ANÁLISE DA SEGURANÇA NO PROJETO DE ESTRUTURAS: MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES

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1 ANÁLISE DA SEGURANÇA NO PROJETO DE ESTRUTURAS: MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES Lela A. de Castro Motta 1 & Maxmlano Malte Resumo Este trabalho aborda a ntrodução da segurança baseada em métodos probablístcos, aplcados nos cálculos em estados lmtes, apresentando nformações com o objetvo de esclarecer o meo técnco em geral a respeto dos fundamentos teórcos e das vantagens que tal método apresenta frente ao tradconal método das tensões admssíves. Apresenta-se anda alguns exemplos de cálculo, mostrando a determnação do índce de confabldade e dos coefcentes adotados no método dos estados lmtes, os quas são calbrados em relação aos tradconas coefcentes de segurança do método das tensões admssíves. Palavras-chave: Estruturas; estruturas de aço; segurança; confabldade; estados lmtes. 1 INTRODUÇÃO 1.1 Avanços na engenhara estrutural A década de 90 do século dezenove fo um período de progressos na construção de edfícos de aço, com o amadurecmento de mutos sstemas estruturas, métodos de cálculo e tecnologa, por exemplo, tecnologa de solda, construção composta aço-concreto, cálculo de estruturas ssmo-resstentes, pontes estaadas, edfícos altos, estruturas de concreto de alta resstênca, e muto mas. Estes avanços na construção de edfícos, é claro, não ocorrem soladamente. Desenvolvmentos paralelos na cênca dos materas, mecânca aplcada, metalurga, matemátca, cêncas da computação, químca, físca, e em mutos outros campos fzeram do século vnte talvez o mas exctante para todos os centstas e engenheros. As forças estmulantes destas mudanças são mutas e é mportante destacar que o aparecmento e evolução das normas técncas dreconaram a construção cvl, estabelecendo regras a serem cumprdas pelos projetstas e construtores. Buscou-se entender bem a resstênca últma das estruturas sob carregamentos estátcos e dnâmcos. Este entendmento fo então aplcado na prátca de uma forma dreta para um projeto específco ou em normas de cálculo. O crescmento da pesqusa em comportamento não lnear de estruturas, em análse computaconal, projeto ótmo (otmzação), análse e cálculo probablístco também se mostrou ntenso. Em partcular, a pesqusa na aplcação de métodos 1 Profa. da Faculdade de Engenhara Cvl da Unversdade Federal de Uberlânda, Prof. Doutor do Departamento de Engenhara de Estruturas da EESC-USP, Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

2 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte estocástcos tem representado, no tema segurança estrutural, um dos mas provetosos esforços de pesqusa dos últmos quarenta anos. Esta fo, certamente, uma época de ouro da pesqusa em projeto e construção de edfícos. Os grandes avanços em normas durante os últmos 40 anos foram: - a ênfase no controle e garanta de qualdade no escrtóro de cálculo, na fábrca e na obra; - a emergênca de métodos de ntrodução da segurança baseados em probabldade; - a mudança do método de ntrodução da segurança, de tensões admssíves para estados lmtes; - a progressva nternaconalzação do processo de elaboração de normas, como por exemplo, os códgos europeus (EUROCODE). O papel das normas de cálculo é garantr a segurança de todas as estruturas construídas sob sua jursdção. A função do calculsta é então crar uma estrutura que atenda às exgêncas mínmas das normas para a segurança e que seja ao mesmo tempo prátca e econômca. É necessáro que a norma dê atenção à pratcdade e à economa, mas sua prncpal função é a garanta da segurança. A segurança estrutural pode ser defnda pelas duas declarações seguntes: - não haver colapso ou outra má função estrutural durante a construção; - não haver danos séros à estrutura ou seus componentes, nem provocar qualquer trauma físco ou pscológco para seus ocupantes durante a vda útl da estrutura, como um resultado de eventos extraordnáros que podem ser esperados para ocorrer em ntervalos raros; Calculstas estruturas, guados pelas normas de cálculo e por sua períca e experênca, são cobrados pela socedade para assegurar tas condções de segurança. 1. Segurança estrutural Projetos sempre foram realzados sob condções de ncertezas quanto às ações e resstênca e, as estruturas sempre foram projetadas para resstr a ações maores do que as realmente esperadas. Hstorcamente hava dos métodos báscos de se mpor esta condção de resstênca maor do que as solctações: (1) Projeto em ações últmas, em que a ação total é majorada por um coefcente de segurança e o projetsta demonstra que a estrutura ou elemento estrutural consderado pode suportar esta ação majorada. Smbolcamente, sto pode ser expresso por: γ S R (1) S onde: γ S é um coefcente de segurança aplcado ao carregamento S é o carregamento (ações ou solctações) na estrutura R é a resstênca da estrutura () Projeto em tensões admssíves, em que a tensão do materal é lmtada por alguma fração de sua tensão de falha e o projetsta demonstra que, sob o carregamento esperado ou especfcado, a tensão alcançada não excede o valor admssível. Isto tem sdo expresso smbolcamente por: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

3 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 3 S R γ () m onde: γ m é um coefcente de segurança aplcado à tensão últma do materal A equação 1 podera tratar com dferentes níves de ncerteza das váras ações atuantes na estrutura, aplcando-se coefcentes dstntos a cada uma destas ações. Analogamente a equação pode representar também o caso onde dos ou mas materas dferentes são utlzados, como por exemplo o concreto armado, aplcando coefcentes dferentes nas tensões últmas do aço e concreto, de acordo com o grau de ncerteza assocado a cada resstênca respectvamente. Do argumento anteror percebe-se um passo óbvo para combnar estas duas aproxmações para ntrodução da segurança nas estruturas, que sera a ntrodução de coefcentes de segurança separados em cada tpo de ação e em cada materal usado, sendo esta a aproxmação adotada pelo novo método de ntrodução da segurança que surgra, o cálculo em estados lmtes. Além dsto, já se hava percebdo também a possbldade de se quantfcar probablstcamente algumas das ncertezas assocadas a um projeto estrutural. Vale comentar que o conceto de que uma aproxmação probablístca podera fornecer uma forma razoável para defnr os coefcentes de segurança não era novo quando o método dos coefcentes parcas de segurança fo crado e, fo somente natural que a possbldade de defnr estes coefcentes por meos estatístcos devera ser consderada. É mportante ressaltar anda que o método dos coefcentes parcas é a ferramenta utlzada para a aplcação do prncípo dos estados lmtes, ou seja, os estados lmtes de cada projeto específco são verfcados com a aplcação de coefcentes de cálculo ndvduas a cada varável do problema (coefcentes parcas). As duas maores causas de mau funconamento estrutural são aquelas quantfcáves por teora probablístca raconal e aquelas devdas a causas rraconas. Densdade de Probabldade Solctação S Resstênca R Probabldade de Falha = P (R<S) Fgura 1- Funções de dstrbução das solctações e resstênca As causas quantfcáves são as concdêncas de resstênca excepconalmente baxa e solctações excepconalmente altas (fgura 1). Estes são os domínos de normas de cálculo estrutural, e eles afetam os valores dos coefcentes que fornecem as margens de segurança, por exemplo fatores de segurança, coefcentes de ponderação das ações, coefcentes de resstênca, etc. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

