Anomalia axial na amplitude AVV em dimensão D=1+1

Transcrição

1 Dssertação de Mestrado Anomala axal na ampltude AVV em dmensão D=+ Danel Santos Souza

2 Agradecmentos A todos os meus famlares, em especal aos meus pas Mlton e Rosel que torceram por mm ao longo desta camnhada. A mnha el companhera, Marna Wlm, pela pacênca, ajuda e motvação, prncpalmente nas horas mas dfíces. Ao meu orentador Prof. Ormar Antôno Battstel pela ajuda, pacênca e companhersmo desde o tempo da mnha graduação. Aos professores, José A.Helayël-Neto pela oportundade de trabalhar no grupo e pelos ensnamentos e ao professor Glson Dallabona pela grande contrbução à tese. Aos meus amgos, que sempre torceram por mm, em especal ao meu colega e amgo Marcus que contrbuu de forma sgn catva na realzação desta tese. A CAPES pelo nancamento do meu mestrado e ao CBPF.

3 Resumo O estudo de teoras quântcas de campos em baxa dmensonaldade tornou-se objeto de nteresse, ao longo do tempo, devdo a sua relatva smplcdade, no que dz respeto às manpulações e cálculos, sendo assm possível contemplar de manera mas clara os aspectos matemátcos e formas envolvdos. Um desses aspectos, o qual é explorado neste estudo, é a ocorrênca de anomalas, assocadas às relações de smetra a qual envolvem ampltudes perturbatvas em duas dmensões (D=+). Para tanto é necessáro ter em mãos uma prescrção capaz de ser consstente e ao mesmo tempo geral, no que dz respeto às manpulações e cálculos. Tendo sso em mente, consderemos neste trabalho uma nova estratéga para manpulação de ampltudes em soluções perturbatvas de Teora Quântcas de Campos formuladas em (D=+) ao nível de um e dos e três loops, tendo em vsta a não exstênca de restrção de aplcabldade e sucesso obtdo com este método em outros estudos.

4 Abstract The study of theores of quantum elds n low dmensonalty has become the object of nterest, over tme, due to ts relatve smplcty, as regards manpulatons and calculatons, thus possble to contemplate a clearer and formal mathematcal aspects nvolved. One of these aspects, whch are explored n ths paper, s the occurrence of anomales, assocated wth the relatons of symmetry whch nvolve perturbatves ampltudes n two-dmensonal (D). For that you need to get a prescrpton able to be consstent, whle general, wth regard to mathematcal manpulaton. Wth that n mnd, consder ths study a new strategy for handlng of ampltudes n solutons perturbatves of Quantum Feld Theory formulated n D, to the level of one, two and three "loops" n vew of the lack of restrcton on applcablty and success wth ths method n other studes.

5 Sumáro Agradecmentos Resumo Abstract Sumáro v Introdução Geral Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green 7. Introdução Ampltudes trangulares Relações entre Funções de Green A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman 9 3. Integras de Feynman Cálculo das ntegras de Feynman v

6 Sumáro 4 Ampltudes Físcas 3 4. Cálculo das Funções de Green de Um Ponto Cálculo das Funções de Green de dos Pontos Cálculo das Funções de Green de Três Pontos Consstênca no cálculo perturbatvo bdmensonal e anomala AV 4 5. Introdução A ampltude VV e a consstênca no cálculo perturbatvo A ampltude anômala AV Ver cação das relações entre funções de Green para a ampltude AVV 50 6 Comentáros nas e conclusões 60 A Álgebra das matrzes de Drac 64 B Parametrzação de Feynman 68 C Integração Dmensonal 7 Bblografa 80 v

7 Capítulo Introdução Geral A Teora Quântca de Campos (T QC) é, sem dúvda, uma ferramenta muto mportante para a compreensão e entendmento dos fenômenos envolvendo partículas. Ao longo do tempo, esse aparato teórco tem obtdo muto sucesso na descrção dos fenômenos envolvendo a dnâmca de partículas nteragentes, bem como servdo de base para a cração e elaboração de novas teoras. A mportânca da TQC não se restrnge à físca de altas energas. Atualmente, mportantes aspectos de outras áreas da físca como, por exemplo, a físca da matéra condensada (fenômenos crítcos, físca do grafeno), vale-se dos métodos da TQC, o que torna anda mas evdente a relevânca dela para o entendmento dos fenômenos ao nível quântco. Exstem, entretanto, questões em aberto no que se refere aos fenômenos das partículas nteragentes, tanto teórcas quanto expermentas. Como tal, questões relatvas ao setor de Hggs no modelo Wenberg-Salam-Glashow, o con namento de quarks e glúons, descrto pela Cromodnâmca Quântca e as nevtáves volações em relações de smetra em ampltudes físcas (anomalas). Tas problemas não nvaldam

8 Capítulo. Introdução Geral a TQC como formalsmo, uma vez que é neste cenáro que as melhores concordâncas entre resultados expermentas e predções teórcas são obtdas. Mas precsamente, nos refermos ao contexto da teora quântca do campo eletromagnétco (ou eletrodnâmca quântca). Portanto, esse aparato é uma ferramenta essencal para a compreensão de tas fenômenos, mesmo que anda exstam aspectos merecendo esclarecmentos adconas. Entre os aspectos acma referdos, um aspecto que se destaca é a questão das nevtáves volações de relações de smetra. Isto porque as smetras desempenham um papel crucal no contexto de TQC. As propredades mportantes de sstemas físcos são mplementadas através de nvarâncas frente às transformações de gauge locas e globas, partcularmente na dnâmca das partículas elementares. Deste modo, o surgmento de volações de smetras, as anomalas, podem levar a nconsstêncas na nterpretação das própras teoras quântcas de campos de gauge []. As relações de smetra às quas nos refermos, ou Identdades de Ward (IW), podem ser vstas como consequêncas da versão quântca do teorema de Noether, que mplementam nformações a respeto de quantdades conservadas. Logo, sera em prncípo esperado que smetras mplementadas na construção da teora estvessem necessaramente presentes nas respectvas soluções através das quas as consequêncas de tas smetras podem ser aprecadas. A manutenção de tas smetras nas soluções perturbatvas está dretamente lgada à renormalzabldade de uma teora. A exstênca de nevtáves volações em IW obrga à construção de procedmentos adconas a m de que tas teoras possam ser renormalzáves, podendo assm, descrever de manera consstente, a dnâmca de partículas nteragentes. Tal procedmento é conhecdo na lteratura como cancelamento de anomalas e desempenha um papel crucal na formulação do Modelo Padrão. A lteratura a respeto de anomalas é bastante vasta [] e surgu [3] logo após a formulação moderna de TQC em 949[8] ganhando um foco especal a partr dos

