Tipo tratamento idade Tipo tratamento sexo

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1 Modelos de Regressão em Saúde Rejane Sobrno Pnhero Tâna Zdenka Gullén de Torres Modelos de Regressão Famíla de técncas estatístcas város fatores meddos (predtor, covarável, varável ndependente) relaconados a um únco desfecho (varável resposta ou dependente). Supondo que se deseja analar a relação: custo x tpo tratamento análse de varânca (méda dos grupos) Nível de dor (leve, moderada, severa) x tpo tratamento χ Essa análse smples podera nduzr ao erro Dor lombar Tpo tratamento (mas vs menos agressvo): Medcação forte + repouso prolongado Retorno rápdo atvdade + manejo dor com medcação obtda em farmáca Modelos de Regressão Será que os médcos que usam técncas + agressvas tratam mas dosos que os médcos que usam técncas menos agressvas? Idosos se recuperam mas lentamente que jovens? Dferenças no tratamento poderam ser função de grupos dferentes. Dferença na dstrbução da dade pode mplcar nas dferenças de resultados. dade Dor lombar Tpo tratamento (mas e menos agressvo): Medcação forte + repouso prolongado Retorno rápso atvdade + manejo dor com medcação obtda em farmáca sexo Fonte das dferenças: Grupos Tratamentos Acaso Modelos de Regressão Interesse: ver efeto do tratamento, consderando, corrgndo o efeto da dade controle de confundmento. Város fatores ou confunddores podem estar envolvdos na relação múltplas análses/tabelas, estratfcação dfculdade síntese e pulverzação de observações nos subgrupos. Varável resposta ou dependente: Numérca Escala de dor (-) lnear Categórca bnára dor severa-dor moderada/leve logístca Ordnal Escala de dor (-) Multnomal Extensão da logístca Numérca Tempo até retorno atvdade (censura-alguns retornam depos tempo acompanhamento) Sobrevda Harzards proporconas Cox

2 Modelos de Regressão Pode ser ferramenta poderosa para abordar 3 questões mportantes: predção, explcação (solar efeto de um determnado predtor) e entender comportamento de varáves predtoras. Predção: Quas pacentes com dor lombar terão lmtação moderada/grave? Categórca bnára: moderada/grave vs leve dade, sexo, tpo tratamento, tempo tratamento etc. Probabldade de perfs de ndvíduos terem moderada/grave lmtação de atvdades Numérca: custos dade, sexo, tpo tratamento, tempo tratamento. Modelos de Regressão Conhecer efeto solado de determnada varável: Moderada/grave-leve controlar pelos confunddores para conhecer efeto solado do tpo de tratamento Entendendo múltplos predtores: Identfcar múltplos predtores que ndependentemente nfluencam o resultado. Necessáro consderar complexdade como predtores nfluencam conjuntamente os resultados Suponha que o efeto da dor lombar na lmtação seja dferente para dferentes grupos etáros: Para pacentes com dor leve/moderada, ser jovem predz recuperação rápda Para pacentes com dor severa, pouca dferença a dade faz. Efeto de dade e nível de dor serão subrepresentados se a nteração não for levada em consderação. O que é um modelo? Nº de novos atendmentos de síndrome de Down por mes,4 Dstrbução do ácdo úrco.4 Modelos de Regressão freqüentemente usados,3,, 3 4 P n! k!( n k)! k ( n ( X k) p ( p) k ) Modelos de Regressão x f ( x ) σ π e σ ( x µ ) Regressão Lnear Análse de varânca Análse de Covarânca Regressão Logístca Análse de sobrevda (Modelos de Hazard Proporconal) Regressão de Posson (Taxas de Incdênca baseadas em pessoa-tempo)