4 4 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte As causas rraconas de falha são relaconadas a erro humano. Embora tenha havdo város esforços para quantfcar alguns aspectos do erro humano, as prncpas formas de evtar tal erro são: controle de qualdade no escrtóro de cálculo e local de construção, educação, desncentvos aos erros (les e punções), e apontamento de honestdade e ntegrdade de todos os partcpantes do processo. A maora das falhas de estruturas são causadas por erro humano e a fuga de tas erros é uma mportante atvdade dentro do processo de construção. 1.3 A evolução das normas de cálculo A evolução esquemátca das normas de cálculo é lustrada na fgura, onde o peso da estrutura, refletndo um aspecto do custo da construção, é plotado versus o tempo. Quando uma certa estrutura é usada pela prmera vez, ela em geral resulta pesada, pos há falta de experênca e confança. Se experêncas bem suceddas são consegudas, os calculstas fcam mas confantes e o peso tende a car. Esta tendênca às vezes contnua até ocorrer uma falha, em reação, as exgêncas de peso aumentam novamente, mutas vezes mas do que o necessáro. O peso eventualmente decresce gradualmente até que um nível de cálculo satsfatóro, testado com o tempo, seja alcançado. O processo descrto pelo esquema da fgura é lento, caro e algumas vezes até mesmo trágco. Mutas das pesqusas em cálculo probablístco têm-se focalzado no alívo destas demoras e no desenvolvmento de esquemas de calbração de normas que permtam evolução mas rápda de otmzação. Peso da Estrutura Prmeras Utlzações desempenho testado satsfatoramente com o tempo desastre Tempo Fgura - Evolução do peso de uma estrutura ao longo do tempo À partr de 1960 duas correntes poderosas de mudança no cálculo estrutural começaram a se fazer sentr: a emergênca de cálculo em estados lmtes e a déa de que os parâmetros de cálculo podem ser raconalmente quantfcados através da teora de probabldade. 1.4 A emergênca de cálculo em estados lmtes O método de cálculo estrutural tradconal que domnou a maora do século vnte fo o método de cálculo em tensões admssíves. Ele teve orgem na metade do século anteror quando os prncípos de métodos váves de análse lnear elástca foram formulados, o que levou convenentemente ao cálculo de tensões. No método das tensões admssíves a estrutura é nvestgada sob ações de trabalho (nomnas), mpondo-se que uma tensão admssível não seja excedda. As Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

5 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 5 ações de trabalho são as máxmas ações esperadas para o tempo de vda útl da estrutura. As tensões resultantes são calculadas admtndo comportamento elástco e lnear. A tensão admssível é uma fração de alguma tensão lmtante, tal como a tensão de escoamento ou a tensão crítca de flambagem. A relação da tensão lmtante para a tensão admssível é denomnada fator de segurança. Este fator prevê a possbldade de ocorrênca de valores desfavoráves das ações e propredades dos materas, assm como as ncertezas do modelo teórco. Os valores dos fatores de segurança representam o juízo e experênca coletva da atvdade do cálculo estrutural. O cálculo em tensões admssíves é um método de cálculo muto atratvo, é fácl de usar do ponto de vsta computaconal e é de fácl compreensão. O calculsta verfca que a estrutura é segura sob ações que são fxadas em valores altos, usando uma tensão admssível substancalmente abaxo de um valor lmtante. O método assegura que sob condções extremas de carregamento, que podem ser verfcadas faclmente, a estrutura responde elastcamente. Não há problemas com a presença de múltplas ações, podendo haver a superposção de efetos. Assegurando a não superação de uma tensão admssível elástca, a maora dos problemas de utlzação são também levados em conta automatcamente. Se tem-se um método tão prátco, por que a mudança? Incalmente, o método de cálculo em tensões admssíves dá pouca nformação sobre a capacdade real da estrutura. Para dferentes tpos de estruturas, a relação da ação lmte baseada em tensões admssíves para a resstênca últma é até certo ponto varável. Isto é especalmente verdade para estruturas ndetermnadas estatcamente. Para mutas estruturas (por exemplo estruturas de concreto armado), a suposção de lneardade entre tensões e deformações, esforços e ações, não é muto realsta até mesmo sob níves de ação de trabalho. No começo deste século, fcou também evdente para mutos engenheros, que o método de tensões admssíves não fo uma ferramenta de cálculo muto econômca. Isto levou ao desenvolvmento de métodos de cálculo plástco para estruturas de aço no período de 1940 a Outros pesqusadores começaram a perceber a possbldade de quantfcar os juízos e ncertezas que são a base dos fatores de segurança, usando teora de probabldade. Fora destas váras raízes tas como, teora de probabldade, de plastcdade e pesqusa extensa do comportamento de resstênca últma de város tpos de estruturas e conexões, surgu a prmera geração de normas de cálculo baseadas na capacdade últma e, eventualmente, conhecdas como normas de cálculo em estados lmtes. 1.5 Normas de cálculo em estados lmtes baseadas em probabldade No níco dos anos 60, havam duas normas de cálculo em estados lmtes nos Estados Undos. Em outros países, especalmente no leste da Europa, normas semelhantes estavam em uso cerca de 10 a 15 anos antes. Mas normas surgram nos anos posterores, e estas normas formaram a prmera geração de normas de cálculo em estados lmtes, e foram colocadas em uso por volta de 1990 na maora dos países. As lnhas comuns entre todas elas são: (1) modelos teórcos para avalação da capacdade de elementos estruturas baseados em pesqusas recentes; () os fatores que consderam as ncertezas das varáves ação e resstênca são determnados por juízo (opnão) e calbração com as normas correspondentes em tensões admssíves. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