9 Capítulo. Introdução Geral trabalhos de Adler [5] e Jackw [6], sendo anda hoje motvo de dscussões. Dferentes formulações de anomalas são atualmente dsponíves na lteratura [7]. Apesar dsso, exstem aspectos relaconados às anomalas que permanecem sem esclarecmento adequado, como por exemplo, a exstênca ou não de anomalas em ampltudes perturbatvas ntas. É bem conhecdo que exstem ampltudes anômalas em cada dmensão par do espaço-tempo. Estas ampltudes perturbatvas são tensores antsmétrcos construídos com o menor número possível de propagadores fermôncos nternos. Invaravelmente, são quantdades cuja contagem de potêncas revela caráter super calmente dvergente. Em dmensão D = +, a ampltude anômala é a axal-vetor vetor (AV ) com grau super cal de dvergênca logarítmco. Em dmensão D = 3 +, são as ampltudes trangulares AV V e AAA, com grau super cal de dvergênca lnear. Em dmensão D = 5 + são os boxes AV V V e AAAV com grau super cal de dvergênca quadrátco e assm sucessvamente. Para estes tensores, é possível estabelecer de modo claro D + propredades de smetra, sendo D dentdades de Ward e um lmte de baxa energa. Assumndo a forma mas geral possível para tas tensores, é possível ver car que tas propredades de smetra não poderão estar smultaneamente presentes nas respectvas ampltudes ndependentemente da teora especí ca e do tpo de solução obtda (exata ou perturbatva). Ou seja, não é possível evtar que pelo menos uma das esperadas propredades de smetra seja volada. Pode ser mostrado, para as ampltudes anômalas ctadas acma, de que a dentdade de ward volada é aquela correspondente à corrente axal assocada ao vértce no qual é exgda a satsfação do lmte de baxa energa. Uma vez que sto é nevtável, poderíamos, em prncípo, escolher qual propredade de smetra volar e assm escolher manter as dentdades de Ward satsfetas. Entretanto, o lmte de baxa energa da ampltude AV V em dmensão D = 3 + está relaconado a um mportante expermento; o decamento eletromagnétco do píon 3

10 Capítulo. Introdução Geral neutro (P V V ). Assm, uma teora volando o teorema de baxa energa falhara ao descrever a fenomenologa e não sera acetável. É necessáro, portanto, que a teora tenha volação em alguma dentdade de Ward. Com sso perde-se a renormalzabldade em uma teora contendo uma únca espéce fermônca. A recuperação da renormalzabldade ocorre com o cancelamento das volações vndas de dferentes setores fermôncos, o cancelamento de anomalas. O aspecto de nteresse no presente trabalho está relaconado à descrção perturbatva das anomalas ou mas espec camente a assocação das volações de smetra com o caráter ambíguo das ampltudes correspondentes. Devdo ao caráter dvergente, a ampltude em prncípo depende da escolha para os rótulos dos momentos das lnhas nternas da ampltude. Sendo assm, dferentes escolhas levam a ampltudes dferndo por um termo arbtráro. Uma vez que se deseja satsfazer o lmte de baxa energa, basta então escolher adequadamente o termo ambíguo para se obter a forma desejada da ampltude AV V ; satsfazendo o lmte de baxa energa e à manutenção das dentdades vetoras. Este procedmento pode ser encontrado na maora dos lvros texto de T QC. Embora sto permta a obtenção da forma desejada para a ampltude AV V, a acetação do caráter ambíguo das ampltudes perturbatvas em T QC tem mplcações ndesejáves. Prmero porque estaremos acetando que a teora não possu poder de predção já que, com sso, cada vez que calcularmos uma ampltude com grau de dvergênca superor ao logarítmco teríamos que escolher um ou mas termos ndetermnados e sso tera que ser guado pela fenomenologa, que é precsamente aqulo que queremos descrever através da teora formulada. Um segundo aspecto, não menos mportante e crucal, é o fato de acetarmos uma nterpretação para as ampltudes perturbatvas que vola o mas elementar prncípo da físca; a homogenedade do espaço tempo. Um tercero aspecto é a falta de consstênca na construção de nossas teoras fundamentas, pos em ampltudes que são tensores pares elmnamos automatcamente as referdas ambgudades utlzando métodos de regularzação que permtem shfts no momento de ntegração como a regularzação dmensonal (DR) 4

11 Capítulo. Introdução Geral e em ampltudes que são tensores ímpares, onde não podemos utlzar tal método, para o cálculo das ampltudes, que são combnações das mesmas ntegras de Feynman, acetamos escolher arbtraramente o valor de termos de superfíce que resultam precsamente da quebra da nvarânca translaconal do espaço tempo. Recentemente uma estratéga alternatva aos métodos tradconas de regularzação [] tem permtdo mudar sgn catvamente o cenáro acma descrto. Isto porque no contexto da referda estratéga as ambgudades são elmnadas automatcamente em todas as ampltudes de quasquer teoras ou modelos, formuladas em quasquer dmensões do espaço tempo, nclusve não renormalzáves. As ampltudes anômalas dvergentes são obtdas com o lmte de baxa energa satsfeto automatcamente (lvres de ambgudades). Tendo em mãos este procedmento, torna-se possível conduzr nvestgações em stuações onde a utlzação de métodos tradconas de regularzação não permtem a obtenção de resultados conclusvos. Uma destas stuações com mportânca destacada é a questão da exstênca ou não de volações nevtáves de relações de smetra (anomalas) em ampltudes ntas. Sendo mas claros: em cada dmensão par do espaço tempo temos ampltudes anômalas (dvergentes), se aumentarmos o número de propagadores fermôncos nternos teremos ampltudes ntas. Assm, quando estas ampltudes são tensores ímpares, tal quas as ampltudes anômalas, estas ampltudes terão todas as propredades de smetra satsfetas ou serão gualmente anômalas? Esta questão fo amplamente dscutda nos anos setenta do século passado mas não fo completamente esclarecda devdo ao fato de as contrações destas ampltudes ntas estarem relaconadas às ampltudes anômalas dvergentes. Assm como as ampltudes dvergentes eram admtdas ambíguas, hava uma d culdade nerente à nvestgação. Com a utlzação do método ctado acma, as ampltudes anômalas dvergentes são determnadas lvres de ambgudades, o que torna possível uma nvestgação conclusva da exstênca ou não de anomalas em ampltudes ntas. 5

