Ofenômeno de quebra de simetria no modelo do oscilador anarmônico

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1 Ofenômeno de quebra de smetra no modelo do osclador anarmônco A.C.MastneeP.L.Natt Departamento de Matemátca Unversdade Estadual de Londrna Londrna, PR E. R. Takano Natt Pontfíca Unversdade Católca do Paraná Campus Londrna Londrna, PR (Recebdo: 6 de dezembro de 2002) Resumo: Neste artgo, descrevemos através de uma técnca não-perturbatva o problema de condção ncal, no contexto da Mecânca Quântca, de um sstema fermônco autonteragente fora do equlíbro na presença de um campo magnétco. Em partcular, no regme de campo médo, estudamos o fenômeno de quebra dnâmca de smetras neste sstema, dentfcando os processos físcos assocados. Palavras-chave: dnâmca efetva, quebra de smetra, osclador anarmônco fermônco Abstract: In ths artcle a non-perturbatve tme-dependent technque s used to treat the ntal value problem, n Quantum Mechancs context, for a non-equlbrum self-nteractng fermonc system n the presence of an external magnetc feld. Partcularly, n mean-feld regme, we study the dynamcal symmetry breakng phenomenon, dentfyng the physcal processes assocated. Key words: effectve dynamcs, symmetry breakng, fermonc anharmonc oscllator

2 152 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez Introdução As cêncas físcas baseam-se em modelos matemátcos usados na descrção dos fenômenos naturas. Na maora das vezes, esta descrção envolve equações dferencas que não podem ser resolvdas analtcamente, sto é, não épossível encontrar soluções para estas equaçõesemtermosdefunções matemátcas fundamentas. Normalmente, a descrção de sstemas físcos envolve um número grande de equações acopladas que devem ser resolvdas smultaneamente. Nestas stuações, há duaspossíves abordagens. A prmera consste em resolver o problema de forma numérca, através de cálculos aproxmados realzados em computadores; a segunda, em resolver o problema estudando algum lmte partcular de nteresse físco do sstema, lmte em que o sstema tem um comportamento smplfcado e, conseqüentemente, é descrto por equações dferencas que podem ser resolvdas analtcamente. Estamos nteressados em procedmentos matemátcos que permtam descrever o comportamento de sstemas físcos utlzando a segunda abordagem. Éconvenente lembrar que ambas as abordagens são complementares, pos, enquanto a abordagem numérca permte descrever a evolução do sstema numa grande varedade de regmes, a abordagem analítca smplfcada das equações, que descreve o sstema num dado regme partcular, permte nterpretações que o cálculo numérco não pode fornecer, como veremos neste trabalho. Abordagens analítcas smplfcadas podem ser classfcadas em perturbatvas e não-perturbatvas. As abordagens perturbatvas, também chamadas aproxmações perturbatvas, caracterzam-se por resolverem as equações que descrevem a evolução de sstemas físcos num lmte em que um parâmetro físco, que caracterza o sstema, tende a zero, como, por exemplo, a ntensdade da nteração entre os consttuntes do sstema (constante de acoplamento). Por outro lado, para sstemas de mutos corpos fortemente acoplados, a descrção perturbatva em termos da constante de acoplamento não é adequada. Em termos geras, os métodos não-perturbatvos aplcados a tas sstemas consstem em buscar uma descrção quântca completa e fechada, mas apenas de uma parte do sstema completo. O ntuto desta abordagem consste em smplfcar a descrção do sstema e, com sto, permtr um tratamento analítco do mesmo. Esta técnca teve orgem em problemas onde o sstema de nteresse físco estava em contato com reservatóros térmcos ou anda em problemas onde tãosomente os elementos dagonas do operador matrz densdade completa do sstema eram mportantes. Nestes problemas, os graus de lberdade do reservatóro ou da parte não-dagonal do operador matrz densdade eram consderados rrelevantes e formalmente elmnados através de um operador de projeção. Entretanto, para sstemas de mutos corpos fortemente acoplados, éconvenente ter uma descrção onde cada parte do sstema é consderada relevante. Para tas sstemas, Wlls e Pcard [1] desenvolveram uma técnca não-pertubatva de projeção onde os graus de lberdade a serem elmnados eram as correlações (nterações de 2 corpos, 3 corpos,..., n corpos), de modo que esta abordagem éequvalenteàs aproxmaçõesdotpocampomédo ou do tpo Hartree-Fock para sstemas de mutos