6 6 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte A déa de que as varáves ação e resstênca são quantdades aleatóras tem sdo sempre aceta pelos engenheros estruturas, e é a base para a acetação flosófca do conceto de fatores de segurança. Como fo dfícl usar os precetos probablístcos explctamente, estes foram aplcados mplctamente através do juízo coletvo dos engenheros construtores e calculstas quando escolheram os fatores de segurança aplcáves. Quanto maor a ncerteza suposta da ação ou resstênca, maor o fator de segurança. Os fatores de segurança flutuam acma ou abaxo, dependendo da experênca de nsucesso ou sucesso. Dado o tempo sufcente, experênca e juízo produzrão estruturas acetáves que são, em méda ou na maora das vezes, seguras e econômcas. De alguma forma nos tempos modernos este processo empírco é julgado não totalmente satsfatóro: ele leva muto tempo para adqurr a experênca para os esquemas estruturas novos. Para fazer a verfcação da segurança de manera mas centífca, métodos estatístcos e concetos probablístcos são mas convenentes. A déa de que esta aproxmação fornecera ferramentas de cálculo prátcas fo adantada nos anos de 190 a Bolotn referu-se a um lvro alemão de 196 por M. Maer, e a uma sére de publcações russas, que afrmavam que a teora de probabldade podera ser usada em cálculo estrutural. Murzewk afrmou que W. Werzbck (Polôna, 1936) e N. S. Streleckj (URSS, 1935) foram os propostores dos concetos probablístcos de segurança. Pouco depos do fm da segunda guerra mundal em 1945, os métodos de cálculo em estados lmtes com fatores múltplos de ação, que eram baseados em teora de probabldade, começaram a aparecer na URSS e no leste europeu. No oeste, os dos maores defensores (proponentes) da aproxmação probablístca na era medata pós-guerra foram Pugsley e Freudenthal. O comtê de Pugsley apresentou à Insttução Brtânca de Engenheros Estruturas, em 1955, recomendações que ncluíam uma sére de coefcentes de ponderação das ações e combnações de ação que foram obtdos por consenso (opnão) de um conjunto de pertos. O uso de probabldade fo feto somente de manera ndreta e subjetva. O trabalho de Pugsley fo o precursor da prmera geração de normas de cálculo em estados lmtes. A estrutura prátca de crar normas baseadas em probabldade fo desenvolvda nos anos 60 com os Métodos de Confabldade de Prmera Ordem (FORM) por E. Basler, Benjamn, Cornell, Lnd, Ang e outros. No começo dos anos 70, ferramentas estavam dsponíves para desenvolver realmente uma norma de cálculo baseada em probabldade e, a aproxmação básca adotada era consderar as propredades estatístcas das varáves envolvdas. Duas lnhas de trabalho probablístco podem ser dentfcadas: (a) desenvolvmento de métodos de cálculo completamente probablístco; (b) calbração de coefcentes parcas por meos probablístcos. Esta últma é a lnha de maor nteresse deste trabalho e é também a lnha com maor aplcação para as normas técncas de cálculo desenvolvdas até então. 1.6 As normas em estados lmtes Estão lstados a segur os concetos fundamentas, suposções e metodologas báscas das normas de cálculo em estados lmtes de segunda geração: (1) O formato do crtéro de cálculo é mostrado na equação 3: ele usa a capacdade últma nomnal R n, que é reduzda pelo coefcente de Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

7 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 7 resstênca φ, e as ações especfcadas em normas, que são ampladas pelos coefcentes de ponderação γ. O coefcente de resstênca φ geralmente modfca a expressão toda para R n, mas em algumas normas de cálculo em estados lmtes estes coefcentes podem atuar nos componentes ndvduas da expressão para R n. () As especfcações em estados lmtes reconhecem que as ações, os efetos das ações e as resstêncas são todas quantdades aleatóras cujos valores reas são conhecdos somente através da dstrbução de probabldade das quantdades aleatóras ndvduas que consttuem suas partes componentes. É feto o uso de métodos de confabldade de prmera ordem ou métodos de confabldade de segunda ordem onde estes forem aproprados, para desenvolver os coefcentes de resstênca φ, dando confabldades aproxmadamente unformes em todo o domíno de cálculo. (3) Os índces de confabldade são calbrados para resultar aproxmadamente guas àqueles das especfcações anterores. (4) Para evtar excessvas complcações no cálculo, o número de coefcentes de resstênca dferentes é conservado relatvamente pequeno. (5) Os coefcentes de ponderação das ações, as ações propramente dtas e combnações destas devem ser ndcadas em normas de ações e segurança para serem utlzadas nos cálculos com as novas normas em estados lmtes. (6) Os crtéros de cálculo são baseados nos estados lmtes alcançados pelos elementos estruturas (uma vga, plar, solda ndvdual, parafuso, metal base ou lgação) ou pela estrutura como um todo (plastfcação, por exemplo). Lgações (parafusos ou soldas) geralmente têm um maor índce de confabldade do que as barras, para forçar a falha na barra e não na lgação. (7) Não é feta dstnção quanto às conseqüêncas de falha. Não há qualquer consderação explícta dada à estrutura como um sstema composto de barras e lgações. φr γ Q (3) n j nj para estados lmte para j combnações de ações onde: φ é o coefcente de resstênca R n é a resstênca nomnal γ é o coefcente de ponderação das ações Q n é o efeto da ação nomnal Fez-se necessáro também o desenvolvmento de um conjunto de coefcentes de ponderação das ações mas consstentes com o novo método de cálculo e que pudessem dar à nova geração de normas de cálculo uma base mas ampla, sendo estes coefcentes aplcáves em estruturas de edfícos fetas de todos os materas, por exemplo, aço, aço conformado a fro, alumíno, concreto armado e protenddo, madera, alvenara, etc. As premssas báscas deste trabalho, que resultara nas normas de ações e segurança, foram as seguntes: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

