Estatística Quântica e o Gás de Férmi
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- Isabella Vasques da Fonseca
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1 Estatístca Quântca e o Gás de Férm Aluno: André Hernandes Alves Malavaz Insttuto de Físca de São Carlos - IFSC Departamento de Físca e Cênca dos Materas (FCM) Unversdade de São Paulo 23 de Novembro, 2017 Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 1 / dos 24M
2 Outlne 1 Introdução Contextualzação 2 Estatístca Quântca Estatístca de Ferm-Drac Estatístca de Bose-Ensten 3 O Gás de Ferm Aspectos Geras Gás deal de Ferm em T = 0 K Gás deal de Ferm em T T F luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 2 / dos 24M
3 Contextualzação λ T T 1/2 T > T Partículas Idêntcas = Postulado de Smetrzação Bósons - Est. de BE Indep. de Interações! Férmons - Est. de FD Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 3 / dos 24M
4 Estatístca Quântca Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 4 / dos 24M
5 Estatístca Quântca Consderemos váras partículas não nteragentes em um volume V (L 3 ) com condções peródcas de contorno: Autoestados : { x, y, z = } Autoenergas : ε = π2 h 2 2mL 2 ( 2 x + 2 y + 2 z Defnmos n como o número de partículas no estado com momento p Confguração do sstema conjunto {n } Ĥ = ε ˆn ˆN = ˆn Descrção estatístca Ensemble Grande-Canônco ( Ĥ e ˆN fxos) ) Função de partção grande-canônca Z µ (T,V ) = tr { e β[ĥ µ ˆN] } = {n } e β (ε µ)n = e β (ε µ)n n luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 5 / dos 24M
6 Estatístca de Ferm-Drac Para férmons: Prncípo de Exclusão = n = 0, 1 Função de Partção: Z µ (T,V ) = e β(ε µ)n = [1 ] + e β(ε µ) n Função de Partção - Caso Geral: µ (T,V ) = [1 ] + e β(ε g µ) Z FD Férmons de spn-s = degenerescênca g = (2s + 1) luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 6 / dos 24M
7 Estatístca de Ferm-Drac Para férmons: Prncípo de Exclusão = n = 0, 1 Função de Partção: Z µ (T,V ) = e β(ε µ)n = [1 ] + e β(ε µ) n Função de Partção - Caso Geral: µ (T,V ) = [1 ] + e β(ε g µ) Z FD Férmons de spn-s = degenerescênca g = (2s + 1) luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 6 / dos 24M
8 Função de partção = Grandezas Termodnâmcas Potencal Grande-Canônco: Ω FD (T,V, µ) = k B Tln(Zµ FD (T,V )) = g [ β ln( ] 1 + e β (ε µ) ) Ω FD (T,V, µ) = g β ln ( 1 + e β(ε µ) ) Número total médo de partículas: ( ) Ω ˆN = µ T,V = g e β (ε µ) + 1 = gz e βε = + z n Dst. de FD - número de ocupação médo do estado : n = fugacdade: z ˆN = n Note que µ não possu restrção alguma! gz e βε +z Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 7 / dos 24M
9 Função de partção = Grandezas Termodnâmcas Potencal Grande-Canônco: Ω FD (T,V, µ) = k B Tln(Zµ FD (T,V )) = g [ β ln( ] 1 + e β (ε µ) ) Ω FD (T,V, µ) = g β ln ( 1 + e β(ε µ) ) Número total médo de partículas: ( ) Ω ˆN = µ T,V = g e β (ε µ) + 1 = gz e βε = + z n Dst. de FD - número de ocupação médo do estado : n = fugacdade: z ˆN = n Note que µ não possu restrção alguma! gz e βε +z luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 7 / dos 24M
