Surpresa para os calouros. Série Matemática na Escola. Objetivos

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1 Surpresa para os calouros Sére Matemátca na Escola Objetvos 1. Usando a decomposção de um número em fatores prmos, pode-se provar que um número ntero é um quadrado perfeto, se e somente se tem um número mpar de dvsores; 2. Estudar o teorema Fundamental da Artmétca, ou da decomposção de um número ntero em fatores prmos; 3. Obter uma fórmula para a quantdade de dvsores de um número natural.

2 Surpresa para os calouros. Sére Matemátca na Escola Conteúdo Números nteros. Duração Aprox. 10 mnutos. Objetvos 1. Usando a decomposção de um número em fatores prmos, pode-se provar que um número ntero é um quadrado perfeto, se e somente se tem um número mpar de dvsores; 2. Estudar o teorema Fundamental da Artmétca, ou da decomposção de um número ntero em fatores prmos; 3. Obter uma fórmula para a quantdade de dvsores de um número natural. Snopse Um jovem estudante, que é presdente do centro acadêmco, está preparando uma gncana para os calouros. Pede ajuda ao seu rmão que sugere prêmos aos calouros que resolverem o problema dos armáros. Acontece que o rmão do jovem desaparece e ele não sabe resolver o problema que propôs aos calouros. Fala com um amgo, que faz Matemátca, para ajudá-lo. O amgo o ajuda a resolver o problema de uma manera bem fácl. Materal relaconado Expermentos: Morto ou vvo

3 Introdução Sobre a sére A sére Matemátca na Escola aborda o conteúdo de matemátca do ensno médo através de stuações, fcções e contextualzações. Os programas desta sére usualmente são nformatvos e ntrodutóros de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas são rcos em representações gráfcas para dar suporte ao conteúdo mas matemátco e pequenos documentáros trazem nformações nterdscplnares. Sobre o programa O programa se refere ao problema dos armáros, do excelente lvro de 1945 A Arte de Resolver Problemas, de George Polya. Surpresa para os calouros 3/7

4 Para a solução deste problema devemos recordar os fatos: Um número natural dferente de 0 e de 1, é prmo, se os úncos dvsores dele são 1 e ele mesmo. Um número ntero p é prmo se p é prmo. Os números prmos são os tjolos no conjunto dos números nteros, devdo ao Teorema Fundamental da Artmétca (TFA): Todo número ntero se fatora num produto de prmos. De manera mas rgorosa apresentamos o TFA abaxo. TFA Seja a Z, a 0 e a ± 1. Então exstem números prmos p 1, p2, K, p r Z (r 1), todos maores que 1, de manera que: a = p 1. p 2 K p r ou a = p 1. p 2 K pr conforme a > 0 ou a < 0. Ademas essa decomposção, a menos da ordem dos fatores, é únca. Na decomposção em fatores prmos, é claro que nem sempre todos os fatores são dferentes entre s. A reunão de possíves fatores guas α1 α2 α s leva à expressão a = p1. p2 K ps ( α1, α 2, K, α s 1), para um número natural. Esta é a chamada decomposção canônca de a N. Dado um número a N, a pode ser colocado na forma α1 α2 α s a p p K p ( α, α, K, α 1). Os dvsores b de a, serão: = 1. 2 s 1 2 s β β β 1 2 s b = p1. p2 K ps (0 β α ; = 1,2, K, s) Como cada β pode assumr, ndependentemente, os α + 1 valores 0, 1, 2,..., α, temos então que o número de dvsores de a, que denotamos por τ(a) é : τ(a) = ( 1 +1) ( 2 +1)... ( s +1). Exemplo, como 630 = 2x3 2 x5x7, então τ(630) = (1+1)x(2+1)x(1+1)x(1+1) = 24 dvsores. E os dvsores são: Surpresa para os calouros 4/7

