Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin Eco/UnB 2015-II. Aula 8 B Teoria dos Jogos Maurício Bugarin. Desenvolver o modelo de jogo repetido

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1 Teora dos Jogos Prof. Mauríco Bugarn Eco/UnB 015-II Rotero Capítulo 3. Jogos Jogos Repetdos Desenvolver o modelo de jogo repetdo Provar o teorema popular Aplcar para conluo no jogo de dlema dos prsoneros e no jogo de duopólo de Cournot 1

2 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo-Dlema dos Prsoneros c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 Exemplo-Duopólo de Cournot , 7 60, , 60 64, 64 Cap 3. Jogos Repetdos Modelo híbrdo 1 C,c C,n N,c N,n Importante: Payoffs em cada período

3 Cap 3. Jogos Repetdos Modelo híbrdo mas geral Questão: Estratéga? Cap 3. Jogos Repetdos Defnção- Uma estratéga para um jogador no período t do jogo repetdo, σ t, é uma escolha de uma ação em cada uma das cópas do jogo base que possa vr a jogar no período t Uma estratéga para o jogador, σ =(, σ,, σ T ) é uma escolha de uma estratéga σ t para cada um dos períodos t=1,,t. Chamaremos de S o conjunto de todas as possíves estratégas de. Um perfl de estratégas do jogo repetdo T é uma n-upla σ=(,,σ n ) onde σ é uma estratéga para o jogador, =1,, n. Se o jogo for nfntamente repetdo, o parâmetro T acma deve ser nterpretado como +. Observação- Estratégas muto mas rcas que no caso de um únco período: podem depender da hstóra 3

4 c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 Exemplo-No jogo do dlema dos prsoneros nfntamente repetdo, algumas estratégas para os jogadores podem ser: : o jogador 1 escolhe sempre N A estratéga ndepende da hstóra µ : o jogador escolhe n nos períodos ímpares e c nos períodos pares A estratéga µ depende da hstóra de forma muto smples ρ 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C A estratéga ρ 1 depende da hstóra de forma mas profunda Cap 5. Jogos Repetdos Defnção- Conseqüêncas: σ=(,,σ n ): perfl de estratégas do jogo repetdo T Se u t (σ) for a conseqüênca para no período t quando o perfl de estratégas σ é jogado, então o payoff de no jogo repetdo é: U (σ)=σ t 1 δ t-1 u t (σ) δ: o fator de desconto ntertemporal que reflete a mpacênca dos jogadores 4

5 Cap 3. Jogos Repetdos U (σ)=σ t 1 δ t-1 u t (σ) δ: o fator de desconto ntertemporal que reflete a mpacênca dos jogadores Interpretações- () Juros. Suponha que o agente quera desfrutar hoje do valor x que receberá amanhã. Então ele pode r ao banco e pedr um empréstmo, pagando x undades amanhã. O banco cobrará uma taxa de juros r, de forma que o agente receberá y tal que y+ry =x, ou anda, y=[1/(1+r)]x. Isto quer dzer que, em termos de valores de hoje, x vale [1/(1+r)]x, ou anda, o valor presente de x é [1/ (1+r)]x. Portanto, o fator de desconto é δ=1/(1+r). Cap 3. Jogos Repetdos U (σ)=σ t 1 δ t-1 u t (σ) Interpretações- () Fm probablístco de jogo. Suponha que o agente tem uma função de utldade de von Neumann-Morgenstern u e que estma que o jogo repetdo é um processo aleatóro com probabldade de contnuar δ e de termnar 1-δ. Então a utldade esperada do agente dado o perfl de estratégas σ no jogo nfntamente repetdo será: U (σ)=u 1 (σ)(1-δ) + (u 1 (σ)+u (σ))δ(1-δ) + (u 1 (σ) +u (σ)+u 3 (σ))δ (1-δ) + = u 1 (σ)[(1-δ)(1+δ+δ +δ 3 + )] + u (σ)[(1-δ)(δ+δ +δ 3 + )] + = u 1 (σ) + u (σ)δ + 5

