3.2 Modulações não-binárias (MPSK)

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1 odulações dgtas 3 odulações dgtas lneares com detecção coerente 3. odulações não-bnáras (SK)

2 QSK: formas de onda e componentes em fase e em quadratura E π s() t = cos π fct ( ) T 4 t T =,,3, 4 f c = nc, n c ntero T Desenvolvendo: E s() t = cos( π fct ( ) π 4) = T E E = cos [( ) π 4] cosπ fct+ sen [( ) π 4] sen π fct = T T ± ET ± ET [ ] [ ] = Ecos ( ) π 4 ψ( t) + Esen ( ) π 4 ψ( t) s = s () t BSK s = s () t BSK I Q Vectores: [ π ] [ π ] Ecos ( ) 4 s =. Dstânca entre pontos: d = E Esen ( ) 4 Constelação: E ψ E E E d ψ 3 4 E Temos dos canas BSK ndependentes (um em fase e outro em quadratura). Dstânca entre pontos de cada canal: d E =. O mapeamento bts símbolos deve obedecer à codfcação de Gray para mnmzar a probabldade de bt errado. Detecção coerente de SK

3 QSK: probabldades de erro robabldade de bt errado em cada canal BSK: d E = Q = Q N N robabldade de decsão correcta em cada canal BSK: robabldade de decsão correcta nos dos canas BSK ndependentes: = ( ) c robabldade de decsão ncorrecta nos dos canas: = = e c ( ) ( ) = Q E N Q E N Se EN podemos desprezar o termo quadrátco: ( ) Q E N e Ora E = e E b B e = = e com codfcação de Gray. Logo, k ( ) e E b B QSK = Q = B( BSK) N Conclusões: tendo a mesma razão Eb N deve-se escolher QSK face a BSK porque ara a mesma bt rate QSK precsa de metade da largura de banda ara a mesma largura de banda QSK enva o dobro dos bts por segundo Detecção coerente de SK 3

4 Geração de QSK a partr de dos snas BSK Desejamos obter o snal QSK correspondente à sequênca bnára. Como fazer? Formamos duas sub-sequêncas, uma com os bts de ordem ímpar e outra com os bts de ordem par Cada subsequênca dará orgem a um snal de SK bnáro, o prmero em fase e o segundo em quadratura. Cada um dos bts das sub-sequêncas tem a duração de T segundos. Ordem ímpar Ordem par Snal QSK Haykn, 4ª ed. s() t = s ψ () t + s ψ () t Detecção coerente de SK 4

5 Dagramas de blocos de emssor e receptor coerente QSK Emssor Bts de ordem ímpar BSK (,3,5, ) sequênca bnára {,} ± E Conversor b Dstrbudor ψ () t = T cos π fct bnáro-polar (desmultplexador) ψ () t = T sen π fct Bts de ordem par (,4,6, ) BSK s ψ () t s QSK ψ () t Receptor coerente Snal recebdo Canal em fase ψ () t ψ () t Canal em quadratura T T γ = γ = Estmatva dos bts de ordem ímpar ultplexador Estmatva dos bts de ordem par Estmatva da sequênca bnára transmtda Detecção coerente de SK 5

6 QSK: espectro de potênca E E s( t) = cos [( ) π 4] cosπ fct sen [( ) π 4] senπ fct T T ± ET=± gt () ± ET A densdade espectral de potênca (d.e.p.) da componente em fase é gual à densdade espectral de energa de g(t) (= quadrado da transformada de Fourer de g(t)) a dvdr pelo ntervalo T: ET E g(t) Área =. T T T t d.e.p. = E T snc Tf T T = E snc Tf Do mesmo modo a d.e.p. da componente em quadratura é E snc Tf. As componentes em fase e em quadratura são ndependentes, logo, a d.e.p. de QSK é gual à soma das d.e.p. de cada canal: b SB( f) = Esnc ( Tf) = 4E snc ( Tb f) (em banda-base) S( f) = [ SB( f fc) + SB( f + fc )] (na banda do canal) 4 Espectro de QSK S B (f)/4e b - -,5,5 ft b A maor parte da potênca está contda no lobo prncpal, logo: Largura de banda de snas QSK: B = T b = R b ( bt rate ) (em BSK é o dobro para a mesma bt rate : B=/T b ) Detecção coerente de SK 6