10 Função de partção = Grandezas Termodnâmcas Potencal Grande-Canônco: Ω FD (T,V, µ) = k B Tln(Zµ FD (T,V )) = g [ β ln( ] 1 + e β (ε µ) ) Ω FD (T,V, µ) = g β ln ( 1 + e β(ε µ) ) Número total médo de partículas: ( ) Ω ˆN = µ T,V = g e β (ε µ) + 1 = gz e βε = + z n Dst. de FD - número de ocupação médo do estado : n = fugacdade: z ˆN = n Note que µ não possu restrção alguma! gz e βε +z luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 7 / dos 24M
11 Estatístca de Bose-Ensten Para bósons: 0 n Função de Partção: Zµ BE (T,V ) = e β(ε µ)n = n =0 1 1 e β(ε µ) Potencal Grande-Canônco: ( ) Ω BE (T,V, µ) = k B Tln(Zµ BE 1 (T,V )) = k B Tln 1 e β (ε µ) Ω BE (T,V, µ) = 1 β ln ( 1 e β(ε µ) ) luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 8 / dos 24M
12 Estatístca de Bose-Ensten Para bósons: 0 n Função de Partção: Zµ BE (T,V ) = e β(ε µ)n = n =0 1 1 e β(ε µ) Potencal Grande-Canônco: ( ) Ω BE (T,V, µ) = k B Tln(Zµ BE 1 (T,V )) = k B Tln 1 e β (ε µ) Ω BE (T,V, µ) = 1 β ln ( 1 e β(ε µ) ) luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 8 / dos 24M
13 Número total médo de partículas: ( ) ˆN Ω = µ T,V = 1 e β (ε µ) 1 = z e βε = z Dst. de BE - número de ocupação médo do estado : n = fugacdade: z ˆN = n n z e βε z Note que n 0 = e βε z Valor mínmo de ε = ε 0 = mn ( e βε ) = 1 = z 1 0 z 1 = µ 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 9 / dos 24M
14 Número total médo de partículas: ( ) ˆN Ω = µ T,V = 1 e β (ε µ) 1 = z e βε = z Dst. de BE - número de ocupação médo do estado : n = fugacdade: z ˆN = n n z e βε z Note que n 0 = e βε z Valor mínmo de ε = ε 0 = mn ( e βε ) = 1 = z 1 0 z 1 = µ 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamentoSFI5814-7/2 de Físca e Cênca 9 / dos 24M
15 µ 0 = é facl adconar novas partculas no gás [1]; lmte µ 0 (z 1) está ntmamente lgado a exstênca do Condensado de Bose-Ensten [3]; µ 0 transção de fase! { n 0 = z 1 z = n 0 z 1 n 0 ocupação macroscópca do estado fundamental! Condensado de Bose-Ensten Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 10 / dos 24M
16 µ 0 = é facl adconar novas partculas no gás [1]; lmte µ 0 (z 1) está ntmamente lgado a exstênca do Condensado de Bose-Ensten [3]; µ 0 transção de fase! { n 0 = z 1 z = n 0 z 1 n 0 ocupação macroscópca do estado fundamental! Condensado de Bose-Ensten luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 10 / dos 24M
17 O Gás de Ferm Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 11 / dos 24M
18 Aspectos Geras Descrção termodnâmca de um gás deal quântco composto por férmons ndstnguíves; Aplcações mportantes em físca do estado sóldo e astrofísca: Estudo das propredades térmcas de metas: gás de elétrons lvres; Establdade de algumas estrelas. Conexão com a termodnâmca clássca: lmte termodnâmco (V ) + Grande potencal Ω(T,V, µ); d = V (2π) 3 d 3 k ( ε = h²k2 2m ) ; Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 12 / dos 24M
19 Aspectos Geras - Expressões Relevantes Ĥ = U = ε n = U = gv 0 εd(ε)f (ε)dε ˆN = n = ˆN = gv 0 D(ε)f (ε)dε Ω(T,V, µ) = gv β 0 [ D(ε)ln 1 + e β (ε µ)] dε = 2 3 U = PV U = 3 2 PV f (ε) = [ e β (ε µ) + 1 ] 1 Dstrbução de Ferm-Drac ( ) 3/2ε D(ε) = 1 2m 1/2 4π² = Cε 1/2 Densdade de Estados h 2 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 13 / dos 24M
20 Aspectos Geras - Expressões Relevantes Ĥ = U = ε n = U = gv 0 εd(ε)f (ε)dε ˆN = n = ˆN = gv 0 D(ε)f (ε)dε Ω(T,V, µ) = gv β 0 [ D(ε)ln 1 + e β (ε µ)] dε = 2 3 U = PV U = 3 2 PV f (ε) = [ e β (ε µ) + 1 ] 1 Dstrbução de Ferm-Drac ( ) 3/2ε D(ε) = 1 2m 1/2 4π² = Cε 1/2 Densdade de Estados h 2 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 13 / dos 24M
