MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE UM SISTEMA MASSA-MOLA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE

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1 MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE UM SISTEMA MASSA-MOLA COM 2 GRAUS DE LIBERDADE C. Cancan; P. Domngues 1. INTRODUÇÃO O presente texto tem como objetvo apresentar a resolução e uma dscussão dos aspectos teórcos envolvdos no Exercíco de Modelagem e Smulação Computaconal 2 (EMSC 2) de 2015, que fez parte da dscplna PME3200 Mecânca II. No exercíco, fo realzada a modelagem matemátca do segunte sstema: uma esfera de massa m, aproxmada como um ponto materal P, que podera se movmentar sem atrto por um plano horzontal; essa massa estara lgada aos pontos A e B, em paredes fxas e que dstam a do ponto de equlíbro O, por duas molas deas e dêntcas de comprmento natural l e constante k. r j r K y A O K B P a x a Fgura 1: Sstema em estudo A dea era estudar a dnâmca da massa, ao deslocá-la arbtraramente do equlíbro, como lustrado na fgura ao lado. Isto é, buscar entender como os dversos parâmetros envolvdos nfluencavam nas equações de movmento do sstema; estudar a sua establdade e os pontos de equlíbro; e, fnalmente, realzar uma sére de smulações para comparar com os resultados analítcos. Assm, reproduzremos todo o estudo realzado, bem como adconaremos uma maor dscussão tanto dos concetos físcos e matemátcos envolvdos na modelagem, quanto da nterpretação dos resultados das smulações e a relação com outros sstemas análogos de nteresse.

2 2. EQUACIONAMENTO DO SISTEMA A modelagem do sstema fo realzada utlzando-se as equações de movmento de Lagrange. Para um sstema com N coordenadas generalzadas as equações de Lagrange podem ser dadas por: d L L = Q k, para k =1, 2,..., N dt q k & Em que q k é a k-ésma coordenada generalzada, Q k a força generalzada corresponde e L = T - V a lagrangeana do sstema, sendo T a energa cnétca e V a energa potencal. No sstema do EMSC é possível escolher como coordenadas generalzadas as coordenadas usuas (x, y), que descrevem completamente o seu movmento. Com essas coordenadas, tem-se que:. Energa Cnétca - sendo a massa (m), um ponto materal P(x, y) tem sua energa cnétca dada por: T ( x, y ) = 1 2 m ( x2 + y 2 ), sendo x = dx dt e y = dy dt. Energa Potencal - a energa potencal será devda exclusvamente às molas, sendo, portanto, da forma: V = 1 2 K ΔL2 2 ( A + ΔL B ), em que ΔL é a varação do comprmento de cada uma das molas (A e B). Mas, vale que: ( ) l j = x +[(y a) l] j ( ) l j = x +[(y + a) l] j Δ L A = P A Δ L B = P B E assm, fnalmente, chega-se em: V(x, y) = 1 2 K ( x2 + ( y a) 2 l) 2 + x 2 + ( y + a) 2 2 ( l) Tendo as energas cnétca e potencal, estamos em condção de escrever a lagrangeana do sstema, que será dada por: L = T( x, y) V(x, y) = 1 2 m x2 + y 2 ( ( ) 2 l) ( ) 1 2 K x2 + y a 2 & + x 2 + ( y + a) 2 2 ( l) &

3 Como não há forças não-conservatvas atuando, tem-se todas as nformações necessáras para aplcar as equações de Lagrange às coordenadas (x, y), de modo a obter as equações de movmento do sstema: ) + + * + +, d L L dt x & x = 0 d L L dt y & y = 0 / ) m x + K + 2x l + * + ) m y + K + 2y l + * + x ( ) + x 2 x 2 + ( y + a) 2 x 2 + y a y a ( ) + y + a 2 x 2 + ( y + a) 2 x 2 + y a &, (. = 0 (. -. &, (. = 0 (. -. De cara, já é possível perceber que o sstema de equações dferencas obtdos é extremamente não-lnear, dado que os termos orgnáros do potencal foram responsáves pelo aparecmento de raízes do quadrado das coordenadas envolvdas em cada uma das equações. A não-lneardade dessas equações, por sua vez, permte que se magne um comportamento caótco das suas soluções e, além dsso, que os fenômenos assocados a esse comportamento caótco sejam nfluencados pela confguração das molas. Isto é, se as molas estão ncalmente comprmdas, relaxadas ou alongadas. Afnal, sso nfluenca no potencal gerado e, consequentemente, na lneardade das equações de movmento. Nesse sentdo, justfca-se a ntrodução, desde já, do parâmetro α (real e postvo), defndo por: α = l a Ou seja, esse parâmetro é a razão entre o comprmento natural (l) da mola pela dstânca do ponto O às paredes (a), de modo que, para três ntervalos de valores de α é possível assocar um sgnfcado físco mportante: 0 < α < 1 molas alongadas α = 1 molas relaxadas α > 1 molas comprmdas 3. ANÁLISE DO EQUILÍBRIO Com essas defnções, é possível ncar a nvestgação da dnâmca do sstema. De manera geral, é uma boa dea ncar a análse através dos pontos de equlíbro, uma vez que, fscamente, esses pontos são aqueles em que, ao se lberar o sstema com velocdade ncal nula, esse sstema permanecerá em sua confguração ncal para todo nstante de tempo. Ou seja, matematcamente, pontos de equlíbro representam as soluções constante das equações de movmento.