7 Forma de onda de QSK com snalzação rectangular Vamos usar snalzação rectangular (polar) ±: ensagem Dados em fase Dados em quadratura Dados em fase [+, -, +, +] Snal em fase (BSK) Dados em quadratura [+, +, -, -] Snal em quadratura (BSK) Snal QSK Os snas em fase e em quadratura (ambos BSK) são combnados de modo a formar um snal QSK. Detecção coerente de SK 7

8 Forma de onda de QSK com snalzação de cosseno elevado Vamos usar snalzação com mpulsos de cosseno elevado (α =,3) e a mesma sequênca de há pouco (): Dados em fase [+, -, +, +] Snal em fase (BSK) Dados em quadratura [+, +, -, -] Snal em quadratura (BSK) Snal QSK Esta envolvente não é constante A envolvente de QSK não é constante. rejudca a utlzação de amplfcação não-lnear. Os snas prolongam-se para lá de quatro ntervalos de tempo. Detecção coerente de SK 8

9 Forma de onda de QSK com snalzação de cosseno elevado (cont.) O traçado I-Q no espaço de snal Notem-se as dversas passagens por zero Estas passagens correspondem a mudanças de fase de 8º. Uma manera de reduzr, ou até elmnar, as passagens por zero é deslocar temporalmente um dos snas (em fase ou em quadratura) relatvamente ao outro. Dados em fase Dados em quadratura (deslocados de meo símbolo) À modulação obtda dá-se o nome de Offset QSK. Detecção coerente de SK 9

10 Offset QSK (OQSK) Suponhamos que a sequênca de dados é a anteror () e que os mpulsos são de cosseno elevado com α =,3. QSK OQSK Agora a envolvente é mas suave! Com outra sequênca de dados obteríamos o segunte traçado I-Q: Dados: I: Q: QSK OQSK 5 mudanças de fase de 8º Em OQSK dexou de haver mudanças de fase de 8º Detecção coerente de SK

11 Dagramas de blocos de emssor e receptor coerente OQSK Emssor sequênca bnára Conversor ± E b Dstrbudor ψ () t = T cos π fct bnáro-polar (desmultplexador) ψ () t = T sen π fct OQSK Atraso T/ Receptor coerente Canal em fase ψ () t T γ = Atraso T/ Snal OQSK recebdo ψ () t T ultplexador Estmatva da sequênca bnára transmtda Canal em quadratura γ = Atenção à posção dos blocos de atraso no emssor e no receptor! Detecção coerente de SK

12 SK multfase (SK) Devemos ter em conta os seguntes compromssos: Largura de banda/robabldade de erro/relação Eb N n representa o menor vector de ruído que provoca um erro na detecção faz car o vector recebdo numa outra regão de decsão. Consderando vectores de snal com a mesma energa, o aumento de torna o sstema mas vulnerável ao ruído. O vector de ruído mínmo dmnu com o aumento de. ara que o vector n fosse o mesmo (em ampltude) com o aumento de, teríamos de aumentar a energa do snal. Num sstema de fase múltpla, à medda que aumenta, uma melhor performance em largura de banda pode ser atngda à custa da degradação de b. Se não qusermos degradar b teremos de aumentar E b /N. Detecção coerente de SK

13 Algo mas sobre probabldades de erro Invarânca da probabldade de erro à rotação e à translação ψ d ψ ψ d ψ ψ d ψ A probabldade de símbolo errado é gual nas três constelações mas a tercera é a menos efcente em energa (a energa não é mínma). A probabldade de erro só depende da forma e tamanho das regões de decsão e não da sua localzação no espaço de snal. Qualquer transformação que modfque a constelação do snal sem alterar a forma e o tamanho das suas regões de decsão não muda a probabldade de erro. Rotações, translações ou reflexões da constelação do snal não mudam e (pelo menos nos desmoduladores óptmos). É desejável que a energa méda do snal seja mínma. Energa méda de uma constelação: E E = = s = = A energa méda é mínma se o centro de gravdade dos pontos de snal estver na orgem, ou seja, se s = = Detecção coerente de SK 3