6 Cap 3. Jogos Repetdos Defnção- Conseqüêncas: σ=(,,σ n ): perfl de estratégas do jogo repetdo T u t (σ) U (σ)=σ t 1 δ t-1 u t (σ) δ: o fator de desconto ntertemporal que reflete a mpacênca dos jogadores Interpretações- () δ=ρπ Observação: Em geral, δ próxmo de 1: 0,98. Cap 3. Jogos Repetdos Defnção- Equlíbro de Nash: Um perfl de estratégas σ=(,, σ n ) é um equlíbro de Nash (EN) do jogo repetdo se nenhum jogador pode melhorar sua utldade no jogo desvando unlateralmente da estratéga σ: =1,, n, σ ʹ S, U (σ ʹ, σ - ) U (σ) Exemplo- No dlema dos prsoneros repetdo temos: : o, jogador 1 escolhe sempre N µ : o jogador escolhe n nos períodos ímpares e c nos períodos pares U 1 (, µ )= 1 9δ 1δ 9δ 3 = 1(1+δ +δ 4 + ) 9δ(1+δ +δ 4 + )= ( 1 9δ)/(1-δ ) c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 6

7 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- No dlema dos prsoneros repetdo temos: : o, jogador 1 escolhe sempre N ρ 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C µ : o jogador escolhe n nos períodos ímpares e c nos períodos pares U 1 (, µ )= ( 1 9δ)/(1-δ ) U 1 (ρ 1, µ )= 1 9δ +0δ 6δ 3 +0δ 4 6δ 5 + = 1 9δ 6δ 3 (1 +δ +δ 4 + )= 1 9δ-6δ 3 /(1-δ )> U 1 (ρ 1, µ ) Portanto, (, µ ) não é um EN c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo-Dlema dos Prsoneros c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 Exemplo-Duopólo de Cournot , 7 60, , 60 64, 64 7

8 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- No dlema dos prsoneros repetdo temos: : o, jogador 1 escolhe sempre N ρ 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C µ : o jogador escolhe n nos períodos ímpares e c nos períodos pares U 1 (, µ )= ( 1 9δ)/(1-δ ) U 1 (ρ 1, µ )= 1 9δ +0δ 6δ 3 +0δ 4 6δ 5 + = 1 9δ 6δ 3 (1 +δ +δ 4 + )= 1 9δ-6δ 3 /(1-δ )> U 1 (ρ 1, µ ) Portanto, (, µ ) não é um EN c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- No dlema dos prsoneros repetdo temos: : o, jogador 1 escolhe sempre N ρ 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C ρ : o jogador escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que 1 tver jogado n no passado; caso contráro, joga C U 1 (ρ 1, ρ ) = 1 1δ 1δ 1δ 3 = 1(1+δ+δ + ) = 1/(1-δ) Melhor desvo: 0 6δ 6δ 6δ 3 += 6δ /(1-δ) 1/(1-δ) 6δ /(1-δ) 1 6δ δ 1/6 c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 8

9 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- No dlema dos prsoneros repetdo: c n C 6, 6 0, 9 N 9,0 1, 1 ρ 1 : o jogador 1 escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que tver jogado n no passado; caso contráro, 1 joga C ρ : o jogador escolhe N no período ncal e contnua jogando N sempre que 1 tver jogado n no passado; caso contráro, joga C (ρ 1, ρ ) é um EN do jogo repetdo se δ 1/6 Nesse caso um equlíbro cooperatvo fo atngdo no jogo não cooperatvo Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo EN do jogo base: (8,8) , 7 60, 80 Cartel: (6,6) resulta em melhor payoff para ambos Mas não crível no jogo estátco Jogo repetdo: Cap 3. Jogos Repetdos 8 80, 60 64, 64 : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que tver jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 tver jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 9

10 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo , 7 60, , 60 64, 64 : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que tver jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 tver jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 U(, σ )= 7/(1-δ) Melhor desvo: 80+64δ+64δ +64δ 3 + =80+64δ(1+δ+δ + )=80+64δ /(1-δ) Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que tver jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 tver jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 U(, σ )= 7/(1-δ) Melhor desvo: =80+64δ /(1-δ) 7/(1-δ) 80+64δ /(1-δ) 7 80(1 δ)+64δ δ+64δ =80 16δ δ 8/16=1/ , 7 60, , 60 64, 64 10