8 8 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte (1) Os coefcentes de ponderação das ações foram desenvolvdos usando FORM ou SORM por calbração para casos padrões de estruturas determnadas estatcamente, calculadas pelas então correntes especfcações estruturas para aço, concreto armado e protenddo, madera, alumíno e estruturas de alvenara, buscando um produto fnal com aproxmadamente a mesma confabldade. () Os coefcentes de cálculo foram desenvolvdos para um tempo de vda útl de 50 anos. (3) As combnações de ações obedecem à regra que quando mas de uma ação varável, sto é, sobrecarga de utlzação, ações do vento, neve, água ou terremoto, atuam na estrutura, então somente uma destas toma o seu valor máxmo e as outras assumem seus valores reduzdos. Estas ações varáves são então alternadas para fornecer a combnação crítca para o calculsta. O esquema é lustrado pela equação 4. γ Q γ Q γ Q + + (4) D D n j nj onde: γ é o coefcente de ponderação das ações para o máxmo valor prevsto da ação durante a vda útl da estrutura. γ j é o coefcente de ponderação das ações para a ação varável reduzda ou arbtrada em um certo tempo. Em resumo, os aspectos de confabldade das normas mas recentes podem ser declarados como segue: são especfcações de cálculo em estados lmtes em conteúdo e formato; seus estados lmtes aplcam-se aos elementos ou estrutura como um todo; os coefcentes de ponderação das ações e os coefcentes de resstênca são calbrados para dar aproxmadamente as mesmas confabldades nerentes às especfcações anterores, testadas na época para elementos estruturas padrões; e métodos probablístcos (FORM, SORM) e juízos foram usados em seu desenvolvmento. CONFIABILIDADE DE SISTEMAS DE ENGENHARIA.1 Introdução Um dos prncpas objetvos do cálculo estrutural na engenhara é assegurar o desempenho satsfatóro das estruturas com o máxmo de economa possível. Certamente a garanta de desempenho, nclundo a segurança, é prmeramente (se não uncamente) responsabldade de engenheros. Atngr este objetvo, entretanto, geralmente não é um problema smples, partcularmente pelo grande número de sstemas estruturas exstentes. Sstemas estruturas podem falhar ao desempenhar suas funções para as quas foram projetados, pos o rsco está geralmente mplícto nestes sstemas. No caso de uma estrutura, sua segurança é, claramente, uma função da máxma ação (ou combnação de ações) que lhe pode ser mposta durante seu tempo de vda útl e dependerá também da resstênca ou capacdade desta estrutura ou seus componentes, de suportar estas ações. Como a máxma ação da vda útl de Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

9 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 9 uma estrutura e sua capacdade real são dfíces de serem prevstas exatamente, e qualquer prevsão está sujeta a ncertezas, a garanta absoluta da segurança de uma estrutura é mpossível. Na realdade, segurança (ou desempenho) podem ser garantdos somente em termos da probabldade de que a resstênca dsponível (ou capacdade estrutural) será sufcente para resstr à máxma ação ou combnação de ações que poderá ocorrer durante a vda útl da estrutura.. Análse e verfcação de confabldade..1 Problema básco Problemas de confabldade em engenhara podem ser defndos como a determnação da capacdade de um sstema que atenda a determnadas condções (exgêncas). Na consderação da segurança de uma estrutura, a preocupação é assegurar que a resstênca da estrutura seja sufcente para suportar a atuação da máxma ação ou combnação de ações durante a sua vda útl. Na realdade, a determnação da resstênca dsponível bem como da máxma solctação da estrutura não são problemas smples. Estmatvas e prevsões são sempre necessáras para estes tpos de problemas, ncertezas são nevtáves pela smples razão de que as nformações relatvas aos problemas de engenhara são nvaravelmente ncompletas. Dante de tas ncertezas, a resstênca dsponível e a solctação real não podem ser determnadas precsamente, elas podem ser descrtas como pertencentes a determnados ntervalos, podendo ser modeladas como varáves aleatóras. Nestes termos, portanto, a confabldade de um sstema pode ser mas realstcamente medda em termos de probabldade. Para esta proposta, defnem-se as seguntes varáves aleatóras: X = resstênca Y = solctação X > Y durante toda a vda útl da estrutura. Esta garanta é possível somente em termos da probabldade PX ( > Y). Esta probabldade, portanto, representa a medda realsta da confabldade do sstema (da estrutura); a probabldade do evento complementar ( X < Y) é a correspondente medda da não confabldade. O objetvo da análse de confabldade é assegurar o evento ( ) Assumndo no momento, que as dstrbuções de probabldade necessáras de X e Y são dsponíves, sto é, F ( x) X ou f X ( x ) e FY ( y) ou f Y ( y ) são conhecdas. Se as varáves X e Y são contínuas e não correlaconadas, as probabldades desejadas podem então ser formuladas como segue: ( ) ( ) pf = FX y f Y y dy 0 pf = [ 1 FY x ] f X ( x) dx (5) ou ( ) 0 A equação 4 pode ser nterpretada grafcamente pela fgura 3. A correspondente probabldade de bom desempenho, portanto, é: p S = 1 - p F (6) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

10 10 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte Como nterpretado grafcamente na fgura 3, a sobreposção das curvas f X ( x ) e f Y ( y) representa uma medda da probabldade de falha p F (CASTRO, 1997). Com sto, observa-se o segunte: (1) A regão sobreposta depende das posções relatvas de f X ( x ) e f Y ( y ), como pode ser vsto na fgura 4a; quando as duas curvas fcam mas afastadas, p F dmnu, ao passo que p F aumenta quando as curvas f X ( x ) e f Y ( y ) fcam mas próxmas. A posção relatva entre ( ) f X x e ( ) f Y y pode ser medda pela relação µ / µ, que pode ser chamada de fator de segurança central ou pela dferença ( µ µ ) segurança méda. X Y X que é a margem de () A regão sobreposta também depende do grau de dspersão de f X ( x ) e f Y ( y ), como mostra a fgura 4b, comparando a sobreposção das curvas de lnhas pretas com a das curvas de lnhas colordas. Estas dspersões podem ser expressas em termos dos coefcentes de varação δx e δy. Y f Y(y) f X(x) y Área = F X(y) x ou y Fgura 3 - Funções densdade de probabldade ( ) f X x e ( y ) f Y f x (x) f x1 (x) f Y (y) µ Y µ X µ X1 x ou y Fgura 4a - Efeto da posção relatva entre ( ) f X x e ( ) f Y y em p F Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

11 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 11 Em resumo: p g( µ / µ ; δ, δ ) F X Y X Y Portanto, qualquer medda de segurança confável deve ser uma função da posção relatva de ( ) f X x e ( ) f Y y, bem como do grau de dspersão destas curvas. Na equação 5 é assumdo que X e Y são varáves aleatóras não correlaconadas. Em geral, entretanto, estas varáves podem ser correlaconadas e, para tas casos, a probabldade de falha pode ser expressa em termos da função densdade de probabldade conjunta como segue: p F y = f X,Y ( x,y) dx dy (7) 0 0 ao passo que a confabldade correspondente é: p S x = f X,Y ( x,y) dy dx (8) 0 0 f X(x) f Y(y) µy µx x ou y Fgura 4b - Efeto das dspersões de ( ) f X x e ( ) f Y y em p F.. Formulação de segundo momento O cálculo da probabldade de segurança ou probabldade de falha, requer o conhecmento das funções densdade ( ) y, ou da função densdade f X x e f Y ( ) conjunta f X,Y ( x,y ). Mas, mesmo quando as dstrbuções requerdas podem ser especfcadas, o cálculo exato das probabldades exgndo uma ntegração numérca das equações 5 a 8 pode ser mpratcável. Como uma alternatva prátca, pode-se recorrer a aproxmações para as dstrbuções normas equvalentes. Freqüentemente as nformações ou dados dsponíves podem ser sufcentes apenas para estmar os prmeros e segundos momentos; sto é, os valores médos e as varâncas das respectvas varáves aleatóras e, talvez as covarâncas entre pares de varáves. Meddas prátcas de segurança e confabldade, portanto, devem ser lmtadas a funções destes prmeros momentos. Sob esta condção, a mplementação de concetos de confabldade deve, necessaramente, ser lmtada à formulação Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