14 robabldades de erro: exemplos Snalzação bnára. s ψ d s ψ d ψ s s ψ Confguração de energa não-mínma Confguração de energa mínma (antpodal) A probabldade de erro é a mesma, a energa é que não!. Snas que fazem subr ou descer de f d a frequênca f c de uma portadora snusodal (sendo ( f ± f ) T ) c d s () t = Acos π ( f f ) t s () t = Acos π ( f + f ) t c c d d t T = = T () = T () = A E E s tdt s tdt T T Coefcente de correlação: ρ = s () ts() tdt= snc(4 Tf d ) EE ρ -.,36.5 Tf d Valor mínmo de ρ, E (mn) b E b Q ( ρ) = Q, N N b Notas: se fd = T ρ = FSK de Sunde se f = 4T ρ = SK d Detecção coerente de SK 4

15 ajorantes da probabldade de símbolo errado Consdere-se uma constelação de símbolos s (de probabldades ) e ruído gaussano branco adtvo (AWGN). A probabldade méda de erro vem dada no caso geral por e = = (decsão errada s envado) = e = e Nem sempre é fácl de obter uma expressão exacta para e (depende, é claro, da constelação). esmo assm, é possível estabelecermos majorantes para essa probabldade baseando-nos no segunte facto, conhecdo da teora das probabldades: A probabldade de uma unão fnta de acontecmentos é nferor ou gual à soma das probabldades dos acontecmentos ndvduas. Assm, e tomando como referênca o símbolo s, teremos e Q dk k = N k (d = k s s k dstânca eucldana entre os pontos s e s k ) O resultado é o chamado majorante da unão ( unon bound ): d k Q = k= N k e (expressão geral) Se os símbolos forem equprováves ( = ): e = k= k Q d k N Detecção coerente de SK 5

16 ajorantes da probabldade de símbolo errado (cont.) e = k= k Q d k N d k Seja d e d = mn dk k a dstânca entre s e o seu vznho mas próxmo. Então d Q k d Q N e, portanto, N (*) d e Q = N Se d mn = mn d for a dstânca mínma entre quasquer dos pontos da constelação então d d mn para qualquer. Logo, d d mn d ( ) mn e Q Q = Q N N N = que é um majorante mas smples mas mas frouxo que (*): d (**) mn e ( ) Q N Fórmula aproxmada: dado que mas grosseramente) que x Q ( x) e também podemos escrever (embora π e exp π d mn 4N Detecção coerente de SK 6

17 ajorantes da probabldade de símbolo errado (cont.) O majorante dos vznhos mas próxmos N d mn e N medq N = N med = N nº de vznhos que fazem frontera com s Este majorante é bastante apertado (mas próxmo do valor verdadero que o majorante (*) e o majorante da unão (**)). Noutras constelações mas complcadas obtém-se uma aproxmação de e (dexa de ser um majorante) consderando apenas os vznhos que estão à dstânca mínma d mn e não os que fazem frontera: N Q d N, onde N é o número médo de vznhos a d e med ( mn ) ode encontrar mas pormenores no Apêndce. Caso especal: constelação com geometra smétrca med Se a constelação tver uma geometra smétrca, como acontece em e SK, todos os são guas. Assm, = = e a probabldade méda de símbolo errado é majorada por em que e ( dk N ) k = k e e = Q (para qualquer ) Se E N só precsaremos de reter as parcelas mas sgnfcatvas: s E Q ( s >> ) N mn dk e k = N k é o número de snas à dstânca dmn do ponto s. mn Fórmula aproxmada: mn e exp( dmn 4 ) N ( Es N ) π Detecção coerente de SK 7 e mn.