3 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 153 corpos. O foco deste trabalho é utlzar esta técnca para estudar o fenômeno de quebra de smetra, geralmente assocado a processos físcosdotpotransções de fase, em um sstema de férmons autonteragentes na presença de um campo magnétco externo constante. Na seção 2, fazemos uma revsão das propredades físcas de um sstema descrto pelo modelo do Osclador Anarmônco Fermônco napresença de um campo Magnétco (MFAO). Na seção 3, realzando uma transformação do tpo BCS [2] e, utlzando a técnca de Wlls e Pcard [1], adaptada a sstemas de mutos férmons por Toledo Pza e Nemes [3], obtêm-se as equações dferencas que descrevem a dnâmca efetva do sstema. Na seção 4, dscutmos as smetras do sstema. Através de transformações partculares do tpo BCS, quebramos separadamente estas smetras, dentfcando os processos físcos assocados. Fnalmente, na seção 5, renterpretamos a dnâmca de campo médo de nosso sstema e apresentamosasconclusões deste trabalho. 2 Propredades físcas do sstema Métodos aproxmatvos para tratar problemas de condções ncasemteoras quântcas são essencas, já que o tratamento exato destes problemas raramente é possível, exceto va métodos numércos [4]. O MFAO éummodeloexatamente solúvel quepodeserutlzadoemváros campos da Físca, além de ser sufcentementesmples,oquefazdeleumlaboratóro deal para o estudo de novas técncas emétodos da Físca-Matemátca. Começamos a seção descrevendo as prncpas característcas do modelo. A hamltonana do osclador anarmônco fermônco, na presença de um campo magnétco externo constante de ntensdade B, édadapor ³ ³ ³ H = h ω a 1 a 1 + a 2 a 2 + U a 1 a 1a 2 a 2 + g B B a 1 a 1 a 2 a 2 (1) onde a e a são, respectvamente, operadores fermôncos de spn 1/2 de cração eanqulação, que satsfazem as relações usuas de antcomutação, enquanto índces = 1, 2 representam, respectvamente, as possíves projeções de spns e. O parâmetro U representa uma nteração repulsva entre os elétrons do sstema e g B é a ntensdade de acoplamento do momento magnétco ntrínseco (spn) dos férmons com o campo magnétco externo B. O nome do modelo derva de uma analoga com omodelodooscladoranarmônco bosônco. Com o objetvo de melhor compreender a físca descrta pelo modelo, estudemos os seus possíves autoestados e respectvos autovalores. Sendo 0 ovácuo do sstema, segue-se que h ³ ³ ³ H 0 = h ω a 1 a 1 + a 2 a 2 + U a 1 a 1a 2 a 2 + g B B a 1 a 1 a 2 a 2 0 =0 0 (2) Logo, o estado fundamental do sstema (vácuo) tem autovalor de energa assocado nulo. Os demas autoestados da hamltonana são