21 Aspectos Geras - Dstrbução de FD: f (ε) 1 T = 0 K T > 0 ε F = µ(t = 0) Fgura: Dstrbução de Ferm-Drac f (ε) em função da energa ε para T = 0 K e T > 0. T = 0 K Todos os estados com ε ε F são nteramente ocupados T > 0 Partículas mas energétcas podem transtar para estados com ε > ε F devdo a presença de flutuações térmcas ε luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 14 / dos 24M
22 Aspectos Geras - Dstrbução de FD: f (ε) 1 T = 0 K T > 0 ε F = µ(t = 0) Fgura: Dstrbução de Ferm-Drac f (ε) em função da energa ε para T = 0 K e T > 0. T = 0 K Todos os estados com ε ε F são nteramente ocupados T > 0 Partículas mas energétcas podem transtar para estados com ε > ε F devdo a presença de flutuações térmcas ε luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 14 / dos 24M
23 Gás deal de Ferm em T = 0 K Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 15 / dos 24M
24 Gás deal de Ferm em T = 0 K T = 0 K (β ) o gás se encontra no estado fundamental e é denomnado como completamente degenerado [3]; Cada partícula ocupa o estado dsponível até energa de ferm ε F (energa da partícula mas energétca); f (ε) µ(t = 0) = ε F 1 T = 0 K 1 lm f (ε) = lm β β e β(ε µ) = Θ(µ ε) + 1 { 1, ε µ f (ε) = 0, ε > µ ε F = µ(t = 0) ε Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 16 / dos 24M
25 Gás deal de Ferm em T = 0 K ˆN = 2 3 gvcε 3 /2 F U = 2 5 VgD(ε F )ε 2 F p F = 2mε F ( ) 6π 2 2/3 ε F = g n h 2 2m n = ( ˆN /V ) ( ) 6π 2 1/3 p F = g n h U P = 2 3 V = 2 5 nε F P = ( 6π 2 g n5 /2 ) 2/3 h 2 5m Importante: Mesmo em T = 0 K U 0 P 0 Gás deal Clássco e de Bósons P 0 para T 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 17 / dos 24M
26 Gás deal de Ferm em T = 0 K ˆN = 2 3 gvcε 3 /2 F U = 2 5 VgD(ε F )ε 2 F p F = 2mε F ( ) 6π 2 2/3 ε F = g n h 2 2m n = ( ˆN /V ) ( ) 6π 2 1/3 p F = g n h U P = 2 3 V = 2 5 nε F P = ( 6π 2 g n5 /2 ) 2/3 h 2 5m Importante: Mesmo em T = 0 K U 0 P 0 Gás deal Clássco e de Bósons P 0 para T 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 17 / dos 24M
27 Gás deal de Ferm em T = 0 K ˆN = 2 3 gvcε 3 /2 F U = 2 5 VgD(ε F )ε 2 F p F = 2mε F ( ) 6π 2 2/3 ε F = g n h 2 2m n = ( ˆN /V ) ( ) 6π 2 1/3 p F = g n h U P = 2 3 V = 2 5 nε F P = ( 6π 2 g n5 /2 ) 2/3 h 2 5m Importante: Mesmo em T = 0 K U 0 P 0 Gás deal Clássco e de Bósons P 0 para T 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 17 / dos 24M
28 Gás deal de Ferm em T = 0 K ˆN = 2 3 gvcε 3 /2 F U = 2 5 VgD(ε F )ε 2 F p F = 2mε F ( ) 6π 2 2/3 ε F = g n h 2 2m n = ( ˆN /V ) ( ) 6π 2 1/3 p F = g n h U P = 2 3 V = 2 5 nε F P = ( 6π 2 g n5 /2 ) 2/3 h 2 5m Importante: Mesmo em T = 0 K U 0 P 0 Gás deal Clássco e de Bósons P 0 para T 0 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 17 / dos 24M
29 Gás deal de Ferm em T = 0 K Temperatura de Ferm - T F ε F é utlzado como parâmetro de energa para Sst. Quântcos; T F = ε F/k B T T F : Lmte clássco (dstânca méda das partículas > λ T érmco ); T T F : Necessáro descrção quântca do sstema. Ex.: Elétrons de condução do Cu - Gás deal de elétrons T F K Temperatura Ambente! luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 18 / dos 24M