12 Capítulo. Introdução Geral Não há nenhum argumento para exclur à pror tas anomalas. Ao contráro, o fenômeno pode ser estabelecdo com base na forma geral dos tensores envolvdos e a conclusão permanecera válda anda para soluções exatas (lvres de ambgudades). É esperado deste modo que o mesmo fenômeno ocorra para as ampltudes ntas. No presente trabalho, nos ocuparemos precsamente em nvestgar uma destas ampltudes ntas canddatas à anômalas: a ampltude AV V em dmensão espaço temporal D = +. Trata-se da stuação algebrcamente mas smples de todas as possbldades o que faclta a tarefa. As conclusões retradas da presente nvestgação poderá nos estmular a nvestgar os casos correspondentes à dmensão físca D = 3+ do espaço tempo onde as mplcações poderam ser de mportânca crucal. A m de efetuarmos a pretendda nvestgação, prncparemos por consderar a forma explícta da ampltude AV V e suas relações com outras ampltudes. Algumas destas relações, às quas denomnamos relações entre funções de Green, relaconam as contrações da ampltude AV V com seus respectvos momentos externos com as ampltudes P V V e AV. Assm, no capítulo 3 promovemos uma nvestgação geral das ampltudes de um e dos pontos, potencalmente dvergentes, para estabelecer um ponto de vsta claro sobre a ampltude anômala AV. Nesta oportundade dscutremos os aspectos essencas da estratéga adotada para a nterpretação de ampltudes dvergentes do cálculo perturbatvo. Depos dsto, no capítulo 5, voltamos à expressão estabelecda para a ampltude AVV e estabelecemos uma forma explícta para esta ampltude em termos do conjunto de funções de ndas e estudadas no capítulo 4. No capítulo 6 ver caremos explctamente se a expressão obtda para a ampltude AVV satsfaz às relações entre funções de green estabelecdas no capítulo, para tal, utlzaremos propredades das funções utlzadas na sstematzação das funções de três pontos ntroduzdas no capítulo 4. Fnalmente no capítulo 7 apresentaremos nossas consderações nas e conclusões. 6

13 Capítulo Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green. Introdução A m de estabelecer o contexto da presente nvestgação, consderemos um modelo em dmensão espaço temporal D = onde um férmon de spn está acoplado com bósons de spn 0 (scalar e pseudoescalar) e com bósons de spn (vetor and axal-vetor). A forma genérca da lagrangana de nteração pode ser representada como L I = G s ( ) + G P ( 3 ) e V A e A 3 W A : (.) onde e 3 são matrzes que satsfazem à álgebra de Drac, é um campo de spn massvo, W A é um campo axal-vetor, é um campo escalar e é um campo pseudoescalar. As constantes G s, G P, e V, e e A são constantes de acoplamento e seus valores devem ser estabelecdos expermentalmente (são nputs do modelo). Estas constantes podem ser ndependentes ou relaconadas dependendo do conteúdo de smetra do modelo. Para nossos presentes propóstos tas valores são rrelevantes 7

14 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green e nós assumremos todas como tendo valor untáro. Um aspecto mportante do modelo são as propredades das correntes vetoral e axal-vetor as quas obedecem 8 V = 0; : A 3 = m( 3 ) = mp: propredades das correntes mplcarão em relações de smetra ou dentdades de Ward a serem satsfetas pelas funções de Green do modelo. A renormalzabldade do modelo estará condconada ao modo pelo qual os campos vetoral e axal adqurem massa (quebra espontânea de smetra) e à ausênca de anomalas. Se alguma dentdade de Ward for nevtavelmente volada, um mecansmo de cancelamento das volações terá que ser construído com a presença de outras espéces de férmons. É bem conhecdo que este é o caso para qualquer dmensão espaço temporal par. As volações nevtáves de relações de smetra ocorrem em funções de green puramente fermôncas, sto é, em ampltudes contendo apenas propagadores fermôncos em lnhas nternas de dagramas contendo um loop. É pelo menos aceto amplamente que uma topologa destas ampltudes será anômala em cada dmensão e esta é nvaravelmente super calmente dvergente. O contexto da presente nvestgação é a dmensão D = +. Neste caso sabemos que a ampltude anômala é a ampltude AV e a questão que queremos responder é se a ampltude trangular ( nta) AV V é anômala também, sto é, se esta ampltude não pode satsfazer smultaneamente a todas as suas propredades de smetra de modo nevtável. Questões semelhantes podem ser formuladas em dmensões superores e o resultado obtdo na presente nvestgação servrá de estímulo para nvestgações semelhantes em dmensões superores onde o esforço algébrco é consderavelmente maor, em partcular na dmensão físca D = 3 +. A m de efetvarmos a pretendda nvestgação nós necesstamos prmeramente ntroduzr as de nções das ampltudes perturbatvas envolvdas. Nós de nmos as referdas ampltudes em dos passos sucessvos. Prmero de n- 8

15 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green mos as ampltudes para um valor do momento do loop k, como é usual, t j:::k = T r f S F (k + k a ; m a ) js F (k + k b ; m b ) ::: ks F (k + k c ; m c )g : (.3) Os operadores os valores, devdo à estrutura da lagrangana de nteração, poderão assumr = f S ; P ; V ; Ag = f; 3 ; ; 3 g; (.4) Os propagadores fermôncos S F carregam momentum k + k a e massa m a e nós o escrevemos como onde S F (k + k a ; m a ) = (6 k + 6 k a) + m a D a ; (.5) D a = (k + k a ) m a : (.6) As correspondentes ampltudes perturbatvas são obtdas pela soma sobre todos os valores do momento não restrto pelas relações de conservação de energa e momentum nos vértces envolvdos, ou seja, pela ntegração no momentum do loop k; d T j:::k k = () tj:::k : (.7) Assm para estabelecermos as função de Green fermôncas escolhemos os operadores dos vértces, escrevemos a expressão correspondente à ampltude para um valor do momentum do loop e, em um passo posteror, ntegramos sobre todos os valores possíves do momentum do loop. As funções assocadas às ampltudes de um ponto cam, que pode ser escrta como, t = T r f S F (k + k a ; m a )g ; (.8) t = (k + k ) D T r + m D T r f g ; (.9) 9

16 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green a ntegral dos momentos da expressão acma tem como resultado a expressão para uma ampltude de um ponto qualquer, T = d k () t (.0) De modo semelhante, as funções de dos pontos cam, t j = T r f S F (k + k a ; m a ) js F (k + k b ; m b )g : (.) ou anda, t j = (k + k ) (k + k ) D T r j + m (k + k ) D T r j + m (k + k ) D T r j + m D T r f j g ; (.) onde D j:::k = D D j :::D k, e portanto, T j = d k () tj : (.3) E nalmente para as funções de três pontos teremos, t jl = T r f S F (k + k a ; m a ) js F (k + k b ; m b ) ls F (k + k c ; m c )g : (.4) 0

17 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green ou anda, t jl = (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) D 3 T r j l (.5) + m (k + k ) (k + k 3 ) D 3 T r j l + m (k + k ) (k + k 3 ) D 3 T r j l + m (k + k ) (k + k ) D 3 T r j l + m (k + k 3) D 3 T r j l + m (k + k ) D 3 T r j l + m (k + k ) D 3 T r f j lg + m 3 D 3 T r f j l g ; e T jl = d k () tjl : (.6) Nas expressões acma para as ampltudes adotamos a rotulação mas geral possível para os momentos das lnhas nternas. As quantdades k são arbtráras e combnações destes momentos estarão relaconados aos momentos externos por meo das dferenças destes. As quantdades obtdas pela soma dos mesmos serão arbtráras e representarão quantdades ambíguas. A contagem de potêncas revela grau super cal de dvergênca lnear para as prmeras de ndas acma, logarítmca para as segundas e caráter nto para as últmas.