4 154 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez 2002 H ³a 1 0 H ³a 2 0 H ³a 1 a 2 0 =[ hω + g B B] ³a 1 0 =[ hω g B B] ³a 2 0 =[2 hω + U] ³a 1 a 2 0 (3) (4) (5) Observe-se que estes sãotodosospossíves autoestados da hamltonana (1). Para justfcar este fato, notamos que H Ôa 0 =0 0, ondeô éumoperador qualquer, Ha a ja j 0 = Ha 0 e Ha 1 a 2 a ja j 0 = Ha 1 a 2 0, demodoque recaímos nos estados ctados acma. Portanto, consstentemente com o Prncípo de Paul que proíbe a exstênca de férmons dêntcos no mesmo estado quântco, nosso sstema tem quatro estados (autoestados) que correspondem às seguntes confgurações: ) 0, estado este que chamamos de vácuo, o qual não contém nenhum férmon; ) ³a 2 0 estado contendo um férmon com spn ; ) ³a 1 0 estado contendo um férmon com spn e v) ³a 1 a 2 0 estado contendo dos férmon com spns opostos (emparelhados). Observe-se também que a presença do campo magnétco B elmna a degenerescênca de energa dos estados ³a 1 0 e ³a 2 0,não afetando os estados 0 e ³a 1 a 2 0, pos estes últmos têm momento magnétco nulo. Segue-se que o estado ncal mas geral da hamltonana (1), que contém todos possíves autoestados dados em (2-5), édadopor Ψ = 1 ³ρ ˆ1+β a 1 + α a 2 + τ a 1 a 2 0 (6) N onde ρ, β, α e τ são números complexos e N = ρ 2 + β 2 + α 2 + τ 2 éaconstantede normalzação do estado. É convenente notar que este estado não tem um número defndo de férmons com spn e, sendo, portanto, chamado de estado de mstura. Como conseqüênca das consderações acma, ao contráro do Osclador Anarmônco Bosônco, que apresenta somente soluções aproxmadas (espectro de energa e estados assocados) [5], o Osclador Anarmônco Fermônco permte obter soluções exatas, as quas descrevem a nteração, em um únco síto, de dos férmos dêntcos quando sujetos a um potencal anarmônco e a um campo magnétco externo. Fnalmente, convém salentar que o modelo MFAO éumaversão smplfcada dos modelos de Hubbard e de Isng [6], freqüentemente aplcados à descrção de fenômenos da Físca do Estado Sóldo, quando reduzdos à dmensão espacal zero (um únco síto ou orbtal), de modo que somente os graus de lberdade nternos são consderados. Mas detalhes a respeto das aplcações físcas do MFAO podem ser encontradas nas referêncas [7] e [8].

5 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 155 Na próxma seção, através de uma transformação do tpo BCS [2], obteremos a dnâmca efetva na aproxmação de campo médo para um sstema dscreto de férmons descrtos pelo MFAO. 3 Dnâmca efetva do MFAO A hamltonana (1) é descrta em termos dos operadores fermôncos a e a de spn 1/2, que formam uma base conhecda como base de partículas. Realzando uma mudança de base, através de uma transformação do tpo BCS, geramos uma dnâmca efetva, a qual mnmza, va um prncípo varaconal embutdo na equação de Hesenberg, a evolução temporal dos observáves de nosso sstema [9]. Consderamos a transformação defnda por λ (t) =X j ou, numa forma mas explícta, hω j (t) a j + z j(t) a j (7) λ 1 (t) ω11 (t) ω 21 (t) z 11 (t) z 21 (t) a 1 (t) λ 2 (t) ω 12 λ 1 (t) = (t) ω 22 (t) z 12 (t) z 22 (t) a 2 (t) z 11 (t) z 21 (t) ω 11 (t) ω 21 (t) a 1 (t) λ 2 (t) z 12 (t) z 22 (t) ω 12 (t) ω 22 (t) a 2 (t) onde defnmosasmatrzesω 2 e Z 2 como Ω 2 = ω 11(t) ω 12 (t) e Z 2 = z 11(t) z 12 (t) ω 21 (t) ω 22 (t) z 21 (t) z 22 (t) (8) (9) Impondo que a transformação (8) deva ser untára, de modo que os operadores de campo λ (t) eλ (t), para =1, 2, obedeçam as mesmas regras de antcomutação de a (t) ea (t) a tempos guas, verfcamos que as matrzes Ω 2 e Z 2, dadas em (9), necesstam de apenas quatro parâmetros reas ndependentes para satsfazer as condções de untaredade [9]. Portanto, em termos dos parâmetros reas θ, ϕ, γ e ξ, construmos Ω 2 e Z 2 como [10] Ω 2 = Z 2 = cos γ(t) cos ξ(t) exp [ ϕ(t)] sn γ(t) cos ξ(t) exp [ ϕ(t)] sn γ(t) cosξ(t) cos γ(t) cosξ(t) exp [ θ(t)] sn γ(t) sn ξ(t) (10) exp( [θ(t) ϕ(t)])cos γ(t)snξ(t) exp ([θ(t) ϕ(t)]) cos γ(t) snξ(t) exp([θ(t) 2ϕ(t)]) sn γ(t) snξ(t)