12 1 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte baseada nos prmeros e segundos momentos das varáves aleatóras, ou seja, restrta à formulação de segundo momento. Pode ser enfatzado que a aproxmação de segundo momento é consstente também com a representação normal equvalente de dstrbuções não normas. Com a aproxmação de segundo momento, a confabldade pode ser nteramente medda como uma função dos prmeros e segundos momentos das varáves de cálculo através do índce de confabldade β, que é defndo como função destes prmeros momentos e equvalente a uma dstânca predetermnada da stuação de falha....1 Generalzação A confabldade de um sstema de engenhara pode envolver varáves múltplas. Em partcular, a resstênca e a solctação podem ser, respectvamente, funções de váras outras varáves. Para tas casos, o problema resstênca-solctação do tem..1 pode ser generalzado. Esta generalzação é freqüentemente necessára em engenhara, partcularmente quando o problema deve ser formulado em termos das varáves báscas de cálculo. Num sentdo mas amplo, a confabldade de um sstema de engenhara pode ser defnda como a probabldade que o mesmo apresenta de desempenhar suas funções ou mssões pretenddas. O nível de desempenho de um sstema, obvamente dependerá das propredades deste sstema. Neste contexto e para a proposta de uma formulação geral, defne-se uma função desempenho ou função estado: g(x) = g(x 1, X,, X n ) (9) onde X = (X 1, X,, X n ) é um vetor de varáves de cálculo báscas do sstema. A exgênca de desempenho lmtante pode ser defnda como g( X ) = 0, que é o chamado estado lmte do sstema. Segue, portanto, que: [g(x) > 0] = estado seguro e [g(x) < 0] = estado de falha Geometrcamente, a equação estado lmte, g ( X ) = 0, é uma superfíce n- dmensonal que pode ser chamada de superfíce de falha. De um lado da superfíce de falha está o estado seguro, g( X ) > 0, ao passo que do outro lado está o estado de falha, g( X ) < Varáves não correlaconadas Introduzndo-se o conjunto de varáves reduzdas não correlaconadas (FREUDENTHAL, 1956): X' = X µ σ X X ; = 1,,, n (10) obvamente, o estado seguro e o estado de falha podem também ser nterpretados no espaço reduzdo das varáves acma, separados pela equação estado lmte aproprada. No caso de duas varáves, esta deverá ser como mostrado na fgura 5. Em termos das varáves reduzdas, X, a equação estado lmte será: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

13 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 13 ( σ X ' µ X,, σ X ' n µ X ) n n g X + K X + = (11) Pode-se observar na fgura 5 que quando a superfíce estado lmte (ou superfíce de falha), g(x ) = 0, se afasta ou se aproxma da orgem, a regão segura, g( X ) > 0, aumenta ou dmnu. Portanto, a posção da superfíce de falha em relação à orgem das varáves reduzdas, determnará a segurança ou a confabldade do sstema. A posção da superfíce de falha pode ser representada pela dstânca mínma da superfíce g( X ) = 0 à orgem das varáves reduzdas; de fato, SHINOZUKA (1983) mostrou que o ponto na superfíce de falha com mínma dstânca da orgem é o ponto mas provável de falha. Assm, com algum sentdo aproxmado, esta dstânca mínma pode ser usada como uma medda de confabldade. x g (x 1, x ) < 0 g (x 1, x ) = 0 g (x 1, x ) > 0 0 x 1 Fgura 5 - Estados de segurança e de falha no espaço de varáves reduzdas Segundo SHINOZUKA (1983), a dstânca mínma requerda pode ser determnada como segue. A dstânca de um ponto X = (X 1, X,, X n ) na superfíce de falha g( X ) = 0 à orgem de X é: D = X' 1 + K+ X' n = t ( X' X' ) 1 / o ponto na superfíce de falha, ( ', ',, ' ) x 1 x K x n, tendo a mínma dstânca da orgem pode ser determnado pela mnmzação da função D, sujeta à lmtação g(x ) = 0 : Mnmze D, sujeto à g(x) = 0. Para esta proposta, o método de multplcadores de Lagrange pode ser usado. Mnmzando D (CASTRO, 1997), chega-se à segunte expressão para a mínma dstânca que é chamada de índce de confabldade β ( d mn =β): β = x' g X' g X' onde as dervadas ( g ' ) X provável na superfíce de falha fca: são calculadas em ( ', ',, ' ) (1) x 1 x K x n. O ponto mas Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

14 14 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte = αβ ; = 1,, K,n (13a) x' em que: α g X' = g X' (13b) são os co-senos dretores ao longo do x....3 Interpretação de prmera ordem As equações 1 e 13a podem ser nterpretadas em bases de aproxmações de prmera ordem para a função g(x) como segue. Expandndo a função de desempenho g(x) em sére de Taylor em um ponto x, que está na superfíce de falha g( x ) = 0, ou seja: n ( 1,, K, n) = ( 1,, K, n) + ( ) gx X X gx x x X x = 1 n j= 1 g X n = 1 ( X x )( Xj xj) + g X X j + K onde as dervadas são calculadas em (,, K, ). Mas g(,,, ) superfíce de falha e, recordando que: e x 1 x x n ( σ ' µ ) ( σ ' µ ) σ ( ' ' ) X x = X + x + = X x X X X X X x 1 x K x n = 0 na g X = g X' dx' = dx 1 σ g X' X Então: n ( 1,, K, n) = ( ' ' ) gx X X X x = 1 g X' + K Em aproxmação de prmera ordem, sto é, truncando a sére acma no termo de prmera ordem, o valor médo da função g(x), é (ANG; TANG, 1984): µ g n x' 1 g X' (14) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