3 contínuas Regressão Lnear e/ou Correlação Modelos de Regressão segundo os tpos de varável dependente e ndependente contínua varáves ndependentes categórcas ANOVA Varável dependente contínuas + categórcas ANCOVA dependente do tempo categórcas ou contínuas Análse de Sobrevda categórca varáves ndependentes não dependente do tempo Regressão Logístca Análse de Regressão Introdução Análse de Regressão é uma técnca estatístca para avalar a relação de uma ou mas varáves ndependentes X, X,..., X k, com uma únca varável dependente contínua Y. É uma análse aproprada para dferentes stuações que podem se sobrepor:. Olhar a tendênca Caracterzar a relação entre a varável dependente Y e as varáves ndependentes X, X,...,X k olhando a dreção, a extensão, e a força da assocação.. Ajuste de uma curva Determnar o melhor modelo matemátco (equação ou fórmula matemátca) que descreva a relação da varável dependente Y como função das varáves ndependentes X, X,...,X k. 3. Determnar qual ou quas varáves ndependentes X, X,...,X k, são mportantes para descrever o comportamento da varável Y. 4. Fazer ajuste para controlar o efeto de varáves de confundmento ou de nteração 5. Predção do comportamento de Y a partr das varáves X, X,...,X k. 6. Obter curvas padronzadas para usar como referênca (pedatra alt x peso) Mutos fenômenos bológcos podem ser explcados por meo de modelos matemátcos. Em um expermento, é útl pensar as observações como meddas compostas de um snal e um ruído e construr modelos matemátcos que ncorporam ambos os componentes. O snal é consderado como o componente determnístco e o ruído é o componente aleatóro. Assm, um modelo matemátco de dados que combna snal e ruído é probablístco e é chamado de modelo estatístco. Outra manera de pensar um modelo estatístco é consderar o snal como a descrção matemátca das prncpas característcas dos dados e o ruído como todas as característcas não explcadas pelo modelo, sto é, pelo seu componente determnístco. Regressão lnear O problema Dada uma amostra de n ndvíduos, fo observado para cada um os valores das varáves X (explcatva) e Y (dependente). Temos, então, n pares de observações (X, Y ), (X Y ),..., (X n, Y n ), onde os subscrtos referem-se a cada ndvíduo. Cada par de valores pode ser representado em um espaço bdmensonal, em um gráfco denomnado dagrama de espalhamento ou de dspersão (scatter plot).

4 A fgura lustra uma relação quase perfetamente lnear entre nº. de cgarros por da e Ca. de larnge. A lnha que representa os pontos é uma reta de regressão, sgnfcando que ela estma os valores médos para a varável Y (escala vertcal) de acordo com valores da varável X (nas abscssas). Raramente os dados em pesqusas epdemológcas seguem um padrão tão evdente. Neste caso, é uma regressão smples, porque pode ser descrta por uma únca varável ndependente, cuja equação é: Y α + βx + ε. α ntercepto (valor de Y quando X ). β coefcente de X e descreve a nclnação da reta representa a quantdade de aumento médo em Y para um aumento de undade de X. ε componente de ruído Na fgura, Y é a taxa de mortaldade padronzada por dade para Ca. de larnge e X é o N. de cgarros fumados por da. A equação para a reta de regressão da fgura é : Y,5 +,8 X. Estes valores (Y) referem-se a mortes por pessoas-ano. O ntercepto (,5) representa o N. de mortes por pessoas-ano que são estmadas ocorrerem na ausênca de fumo. Exste uma observação dreta para taxa para o nível de fumo, que é,6 mortes por pessoas-ano. A reta de regressão estmou um valor um pouco maor (,5) do que é observado. Esta estmatva é baseada não somente no ponto relatvo a um não fumante, mas nos 5 pontos do conjunto. A nclnação da reta de regressão de,8 ndca que o nº. de mortes por pessoas-ano é estmado aumentar em,8 a cada cgarro a mas fumado daramente. Supondo que todos os confundmentos e veses tenham sdo admnstrados apropradamente, a nclnação,8 quantfca o efeto do cgarro na morte por Ca. de larnge. A reta de regressão também nos permte estmar as razões de taxas de mortaldade para dferentes níves de fumo. Outro exemplo: Idade e pressão arteral sstólca (PAS) de 3 ndvíduos. Exemplo: a taxa de mortaldade pode ser estmada para 5 cgarros por da (equvalente a,5 maços por da) 5,. Comparado com a taxa estmada entre os não fumantes de,5, a razão de taxas para os que fumam,5 maços por da é 5, /,5 3,. O coefcente de regressão ndca um forte efeto do fumo na mortaldade por Ca. de larnge.