6 156 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez 2002 Convém salentar que a transformação (8) não é únca. Poderíamos, por exemplo, ter utlzado funções do tpo hperbólcas, desde que as condções de untaredade fossem satsfetas. No formalsmo de Wlls e Pcard, as equações de evolução temporal dos observáves de um sstema fermônco na aproxmação de campo médo, em termos dos parâmetros acma defndos, são [3] P 2 +[P 2, Ω 2 Ω 2 + Ż 2 Z 2] = Tr ³[λ λ j,h]f 0 {P 2, Ω 2 Z 2 + Ż 2 Ω 2} + ( Ω 2 Z 2 + Ż 2 Ω 2) = Tr([λ λ j,h]f 0 ) (11) onde a hamltonana H do MFAO deve ser escrta na base de quase-partículas, utlzando (8) e (10); F 0 éamatrzdensdadedecampomédo [11] e P 2 éamatrz de ocupação de quase-partículas, dada por P 2 = hλ (t)λ j(t) = p 1(t) 0 (12) 0 p 2 (t) Calculando os traços das equações de movmento (11), obtemos [9,10] ṗ 1 =0 e ṗ 2 = 0 (13) ndcando que as ocupações das quase-partículas (orbtas naturas) são ndependentes do tempo, como esperado na aproxmação de campo médo [3], e g B B (p 2 p 1 )exp( ϕ) sn(2γ) = (p 2 p 1 ) exp ( ϕ) snγ cos ξ d {cos γ cos ξ} d +cosγ cos ξ {exp ( ϕ) snγ cos ξ} (14) +exp[ (θ ϕ)] cos γ sn ξ d {exp ( θ) snγ sn ξ} exp [ (θ 2ϕ)] sn γ sn ξ d {exp [ (θ ϕ)] cos γ sn ξ} 1 2 (1 p 1 p 2 )(2 h ω + U) exp[ (θ ϕ)] sn (2 ξ) = (1 p 1 p 2 ) exp ( ϕ) snγ cos ξ cos γ cos ξ d {exp ( θ) snγ sn ξ} d {exp [ (θ ϕ)] cos γ sn ξ} (15) d +exp[ (θ ϕ)] cos γ sn ξ { cos γ cos ξ} +exp[ (θ 2ϕ)] sn γ sn ξ d {exp ( ϕ) snγ cos ξ}

7 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 157 Resolvendo as dervadas temporas em (14) e (15) e separando as partes real e magnára, obtemos as demas equações dferencas que descrevem a dnâmca efetva de campo médo de nosso sstema, ou seja, γ = 0 ξ = 0 ϕ = 2 g B B (16) θ = 2 g B B +2 h ω + U Na próxma seção remos nterpretar os resultados acma obtdos, estudando o fenômeno de quebra de smetra neste sstema. 4 Quebras de smetras do sstema Para nterpretar os resultados obtdos na seção precedente, ncalmente remos dentfcar os processos físcos presentes na transformação BCS que geram as equações dnâmcas (16). Estudaremos separadamente estes processos de quebra de smetras, nterpretando-os. Prmeramente, consderemos a transformação BCS partcular, que é mplementada quando mpomos que ϕ =0 e γ = 0 (17) na transformação BCS geral (8-10). As matrzes Ω 2 e Z 2 escrevem-se agora como Ω 2 = Z 2 = cos ξ 0 0 cosξ 0 exp( θ) snξ exp ( θ) snξ 0 de modo que os operadores de cração e anqulação, na base de partículas e na base de quase-partículas, relaconam-se da segunte forma (18) λ 1 = λ 2 = λ 1 = λ 2 = h cos ξ a 1 +exp( θ) snξ a 2 h exp ( θ) snξ a 1 +cosξ a 2 h cos ξ a 1 +exp( θ) snξ a 2 h exp ( θ) snξ a 1 +cosξ a 2 (19) Com o objetvo de dentfcar as smetras quebradas devdo à transformação (17-19), verfcamos que o operador que conta o número de partículas com spn para cma na nova base, escreve-se, na base de partículas, como