15 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 15 ao passo que a correspondente varânca aproxmada em prmera ordem (para varáves não correlaconadas) é: σ n g σx' 1 g = X' n g X' 1 (15) Das equações 14 e 15, tem-se a relação: µ σ g g n 1 n x' 1 g X' g X' (16) Comparando as equações 1 e 16, percebe-se que a relação acma é a mesma da equação 1 e, assm µ g σ g é também a dstânca do plano tangente à superfíce de falha em x à orgem das varáves reduzdas. Portanto, o índce de confabldade é também: µ β = g σ g (17)..3 Funções lneares de desempenho Uma função lnear de desempenho pode ser representada como: ( ) X = 0 + g a a X onde a 0 e a s são constantes. A equação estado lmte correspondente é: a0 + a X = 0 (18) Em termos das varáves reduzdas a equação estado lmte fca: ( ) a0 + a σ X X' + µ X = 0 (18a) Em três dmensões, a equação 18a é: ( σ X ' µ X ) ( σ X ' µ X ) ( σ X ' µ X ) a + a X + + a X + + a X + = que é uma superfíce plana no espaço x 1, x, x 3 como mostrado na fgura 6. A dstânca do plano de falha, equação 18a, à orgem das varáves reduzdas X é: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

16 16 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte β = a 0 + aµ ( aσ X ) X (19) x Plano da superfíce estado lmte β 0 x 1 x 3 Fgura 6 - Superfíce estado lmte no espaço trdmensonal x 1, x, x 3 A equação 19 pode também ser obtda dretamente da equação 1. Se as varáves aleatóras X 1, X,, X n são varáves normas não correlaconadas, a probabldade do estado seguro é, para este caso: ps = P a + ax > 0 0 p p S S a0 + = 1 Φ a = Φ 0 + aµ ( aσ X ) aµ ( aσ X ) X X (0) Comparando as equações 19 e 0, percebe-se que o argumento entre colchetes da equação 0 é a dstânca β. Portanto, a probabldade p S é uma função da dstânca do plano de falha g( X ) = 0 à orgem das varáves reduzdas. Portanto, no caso geral de n varáves normas não correlaconadas, a probabldade de segurança é: p S =Φβ ( ) (0a) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

17 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 17 Se as dstrbuções de probabldade das varáves aleatóras X 1, X, L, X n não são normas, a probabldade p S pode ser calculada utlzando dstrbuções normas equvalentes (ANG; TANG, 1984). Com tas dstrbuções normas equvalentes, o cálculo de p S segue o mesmo procedmento vsto para as varáves normas. O procedmento descrto anterormente para o cálculo da probabldade de segurança ou de falha é baseado na suposção de que as varáves aleatóras X 1, X, L, X n não são correlaconadas. Para varáves aleatóras correlaconadas, as varáves orgnas podem ser transformadas em um conjunto de varáves não correlaconadas. O procedmento descrto anterormente, pode então ser aplcado ao conjunto não correlaconado de varáves transformadas (CASTRO, 1997). Para funções de desempenho, g(x), que não são lneares, o cálculo da probabldade exata de segurança ou de falha geralmente será envolvdo. A equação estado lmte, g( X ) = 0, será também não lnear; ao contráro do caso lnear, não há uma únca dstânca da superfíce de falha à orgem das varáves reduzdas. Como ndcado no tem.., o cálculo da probabldade exata de segurança envolve a ntegração da função densdade de probabldade conjunta sobre a regão não lnear g( X ) > 0. Para propóstos prátcos, será necessára uma aproxmação para a probabldade de falha ou de segurança. De acordo com os resultados do tem.., o x 1 x K x n na superfíce de falha com mínma dstânca à orgem das varáves reduzdas é o ponto mas provável de falha (SHINOZUKA, 1983). O plano ponto ( ', ',, ' ) x 1 x K x n pode então ser utlzado como aproxmação para a superfíce de falha, e o índce de confabldade ou a probabldade de segurança procurada pode ser calculada como no caso lnear do tem..3. Se a superfíce de falha não lnear exata for convexa ou côncava para a orgem, esta aproxmação será segura ou nsegura, respectvamente (CASTRO, 1997). tangente à superfíce de falha em ( ', ',, ' ) 3 CRITÉRIO DE CÁLCULO BASEADO EM PROBABILIDADE 3.1 Crtéro de cálculo O prncpal objetvo de projetos e cálculos de engenhara é garantr o desempenho do sstema ou produto de cálculo. Como sto só pode ser alcançado sob condções de ncertezas, a garanta de desempenho é realmente possível somente em termos de probabldade, ou seja p S. Em geral, análses probablístcas serão necessáras para o desenvolvmento de tas cálculos baseados em probabldade. Entretanto, pode-se também desenvolver cálculos satsfazendo tas condções de confabldade sem uma análse probablístca completa, sto é alcançado através da adoção de crtéros de cálculos determnístcos aproprados (por exemplo, o uso de tradconas "coefcentes de segurança"). De fato, bases probablístcas para o cálculo serão mas efetvas se mplementadas desta forma, sto pode ser consegudo se os "coefcentes de segurança são pré-determnados por condções específcas baseadas em probabldade. Em partcular, para o propósto de cálculos mas Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

18 18 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte rotneros, os métodos de cálculo podem ser especfcados em normas de cálculo de estruturas, onde tas métodos também deverão ser desenvolvdos para satsfazer confabldades especfcadas. Por razões óbvas, os métodos de cálculo deverão ser tão smples quanto possível, além dsto, eles deverão ser desenvolvdos de uma forma famlar aos usuáros ou calculstas. Uma aproxmação tradconal e comum para a ntrodução da segurança é através do uso de coefcentes de segurança. Estes coefcentes de segurança são utlzados na engenhara estrutural quando os cálculos são fetos em tensões admssíves. Outra forma é a utlzação de coefcentes de ponderação das ações e coefcentes de resstênca, ou seja, as ações nomnas são majoradas pelos coefcentes de ponderação aproprados e as resstêncas nomnas são mnoradas pelos correspondentes coefcentes de resstênca, e a segurança é assegurada se a resstênca mnorada for maor ou gual às solctações majoradas, que é a forma mas consstente Problema básco de cálculo Com base na premssa de que um projeto de engenhara é destnado a garantr a segurança ou o bom desempenho com uma dada confabldade p S, o problema básco de cálculo, portanto, envolve a determnação da posção da função de dstrbução de probabldade da resstênca, como mostrado na fgura 4.a, tal que esta esteja sufcentemente separada da função de dstrbução de probabldade das solctações para que a probabldade de falha p F satsfaça a um valor acetável ou um valor alvo. Novamente, além da separação entre f X ( x ) e f Y ( y ), a probabldade de falha, p F, é também uma função do grau de dspersão ( σ X e σ Y ). Uma quantdade que representa estas duas nfluêncas é o índce de confabldade ou índce de segurança β. Portanto, especfcando um valor de β é equvalente a prescrever uma confabldade alvo, p S, ou uma probabldade de falha acetável, p F. Para o propósto de cálculo normalzado, sto é, estabelecer prevsões de cálculos em normas, a forma mas geral é a utlzação de coefcentes múltplos de ações e coefcentes de resstênca, como representado pela segunte condção; φr n = 1 γ S (1) onde: φ = coefcente de resstênca γ = coefcente de ponderação das ações para ser aplcado à ação Q ou à solctação S. 3. Métodos de segundo momento No espaço das varáves reduzdas, cálculos em dferentes níves de segurança podem ser vstos como correspondentes para satsfazer a dferentes superfíces de falha representadas pelas váras dstâncas à orgem, β. O desenvolvmento de um crtéro de cálculo é essencalmente equvalente à determnação dos coefcentes de cálculo que resultarão em projetos com superfíces de falha que cumpram com um índce de segurança exgdo, sto é, a dstânca da Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