5 2 0 x3 0 x5 o x7 0 =1; 2 0 x3 1 x5 0 x 7 0 =3; 2 0 x3 2 x5 0 x7 0 =9; 2 1 x3 0 x5 0 x7 0 =2; 2 1 x3 1 x5 0 x7 0 = 6; 2 1 x3 2 x 5 0 x7 0 =18; 2 1 x3 1 x 5 0 x7 1 =42; 2 1 x3 0 x5 1 x7 0 =10; 2 0 x3 0 x5 0 x7 1 = 7; 2 0 x3 2 x5 1 x7 0 =45; =315; = 210; =5; = 14; = 15; = 21; = 35; = 63; = 30; = 90; = 126; = 70; = 105; = 630. Problema dos armáros Em uma escola hava 1000 armáros e 1000 alunos. Todo ano, no da da vsta à escola pelos ex-alunos, os alunos formavam uma fla em ordem alfabétca e realzavam o segunte rtual estranho: O prmero aluno abra todos os armáros, o segundo fechava um sm e outro não, a partr do segundo. O tercero mudava o estado dos armáros, de 3 em 3, a partr do tercero (abra os fechados e fechava os abertos). O quarto mudava o estado dos armáros de 4 em 4, a partr do quarto, e assm por dante. Depos de todos os alunos passarem, quantos armáros permanecam abertos? Depos de resolvdo o problema, observe que para o armáro fcar aberto ele deve ter um número ímpar de dvsores; para cada dvsor ele muda de estado. Como ele começa aberto, ele va precsar de um número ímpar de dvsores para fcar aberto (ex: 1 o dvsor ABRE; 2 o dvsor FECHA; 3 o dvsor ABRE). Este números são os quadrados perfetos entre 1 e Como exstem 31 deles entre 1 e 1000 a resposta é 31. No vdeo o amgo explca o fato de um número perfeto ter um número mpar de dvsores com exemplos, mas a demonstração está abaxo. Surpresa para os calouros 5/7

6 Erro no vídeo esqueceram do 4 e do 9 Ao contablzar os dvsores de 36, o estudante esqueceu de colocar o 4 e o 9 na lsta. Assm o correto é Dvsores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e dvsores => aberto Sugestões de atvdades Depos da execução Professor, peça aos alunos que façam as demonstrações dos seguntes resultados: 1) Prove que a soma de dos números naturas pares é par. 2) Prove que a soma de dos números naturas mpares é par. 3) Prove que o produto de dos números naturas pares é par. 4) Prove que o produto de dos números naturas mpares é mpar. 5) Tome um número fnto de naturas. Se um deles for par o produto deles é par. 6) Consdere c um produto fnto de naturas. Prove que, se c for mpar, então todos os fatores são mpares. 7) Prove que se n é um quadrado perfeto, ou seja n = b 2, para algum b em N, então n tem um número ímpar de dvsores. 8) Recprocamente, prove que se um número natural tem um número ímpar de dvsores, então ele é um quadrado perfeto. Surpresa para os calouros 6/7

7 Algumas demonstrações 1) Se a é par, a = 2n, para algum n natural e se b é par, b= 2m, para algum m natural, então a + b = 2(n+m). Como n+m é natural, a+ b é par. 7) Use o teorema fundamental da artmétca, a sua uncdade e o exercco 4 acma para conclur que τ(n) é mpar. 8) Use a uncdade novamente do teorema fundamental da artmétca e o exercco 6, para construr o número b tal que n = b 2. Sugestões de letura 1. H.H.Domngues, Fundamentos de ARITMETICA- Atual Edtora, J.C.V.Sampao, P.A.S.Caetano- Introdução à Teora dos Números um curso breve- EdUFSCar- São Carlos Fcha técnca Autor Otla Tereznha W. Paques Revsor Samuel Rocha de Olvera Coordenador de audovsual Prof. Dr. José Eduardo Rbero de Pava Coordenador acadêmco Prof. Dr. Samuel Rocha de Olvera Unversdade Estadual de Campnas Retor Fernando Ferrera Costa Vce-retor Edgar Salvador de Decca Pró-Retor de Pós-Graduação Eucldes de Mesquta Neto Insttuto de Matemátca, Estatístca e Computação Centífca Dretor Jayme Vaz Jr. Vce-dretor Edmundo Capelas de Olvera Surpresa para os calouros 7/7