Capítulo V - Modulação

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1 Capítulo V - Modulação Mutos são os meos físcos utlzados como canas de transmssão, tas como pares de fos, cabos coaxas, fbras ótcas, canas de mcroondas, etc. Todos estes meos são de natureza nerentemente contínua no tempo. Conforme vmos, os blocos de bts provenentes do processo de codfcação de canal são, obvamente, dscretos no tempo. Como um snal que transporta nformação necessta se adaptar às lmtações dos canas de transmssão, torna-se necessáro representar os blocos de bts provenentes da etapa de codfcação sob a forma de snal contínuo no tempo, para que se efetue a transmssão. A modulação é o processo utlzado para esta representação. Modulação 1

2 No dagrama de blocos smplfcado de um sstema de comuncação dgtal mostrado ao lado, a saída do Codfcador de Canal é envada ao Modulador Dgtal. A função do Modulador Dgtal é mapear a seqüênca bnára provenente do Codfcador de Canal em um conunto de M valores dstntos de parâmetros de um snal elétrco v (t). O snal elétrco v(t) é denomnado de portadora e pode ser representado por v ( t ) = V cos m ( 2π ft +φ), onde Vm é o valor nstantâneo de v (t), f é a freqüênca de v (t) e φ é a fase, com relação a alguma referênca. No processo de modulação, o snal v(t) tem alguma de suas característcas varada de acordo com o valor nstantâneo do snal modulante. Na modulação AM (Ampltude Modulaton), por exemplo, o valor nstantâneo é varado, enquanto que na modulação PM (Phase Modulaton), a fase é varada e na modulação FM (Frequency Modulaton), a freqüênca é varada. Modulação 2

3 Em comuncação dgtal, bascamente, o tpo de modulação empregado é a modulação PAM (Pulse Ampltude Modulaton). A modulação PAM, pode ser em banda-base e em banda passante. Na modulação PAM em banda-base uma seqüênca de translações no tempo de um pulso básco é modulada em ampltude por uma seqüênca de símbolos. Este tpo de modulação é utlzada bascamente em meos metálcos, tas como pares de fos, onde é permtdo que o espectro do snal se extenda até a freqüênca zero. A modulação PAM em banda passante é uma extensão da modulação PAM em banda-base, em que é ntroduzdo o conceto de uma portadora senodal. Este tpo de modulação é utlzado em meos com banda altamente restrta, tas como transmssão por rádo. Alguns casos de nteresse no que concerne à modulação PAM em banda passante são: modulação PSK (Phase-Shft Keyng), modulação AM-PM (Ampltude Modulaton and Phase Modulaton) e modulação QAM (Quadrature Ampltude Modulaton). Modulação 3

4 A modulação PAM em banda passante utlza duas portadoras senodas de mesma freqüênca, defasadas de noventa graus, as quas são moduladas pelas partes real e magnára de um snal complexo em banda-base. Portanto, em um sstema de comuncações em banda-passante, o conunto de símbolos (= alfabeto = constelação) e o ruído do canal apresentam valor complexo. Por exemplo, um snal em banda-base tem um alfabeto que é smplesmente uma lsta de números reas, por exemplo, Α = { 3, 1, + 1, + 3}. Observe que o alfabeto tem tamanho M = 4 e cada símbolo que a ele pertence pode representar log 2 M = 2 bts. Um snal PAM em banda passante tem um alfabeto que é uma lsta de números complexos, por exemplo, Α = { 1,, + 1, + }. Observe que o alfabeto tem tamanho M = 4 e cada símbolo que a ele pertence pode representar log 2 M = 2 bts. Neste sentdo, um sstema de comuncações em banda-base nada mas é do que um caso especal do sstema em banda-passante no qual os símbolos e o ruído apresentam valor real. Já que o sstema PAM em banda-base é um caso especal do sstema PAM em banda passante, remos nos concentrar no sstema PAM em banda passante. Modulação 4