4 Nesse sentdo, podemos estabelecer uma condção para encontrar os confgurações de equlíbro. Um ponto P 0 = (q 10,...,q N0 ) é dto ponto de equlíbro de um sstema com N coordenadas generalzadas se satsfaz o conjunto de N equações dadas por: V = 0, k =1, 2,..., N & P0 Veja que, de fato, sso nos garante soluções constantes para um sstema lberado com velocdade ncal nula. Suponha um sstema conservatvo genérco, de modo que a lagrangeana (na maora dos casos clásscos) é dada por: L = 1 2 m( q q q 2 N ) V(q 1, q 2,..., q N ) A equação de movmento para a k-ésma coordenada será então: m q k + V = 0 & Que é, smplesmente, a segunda le de Newton. Pelo nosso crtéro de equlíbro, se no ponto P 0 a dervada parcal se anula para todo k chegamos a conclusão que a aceleração em cada coordenada também é zero e como, por hpótese, o sstema é lberado do repouso, ele assm permanecerá para sempre. Isto é, a solução da equação de movmento de fato é constante e gual a P 0. É mportante notar que nesse caso do sstema conservatvo, o crtéro de equlíbro se traduz em encontrar os pontos em que a força conservatva se anula, uma vez que (para q 1,..., q N coordenadas cartesanas usuas): F = V, com = & q1, q2,..., qn ( q 1 q 2 q N Ou seja, se em um ponto a dervada do potencal se anula para todo k, sso sgnfca que o gradente é nulo e, assm, a força atuante no sstema é nula nesse ponto em questão (que é justamente a noção fundamental de equlíbro mecânco). De qualquer forma, o crtéro apresentado contnua váldo em stuações um pouco mas geras e a melhor manera de nterpretá-lo é pensando que os pontos de equlíbro devem respetar a condção de serem

5 extremantes da função potencal, o que pode não sgnfcar necessaramente força nula, como será possível ver mas adante. Vamos, então, achar os pontos de equlíbro do sstema proposto no EMSC usando esse crtéro. Isto é, precsamos resolver o sstema de equações dado por: V x = 0 V y = 0. ( Kx 0 2 l * 0 * / 0 ). ( K 0 2y l * 0 * / 0 ) 1 ( ) x 2 + ( y + a) 2 x 2 + y a y a ( ) + y + a 2 x 2 + ( y + a) 2 x 2 + y a , , 23 = 0 ( 1) = 0 ( 2) Por nspeção, não é dfícl de verfcar que o ponto P 0 = (0,0) é solução do sstema. Isso é um ndcatvo de que nossas consderações sobre equlíbro são razoáves, afnal esse ponto é justamente o ponto O, recebendo, por sso, o nome de equlíbro trval. Além desse ponto, para x = 0, é possível ver, usando a equação (2), que os pontos (0, l) e (0, -l) também são soluções do sstema. Veja que esses dos pontos representam a massa nas posções A e B, respectvamente. No entanto, é estranho magnar que esses fossem pontos de equlíbro, já que, como as duas molas são dêntcas e estão sob solctações opostas (uma completamente comprmda e a outra completamente estcada) devera se esperar uma força resultante máxma e tendendo a expulsar a massa desses pontos. Na realdade, o que ocorre é uma espéce de equlíbro dnâmco, cuja análse foge do nosso nteresse nesse texto. Por últmo, para y = 0, realzando um certo trabalho algébrco, fca claro que é precso ter x = ± a α! 1 para que o sstema acma seja váldo (lembrando que defnmos o parâmetro α como α = a/l), o que nos dá mas 2 pontos de equlíbro. Desses cnco pontos encontrados, os dos últmos são os mas nteressantes, pos exste uma restrção embutda na sua exstênca: α 1, uma vez que estamos nos lmtando a valores reas de x e y. Ou seja, conforme varamos o parâmetro α (o que, lembre-se, sgnfca alterar o estado de tensão ncal das molas) obteremos dferentes pontos de equlíbro no nosso sstema. Assm, se α < 1 (as molas estão alongadas), teremos apenas a orgem e os pontos smétrcos ao exo x como sendo de equlíbro. Para α = 1 (molas relaxadas) as soluções (0, ± a α! 1) se reduzem a um únco ponto que concde com a orgem, de modo que o equlíbro é smlar ao caso anteror. Evdentemente, para α > 1 (molas comprmdas) essas soluções se tornam dos pontos smétrcos em relação a orgem e que estão sob o exo y. Conforme α