19 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 19 superfíce de falha à orgem das varáves reduzdas deve satsfazer a algum valor alvo prevamente determnado. Como ndcado anterormente, a forma de cálculo mas geral é aplcar um coefcente de cálculo em cada uma das varáves báscas de cálculo, conhecdo também como método dos coefcentes parcas. Sem perda de generaldade, estes coefcentes podem ser aplcados aos respectvos valores médos das varáves de cálculo, assm: ( γµ, γµ γµ 1,, ) g X1 X n Xn 0 K = () Os valores γµ X da equação deverão estar na superfíce de falha, em partcular, eles devem estar no ponto mas provável de falha. Assm, os coefcentes parcas de cálculo procurados são: γ = x µ X (3) Portanto, a determnação dos coefcentes de cálculo procurados é também um problema de determnar o ponto mas provável de falha, x. No espaço das varáves reduzdas, o ponto mas provável de falha é: onde: x' α = αβ g X' = g X' As varáves orgnas podem ser obtdas de: x = µ X α βσ X = µ X 1 ( α βδ ) Portanto, os coefcentes de cálculo procurados são: = 1 α βδ X X γ (4) Na equação 4, os co-senos dretores, α, devem ser calculados no ponto mas provável de falha x. Em geral, a determnação de x requer uma solução teratva. Para este propósto, o algortmo smples apresentado a segur pode ser usado: (1) Assume-se x e obtém-se: x ' = x µ σ X X Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

20 0 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte () Calcula-se ( g ' ) X = e α. (3) Obtém-se x µ X α βσ X. (4) Repete-se os passos de (1) a (3) até atngr a convergênca. Os coefcentes de cálculo procurados são então obtdos com a equação 4. Para varáves não normas, µ X e σ X devem ser substtuídos pelas médas e desvos padrão normas equvalentes µ X N e σ X N no algortmo acma. 4 COEFICIENTES DE CÁLCULO PARA AS NORMAS EM ESTADOS LIMITES 4.1 Introdução Quando os crtéros utlzados pelas normas de cálculo estrutural para garantr o bom desempenho das estruturas são desenvolvdos para dferentes materas e métodos de construção, por grupos profssonas nteressados e com dversas flosofas de cálculo, sto não garante níves consstentes de segurança e desempenho para dferentes estruturas. Esta dversdade consderável complca o processo de ntrodução da segurança no cálculo. O dferente tratamento dado às ações em cada especfcação (norma de cálculo) tende a causar confusão e crar a necessdade de realzação de análses separadas para a mesma estrutura, quando mas de um materal estrutural for utlzado. Para smplfcar estas análses tornou-se desejável o desenvolvmento de coefcentes de ponderação e regras de combnações das ações que estvessem ncluídas em normas governando ações e cálculo geral para todos os materas estruturas. Os grupos ndvduas de pesqusa e elaboração das normas técncas do materal seleconaram então crtéros de resstênca compatíves com as condções geras de ações. A tendênca contemporânea em desenvolvmento de normas é a utlzação de concetos probablístcos como a base para seleconar crtéros de ntrodução da segurança no cálculo. Se o elemento estrutural estver submetdo a somente uma ação varável além da ação permanente, a confabldade pode ser determnada consderando a combnação da ação permanente com a máxma ação varável esperada durante algum período de referênca T, consderado aproprado para o projeto. Freqüentemente, entretanto, mas de uma ação varável atua em uma estrutura. Quando sto ocorre, é extremamente mprovável que cada ação alcance seu valor máxmo ao mesmo tempo. Conseqüentemente, um elemento estrutural pode ser calculado sob uma ação total menor do que a soma das máxmas ações ndvduas, sto é correntemente reconhecdo e adotado pelas atuas normas de ações e segurança. Concetualmente, estas combnações de ações deveram ser tratadas com a utlzação da teora de processos estocástcos que consderam a natureza estocástca e correlação das ações no espaço e no tempo. Para análses prátcas de confabldade, entretanto, é preferível trabalhar com representações de varáves aleatóras do que com representações de processos aleatóros. Talvez a aproxmação Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

21 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 1 mas smples para tratar combnações de ações é assumr que a máxma combnação das ações ocorrerá quando uma das ações estver com o seu valor máxmo, enquanto as outras ações assumem seus valores nstantâneos ou arbtrados em um certo tempo. Em outras palavras, a máxma combnação S de uma soma de váras ações, X, durante o período de referênca, T, é: S = max max X + X j (5) T j 4. Análse dos níves de confabldade do cálculo em tensões admssíves 4..1 Análse de dados estatístcos Para o desenvolvmento dos crtéros de cálculo baseados em probabldade são requerdos dados das varáves ação e resstênca estrutural. A nformação básca requerda é a dstrbução de probabldade de cada varável ação e resstênca e estmatvas de suas médas e desvos padrão ou coefcentes de varação. A méda e o coefcente de varação destas varáves báscas deverão ser representatvos dos valores esperados para as estruturas reas. Enquanto frequentemente há dados sufcentes para obter uma estmatva razoável da dstrbução de probabldade, em mutos outros casos esta pode ser assumda com base em argumentos físcos ou por convenênca (GALAMBOS, 198). No contexto da aproxmação FOSM (método de segundo momento de prmera ordem) para confabldade, o conceto de ncerteza, exemplfcado pela varabldade ou dspersão de uma varável, é exprmdo através da varânca ou do coefcente de varação (cov). As ncertezas usadas nas análses de confabldade poderam nclur varabldade estatístca dos parâmetros da resstênca básca e das ações, fontes adconas de ncertezas que surgem devdo aos erros de prevsão e modelamento e nformações ncompletas. Incluídos nestas ncertezas de modelamento estaram erros em estmatvas dos parâmetros das funções de dstrbução, dealzações matemátcas da capacdade estrutural e das ações reas, ncertezas no processo de cálculo e varações nas aplcações das váras ações ou nas especfcações dos materas dos casos dealzados em seu desenvolvmento. Embora ocasonalmente possa haver alguns dados dsponíves com os quas estma-se estas últmas meddas de ncertezas, frequentemente elas devem ser estmadas com base em juízo e experênca profssonal Resstênca Valores médos, coefcentes de varação e dstrbuções de probabldade para resstêncas estruturas têm sdo determnadas através de dados de ensaos de resstênca dos materas, de testes de laboratóro de elementos em escala real sob condções de solctação dealzadas, e em alguns casos, onde um modelo analítco defndo exste claramente, através da smulação Monte Carlo. Uma amostra representatva destes dados é apresentada na tabela 1 que, segundo GALAMBOS (198), resume resultados de numerosos programas de pesqusa conduzdos durante város anos. Exste uma quantdade substancal de dados para elementos estruturas de aço e concreto armado. Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