18 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green. Ampltudes trangulares Tendo em vsta as de nções ntroduzdas na seção anteror, nós estamos em condções de tornar explícta a expressão para a ampltude AV V que será o nosso objeto de estudo. Basta espec car na expressão geral para as funções de três pontos os operadores adequados nos respectvos vértces. Assm, assummos na expressão (.5) as escolhas =, j =, e l = 3 para termos a função assocada a ampltude AV V, lembrando que para obtermos a ampltude desejada basta ntegrarmos sobre o momento k, conforme vsto na seção anteror. Segundo a prescrção que adotamos, nós prmero escrevemos a expressão para um valor do momento do loop. Neste caso, após desenvolvermos os traços de Drac, caremos com a expressão, t AV V = g t AP P g t SV P g t SP V " t P P V " t P V P g t V P P : + t odd (.7) Aqu dent camos as subestruturas surgdas no desenvolvmento do traço com outras ampltudes trangulares conforme ndcado pela rotulação. Na expressão acma também ntroduzmos a convenente de nção, t odd = h " t (+)3 + t ( )3 + t (+)3 ; (.8) onde, t ()jl = (k + k ) h (k + k j ) (k + k l ) (k + k j ) (k + k l ) D jk ; (.9) As expressões para as funções de três pontos dent cadas acma são: t P P V = (D 3 ) (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) m ; (.0)

19 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green t P V P = (D 3 ) n (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m + (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) m o ; (.) t V P P = (D 3 ) n (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m + (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) m (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) m o ; (.) t SP V (k 3 ; k ; k ; m) = (D 3 ) n +" (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) m " (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) + m +" (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) + m +" (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) " (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) " (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) o ; (.3) t SV P (k 3 ; k ; k ; m) = (D 3 ) n " (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) + m " (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) + m +" (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) + m +" (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) " (k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) +" (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) o ; (.4) 3

20 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green t AP P (k 3 ; k ; k ; m) = (D 3 ) n " (k + k 3 ) [(k + k ) (k + k )] + m +" (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) m " (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) m h (k + k ) " (k + k 3 ) (k + k ) h + (k + k ) " (k + k 3 ) (k + k ) (k + k 3 ) h" (k + k ) (k + k ) (.5) Temos anda um mportante resultado que será utlzado mas tarde, que é a função de três pontos assocada à ampltude P V V, t P V V = m (D 3 ) ng h (k + k 3 ) (k + k ) " (k + k ) (k + k ) " (k + k 3 ) (k + k ) " +" h(k + k 3 ) (k + k ) (k + k ) (k + k ) (k + k 3 ) (k + k ) ] +" [(k k 3 ) (k + k ) (k 3 k ) (k + k ) + (k k ) (k + k 3 ) ] +" [(k 3 k ) (k + k ) (k 3 k ) (k + k ) (k k ) (k + k 3 ) ] +m " K 3 (.6) Este tpo de sstematzação, onde os termos da ampltude são dent cados com outras ampltudes, além de ser muto útl para o desenvolvmento das operações necessáras é especalmente convenente quando as ampltudes envolvdas são dvergentes. Neste caso, as restrções de consstênca podem ser mpostas para cada ampltude envolvda tornando unversal o tratamento das estruturas, frequentemente contamnadas por arbtraredades. 4

21 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green.3 Relações entre Funções de Green Na seção anteror, ao expressarmos o traço de Drac envolvdo na expressão para a ampltude AV V; dent camos subestruturas com outras ampltudes com a mesma topologa e argumentamos que sto podera ser útl na busca de consstênca geral do cálculo perturbatvo. Outras relações entre ampltudes do cálculo perturbatvo podem ser dent cadas e desempenham um papel crucal para a presente nvestgação, as quas denomnamos relações entre funções de Green. Elas podem ser produzdas toda vez que exste um índce de Lorentz envolvdo (vetor ou axal), pela contração deste com o respectvo momento externo do vértce. Estas relações, assm como as dent cadas acma, podem ser estabelecdas para as expressões das ampltudes escrtas para um valor do momento do loop. É razoável esperar que estas relações permaneçam váldas após a ntegração sobre todos os valores do momento do loop ter sdo efetuada, mesmo na presença de eventuas dvergêncas. Tendo em vsta que tas contrações estão dretamente relaconadas às propredades de smetra da lagrangana da teora, satsfazer tas relações entre funções de Green sgn ca, em últma nstânca, preservar as smetras da teora no cálculo perturbatvo. É possível a rmar que se alguma relação entre funções de Green é volada, alguma relação de smetra será volada também. O contráro também é verdade, se as relações de smetra forem preservadas pelos cálculos das ampltudes então não haverá volação em relações de smetra. Este aspecto desempenhará um papel crucal para a presente nvestgação. Quando a contração do índce de Lorentz com o momento externo envolve um vértce vetoral, a relação entre funções de Green estabelecerá uma relação entre uma função de N pontos com duas outras de N pontos. Portanto, a contagem de potêncas será mas severa para as ampltudes surgdas pela contração. Deste modo, quando for o caso, o grau de dvergênca envolvdo será maor do que aquele das ampltudes contraídas. Em partcular, o que será o caso para a presente nvestgação, 5

22 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green uma ampltude nta pode ser relaconada a uma logartmcamente dvergente. Como exemplo deste tpo de relações entre funções de Green consdere a função de dos pontos vetoral relaconada ao tensor de polarzação do vácuo na QED; que será de grande mportânca mas adante. É fácl estabelecer a dentdade, (k k ) (6 k + 6 k ) m (6 k + 6 k ) m = [6 k+ 6 k m] ; (.7) [6 k+ 6 k m] como consequênca apenas da álgebra de Drac para as matrzes envolvdas. Esta relação, tendo em vsta as de nções dadas para as ampltudes, sgn ca, (k k ) t V V (k ; k ) = t V (k ) t V (k ): (.8) Também teremos, para as contrações envolvendo índces vetoras, as seguntes relações, (k k ) t V V (k ; k ) = t V (k ) t V (k ); (.9) (k k ) t V A (k ; k ) = t A (k ) t A (k ); (.30) Teremos também relações análogas para as funções de três pontos, estabelecdas na seção anteror, que podem ser obtdas de manera semelhante, (k 3 k ) t AV V (k k ) t AV V (k ; k ; k 3 ) = t V A (k ; k ) t V A (k ; k ) ; (.3) (k ; k ; k 3 ) = t V A (k ; k ) t V A (k ; k ) : (.3) (k k ) t V P P (k ; k ; k 3 ) = t P P (k ; k ) t P P (k ; k 3 ); (.33) (k k ) t P V P (k ; k ; k 3 ) = t P P (k ; k ) t P P (k ; k 3 ); (.34) (k k ) t P P V (k ; k ; k 3 ) = t P P (k ; k ) t P P (k 3 ; k ); (.35) (k k ) t SP V (k ; k ; k 3 ) = t SP (k 3 ; k ) t SP (k ; k 3 ); (.36) De modo análogo, quando o índce de Lorentz estver assocado a um vértce axal vetor, é possível estabelecer, por meo da contração com o respectvo momento 6