5 PAS (mmhg) Duas questões báscas devem ser consderadas em qualquer análse de regressão: Qual é o modelo matemátco mas aproprado a ser utlzado lnha reta, parábola, função log etc.? Dado um modelo específco, como será determnado o melhor ajuste do modelo aos dados? Ou seja, se o modelo for uma reta, como encontraremos a melhor reta que se ajusta aos pontos? PAS x dade dade (anos) PAS (mmhg) PAS x dade dade (anos) A PAS "depende" da dade do ndvíduo. Podemos dzer que a PAS é a varável dependente e a dade é a varável ndependente. O gráfco, chamado de dagrama de dspersão, ajuda a entender a relação. O gráfco mostra que os dados se dstrbuem em torno de uma lnha reta. Podemos encontrar qual a reta que melhor se adequa aos dados e descrever sua equação, que sera o modelo para os dados. Este método chama-se de ajustar uma regressão lnear smples ao conjunto de dados. Se a reta ajustada captar bem o padrão dos dados, poderemos tê-la como o modelo da relação entre PAS e dade. Podemos, então, predzer dferentes valores de PAS para dferentes dades. Ajuste de uma regressão lnear smples Qual é a melhor reta que descreve a relação? Se os pontos estvessem alnhados, não havera dúvdas quanto à melhor reta. Na prátca, temos uma nuvem de pontos, onde caberam uma nfndade de retas. Como a reta será ajustada usando os dados de uma amostra e não de toda a população, temos que nos haver com a questão estatístca de estmação de parâmetros. Quas são eles? Equação da reta: Y α + β X Equação da reta: Y α + β X Se Y é uma varável aleatóra, pode-se descrever Y em função de X, por meo de um modelo, onde α e β são parâmetros e ε é o erro aleatóro. Y α + β X + ε Erro aleatóro é a dstânca ou dferença entre o valor observado (resposta) para o ndvíduo e o valor obtdo pela reta de regressão Os valores ˆ α e ˆ β parâmetros α e β da reta. ou ( a e b ) são estmadores dos

6 Regressão Lnear Smples y x+ y α + β, ~ (, ) { ε ε N x + σ comp.det er mn ístca comp. aleatóra y x 5 + * comp.det er mn ístca 3 y und und x Taxa/varação a cada aumento de undade em x, tenho varação de β undades em y. Propredades Matemátcas da Reta Coefcente angular nclnação y f(x) -x + y f(x) -x + y f(x),5x + y f(x) x + y f(x) x + y f(x) 3x + y x Quanto maor o valor de β maor a nclnaçãoda reta

7 Coef. Lnear/deslocamento/ntercepto: y f(x) x - y f(x) x - y f(x) x y f(x) x +,5 y f(x) x + y f(x) x + y x A (nclnação) é a mesma. Quanto maor o coefcente lnear (α), maor é o deslocamento vertcal (ntercepto / patamar ncal) em y. -6 Pressupostos báscos Para o ajuste de uma regressão lnear smples a um conjunto de dados é necessáro fazer algumas pressuposções.. A relação entre as duas varáves é lnear Só deve ser usada a reta para descrever um fenômeno se, no ntervalo estudado, a relação entre as duas varáves puder ser expressa por uma reta. Para estabelecer o modelo que descreve o fenômeno, exstem procedmentos alternatvos: ou exste uma teora que fornece a equação ou "procura-se" a equação, olhando os dados (ou gráfco). Não exste um modelo teórco que explque como a PAS aumenta com a dade. A relação lnear parece perfetamente acetável.. Os valores de X são fxos, sto é, não é varável aleatóra Pressupostos báscos (cont...) 3. A varabldade de Y, para qualquer valor dado de X, é sempre a mesma homocedastcdade. Para cada valor de X teremos uma dstrbução de valores de Y Quantdade de procaína hdrolsada (moles/l) no plasma sangüíneo em determnados nstantes de tempo Tempo de corrda (s) em função do percurso em metros varânca crescente

8 Pressupostos báscos (cont...) 4. O erro de uma observação não está correlaconado com o erro de outra observação. Ou seja, as observações são ndependentes Mas de uma observação de um mesmo ndvíduo dependênca 5. Para qualquer dado valor de X, os valores de Y têm dstrbução normal. Os desvos ( Y Y ) têm dstrbução normal 6. As observações representam uma amostra aleatóra Determnando a reta de melhor ajuste Estmatvas dos parâmetros O método mas smples é ajustar "no olho", porém é extremamente subjetvo e mprecso. Exstem soluções analítcas para o ajuste. Método dos mínmos quadrados A melhor reta é a que mnmza a soma dos quadrados das dstâncas vertcas (dag. espalhamento) entre a observação e a reta ajustada. Métodos de Estmação dos parâmetros Método de Mínmos Quadrados Escolhe a e b de modo a mnmsar a soma dos quadrados das dferenças entre o valor observado e o valor estmado pela reta Y a + bx