18 robabldade méda de símbolo errado Um exemplo de utlzação do majorante da unão.: Qual é o valor máxmo da probabldade méda de símbolo errado em -SK, admtndo que E s /N o >>? R.: (tomando = 8) = 8 ψ s 3 s 4 E s s Lmte da regão de decsão s 5 - E s π/ s E s ψ s 6 - E s s 8 Lmte da regão de decsão s 7 A constelação exbe geometra smétrca. Então podemos selecconar um ponto qualquer. Seja s. ara o ponto s exstem dos pontos que lhe estão mas próxmos, s e s 8 :. mn = Dstânca eucldana entre s e os pontos mas próxmos: d = d 8 = E s sen π O majorante da unão conduz à aproxmação e Q d + Q d 8 N N = Q E s sen π N Detecção coerente de SK 8

19 odulação dgtal SK robabldade de símbolo errado em SK com detecção coerente robabldade de símbolo errado, e = ,6dB -5 3 E b /N o (db) O aumento do número de fases degrada a probabldade de símbolo errado, se se mantver E b N constante. O aumento do número de fases não altera a largura de banda ocupada. Em contrapartda, como os símbolos contêm mas bts o aumento de permte usar débtos bnáros mas elevados, sto é, a efcênca espectral aumenta. Detecção coerente de SK 9

20 odulações dgtas com estados robabldade de símbolo errado com detecção coerente SK Snalzação SK com fases Detecção coerente Snas equprováves e E s π Q sen N FSK Snalzação ortogonal Detecção coerente E ( ) s e Q N Snas equprováves A energa de cada símbolo, E s, está relaconada com a energa de cada bt,, através de E b E s = E b log = ke b Detecção coerente de SK

21 robabldade de símbolo errado em modulações não-bnáras robabldade de símbolo errado em SK com detecção coerente robabldade de símbolo errado, e = ,6dB -5 3 E b /N o (db) robabldade de símbolo errado em FSK com detecção coerente robabldade de símbolo errado, e ,6dB. = E b /N o (db) Detecção coerente de SK

22 Comparação entre a probabldade de bt errado e a probabldade de símbolo errado Snalzação multfase (SK) Cada um dos símbolos de k = log bts não está à mesma dstânca eucldana dos outros, ao contráro do que acontece em FSK. Se um símbolo recebdo estver errado o mas provável é que o símbolo verdadero lhe seja adjacente no espaço de snal. Num símbolo errado nem todos os bts poderão estar errados. ara mnmzar o número de bts errados usa-se a codfcação de Gray, na qual as palavras bnáras correspondentes a símbolos adjacentes dferem entre s em apenas um bt. Numa palavra bnára de k bts é mas provável haver apenas um bt errado do que dos, ou do que três, etc.: (, k ) > (, k) > (3,k ) > ( (,k) probabldade de haver erros em k bts) A proporção de bts errados em símbolos errados é, portanto, de cerca de k. Logo, B Exemplo: = 8, k = 3 e log = e k (se e <<) (com códgo de Gray) Símbolo transmtdo Símbolo transmtdo Se for escolhdo orgna 3 bts errados Códgo bnáro Se for escolhdo só orgna bt errado Códgo de Gray Detecção coerente de SK

23 Comparação entre b e e em SK robabldade de símbolo errado, e = ,6dB -5 3 E b /N o (db) - robabldade de bt errado, B =, robabldade de erro B. e 6-SK -,6dB E b /N o (db) -5 3 E b /N o (db) Um facto a salentar é o das probabldades de bt errado em BSK e QSK serem guas. Detecção coerente de SK 3

24 robabldade de bt errado em modulações não-bnáras robabldade de bt errado em SK com detecção coerente - robabldade de bt errado, B =, ,6dB -5 3 E b /N o (db) robabldade de bt errado em FSK com detecção coerente robabldade de bt errado, B ,6dB = E b /N o (db) Detecção coerente de SK 4

25 Espectros de potênca de snas SK Espectros de potênca de snas SK ( =, 4 e 8) B = b b S ( f) E log snc ( T f log ) (SK) 6 SB(f)/Eb = 8 = 4 (QSK) = (BSK) ft b Comparação dos espectros de potênca de snas QSK e SK (nmum Shft Keyng) = b b S ( f) 4E snc ( T f) S B B 3E ( f ) = π b cos(πt ) b f 6Tb f 4 QSK (QSK) (SK) 3 SB(f)/Eb SK.5.75 ft b Detecção coerente de SK 5