22 Lela A. de Castro Motta & Maxmlano Malte Tabela 1 - Resumo dos dados estatístcos de resstênca (GALAMBOS, 198) Descrção RR n V R Dstrbução de probabldade (1) () (3) (4) Concreto armado, flexão Grau 60 ( f y = 60 ks ) 1,05 0,11 Normal Grau 40 ( f y = 40 ks ) 1,14 0,14 Normal Colunas curtas de conc. arm. 0,95 0,14 Normal Vgas de conc. arm., csalhamento Estrbos mínmos 1,00 0,19 Normal Aço estrutural Elementos traconados, escoamento 1,05 0,11 Lognormal Vga compacta, momento unforme (cálculo plástco) 1,07 0,13 Lognormal Vga-coluna (cálculo plástco) 1,07 0,15 Lognormal Aço conformado a fro (chapa dobrada) Vgas travadas lateralmente 1,17 0,17 Lognormal Alumíno Vgas travadas lateralmente 1,10 0,08 Lognormal Alvenara estrutural não armada, compressão Fabrcação não nspeconada 5,30 0,18 Lognormal Nota: R = resstênca méda Rn V = resstênca nomnal = coefcente de varação da resstênca R Ações Estão resumdos na tabela os valores médos, coefcentes de varação e dstrbuções de probabldade para efetos das máxmas ações em 50 anos e das ações reduzdas. De modo geral, estes estudos estatístcos são um resumo de valores relatados em város estudos anterores de ações e modelos de ações estruturas, comportamento de elementos estruturas e cálculo baseado em confabldade. Tanto quanto possível, as estatístcas das ações são baseadas em pesqusas n loco, meddas de pressão do vento em edfícos e modelamento probablístco da conversão de uma ação pesqusada em uma máxma ação usada para propóstos de análse e cálculo de confabldade. Além da varabldade básca da ação, ncertezas surgem do modelo que transforma a ação real varável tanto no tempo quanto no espaço, em uma ação estátca equvalente dstrbuída unformemente que será usada no cálculo. Incertezas também surgem na análse que transforma a ação unformemente dstrbuída em efeto desta ação, nclundo dealzação b-dmensonal de estruturas trdmensonas, dealzação de apoos, rgdez de conexões e contnudade (GALAMBOS, 198). Estas ncertezas são ncluídas nos coefcentes de varação lstados na tabela. Segundo GALAMBOS, 198, estatístcas das ações devdas a neve, vento e ação varável de ocupação (sobrecarga de utlzação) foram determnadas através de Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

23 Análse da segurança no projeto de estruturas: método dos estados lmtes 3 dstrbuções de valores extremos usados na análse de confabldade usando as porcentagens superores das dstrbuções obtdas através da smulação Monte Carlo ou ntegração numérca. Tabela - Resumo de dados estatístcos das ações (GALAMBOS, 198) Ação XX n V X Dstrbução de probabldade (1) () (3) (4) D (ação permanente) 1,05 0,10 Normal L (sobrecarga de utlzação) 1,00 0,5 Valor extremo tpo I L RED (sobrecarga reduzda) 0,5-0,50 0,60 Gama W (ação do vento) 0,78 0,37 Valor extremo tpo I S (ação da neve) 0,8 0,6 Valor extremo tpo II 4.. Confabldades no cálculo em tensões admssíves Confabldades alvos podem ser estabelecdas através de revsão de níves de confabldade pertencentes às normas já exstentes que conduzram a resultados satsfatóros no passado. Enquanto confança absoluta nestes valores pode admtr nconsstêncas e certas característcas ndesejáves da prátca de cálculo passada, eles são útes como guas para a seleção de confabldades alvos de um crtéro baseado em probabldade. O que se fez então fo uma análse dos níves de confabldade que se obtnha com o cálculo segundo as normas em tensões admssíves e, baseando-se nestes resultados, seleconou-se alguns valores alvos dos índces de confabldade para stuações de projeto mas geras e comuns. As mas mportantes combnações de ações envolvendo ações gravtaconas são as combnações de ação permanente com máxmas ações varáves de ocupação em psos. Estes casos de ações gravtaconas governam os projetos em mutas stuações prátcas e eles são casos partcularmente mportantes, quando são acumuladas experêncas bem suceddas no passado. Cada stuação de cálculo é defnda por um conjunto de valores nomnas de ações e resstênca. Nas especfcações em tensões admssíves tnha-se: Rn = FS D L n + n (6a) onde FS é o fator de segurança. No cálculo plástco de estruturas de aço segundo o AISC/78 tnha-se (GALAMBOS, 198): ( ) R = 17, D + L (6b) n n n Os índces de confabldade assocados ao cálculo de vgas de aço submetdas a ações permanentes e varável, são mostrados na fgura 7 como funções da relação L 0 D n, numa análse feta por GALAMBOS, 198. Na fgura 7 percebe-se que β tende a decrescer quando a relação L 0 D n aumenta. Deve ser lembrado que vgas de aço têm ntervalo prátco para L 0 D n de 1 a. Como mostrado na fgura 7, valores representatvos para β são em torno de,5 para vgas de aço. A sobrecarga L 0 é a ação varável unforme sem redução especfcada pelo ANSI A e sua Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, n. 0, p. 1-3, 00

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