30 Gás deal de Ferm em T = 0 K Temperatura de Ferm - T F ε F é utlzado como parâmetro de energa para Sst. Quântcos; T F = ε F/k B T T F : Lmte clássco (dstânca méda das partículas > λ T érmco ); T T F : Necessáro descrção quântca do sstema. Ex.: Elétrons de condução do Cu - Gás deal de elétrons T F K Temperatura Ambente! luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 18 / dos 24M
31 Gás deal de Ferm em T T F Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 19 / dos 24M
32 Gás deal de Ferm em T T F Expansão de Sommerfeld U = gv εd(ε)f (ε)dε 0 ˆN = gv D(ε)f (ε)dε 0 Note que devemos resolver ntegras do tpo: S = 0 φ(ε)f (ε)dε, φ(ε) = Aεn ψ(ε) = ε 0 φ(ε )dε. S = 0 f (ε) =0 {}}{ S = φ(ε)f (ε)dε = ψ(ε)f (ε) 0 ψ(ε)f (ε)dε 0 0 [ ψ(ε)f (ε)dε = f (ε) 0 (ε µ)! ( d ) ] ψ dε dε ε=µ 1 S = f (ε)(ε µ) dε = 1 e x x 0 β β µ (e x + 1) 2 dx T > 0 εf = µ(t = 0) ε S = 1 β e x x (e x + 1) 2 dx + O(e βε F ) luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 20 / dos 24M
33 Gás deal de Ferm em T T F Expansão de Sommerfeld S mpar = 0 µ S = φ(ε)dε + π2 0 6β² ( dφ dε ) S 0 = 1 e S 2 = π2 3β ε=µ Forma assntótca [ ] U = gvc 2 5 µ 5 /2 + π2 4β2 µ 1 / ˆN 2 gvc = µ 3 /2 ˆN [ ] = gvc 2 3 µ 3 /2 + π2 12β2 µ 1 / [ ] [ ] 1 + π2 8β2 µ = ε 3 /2 F µ = ε F 1 π β2εF 2 Lmte de T 0 (β ) µ = ε F ˆN = 2 3 D(ε F )ε F U = 2 5 gvd(ε F )ε 2 F luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 21 / dos 24M
34 Gás deal de Ferm em T T F Expansão de Sommerfeld S mpar = 0 µ S = φ(ε)dε + π2 0 6β² ( dφ dε ) S 0 = 1 e S 2 = π2 3β ε=µ Forma assntótca [ ] U = gvc 2 5 µ 5 /2 + π2 4β2 µ 1 / ˆN 2 gvc = µ 3 /2 ˆN [ ] = gvc 2 3 µ 3 /2 + π2 12β2 µ 1 / [ ] [ ] 1 + π2 8β2 µ = ε 3 /2 F µ = ε F 1 π β2εF 2 Lmte de T 0 (β ) µ = ε F ˆN = 2 3 D(ε F )ε F U = 2 5 gvd(ε F )ε 2 F luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 21 / dos 24M
35 Gás deal de Ferm em T T F Expansão de Sommerfeld S mpar = 0 µ S = φ(ε)dε + π2 0 6β² ( dφ dε ) S 0 = 1 e S 2 = π2 3β ε=µ Forma assntótca [ ] U = gvc 2 5 µ 5 /2 + π2 4β2 µ 1 / ˆN 2 gvc = µ 3 /2 ˆN [ ] = gvc 2 3 µ 3 /2 + π2 12β2 µ 1 / [ ] [ ] 1 + π2 8β2 µ = ε 3 /2 F µ = ε F 1 π β2εF 2 Lmte de T 0 (β ) µ = ε F ˆN = 2 3 D(ε F )ε F U = 2 5 gvd(ε F )ε 2 F luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 21 / dos 24M
36 Utlzando a expressão de µ, obtemos U = 3 5 ˆN ε [ ] F 1 + 5π2 (k B T ) εF 2 Calor específco a volume constante - C V ( ) C V = U T = ˆN π2 k B V, ˆN 2 T T F +... Depende lnearmente de T para temperaturas baxas, e C V 0 para T = 0K; Resultado concorda com expermentos em metas a baxas temperaturas. Mas: Leva em conta somente a contrbução dos elétrons de condução (nteração Coulombana entre os elétrons e com fônons da rede contrbuem também); Modo aproxmado: C V / ˆN = c V = γt + δt 3 luno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 22 / dos 24M
37 Obrgado Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 23 / dos 24M
38 Referêncas L. E. Rechl (2004). A Modern Course n Statstcal Physcs 2nd Edton, Wley-VCH. M. Le Bellac, F. Mortessagne, G. G. Batroun (2006). Equlbrum and Non-Equlbrum Statstcal Thermodynamcs Cambrdge Unversty Press S. R. A. Salnas (2013). Introdução à Físca Estatístca. Segunda Edção, Edtora da Unversdade de São Paulo. Aluno: André Hernandes Alves Malavaz, (Insttuto Físca deatômca Físca dee São Molecular Carlos - IFSCDepartamento SFI5814-7/2 de Físca e Cênca 24 / dos 24M
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