8 158 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez 2002 λ 1 λ 1 = (cosξ) 2 a 1 a 1 +(snξ) 2 a 2 a 2 + exp ( θ) snξ cos ξ a 1 a 2 +exp( θ) snξ cos ξ a 2a 1 (20) Notamos que a smetra de número de partículas não é conservada, o que pode ser medatamente observado nos tercero e quarto termos do lado dreto da equação (20), onde são, respectvamente, cradaseanquladasduaspartículas. Por outro lado, a smetra de spn permanece ntacta, pos todos os termos da equação (20) têm spn nulo, consstentemente com o fato da parametrzação (19) conservar spn. Observando a estrutura das matrzes Ω 2 e Z 2, assocamos a transformação (17-19) a uma quebra da smetra de rotação em SU(2), do tpo emparelhamento, em nosso sstema [9, 12]. Calculando as equações dferencas (11) com a parametrzação (18), obtemos adnâmca efetva em campo médo do sstema devdo à quebra de smetra de emparelhamento, ou seja, ξ = 0 θ = 2 h ω + U (21) onde notamos a presença do parâmetro U da hamltonana (1), responsável pela ntensdade da autonteração (emparelhamento) entre os férmons. O método utlzado acma para a obtenção das equações dnâmcas (21) étambém chamado de aproxmação do tpo Bogolubov [2]. Fazemos, agora, uma segunda parametrzação partcular, mpondo ξ =0 e θ = 0 (22) na transformação geral (8-10). Neste caso temos as seguntes formas para as matrzes Ω 2 e Z 2 cos γ exp ( ϕ) snγ Ω 2 = exp ( ϕ) snγ cos γ Z 2 = de modo que os operadores de cração e anqulação relaconam-se como (23) h λ 1 = cos γ a 1 +exp( ϕ) snγ a 2 h λ 2 = exp ( ϕ) snγ a 1 +cosγ a 2 λ 1 = [cosγ a 1 +exp( ϕ) snγ a 2 ] (24) λ 2 = [ exp ( ϕ) snγ a 1 +cosγ a 2 ]

9 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 159 Reescrevendo, a partr de (24), o operador que conta o número de partículas com spn para cma na nova base, λ 1 λ 1 = (cosγ) 2 a 1 a 1 +(snγ) 2 a 2 a 2 +exp( ϕ) snγ cos γ a 1 a 2 +exp( ϕ) snγ cos γ a 2 a 1 (25) verfcamos medatamente que o número de partículas é conservado, consstentemente com o fato da parametrzação (24) não msturar operadores de cração com operadores de anqulação. Por outro lado, a smetra de spn não é conservada, pos o tercero e quarto termos da equação (25) têm spns +1 e 1, respectvamente. Observando Ω 2 e Z 2, assocamos a transformação (22-24) a uma quebra da smetra de rotação em SU(2), no número de spn, em nosso sstema [9, 12]. Enfm, calculando, neste caso, as equações dferencas (11), obtemos a dnâmca efetva em campo médo do sstema devdo àquebradesmetranonúmero de spn, ou seja, γ = 0 ϕ = 2 g B B (26) onde notamos que a autonteração (emparelhamento) entre os férmons do sstema, caracterzada pelo parâmetro U da hamltonana (1), não está presente nas equações dnâmcas (26), consstentemente com o fato de a smetra de número de partículas permanecer ntacta. O método utlzado acma para a obtenção das equações dnâmcas (26) étambém chamado de aproxmação do tpo Hartree-Fock [2]. Restam, anda, quatro outras possíves transformações partculares do tpo BCS que podem ser mplementadas a partr da transformação geral (8-10), ou seja, quando ξ =0 e γ = 0; quando ξ =0e ϕ = 0; quando ϕ =0eθ =0, e quando θ = 0eγ = 0. Verfquemos se exstem outros processos físcos (quebra de smetras) assocados a estas transformações. Consderamos prmeramente a parametrzação mplementada quando mpomos ξ =0 e γ = 0 (27) na transformação geral (8-10). As matrzes Ω 2 e Z 2 adqurem a segunte estrutura Ω 2 = 1 0 e Z 2 = 0 0 (28) mplcando numa transformação dentdade. Neste caso, como não ocorre quebra de smetra, não há umadnâmca efetva assocada (gerada). Consderemos, a segur, a transformação partcular BCS mplementada quando Neste caso, as matrzes Ω 2 e Z 2 são dadas por ξ =0 e ϕ = 0 (29)