6 cresce, ou seja, quanto mas alongadas fcam as molas, esses pontos de equlíbro se afastam um do outro. Um comportamento como esse, em que determnadas condções de equlíbro varam com um parâmetro, recebe o nome de bfurcação, mas também é possível encontrar o termo quebra (espontânea) de smetra. Esses nomes são bastante adequados, afnal, analsando nosso caso, o que acontece é que temos um únco ponto de equlíbro no exo y até o valor crítco de α = 1, quando as posções de equlíbro se dvdem em duas e se afastam (bfurcam), como é possível ver no chamado dagrama de bfurcação abaxo: α Dagrama de bfurcação do parâmetro α 4. ANÁLISE DE ESTABILIDADE Sendo conhecdos os pontos de equlíbro o camnho mas natural a segur é tentar classfcá-los quanto a sua establdade, afnal, anda mas mportante do que conhecer os pontos em que o sstema pode se equlbrar é consegur decdr para quas desse pontos o equlíbro é mas natural. Mas precsamente, ao estudarmos establdade estamos nteressados em saber qual é o efeto de pequenas perturbações no sstema, que retram-no de suas posções de equlíbro. A nossa classfcação dependerá, então, da forma com que o sstema evolu a partr dessa pequena perturbação: se o sstema tender a voltar ao ponto de equlíbro, teremos o chamado equlíbro estável; caso contráro, sto é, se o sstema se afasta arbtraramente desse ponto, teremos um equlíbro nstável. O nteressante dessa dea de pequenas perturbações é que ela medatamente se relacona com a dea de lnearzação. Isso porque, se estamos consderando quantas pequenas, os termos quadrátcos ou de ordem mas elevada acabam se tornando pequenos o sufcente para serem desprezados. Assm, o que podemos fazer é juntar as deas de análse de establdade e lnearzação: vamos lnearzar as equações de movmento e estudar sua

7 establdade em torno dos pontos de equlíbro encontrados; a partr dsso, poderemos extrapolar nossas conclusões para o sstema orgnal. Uma possbldade de se proceder para lnearzar as equações é através das própras equações de movmento de Lagrange, sto é, tentar garantr que, ao utlzarmos essas equações, tenhamos como resultado equações lneares. Para sso, é mportante olhar a forma geral das equações de Lagrange para um sstema conservatvo qualquer de N dmensões (com a lagrangeana explctada): d & (T V )( (T V ) = 0 dt q k O ponto fundamental da lnearzação está no efeto, em T e V, das operações de dervação realzadas ao se aplcar essas equações. Em prmero lugar, derva-se T e V com relação às velocdades generalzadas. Ora, o potencal conservatvo V, em geral, é assumdo como sendo função apenas das posções, de modo que se anula: V = V(q 1,..., q N ) V q k = 0, k Por outro lado, para vermos o que ocorre com a energa cnétca T, é precso fazer algumas consderações extras para reescrevê-la de forma convenente. Para um sstema com n partículas, por exemplo, T é assumda como sendo da forma: T = 1 2 m v v Em que v é a velocdade da -ésma partícula. Mas, sendo a velocdade a dervada temporal do vetor posção r que, por sua vez, é função das k coordenadas generalzadas e, eventualmente, do tempo, fcamos com: r = r (q 1,..., q N,t) v = d r dt = r q k + r t T = 1 2 m k r q k + r & ( t l r q l q l + r & ( t