23 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green externo, relações entre a ampltude contraída e outras três ampltudes, sendo uma delas de mesma topologa e outras duas de um número de pontos menor em uma undade. Como exemplo consdere a dentdade abaxo, (k k ) (6 k + 6 k ) m 3 = (6 k + 6 k ) m 3 + (6 k + 6 k ) m 3 (6 k + 6 k ) m m (6 k + 6 k ) m 3 : (.37) (6 k + 6 k ) m Tomando o traço em ambos os lados, podemos dent car a relação entre ampltudes, (k k ) t AV = t A (k ) t A (k ): mt P V (k ; k ) (.38) Outras relações semelhantes podem ser dent cadas envolvendo contrações com índces axas para as funções de três pontos, (k 3 k ) t AV V (k ; k ; k 3 ) = t AV (k ; k ) t AV (k ; k 3 ) mt P V V (k ; k ; k 3 ): (.39) Temos anda a possbldade de dent car relações envolvendo ampltudes com um número ímpar de matrzes 3 e outras com um número par destas. Este tpo de relação é unversal em dmensão D = +. Como exemplo consdere a relação, t A = " g t V : (.40) É esperado que todas as relações acma permaneçam váldas após a ntegração em ambos os lados. Em partcular, ressaltamos a relação entre funções de Green envolvendo o trângulo AV V que o relacona à ampltude anômala AV: Assm, esperamos que, ao calcularmos a ampltude AVV explctamente e em seguda contrarmos a 7

24 Capítulo. Modelo, Ampltudes e Relações entre Funções de Green expressão obtda com os momentos externos, possamos dent car as dferenças entre as ampltudes descrtas nesta seção. Sendo assm, nossa prmera tarefa é fornecer um ponto de vsta claro a respeto da ampltude anômala AV. Esta ampltude é dvergente e será necessára a adoção de uma estratéga consstente para o tratamento da referda ampltude. É o que faremos no capítulo segunte. 8

25 Capítulo 3 A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman Em capítulos precedentes, estabelecemos para a ampltude AV V algumas propredades e relações com outras ampltudes. Percebemos então que as contrações com os momentos externos estabelecem relações entre a ampltude AV V e a ampltude anômala AV. Sendo assm, para respondermos se exstem ou não volações nevtáves em relações de smetra na ampltude nta AV V em dmensão temporal D = + ; devemos prmeramente estabelecer um ponto de vsta claro a respeto da ampltude anômala AV. Esta por ser dvergente exge a adoção de uma estratéga para o tratamento das nde nções assocadas. Sendo assm, neste capítulo, trataremos deste aspecto especí co; obteremos resultados para as ntegras de Feynman envolvdas no cálculo das ampltudes que compõem nossa nvestgação. O método que utlzamos nas nvestgações tem sdo aplcado com sucesso em dferentes problemas [], onde o papel das dvergêncas, típcas dos cálculos perturbatvos, desempenham papel mportante. No contexto do referdo método, uma vez constatada por uma smples contagem de potêncas a exstênca de dvergêncas em 9

26 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman uma ampltude, ao nvés de espec car alguma regularzação, com o ntuto de tornála nta, adotamos uma estratéga alternatva [] aos métodos de regularzação para realzar todos os cálculos. Para just car as manpulações ntermedáras, assumremos a presença de uma dstrbução regularzadora genérca, apenas de modo mplícto. Isto pode ser esquematcamente representado por, d! k! f(k)! () d! k! f(k) lm G ()! k; = d! k! f(k): (3.) () Aqu os 0 s são parâmetros da dstrbução genérca G(k; ). A presença desta dstrbução no ntegrando, além de garantr o caráter nto da ntegral mod cada, deve possur duas propredades bastante geras. Ela deve ser par no momento de ntegração k para que a nvarânca de Lorentz seja preservada, além de possur um lmte de conexão bem de ndo, lm! G k ; = : (3.) A prmera das propredades exgdas mplca na anulação de ntegras ímpares no momento de ntegração, enquanto que a segunda garante, em partcular, que os valores das ntegras ntas de uma ampltude não serão mod cados. Note que estas exgêncas são completamente geras e estão de acordo com qualquer regularzação razoável. Depos destas suposções, podemos manpular o ntegrando das ntegras dvergentes usando dentdades para gerar uma expressão matemátca, na qual todas as dvergêncas estarão contdas em estruturas ndependentes dos momentos (arbtráros) nternos. Nossa prescrção consste em, ncalmente, utlzar a segunte representação para 0

27 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman o propagador do campo fermônco, S ( /k + /k ) (3.3) ( X N ( ) j (k + k:k ) j = [( /k + /k ) + m] (k j=0 m ) j+ ) + ( )N+ (k + k:k ) N+ (k m ) N+ (k + k ) m onde N é escolhdo conforme o maor grau de dvergênca exstente no modelo. Como no presente caso esse grau é lnear, adotaremos a segunte representação: (k + k:k ) S ( /k + /k ) = [( /k + /k ) + m] (k m ) (k m ) (3.4) ) (k + k:k ) + (k m ) (k + k ) m ; A representação (3.4) para o propagador fermônco é dta convenente, uma vez que é capaz de fazer com que as estruturas (.9) e (.) apresentem, ao serem ntegradas, a parte dvergente separada da parte nta. Isto possblta, por sua vez, que procedamos à ntegração sobre o momento não restrto nas ntegras ntas e coloquemos as ntegras dvergentes em termos dos denomnados objetos dvergentes báscos. Estes objetos nada mas são que ntegras dvergentes, ou combnações de ntegras com mesmo grau de dvergênca e são de ndas partcularmente para cada dmensão consderada. Para estudos em duas dmensões, os objetos dvergentes báscos são dados por, I log m = r m = d k () (k m ) ; (3.5) d k k k () (k m ) d k g () (k m ) ; (3.6) Uma vez que escrevamos a parte dvergente de uma ampltude em termos das estruturas acma, sem de fato realzarmos o cálculo de alguma ntegral dvergente,

28 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman poderemos mapear nossos resultados naqueles obtdos por qualquer outra prescrção de tratamento de ampltudes dvergentes, bastando para sto, avalar os objetos dvergentes acma dent cados, segundo a prescrção de nteresse. Vamos então a segur proceder às manpulações e cálculos necessáros das ntegras de Feynman envolvdas nessa nvestgação. 3. Integras de Feynman Estamos agora nos referndo às ntegras de Feynman em termos das quas as ampltudes são meras combnações. No presente caso, como vmos no capítulo anteror, todas as estruturas que necesstamos calcular podem ser escrtas como combnações de apenas nove ntegras de Feynman, as quas de nmos como: Com um propagador: [I ; I ] = d k [; k ] () ; (3.7) D Com dos propagadores: [I ; I ; I ] = d k [; k ; k k ] () ; (3.8) D Com três propagadores I3 ; I 3 ; I 3 ; I 3; = d k [; k ; k k ; k k k ] ; (3.9) () D 3 Nossa tarefa então é obter uma expressão para cada um destas ntegras.

