão, tal como multplexação espacal [3], dependem destes autovalores. Em [6, 13] os canas paralelos foram nvestgados para dferentes topologas analsando os autovalores. Em [6], um ambente correlaconado e não correlaconado fo nvestgado através da analse dos autovalores. Como a matrz do canal é aleatóra, os autovalores são varáves aleatóras e tanto os valores médos como os valores obtdos a partr de um lmar de uma cdf podem ser usados para a descrção dos canas paralelos. Como já fo demonstrado, para um canal deal o número de autovalores é mn(m, ). Por outro lado, para um canal totalmente correlatado exste apenas um únco autovalor.

21 Teora da Informação no Sstema MIMO 45 A taxa entre o máxmo e o mínmo autovalor da matrz de correlação do canal, chamada Condton umber (C), pode fornecer ndcações da qualdade do canal. Em geral, canas com valores pequenos de C apresentam alta capacdade [1]. Assm, tem se que o C é dado por: MAX C = λ (43) λ MI