10 160 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez 2002 Ω 2 = cos γ sn γ sn γ cos γ e Z 2 = 0 0 (30) 0 0 Observe-se que a transformação (30) é real (ortogonal) e que o parâmetro θ,devdo à estrutura escolhda para a transformação BCS geral (8-10), torna-se arbtráro. Calculando as equações dnâmcas (11) com esta parametrzação, obtemos ou anda, γ =0 e sn2γ = 0 (31) γ = k π 2 para k =0, ±1, ±2,... com θ arbtráro (32) Substtundo (32) em (30), notamos que a transformação (29-30), dadas as condções ncas para γ e θ, é dentdade, de modo que novamente não há uma dnâmca efetva (evolução temporal) gerada. Tal stuação estátca, consstente com o fato de a transformação ser ortogonal, corresponde smplesmente a uma troca de rótulos de operadores, dada pelas equações (30-32), não havendo quebra de smetra assocada. Analogamente, a transformação BCS, mplementada quando ϕ =0 e θ = 0 (33) gera, a partr de (11), equações estátcas para os parâmetros γ e ξ, ouseja, cujas soluções são γ = 0 e sn2 γ =0 ξ = 0 e sn2 ξ = 0 (34) γ = k π 2 ξ = k π 2 com k =0, ± 1, ± 2,... com k =0, ± 1, ± 2,... (35) não havendo, portanto, fenômeno de quebra de smetra assocado. Enfm, resta-nos estudar a transformação gerada quando tomamos γ =0 e θ = 0 (36) em (8-10). Neste caso, as matrzes Ω 2 e Z 2 adqurem a segunte estrutura Ω 2 = cos ξ 0 0 cosξ e Z 2 = 0 exp( ϕ) snξ (37) exp ( ϕ) snξ 0

11 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 161 Calculando as equações dferencas (11) com a parametrzação (36-37), obtemos as equações dnâmcas ξ = 0 ϕ = 2 h ω + B (38) as quas são dêntcas àquelas da prmera parametrzação, exceto por uma troca de rótulo, ou seja, neste caso, o parâmetro ϕ desempenha o mesmo papel que o parâmetro θ desempenhava em (21). Tal afrmação pode ser comprovada observandose as estruturas das matrzes Ω 2 e Z 2, dadas em (18) e em (37). Portanto, podemos conclur que esta transformação também está assocada à quebra de smetra de número de partículas. Assm, verfcamos que o fenômeno de quebra de smetras de número de partículas (férmons)e de número de spns, mplementadas através da transformação do tpo BCS (8-10), são responsáves pela dnâmca efetva (16) gerada em nosso sstema. 5 Renterpretação da dnâmca efetva de campo médo Começamos redscutndo a nterpretação dada por Thomaz e Toledo Pza [10] para a dnâmca efetva do MFAO. Uma Hamltonana efetva clássca H ef,quegera adnâmca de campo médo das varáves γ, ξ, ϕ e θ, dada em (16), satsfaz, por exemplo, as equações ϕ = 2 g B B = γ H ef (γ, ξ, ϕ, θ) γ = 0 = ϕ H ef (γ, ξ, ϕ, θ) θ = 2 g B B +2 h ω + U = ξ H ef (γ, ξ, ϕ, θ) (39) ξ = 0 = θ H ef (γ, ξ, ϕ, θ) Integrando as equações acma, obtemos de medato que esta Hamltonana efetva clássca é dada por H ef =(2g B B +2 h ω + U ) ξ +(2g B B ) γ (40) Para nterpretar a físca assocada à hamltonana acma, devemos notar que, devdo à escolha da estrutura (39), os parâmetros ϕ e θ correspondem a coordenadas generalzadas, enquanto γ e ξ correspondem a momentos generalzados. Notando que a hamltonana (40) éfunção apenas dos parâmetros γ e ξ,equeosmesmos aparecem acoplados ao campo magnétco B, concluímos que γ e ξ podem ser assocados a momentos magnétcos (spns). Para melhor justfcar a nterpretação acma, defnmosasquantdades