29 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman 3.. Cálculo das ntegras de Feynman Nesta seção, efetuaremos as manpulações e os cálculos necessáros nas ntegras de Feynman, para colocá-las na forma adequada ao método que adotamos. Separaremos prmero as partes ntas e dvergentes, procederemos à ntegração daquelas ntas e reorganzaremos as partes dvergentes em termos dos objetos báscos dvergentes que de nmos. Cálculo de I O prmero passo a ser consderado para o cálculo de uma das ntegras ctadas anterormente, no contexto da estratéga de cálculo descrta no capítulo 3, é efetuar a contagem de potênca dos k0s, no numerador e no denomnador do ntegrando, para, com sso, ver car se a ntegral é dvergente ou nta. No caso partcular da I, observamos que esta é uma ntegral dvergente com grau logarítmco. Portanto, fazemos uso da dentdade (3.4) e obtemos o segunte resultado, d k d k (k k + k I = ) () (k m ) () : (3.0) (k m ) D O prmero termo, do lado dreto do snal de gualdade, é uma ntegral dvergente e a dent camos como o objeto básco dvergente dado pela expressão (3.5). segundo termo, do lado dreto do snal de gualdade, é uma ntegral nta. Após aplcarmos a parametrzação (B.4) e efetuarmos a ntegração, obtemos um valor dentcamente nulo para o termo nto, sto é, Portanto temos, d k (k k + k) () = 0: (3.) (k m ) D O I = log m : (3.) 3

30 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman Cálculo de (I ) Da mesma forma como fo feto na ntegral anteror, observamos que a (I ) é também uma ntegral dvergente, porém, dessa vez, o grau de dvergênca é lnear. Recorrendo a expressão (3.4), podemos reescrever, d k k (I ) = () (k m ) d k k k () (k m ) k d k k k () (k m ) + d k () (k k + k ) k (k m ) D : (3.3) Nessa expressão, todos os termos ímpares no momento de ntegração k, o prmero e o segundo termos, são dentcamente nulos devdo à mposção da preservação da nvarânca de Lorentz no processo de regularzação. O tercero termo é uma ntegral dvergente, que pode ser escrta em termos dos objetos báscos dvergentes, de ndos em (3.5) e (3.6). O quarto termo é uma ntegral nta e com o uso da parametrzação (B.5), obtemos um valor dentcamente nulo para ela, sto é: d k () (k k + k ) k (k m ) D = 0: (3.4) Com sso teremos, (I ) = k d k k k (3.5) () (k m ) resultado este, que pode ser colocado em termos dos objetos báscos dvergentes, sendo assm teremos, (I ) = k r k g log m : (3.6) 4

31 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman Cálculo de I A ntegral I é uma ntegral nta, observamos sso pela contagem de potênca dos k s. Podemos então calculá-la dretamente, com a utlzação dos procedmentos apresentados nos apêndces B e C. Feto sto teremos, I = 0 (p ; m ): (3.7) 4 Onde ntroduzmos, em notação smpl cada, as funções de estrutura para as partes ntas de funções de dos pontos em D, de ndas como, k ( ; ; p ) = onde p são dferenças entre os momentos nternos. 0 z k dz p z( z) + ( )z : (3.8) A ntegração da expressão acma, sobre o parâmetro de Feymann z pode ser faclmente efetuada, mas, para o presente propósto, sto não é relevante, portanto, mantemos sempre a representação ntegral. Além dsso, os termos e se referem aos termos de massa, no entanto, estamos tratando neste trabalho apenas férmons de massas guas, ou seja, = = m : (3.9) Cálculo de (I ) A contagem de potênca dos k s nos revela que esta ntegral também é nta. Para calculá-la, utlzamos os métodos descrtos nos apêndces B e C. Temos assm, (I ) = p (p ; m ) + k 0 (p ; m ) ; (3.0) 4 5

32 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman ou, de forma alternatva e convenente, (I ) = Q 4 0 (p ; m ); (3.) com a de nção, Q = k + k : (3.) Cálculo de (I ) Consderamos agora o cálculo da ntegral (I ), que, pela contagem de potênca dos k0s, notamos o caráter logartmcamente dvergente. Com a utlzação da dentdade (3.4) obtemos a expressão, (I ) = d k k k () (k m ) d k (k k + k) k k () (k m ) D d k (k k + k) k k : () (k m ) D (3.3) O prmero dos termos do lado dreto da gualdade é uma ntegral dvergente e não sofrerá manpulação adconal. Para as restantes, provdencamos a ntegração com métodos usuas, pos são ntas. Dessa forma, após a ntegração no momento k, obtemos, I d k k k = () (k m ) + p p p g (p ; m (p ; m ) ) (4) + Q 0 (p ; m ) Q ; (3.4) (4) 4 6

33 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman ou anda, I = r + g log m + (4) + (4) p p p g (p ; m ) Q 0 (p ; m ) Q 4 (p ; m ) : (3.5) Cálculo de I 3 Passamos então para a solução das ntegras assocadas às funções de três pontos. Começando com ntegral de Feynman I 3 (m ; k ; k ; k 3 ); pela de nção teremos: d I 3 (m k ; k ; k ; k 3 ) = () ; (3.6) D 3 esta ntegral é nta, não necesstando, portanto, nenhuma prescrção de regularzação. Pode-se mostrar faclmente que, I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = 4 0 dz 0 z dy [Q(z; y)] ; (3.7) onde Q(z; y) é uma função dos momentos, massa e dos parâmetros de Feynman (z; y) (Ver apêndces B e C) dada por Q (p; x; q; y) = p x ( x) (p q) xy + q y ( y) m : (3.8) Agora, ntroduzndo a de nção de uma nova classe de funções: h nm = 0 dz 0 z z n y m dy [Q(z; y)] ; (3.9) h o resultado nal de nossa ntegral será, I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = 00 : (3.30) 4 7

34 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman Cálculo de (I 3 ) Passamos então para a determnação da ntegral I 3 (m ; k ; k ; k 3 ), de acordo com a de nção teremos, I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = d k k () : (3.3) D 3 Com uma parametrzação adequada e com auxílo das funções de ndas anterormente (3.9), chega-se ao segunte resultado, I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = (k k ) 0 (k 3 k ) 0 k 00 : (3.3) 4 Cálculo de (I 3 ) A próxma ntegral a ser calculada é I 3 (m ; k ; k ; k 3 ), que pela de nção é, I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = d k () k k D 3 (3.33) e que após manpulações adequadas, pode ser escrta da segunte forma, 8