9 As dstâncas vertcas correspondem à dferença entre o valor observado para Y e o valor estmado, segundo o modelo da reta. Matematcamente, o método dos mínmos quadrados é descrto como a segur: A dstânca vertcal entre o ponto observado (Y ) e o ponto correspondente (ao valor de X) na reta de regressão ( Yˆ ) é chamado de erro ε, e é dado por: ε Y Y Y ( α+ β X ) ˆ ˆ α + ˆ β Y X estmatva da resposta (Y) para o valor X, baseado no modelo, ou seja, na reta de regressão. Na reta de regressão, ou modelo: ˆ α e ˆ β são o ntercepto e a nclnação da reta ajustada. (X, Y ) ponto observado A soma dos quadrados dos erros ou resíduos (dstâncas entre o observado e o estmado) é dado por: SSE n ( Y Y ) n ( Y α β X ) Solução para o problema do melhor ajuste Dados: Y : a méda dos valores observados da varável dependente Y : a méda dos valores observados da varável ndependente X X A solução va o método dos mínmos quadrados é a escolha de ˆ α para os quas a soma dos quadrados descrtos acma seja mínma. No jargão estatístco, ˆ α e ˆ β são dtos estmadores de mínmos quadrados para os parâmetros α e β da população. e ˆ β n n β ( X X)( Y Y) ( X X) α Y β X O valor mínmo da soma dos quadrados dos erros SSE é uma medda de grande mportânca para avalação da qualdade do ajuste da reta. A equação da reta pode ser generalzada como: ˆ ˆ α + ˆ β Yˆ Y+ ˆ( β X X) Y x

10 Utlzando os dados da tabela de PAS e dade, podemos calcular a reta que melhor se ajusta aos dados, ou seja a reta estmada. PAS (mmhg) Y 98,7 +, 97X Exste um ponto dstoante, cuja retrada deve ser bem avalada. Retrando o ponto dstoante: Y 98,8 +, 95X PAS x dade dade (anos) Inferênca sobre a nclnação da reta (β) e sobre o ntercepto (α) A força da relação entre duas varáves (uma resposta e uma varável ndependente) é medda pela nclnação ou β. Para avalar se a reta ajustada auxla na predção de Y a partr de X, e para levar em consderação as ncertezas devdas a estar-se utlzando um conjunto de observações (amostra) para estmarmos a reta é uma prátca padrão calcularmos o ntervalo de confança ou o teste estatístco de hpóteses sobre os parâmetros desconhecdos do modelo lnear proposto (população). Consderando que Y tenha dstrbução normal, α e β também terão dstrbução normal. Se há relação de X e Y, então β é dferente de zero. O teste T testa a hpótese alternatva H de que a nclnação β é sgnfcatvamente dferente de zero. H : β A hpótese mas conservadora é de que a nclnação seja zero, ou seja, não há assocação entre X e Y, H : β : A estatístca do teste é defnda como: β µ β β T SE SE Smlarmente, para o ntercepto, H : α vs H : α : α µ α α T SE SE β α β α O teste T utlza n - graus de lberdade, pos envolve S, que possu n - graus de lberdade e é o únco componente randômco no denomnador. Testando a hpótese, a um nível de sgnfcânca α, rejeta-se H quando: T t n-,-α/ para um teste blateral H : β ou H : α Onde t n-,-α/ é o percentl (-α/)% da dstrbução t com n- graus de lberdade Podemos, alternatvamente, calcular os p valores baseados no cálculo da estatístca T resultado de pacotes computaconas.

11 H : β H : β T β SE β Interpretação do teste para nclnação e ntercepto Teste para nclnação zero Ho: β. Grande chance de acontecer pelo acaso α/ Regão de rejeção de Ho Pouca chance de acontecer pelo acaso Regão de não rejeção de Ho α/ Regão de rejeção de Ho Pouca chance de acontecer pelo acaso Se H : β NÃO é rejetada a nclnação é zero (ou melhor, não é sgnfcatvamente dferente de zero); duas nterpretações são possíves: Supondo que o modelo seja lnear, X não ajuda a predzer Y (não há relação de X e Y). Há uma relação entre X e Y (X ajuda a predzer Y), porém esta relação não segue uma reta. O fato da reta ajustada ser zero não sgnfca necessaramente que não exsta relação entre X e Y. O modelo lnear pode não ser aproprado. Teste para ntercepto zero Ho: α É uma hpótese de menor nteresse. Se H : β é rejetada a nclnação é dferente de zero, duas nterpretações são possíves: X ajuda e muto a predzer Y. Há relação entre X e Y. Pode ser que exsta um modelo melhor, por exemplo, um curvlíneo. Porém, há um componente lnear que não deve ser desprezado e deve ser ncluído no modelo fnal. Combnando as nterpretações acma, pode-se dzer que um modelo que nclua a varável X é melhor do que um modelo que não nclua, porém não necessaramente o modelo deverá nclur X somente como uma componente lnear. De um modo geral, não possu correspondênca com a realdade (dade, PAS ). Caso a hpótese NÃO seja rejetada (α ) pode ser aproprado remover a constante do modelo dscutível. Remover nduz a que o modelo passe no ponto (,) saber se faz sentdo.