5 Constelações e Detecção ML O alfabeto Α = { a 0, a 1, L, am 1 } é o conunto de símbolos que estão dsponíves para transmssão. Quanto maor for a demanda por volume de nformação de um sstema, maor precsa ser o número de símbolos presentes no alfabeto, de forma que uma maor complexdade de nformação possa ser compensada por um "vocabuláro" mas elaborado, capaz de representar um maor volume de nformação dentro do mesmo ntervalo de tempo. Uma constelação com maor número de símbolos forçosamente apresenta maor número de símbolos semelhantes entre s do que uma constelação menos densa, o que se torna um séro problema para o desempenho do sstema quando o canal é dspersvo, pos a mínma nterferênca entre os símbolos os tornará nntelgíves sob o ponto de vsta dgtal. Modulação 5

6 A nterferênca entre os símbolos, denomnada ISI (Inter Symbol Interference), é a grandeza que mede o quanto os símbolos de um sstema de comuncações dgtas se superpõem a outros símbolos, como decorrênca da natureza dspersva do canal de transmssão de qualquer sstema dgtal prátco. Devdo à dspersão, a resposta mpulsva do canal assume valores não nulos ao longo de város ntervalos amostras. Em um canal dspersvo, cada amostra recebda pelo receptor será uma soma ponderada das amostras passadas. Desta manera, a dspersão de canal pode ser assocada ao conceto de reverberação, á que o valor de cada amostra é nterferdo por ecos de amostras á ocorrdas. Como reverberação é um fenômeno natural e nevtável a todo e qualquer canal de comuncações prátco, o problema precsa ser contornado através de sstemas compensadores de reverberação denomnados Equalzadores. Os Equalzadores são usualmente colocados no receptor dgtal entre o demodulador e o decodfcador de canal, de tal forma que a resposta mpulsva combnada do Equalzador em sére com o canal anule a dspersão do canal. Modulação 6

7 Na saída do demodulador, no receptor dgtal, um quantzador é utlzado para estmar o símbolo orgnalmente transmtdo. A entrada do quantzador é um snal dscreto no tempo, com ntervalo T entre amostras (símbolos). Quando não há ISI, cada amostra de entrada do quantzador é gual ao símbolo transmtdo mas corrompdo por ruído adtvo estatístcamente ndependente da seqüênca de símbolos. Um alfabeto complexo é melhor descrto se plotado como um conunto de pontos em um plano complexo, quando, então, ustfca-se a denomnação de constelação do snal. Ao lado é representado o conunto dos M = 2 n = 256 símbolos que formam o alfabeto da modulação 256-QAM, sendo n = 8 o número de bts por bloco, do snal provenente do codfcador de canal. Modulação 7

8 n O conunto de M 2 bts por bloco provenente do codfcador de canal. = símbolos forma o alfabeto Α = { a, a } a a L, sendo n o número de 0, 1, M 1 Seam dos símbolos e a do alfabeto Α,, caracterzados por estarem dstancados entre s da dstânca d mn = a a, sendo mn a menor dstânca entre os símbolos de d Α. A probabldade de o demodulador no receptor tomar a por a, como conseqüênca do ruído/nterferênca no canal, é muto maor para os símbolos e do que para qualquer outro par de símbolos de a Α, vsto que e encontram-se dstancados de apenas. Portanto, para mnmzar a probabldade de erro nos n bts dos blocos e a θ demodulados no receptor a partr de e, os mapeamentos B a = c e e B a = c e θ B no modulador são usualmente proetados de tal forma que o bloco dfere do bloco em apenas 1 bt (códgo gray). a Algumas constelações populares na transmssão em banda passante PAM são lustradas a segur. a a a B d mn B B Modulação 8