12 162 Revsta Cêncas Exatas e Naturas, Vol. 4, n o 2, Jul/Dez 2002 j 1 (t) = cosγ(t) α 1 (t) = θ(t) j 2 (t) = cosξ(t) (41) α 2 = ϕ(t) onde os momentos j 1 e j 2 são conjugados aos ângulos θ e ϕ, respectvamente. Observe-se que a hamltonana H ef (α 1, α 2,j 1,j 2 )=(2g B B +2 h ω + U ) j 1 +(2g B B ) j 2 (42) tem as mesmas equações de movmento (39). Neste sentdo, dzemos que as hamltonanas dadas em (40) e (42) são matematcamente equvalentes. A partr de (42), verfcamos que, dadas as condções ncas para γ e ξ, segue-se que os momentos j 1 e j 2 são constantes, pos γ = ξ = 0, assumndo valores tas que 1 j 1 +1 e 1 j 2 +1 (43) Assm, a hamltonana (42), dada em termos de varáves ângulo-ação, descreve o movmento angular de precessão de duas partículas clásscas ndependentes (sem autonteração), com momentos magnétcos untáros ~j 1 e ~j 2, na presença de um campo magnétco externo ~B. Nesta descrção, as varávesdotpoação j 1 e j 2, assocadas aos ângulos α 1 (t) =θ(t) eα 2 = ϕ(t), respectvamente, representam as projeções constantes dos momentos angulares de precessão ~j 1 e ~j 2 na dreção do campo magnétco externo. Conseqüentemente, θ(t) eϕ(t) são os ângulos longtudnas da precessão de ~j 1 e ~j 2, enquanto as varáves angulares γ e ξ são as colattudes entre o campo magnétco externo B ~ constante e os momentos angulares de precessão ~j 1 e ~j 2, respectvamente. Portanto, concluímos que a dnâmca efetva de campo médo de um sstema quântco fermônco autonteragente de spn 1/2 descrto pelo MFAO, quando sujeto a quebras de smetras de número e spn, é matematcamente dêntca àdnâmca de um sstema clássco de dos momentos angulares untáros e ndependentes, em presença de um campo magnétco externo constante [10]. Em resumo, va um prncípo varaconal embutdo na equação de Hesenberg, obtvemos a dnâmca efetva (16) para um sstema quântco fermônco de spn 1/2, descrto pela hamltonana do MFAO (1). Tal procedmento fo realzado na aproxmação de campo médo, equvalente àaproxmação de Hartree-Fock-Bogolubov dependente do tempo (TDHFB), onde a varação dos parâmetros da transformação BCS (8-10) geraram a dnâmca efetva obtda. Verfcamos, na seção 4, que os fenômenos físcos que geraram esta dnâmca efetva estão assocados às quebras de smetras de número de partículas (férmons) edenúmero de spns. Enfm, salentamosquefodevdoaofatodetermosrealzadoumtratamentoanalítco para nosso sstema, que, na seção 5, fo possível obter uma equvalênca matemátca entre nosso sstema quântco e um sstema clássco. Tas equvalêncas são desejáves, uma vez que permtem melhor compreensão de processos físcosemsstemasquântcos.

13 A. C. Mastne, P. L. Natt e E. R. Takano Natt 163 Referêncas [1] C. Wlls e R. Pcard, Physcal Revew v. A9, p. 1343, [2]P.RngeP.Schuck,The Nuclear Many-Body Problem, NewYork:Sprnger- Verlag Inc., [3]M.C.NemeseA.F.R.deToledoPza,Physca v. 137A, p. 367, 1986; A. F. R. de Toledo Pza, Dnâmca Efetva de Subsstemas e a Teora de Mutos Corpos, Curso da I Escola de de Pós-Graduação de Físca do Nordeste. João Pessoa, [4]E.R.TakanoNatteA.F.R.deToledoPza,Physca v. A 236, p. 321, [5] J. J. Sakura, Modern Quantum Mechancs. Calforna: The Benjamn/Cummngs Publshng Company Inc [6]S.R.A.Salnas,Introdução àfísca Estatístca, São Paulo: Eora da Unversdade de São Paulo, [7]S.M.deSouza,S.M.deOlveraeM.T.Thomaz,Amercan Journal of Physcs, v. 60, p. 1122, [8]M.C.D.Barrozo,M.T.ThomazeA.F.R.deToledoPza,Amercan Journal of Physcs, v. 63, p. 463, [9]A.C.Mastne,Dnâmca de campo médo de um sstema fermônco descrto pelo osclador anharmônco napresença de campo magnétco. Dssertação de Mestrado, Unversdade Estadual de Londrna, [10] M. T. Thomaz e A. F. R. de Toledo Pza, Physca, v. A218, p [11] J. des Closeaux, Problème àncorps, École d été dephysquethéorque. Les Houches: Gordon and Breach, [12] L. H. Ryder, Quantum Feld Theory, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press, 1985.