12 Inferênca sobre a reta de regressão - Intervalo de confança para a reta de regressão Como a reta fo obtda a partr de uma amostra de pontos, ela será a estmatva pontual da relação das varáves na população. Pode ser do nteresse consderar a ncerteza desta estmatva, com o cálculo do ntervalo de confança para a reta de regressão propramente dta. O IC de 95% da reta de regressão quer dzer que, para as possíves amostras de pontos, 95% dos ntervalos calculados conterão a verdadera reta de regressão. Ou seja, para um determnado valor de X X, pode-se querer calcular o ntervalo de confança para o resultado estmado, ou seja, para o valor médo de Y dado o valor X. Y X ± t n, α / S YX Intervalo de confança para a reta de regressão A forma mas convenente de se representar o IC da reta é calcular os lmtes superor e nferor de Y para dferentes valores de X, e representar no mesmo gráfco dos lmtes de confança para a reta de regressão.,,,... e usar um valor de k que Por exemplo, usar X X ± k, permta que o ntervalo de dados de X seja coberto unformemente.

13 Intervalo de confança para a reta de regressão Dados: Y : a méda dos valores observados da varável dependente Y : a méda dos valores observados da varável ndependente X X Y x n n β ( X X)( Y Y) ( X X) α Y β X A equação da reta pode ser generalzada como: ˆ ˆ α + ˆ β Substtundo α Interpretação + real centrando X na méda PAS para as pessoas com dade Yˆ Y+ ˆ( β X X) Para um determnado X X, o valor estmado de Y ( Y X ) corresponde ao valor médo de Y para X. Y T Y X Y X X S YX X Y X α + β X Y + β ( X ) Valor predto de Y para X ( X X ) SY X + YX n ( n ) S X ± t µ S α n, / (.97)( X S Y X ( X 45.3) 45.3) ± estmatva do erro padrão de Y X ntervalo de confança para X X Para o cálculo do ntervalo de confança de 9%, para os dados de PAS e dade, a fórmula fca smplfcada para: Df. aumenta nas bordas Para o cálculo do ntervalo de confança para α e β. O IC de (-α)% de confança é dado por: IC da reta - méda fx ref. para ndvíduos Medndo a qualdade do ajuste Uma vez que a reta dos mínmos quadrados é obtda, é de nteresse saber se esta reta ajustada consegue predzer Y e, em consegundo, em que medda. A medda que auxla na resposta a esta questão é o SSE (soma dos quadrados dos erros ou soma dos quadrados dos resíduos) n SSE ( Y ) Y Se SSE, a reta está perfetamente ajustada aos pontos, ou seja, Y Y para cada (observação). Cada ponto ca exatamente sobre a reta de regressão. À medda que o ajuste fca por, SSE aumenta, uma vez que os desvos entre os pontos observados e a reta fcam grandes.

14 Coefcente de Correlação e a Análse de Regressão Lnear É uma estatístca bastante utlzada que fornece uma medda da relação lnear entre duas varáves. Possu propredades semelhantes às da regressão lnear. O coefcente de correlação entre Y e X é o mesmo que o coefcente de correlação entre X e Y, para o mesmo conjunto de observações. Exstem város tpos de coefcentes de correlação (Pearson, Spearman, ph, etc.). Depende do tpo de varável. O usado com maor freqüênca é o coefcente de correlação de Pearson. Ele é denotado por ρ XY (ρ rho) quando calculado a partr de uma população de observações X, Y, e por r XY quando calculado a partr de uma amostra de observações X,Y. r XY é um estmador de ρ XY. O coefcente de correlação amostral r é defndo como: r SSX ( X )( Y ) X ( X X ) ( Y Y ) XY Y SSXY A fórmula equvalente para r, que o relacona com a nclnação da reta de regressão é dada por: SSXY r ( SSX. SSY ) SSXY β SSX n ( X X )( Y Y ) β n ( X X ) SSX SSX. SSY SSX SSY SX SY SSXY SSX SSY SX r β SY SSXY SSX. SSY Propredades do Coefcente de Correlação É um índce sem undades de medda - admensonal. Vara entre e [- r XY ] Uma correlação gual a sgnfca falta de relação lnear entre X e Y. Uma correlação postva ndca que X e Y estão relaconadas dretamente, quer dzer que as duas meddas tendem a crescer ou decrescer juntas Uma correlação negatva ndca que X e Y estão relaconadas nversamente, quer dzer que, à medda que uma varável cresce, a outra tende a decrescer r ou r - ndcam uma relação lnear perfeta entre X e Y De certo modo, é uma medda do grau de dspersão dos pontos em torno de uma reta: quanto maor a dspersão, menor r

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