9 4-PSK (4-Phase-Shft Keyng) A constelação 4-PSK consste de quatro símbolos de magntude b, cada um deles com fase dferente, conforme mostrado na Fgura abaxo. A m = be Os símbolos podem ser escrtos como e o snal transmtdo pode ser descrto como X () t = b 2 cos( ω ct + φ m ( kt )) g( t kt ) onde ( kt ) k = assumr valores do conunto ( 0, 2, π,3π 2) π. φ m φ pode A constante b determna a potênca do snal transmtdo. Cada símbolo 4-PSK transmtdo enva 2 bts através do canal (M = 4, n = 2). A nformação é transportada na fase da portadora e a ampltude da portadora é constante, daí o nome Chaveamento por Deslocamento de Fase (PSK - Phase-Shft Keyng). A constelação 4-PSK é também chamada Quadrature Phase-Shft Keyng (QPSK). O sstema de coordenadas QPSK é melhor descrto em termos de coordenadas (x,y) em que x é representado por I (n phase) e y é representado por Q (quadrature), (I,Q). Cada um dos pares (I,Q) representa um símbolo, ou, no contexto do snal envado pelo canal, 2 bts. Explos.: IS-95 (CDMA), CDMA2000, e m Modulação 9

10 Símbolo Transção de fase DQPSK (graus) DQPSK (Dfferental Quadrature Phase Shft Keyng) É uma técnca de modulação smlar à QPSK. O padrão de dados DQPSK é referencado ao estado anteror. DQPSK tem 4 estados potencas, sendo os símbolos defndos com relação aos estados prévos, conforme tabela ao lado. Símbolo Transção de fase π/4 DQPSK (graus) π/4 DQPSK(π/4 Dfferental Quadrature Phase Shft Keyng) É uma técnca de modulação smlar à DQPSK. As transções de fase π/4 DQPSK são rotaconadas 45 o em relação ao sstema DQPSK. π/4 DQPSK tem 4 estados potencas, sendo os símbolos defndos com relação aos estados prévos, conforme tabela ao lado. Explo.: USDC (TDMA). Modulação 10

11 Símbolo Mapeamento 0 ( t) = V cos( π ft + φ ) v, ( t) = V cos( π ft + φ ) v, o φ 0 = 0 o φ 1 = 180 BPSK (Bnary Phase Shft Keyng) É uma técnca de modulação bnára, smlar à QPSK, em que M = 2, n = 1. Explo.: IS-95 (CDMA). GMSK (Gaussan Mnmum Shft Keyng) O GMSK (Chaveamento por Deslocamento Mínmo Gaussano) é um tpo especal de modulação dgtal FM. As técncas de modulação que usam duas freqüêncas para representar o "1" e o "0" são denomnadas FSK (Chaveamento por Deslocamento de Freqüênca). A modulação MSK (Mnmum Shft Keyng) é um caso especal da modulação FSK em que a freqüênca de uma portadora de ampltude constante é comutada entre dos possíves valores, mnmamente espaçados em freqüênca, tas que permtam a dscrmnação entre os snas. A fase é tal que a descontnudade temporal entre dos símbolos é mnmzada, reduzndo o a largura do espectro. Um fltro gaussano é aplcado, obetvando efcênca espectral (o fltro Gaussano suavza adconalmente a descontnudade na transção entre os símbolos, reduzndo anda mas a largura do espectro gerado). Explo.: GSM (TDMA/FDD). Modulação 11

12 16-QAM (16-Quadrature Ampltude Modulaton) A constelação 16-QAM apresenta 12 possíves fases e 3 possíves ampltudes. A constante c determna a potênca do snal transmtdo. Cada símbolo 16-QAM transmtdo enva 4 bts através do canal (M = 16, n = 4). O modulador mapea M blocos (ou símbolos) dstntos no conunto de snas { v (t)}, = 0,1, L, M 1. Um possível mapeamento sera assocar os 16 possíves blocos de 4 bts aos elementos do conunto de snas { (t)}, = 0,1, L, 15, v ( t) = V cos( 2π ft + φ ), conforme tabela abaxo. v bloco V φ 135 o 108 o 45 o 72 o 162 o 135 o 18 o 45 o -135 o -108 o -45 o -72 o -162 o -135 o -18 o -45 o Note que ampltude V e fase φ do snal v(t) são varadas, mas a freqüênca f é mantda constante neste tpo de modulação. Modulação 12