35 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) = (4) ng 00 + (k k ) (k k ) 0 + (k k ) (k 3 k ) + (k 3 k ) (k k ) + (k 3 k ) (k 3 k ) 0 + k (k k ) 0 + (k 3 k ) 0 + k (k k ) 0 + (k 3 k ) 0 +k k 00 (3.34) Cálculo de (I 3 ) E nalmente consderemos a solução da ntegral I 3 (m ; k ; k ; k 3 ) que pela de nção temos como sendo, (I 3 ) (m ; k ; k ; k 3 ) = d k () k k k D 3 : (3.35) Esta ntegral, apesar do aumento da contrbução na contagem das potêncas de k no numerador, contnua nta. Para seu cálculo, basta escolher uma parametrzação de Feynman convenente. Sendo assm, podemos mostrar após algumas manpulações que: 9

36 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman (I 3 ) (m ; k ; k ; k 3 ) = (4) g g g + (4) f (k 3 k ) (k 3 k ) (k 3 k ) 30 (k 3 k ) (k 3 k ) (k k ) (k k ) 0 + (k 3 k ) 0 (k k ) 0 + (k 3 k ) 0 (k k ) 0 + (k 3 k ) 0 (k k ) (k k ) (k k ) 03 (k k ) (k k ) (k 3 k ) (k k ) (k 3 k ) (k k ) (k k ) (k 3 k ) (k 3 k ) (k 3 k ) (k k ) (k k ) (k 3 k ) (k k ) (k 3 k ) h g k 00 + (k k ) (k k ) 0 + (k k ) (k 3 k ) +(k 3 k ) (k k ) + (k 3 k ) (k 3 k ) 0 h g k 00 + (k k ) (k k ) 0 + (k k ) (k 3 k ) +(k 3 k ) (k 3 k ) 0 + (k 3 k ) (k k ) h g k 00 + (k 3 k ) (k k ) + (k 3 k ) (k 3 k ) 0 +(k k ) (k k ) 0 + (k k ) (k 3 k ) + k k (k k ) 0 + (k k 3 ) 0 + k k (k k ) 0 + (k k 3 ) 0 + k k (k k ) 0 + (k k 3 ) 0 k k k 00 : (3.36) 30

37 Capítulo 3. A Estratéga para o Cálculo das Integras de Feynman Com sso, concluímos o cálculo das ntegras de Feynman necessáras para obtermos a forma explícta de todas as ampltudes envolvdas na nvestgação estabelecda. Em posse destes resultados para as ntegras, podemos segur ao cálculo propramente dto das ampltudes. 3

38 Capítulo 4 Ampltudes Físcas De posse dos resultados das ntegras de Feynman desenvolvdas no capítulo anteror, podemos agora proceder ao cálculo das ampltudes. Sendo assm, prmeramente, resolveremos os traços de Drac envolvdos, escrevendo cada ampltude como uma combnação de ntegras de Feynman, para então construr a forma explícta das ampltudes. Neste momento não assumremos nenhuma hpótese a respeto dos valores das ntegras dvergentes presentes nas expressões. Isto será feto apenas num passo posteror. 4. Cálculo das Funções de Green de Um Ponto Prmeramente consderemos a função de um ponto vetoral. Escolhendo o operador = na de nção (.9) e soluconando os traços envolvdos (veja apêndce A) teremos, t V = (k + k ) D : (4.) 3

39 Capítulo 4. Ampltudes Físcas Integrando T V = d k k + k () D d k : (4.) () D Substtundo os resultados para as ntegras caremos com T V = k m : (4.3) Notemos o caráter arbtráro do resultado. Os mesmos passos podem ser segudos para obter a expressão para a função de um ponto axal. Teremos ncalmente d T A k k d = " + k k () ; (4.4) D () D e então, após a substtução dos resultados, teremos, T A = " k [ m ]: (4.5) 4. Cálculo das Funções de Green de dos Pontos Consderemos agora as funções de dos pontos. Comecemos por aquelas sem índces de Lorentz. Como tal, tomando = j = 3 teremos a função P P. Teremos ncalmente, com p = k t P P = + p ; (4.6) D D D k. A ntegração da expressão acma nos momentos e a substtução dos resultados das ntegras já calculadas nos leva a, T P P = log m + 4 p 0 p ; m ; (4.7) Prossegundo teremos, t SP = " (k + k ) (k + k ) D ; (4.8) 33

40 Capítulo 4. Ampltudes Físcas que ca, T SP = 0: (4.9) Agora, com um índce de Lorentz, prmero consderamos, t P V = m" (k k ) D ; (4.0) que, substtundo o resultado da ntegral ca, T P V = m" p 0 (p ; m ): (4.) Agora, consderamos o cálculo da função de Green de dos pontos V V, para sso fazemos = e j = na expressão (.), obtendo assm, e portanto, t V V = T r (k + k ) (k + k ) D + mt r (k + k ) D + mt r (k + k ) D + m T r D : (4.) T V V = T r d k (k + k ) (k + k ) () D + mt r d k (k + k ) () D + mt r d k (k + k ) () D + m T r d k () D : (4.3) 34

41 Capítulo 4. Ampltudes Físcas Após efetuarmos as operações relaconadas aos traços de Drac, dent camos a relação, T V V = T (+) + g T P P : (4.4) onde de nmos, por uma questão de convenênca, a segunte estrutura, T () = d k () (k + k ) (k + k ) (k + k ) (k + k ) D (4.5) temos então para a expressão a cma dos resultados utes, T (+) = r m + g log m q + 4 q g q p ; m 0 (p ; m ) (4) 4 q q (4) 0 0 p ; m (4.6) T ( ) = 0 p ; m [p Q) (4) +p Q + (k k k k )] (4.7) lembrando que p = k k e Q = k + k : Com esses resultados e (4.7) obtemos para a ampltude T V V, T V V = (p p g p ) + m p 0 (p ; m ) + r m : (4.8) Fnalmente, consderamos a função de dos pontos axal-vetor a qual desempenhará um papel crucal na presente nvestgação. Tomando = 3 e j = na 35

42 Capítulo 4. Ampltudes Físcas expressão (.), obtemos ncalmente, T AV d k (k + k ) (k + k ) = T r 3 () D d k (k + k ) + mt r 3 () D d k (k + k ) + mt r 3 () D + m T r 3 d k () D : (4.9) Após a tomada dos traços de Drac envolvdos camos com, T AV = d k () f" [(k + k ) D (k + k ) + (k + k ) (k + k ) ] h + " (k + k ) (k + k ) (k + k ) (k + k ) g h " (k + k ) (k + k ) " (k + k ) (k + k ) m ; (4.0) reorganzando os termos, podemos dent car as seguntes estruturas, T AV = " T P P g T SP + " T (+) " T ( ) (4.) essas estruturas já foram prevamente calculadas e, portanto, nos resta apenas utlzar os resultados obtdos na expressão acma. Após algumas manpulações, obtemos o segunte resultado para a ampltude AV, T AV k ; k ; m = " m "q + 4 " q q q; m (4) 0 (q; m ) : (4.) 36