11 Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo , 7 60, , 60 64, 64 : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que tver jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 tver jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 Conclusão: Comportamento de cartel (, σ ) é EN do jogo repetdo desde que δ 1/ Questão: Mas é crível? Cap 3. Jogos Repetdos Defnção- Equlíbro perfeto em subjogo. A partr de qualquer cópa tk do jogo base em qualquer período (t), podemos construr um novo jogo repetdo, ncando-se nesse jogo tk e nclundo todas as cópas de que podem ser atngda a partr de tk. Esse novo jogo repetdo é chamado subjogo ncando em tk. Qualquer perfl de estratégas σ de T nduz um perfl de estratégas em qualquer subjogo tk de forma canônca. Defnção- Um perfl de estratégas σ é um equlíbro perfeto em subjogos (EPS) do jogo T se a restrção de σ a qualquer subjogo de T é um equlíbro de Nash desse subjogo. 11

12 Cap 3. Jogos Repetdos Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo, δ 7/ , 7 60, , 60 64, 64 : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que tver jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 tver jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 (, σ ) é EN do jogo repetdo. É EPS? 1

13 Exemplo- Duopólo de Cournot repetdo, δ 7/ , 7 60, , 60 64, 64 : o jogador 1 escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 e tverem jogado 6 no passado; caso contráro, 1 joga 8 σ : o jogador escolhe 6 no período ncal e contnua jogando 6 sempre que 1 e tverem jogado 6 no passado; caso contráro, joga 8 (, σ ) é EPS Cap 3. Jogos Repetdos Observação- Qualquer EN do jogo base, repetdo em cada período, é um EPS do jogo repetdo Se város, qualquer combnação. Se jogo repetdo um número fnto de vezes? (Batalha dos sexos) Apenas EN do jogo base! 13

14 Teorema-Teorema Popular. Consdere um jogo nfntamente repetdo com jogo base. Seja s * =(s 1 *,..., s n *) um equlíbro de Nash de. Suponha que exste um perfl de estratégas ~ s = ( ~ s,, ~ s n ) tal que 1 u ~ s > u s *, = 1,, n Cap 3. Jogos Repetdos ( ) ( ). Para cada jogador, seja r uma melhor resposta de a ~ s. Suponha que: u (, ~ ) ( ~ r s ), 1,,. (, ~ u s δ = n u r s ) u ( s* ) Então exste um equlíbro perfeto em subjogos do jogo repetdo tal que o perfl de estratégas é jogado em cada período. Teorema-Teorema Popular. Demonstração Para cada jogador, defna a segunte estratéga de gatlho σ : Jogar s~ no período ncal t=1. Num período t>1, jogar s~ se s~ sempre tver sdo jogada anterormente. jogar s * caso contráro Mostremos que σ=(,..., σ n ) é um EPS de 14

15 Teorema-Teorema Popular. Demonstração () σ é um EN: Fxemos as estratégas σ - Não desva: Melhor desvo: U U Melhor não desvar se: U ( ~ ~ ~ ~ u s ) + = 1 δ ( σ ) = u ( s ) + δu ( s ) + δ u ( s )! ( *) u + δ 1 δ d = ( ~, ) + δ ( *) + δ ( *) + = (, ~ s u r s u s u s! u r s ) d ( σ ) U u ( ~ s ) ( 1 δ ) u ( r, ~ s ) + δu ( s *) Cap 3. Jogos Repetdos u δ u (, ~ ) ( ~ r s ) (, ~ u s r s ) u ( s *) Cap 3. Jogos Repetdos Teorema-Teorema Popular. Demonstração () σ é um equlíbro perfeto em subjogos: Apenas dos tpos de subjogos a serem analsados ()-1 Subjogos ncando-se no camnho de equlíbro ()- Subjogos ncando-se fora do camnho de equlíbro Conclusão: σ é um EPS do jogo repetdo Em equlíbro o perfl Pareto superor é sempre jogado 15

16 Cap 3. Jogos Repetdos Cooperação- Resultado mas geral: 80 7 B C A D Condções: tpos de ndústras? 16