13 Devdo ao ruído adtvo, as amostras recebdas na entrada do quantzador em geral não correspondem exatamente aos pontos na constelação de snal. No entanto, se a potênca do ruído é pequena comparada à potênca do snal, se observa uma alta probabldade de as amostras estarem próxmas aos pontos da constelação. Assm, as amostras recebdas formam uma nuvem Gaussana ao redor dos pontos da constelação, conforme mostra a fgura abaxo, para as constelações 4-PSK e 16-QAM. A função do quantzador é smplesmente a m seleconar o símbolo na constelação Α = { a0, a1, L, am 1} que estea mas próxmo à amostra recebda. Q k Tanto para símbolos complexos quanto para símbolos reas, o quantzador também chamado detector de máxma verossmlhança (detector ML: Maxmum Lkelhood) selecona o símbolo am no alfabeto Α que mnmza a dstânca Eucldana Qk am entre Qk e a. Quando o alfabeto é complexo é convenente utlzar o quadrado da dstânca Eucldana 2 Q por smplfcar as operações envolvdas. k a m m Modulação 13

14 O plano complexo pode, portanto, ser dvddo em regões de decsão onde cada regão de decsão é o conunto de pontos que está mas próxmo a algum símbolo. As regões de decsão para as constelações 4-PSK e 16-QAM são mostradas na fgura abaxo. Regões de decsão sob a ótca do detector ML para as constelações 4-PSK e 16-QAM. Explos.: 16-QAM e 64-QAM, utlzadas no sstema Modulação 14

15 Densdade da Constelação x Velocdade de Transmssão Note que o Modulador Dgtal recebe bts do Codfcador de Canal a uma razão unforme de R [ bts s] e os enva na mesma razão ao Canal de Transmssão, através do Amplfcador de Potênca. Cada bloco possu N bts, portanto, o Modulador Dgtal processa bts bts R blocos R N = ou sea, cada bloco de N bts possu um ntervalo de s bloco N s duração de R N / segundos. Em outras palavras, para uma taxa fxa de transmssão de bts envados ao canal de bts s N / R [ ], R segundos é o ntervalo de tempo durante o qual o Modulador Dgtal gera um dos M snas Potênca. v(t) e o transmte ao Canal de Transmssão através do Amplfcador de Note também que, quanto maor o número M de snas dsponíves, maor será o tamanho N do bloco representado por um dos M snas, o que mplca em maor velocdade de transmssão. Modulação 15

16 Por exemplo: Sea um sstema dgtal com M = 256, tal que N = log 2 M = 8. Toda vez que um dos 256 possíves snas v(t) é transmtdo, sgnfca que 8 bts foram envados através do canal. Comparemos este sstema com o sstema para o qual M = 16, tal que N = log 2 M = 4, mas com o mesmo ntervalo entre emssão de snas v(t) do sstema com M = 256. Toda vez que um dos 16 possíves snas foram envados através do canal. v(t) é transmtdo sgnfca que apenas 4 bts Portanto, o sstema com M = 256 apresenta o dobro da velocdade de transmssão bts que o sstema para M = 16, assumndo que ambos possuam a mesma taxa R [ s] [ blocos s] R N de transmssão de blocos (símbolos). Modulação 16

17 OFDM (Orthogonal Frequency Dvson Multplexng) - É uma combnação de modulação e técnca de acesso múltplo que segmenta o canal de comuncação, de forma a ser compartlhado por mutos usuáros. - Dferentemente da segmentação no tempo que ocorre em sstemas TDMA, e da segmentação em códgo dos sstemas CDMA, sstemas OFDM segmentam em freqüênca. O espectro é dvddo em um número de portadoras gualmente espaçadas em freqüênca, que transportam ndvdualmente parte da nformação. - A modulação OFDM pode ser vsta como uma forma de multplexação por dvsão em freqüênca (FDM) em que cada portadora é ortogonal a todas as outras, sem requerer banda de guarda entre as freqüêncas para que não haa nterferênca, o que permte maor efcênca espectral. - A nformação é modulada nas portadoras utlzando, por exemplo, PSK (phase shft keyng) ou QAM (quadrature ampltude modulaton). - Um stream de dados é dvddo em streams paralelos. Cada stream é, então, mapeado em uma portadora e combnado usando a Transformada Inversa de Fourer (IFFT) para obter a forma de onda no domíno do tempo a ser transmtda. A largura de banda atrbuída a cada portadora é reduzda na proporção da dvsão do stream de dados. - É robusta à nterferênca ntersmbólca e pode ser consderada uma técnca de acesso múltplo, porque as portadoras ndvduas podem ser atrbuídas a dferentes usuáros (OFDMA). Explo.: g, a, ISDB-T. Modulação 17