43 Capítulo 4. Ampltudes Físcas 4.3 Cálculo das Funções de Green de Três Pontos Para as funções de Green de três pontos de nosso nteresse utlzaremos o mesmo procedmento realzado nas ampltudes de um e dos pontos. Tomaremos o traço reduzndo a ampltude a uma combnação de ntegras de Feynman, neste caso todas ntas. Substturemos então as ntegras pelos resultados obtdos no capítulo anteror. A análse dos resultados cará para o capítulo segunte. ( 4) T V P P = p 0 (p q) ; m + 0 p ; m p p q 0 q 00 + q 0 (p q) ; m p p q 0 + p 00 ; (4.3) ( 4) T P P V = p 0 p ; m (p q) 0 + q 00 (4.4) + q 0 q ; m (p q) 0 + p 00 ; ( 4) T P V P = p 0 (p q) ; m (4.5) q p q 0 + q 00 + q 0 (p q) ; m + 0 q ; m q p q 0 p 00 ; ( 4)T SP V = " q 0 (q; m) p 0 (p; m) (p q) q 0 p + q 0 +p 00 + q p p q " p q q 0 0 q p ; (4.6) 37

44 Capítulo 4. Ampltudes Físcas ( 4) T SV P = " p 0 p; m " q 0 q; m + " (p:q) q 0 p 0 4" p q p 0 g + 4" q 00 p q + p p 0 " q p p q 00 : (4.7) Nas expressões acma omtmos o argumento das funções por smplcdade. A ampltude trangular que aparece na relação entre função de Green para a ampltude AV V, por sua vez pode ser escrta como, T P V V = m" p q 00 + q p q q 0 m" 0 p ; m q p q 00 : (4.8) Resta apenas explctar a função AV V. Para tal, prmeramente determnamos a expressão para o tensor de ndo em (??).Teremos, [ (4)] T odd = " 4 (g p + g p + g p ) 0 4 (g q + g q + g q ) 0 + [g (p + q ) + g q + g p ] q q q + 8p p p p q p p q q + 4p p q q q p q p p q p q : (4.9) 38

45 Capítulo 4. Ampltudes Físcas Deste modo, a forma explícta da ampltude AV V ca, [ (4)] T AV V = " p 0 p ; m + q 0 q ; m (4.30) + p 0 + q 0 (p + q ) 00 p q 00 (p q) 0 q p 00 (p q) 0 + " p 0 (p q) ; m q 0 (p q) ; m + 0 q ; m + p 0 + q 0 p 00 p q 0 + (p q) 0 + q 00 q q 0 + (p q) 0 p 00 " g q 0 (p q) ; m + g p 0 (p q) ; m + 0 p ; m h g p p 0 (p q) ( ) 0 + q 00 g q p 0 (p q) 0 p 00 + g p 0 q 0 + q p p p q q q p q p + 4p q q + 4p p q q q p q p p q p q ; + + Antes de ver car se as relações entre funções de Green da ampltude AVV são satsfetas e responder as questões que motvaram a presente nvestgação, devemos 39

46 Capítulo 4. Ampltudes Físcas espec car a ampltude anômala AV, uma vez que ela contém um termo anda não espec cado. 40

47 Capítulo 5 Consstênca no cálculo perturbatvo bdmensonal e anomala AV 5. Introdução No capítulo anteror, explctamos as ampltudes que fazem parte da presente nvestgação na lnguagem que adotamos. A ampltude AV V é nta e não depende de nenhum aspecto partcular dos cálculos, mas ela está dretamente relaconada, por meo de relações entre funções de Green, à ampltude anômala AV, esta sm com contagem de potêncas apontando caráter dvergente. A ampltude AV, por outro lado, anda não está completamente espec cada, pos o método utlzado separou as partes dvergentes das ntas, mas não espec cou anda as quantdades dvergentes. Em partcular a quantdade r; que é uma dferença entre duas ntegras logartmcamente dvergentes, aparece na expressão para a ampltude AV. Assm, antes de ver car se a ampltude AV V satsfaz suas propredades, devemos completar a tarefa 4

48 Capítulo 5. Consstênca no cálculo perturbatvo bdmensonal e anomala AV de espec car completamente a ampltude anômala AV. Isto é essencalmente o que faremos a segur neste capítulo. Para tal, começaremos consderando a ampltude V V, relaconada ao tensor de polarzação do vácuo da QED para reunrmos os elementos necessáros, a m de, com base na consstênca do cálculo perturbatvo bdmensonal, espec car a ampltude AV. 5. A ampltude VV e a consstênca no cálculo perturbatvo Antes de consderar a expressão obtda para a ampltude V V, consderemos aspectos geras a respeto desta ampltude. Prmeramente, esta ampltude é um tensor de dos índces smétrcos, formado a partr do momento externo p e do tensor métrco g : Isto quer dzer que a forma geral deve ser, T V V = g F p + p p F p : (5.) Os dos índces estão assocados às correntes conservadas. Ou seja, a expressão para a ampltude V V deve satsfazer, p T V V = p T V V = 0; (5.) com sso, estabelecemos a relação entre as funções genércas, e portanto podemos escrever, F p = p F p ; (5.3) T V V = p p p g F p : (5.4) Dado sto é esperado que qualquer cálculo consstente desta ampltude apresente esta forma geral. Além dsso, é possível extrar um lmte de baxa energa assocado à 4

49 Capítulo 5. Consstênca no cálculo perturbatvo bdmensonal e anomala AV ampltude V V. Tendo em vsta que F (p ) = proporconal ao tensor métrco se anule em p = 0, ou seja: p F (p ) é esperado que o termo F p = 0; (5.5) p =0 uma vez que F (p ) não deve ter um pólo em p = 0. Isto é necessáro para manter o fóton sem massa após a correção perturbatva. Por outro lado, estabelecemos que a ampltude V V devesse satsfazer à relação p T V V = T V (k ) T V (k ) : (5.6) Aparentemente esta propredade é ncompatível com as propredades acma. Vamos ver car melhor sto. Consderemos a forma obtda para a ampltude V V no cálculo realzado no capítulo anteror. Obtvemos, T V V = r m p p g p + m p 0 p ; m : (5.7) Dado este resultado e a forma explícta obtda para a ampltude de um ponto vetoral (4.3), é fácl perceber que, p T V V = p r m = T V (k ) T V (k ); (5.8) o que mplca que nosso cálculo satsfaz à relação entre funções de Green esperada para a ampltude V V. Mas quanto às propredades de smetra? E a forma geral obtda acma para V V que não é consstente com a forma obtda? Esta dscordânca é apenas aparente, pos anda não espec camos a quantdade r: Se tvéssemos utlzado alguma regularzação, esta quantdade já tera sdo espec cada. No contexto do método que adotamos, o valor desta quantdade é espec cado pela consstênca do cálculo perturbatvo. Ou seja, este valor será de ndo pela mposção 43