26 Apêndce: majorantes da probabldade de símbolo errado Consdere-se uma constelação de símbolos s (de probabldades gaussano branco adtvo (AWGN). A probabldade méda de símbolo errado é gual a ) e ruído = (decsão errada s envado) e = = e = e () Consoante a constelação, pode ser dfícl obter uma expressão exacta para e. É possível, contudo, estabelecer lmtes superores, ou majorantes, para essa probabldade baseando-nos no segunte facto, conhecdo da teora das probabldades: A probabldade de uma unão fnta de acontecmentos é nferor ou gual à soma das probabldades dos acontecmentos ndvduas. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sejam ou não ndependentes: ( ) ( ) Exemplo: A B = ( A) + ( B) A B Se acontecmentos A e B forem ndependentes: A B = A B. A B = ( A) + ( B) A B ( A) + ( B) Assm, e tomando como referênca o símbolo s, teremos d k e = ( estmado envado) sk s Q () k N k= k d k = s s k dstânca eucldana entre os pontos s e sk ( k estmado envado) = ( k ) s s Q d N O resultado é o majorante da unão ( unon bound ): d k e Q (3) = k= N k geral. Em seguda vamos encontrar város lmtes superores dervados desta expressão Detecção coerente de SK 6

27 Apêndce: majorantes da probabldade de símbolo errado (cont.) Q d e k = k= k ( N ). Seja d = mn a dstânca entre s e o seu vznho mas próxmo. Então d d, k d k ( k ) ( ) Q d N Q d N e d e ( ) Q (4) = N. Se d mn = mn d for a dstânca mínma entre quasquer dos pontos então d dmn e ou ( ) ( mn ) Q d N Q d N. Logo, ( ) ( mn ) ( ) Q d N ( ) Q d N e = d (5) mn e ( ) Q N k Este majorante (mutas vezes desgnado por majorante da unão, também) é mas frouxo que o anteror. 3. Encontramos um lmte superor mas apertado que o da Eq. () se consderarmos as regões R k que fazem frontera (são adjacentes) com cada símbolo s : e d k Q k A N, A { k: Rk faz frontera com R} = (6) A é o conjunto dos valores de k para os quas a regão de decsão de s k é adjacente à regão de decsão de s. Substtundo em (): d k e = e Q (7) = = k A N Detecção coerente de SK 7

28 Apêndce: majorantes da probabldade de símbolo errado (cont.) N 4. Se for o número de elementos de A (sto é, o número de fronteras de s ) o somatóro de funções Q tem N parcelas. Como Q( d k N) Q( d N) (vsto d k d ), então d Q N Q N dk = k A N = e obtemos um novo majorante: d e NQ (8) = N 5. as d d e, portanto, mn d d Q Q mn, pelo que N N N Q Q d dmn e = N N N = Defnndo N = N med = como o número médo de vznhos adjacentes (fronterços) obtemos fnalmente o majorante dos vznhos mas próxmos: d mn e N medq (9) N Em regra, quanto mas apertado for o majorante mas complcada é a sua expressão. Detecção coerente de SK 8

29 Apêndce: majorantes da probabldade de símbolo errado (cont.) Noutras constelações mas complexas, em que não é fácl estabelecer as regões de decsão, obtém-se uma aproxmação de e (atenção: dexa de ser um majorante!) consderando apenas os vznhos que estão à dstânca mínma d mn e não os que fazem frontera. É a Aproxmação dos vznhos mas próxmos: d mn e N medq () N N número médo de vznhos à dstânca d med mn. Caso especal: constelação com geometra smétrca e Se a constelação tver uma geometra smétrca, como acontece em SK, todos os são guas. Assm, e e = = = e e d k e Q N k= k Se E s N só retemos as parcelas mas sgnfcatvas: mn d k Es e Q ( N N >> ) k= k em que mn é o número de snas à dstânca dmn do ponto s. Detecção coerente de SK 9

30 Apêndce: resumo de majorantes da probabldade de símbolo errado d k d d mn e Q N Q NmedQ = k A N = N N (7) (4) (5) (8) (9) d d ( ) ( ) mn Q Q = N N Com símbolos equprováves ( = ): d k d d mn e Q NQ N Q = k A N = N med N (7) d d mn Q ( ) Q = N N (4) (5) (8) (9) Expressões mas usadas: d ( ) mn e Q N d mn e NmedQ N majorante da unão majorante dos vznhos mas próxmos d e N Q mn med aproxmação dos vznhos mas próxmos N Detecção coerente de SK 3