18 Probabldade de Erro A probabldade de erro é uma medda razoável de desempenho para um sstema de comuncações dgtal. A probabldade de erro de símbolo é uma medda fácl de determnar a partr das propredades do sstema. Para o detector ML, a probabldade de erro é smplesmente a probabldade de que a amostra recebda estea próxma a um símbolo que não sea o símbolo que fo efetvamente transmtdo. Consdere dos símbolos complexos do alfabeto, a e. Sea a o símbolo transmtdo no nstante k e a sea a amostra recebda Q = a + Z, k k Z k onde é uma varável Gaussana aleatóra complexa que representa o ruído do canal, de 2 méda zero, com partes real e magnára ndependentes, cada uma com varânca σ. Modulação 18

19 Pode ser mostrado que a probabldade P de que a amostra recebda Q estea mas a próxma a do que a a, tendo sdo transmtdo a, é r ( 2σ ) Pr [ quantzado r escolher a quando a é transmtd o] = Q d, a ( ) onde d é a dstânca Eucldana a a entre a e, e onde Q x pode ser descrta como a área sob a curva de dstrbução Gaussana de uma varável aleatóra X para valores de X tas que X > x. k Específcamente, ( x) u Q =, onde ( u) = e du Q é dado por ( x) ( 1 2) erfc( x 2 ) denomnada Função Erro Complementar. erfc 2 π u 2 é a Observe que a Equação P [ quantzado r escolher a quando a é transmtd o] Q( d 2σ ) r = não expressa a probabldade de erro em s. Apenas defne a probabldade de o quantzador preferr o símbolo a ao símbolo efetvamente transmtdo a, ou sea, expressa a probabldade de erro apenas no caso em que há apenas dos símbolos no alfabeto. Modulação 19

20 Quando exstem mas de dos símbolos no alfabeto é necessáro alguma nferênca adconal para que se determne a probabldade de erro, no entanto, a equação pode ser utlzada para analsar constelações específcas, conforme fguras abaxo. Constelação antpodal bnára, sstema PAM em banda-base. Pr erro de símbolo = Q a σ [ ] ( ) Constelação mult-níves de uma dmensão. Pr erro de símbolo = 1.5Q d 2σ, d = 2a [ ] ( ) Constelação 4-PSK, versão rotaconada. Pr erro de símbolo = 2Q d 2σ [ ] ( ) Constelação 16-QAM. Pr erro de símbolo 3Q d [ ] ( 2σ ) Modulação 20

21 Para constelações retangulares de duas dmensões, à medda que o tamanho do alfabeto aumenta, uma maor porcentagem de pontos será ncluída, e a probabldade de erro rá tender a Pr[ erro de símbolo] 4Q( d 2σ ) 4Q ( d 2σ ), assumndo que todos os símbolos seam gualmente prováves. Referêncas Bblográfcas [Proaks] J. G. Proaks, Dgtal Communcatons, McGraw-Hll, [Shanmugan] K. S. Shanmugan and A. M. Brepohl, Random Sgnals: Detecton, Estmaton and Data Analyss, John Wley and Sons, [Papouls] A. Papouls, Probablty, Random Varables and Stochastc Processes, McGraw-Hll, [Taub] H. Taub and D.L. Schllng, Prncples of Communcatons Systems, McGraw-Hll, Modulação 21