8 Acma usamos a regra da cadea para dervar r e substtuímos o resultado obtdo na expressão anteror para a energa cnétca. Abrndo a equação obtda, chegamos em: T = 1 2 m r t r t + m r r q k + 1 t 2 k k,l m r r q l q k q l Mas, na maora dos casos r não depende explctamente do tempo, de modo que a energa cnétca se reduz a: T = 1 r m r q k q l = 1 r m kl q k q l, com m 2 q l 2 kl = m r q l k,l k,l Fnalmente, a expressão de m kl sugere que podemos reescrever essa expressão em uma notação matrcal, uma vez que é possível nterpretar k e l como índces das lnhas e colunas, respectvamente, de uma matrz NxN (afnal, temos N coordenadas generalzadas), chamada matrz de massa (M). Defnndo, então, q (sem subscrto) como sendo o vetor de velocdades generalzadas, obtemos a segunte expressão matrcal para a energa cnétca de um sstema de partículas: q t =! q 1... q N T = 1 2 qt M q Agora estamos em condções de avalar o efeto de dervarmos T em relação à velocdade generalzada nas equações de Lagrange. Lembrando que estamos nteressados em lnearzar em torno do ponto do equlíbro, é possível perceber que essa nformação sobre a posção nfluenca eventualmente apenas no valor da matrz de massa. Por sso, chamando smplesmente de m kl os elementos m P 0 kl da matrz de massa avalados no ponto de equlíbro P 0, teremos: T = 1 q k q k 2 qt M q = m P 0 kl & q l = m kl q l l l Aqu é mportante perceber a sutleza: cada entrada da matrz de massa é constante e as velocdades generalzadas são, no máxmo, quadrátcas em cada coordenada, de modo que a dervação acma de fato resulta em algo lnear nas velocdades generalzadas.

9 Assm, usando todos os resultados anterores, a prmera parte das equações de Lagrange em torno de um ponto de equlíbro resulta, para cada k, em: d dt & (T V )( = m kl q l q k l Isto é, lembrando mas uma vez que m kl é apenas um número, essa prmera parte realmente é lnear nas acelerações generalzadas. Resta agora a dervada de T e de V com relação às posções generalzadas, em torno do mesmo ponto de equlíbro. A energa cnétca dessa vez se anula, pos sendo a matrz de massa constante, T é função apenas das velocdades generalzadas: T = 1 2 qt M q = 0 & Resta nvestgar o que ocorre com o potencal. Intutvamente, como remos dervar uma vez em relação as posções, podemos magnar que deveremos ter um potencal parabólco em torno do ponto de equlíbro, afnal as equações de Lagrange o tornaram lnear. Vamos proceder, então, nesse sentdo: realzaremos um expansão em sére de Taylor centrada no mesmo ponto de equlíbro P 0 da função potencal e pegaremos apenas os termos até segunda ordem. Assm: ( ) = V 0 + V q 1,..., q N V q k V q k q l +... k & 2 q P 0 k,l k q l & P0 Sendo P 0 um ponto de equlíbro o segundo termo, de acordo com nosso crtéro de equlíbro, se anula. Além dsso, sendo V 0 uma constante e que, portanto, some ao ser dervada podemos toma-la como sendo zero, o que nos dá: V = 1 2 V q k q l = 1 2 V v kl q k q l, com v kl = 2 q l & 2 q P0 k q l & k,l k,l P 0 Como fzemos com a energa cnétca, podemos nterpretar v kl como sendo o elemento da lnha k e da coluna l de uma matrz NxN, que denotaremos por K e chamaremos de matrz de rgdez.

10 Assm, defnndo q (sem subscrto) como sendo o vetor de posções generalzadas podemos reescrever a expressão anteror em notação matrcal: V = 1 2 qt Kq, com q t =! q 1... q N Então a segunda parte das equações de Lagrange nos garantem para cada k: (T V ) = V = 1 & 2 qt Kq( = v kl q l l De novo, como cada v kl é apenas um número, o resultado fnal fo algo realmente lnear em cada posção generalzada. Juntando os dos resultados obtdos, em notação matrcal, as equações de movmento do sstema se tornam: M q + Kq = 0 Veja que para cada coordenada k (lnhas dos vetores e das matrzes) a multplcação entre matrzes e vetores nos retornam às somas nos índces l (colunas das matrzes) que havíamos obtdo anterormente. Mas a questão prncpal é que fnalmente chegamos em equações de movmento lnearzadas em torno de um ponto de equlíbro P 0 e agora podemos analsar a establdade desse ponto de equlíbro. Para motvar o crtéro de establdade é váldo realzar uma analoga com um conhecdo sstema undmensonal, que aparece no estudo da dnâmca de um sstema em que uma massa m se movmenta, sem atrto e devdo à força de uma mola lnear de constante k, após ser deslocada do equlíbro: m x + kx = 0 Veja que a forma da equação é muto parecda com a que obtemos ao lnearzar as equações de Lagrange. Em todo caso, nesse contexto do sstema massa-mola a constante k só tem sentdo físco se for postva, o que garante soluções do tpo x(t) = Ae ωt + Be ωt para a equação de movmento, sto é, soluções osclatóras. Mas, matematcamente, nada mpede que tenhamos uma equação análoga só que com k negatvo. Nesse caso, as soluções são do tpo x(t) = Ae βt + Be βt e que, agora, ndcam a possbldade do sstema explodr para o nfnto para t grande (o que não acontece em um sstema que oscla).

11 O mportante dessa analoga é que a constante k é que tem grande nfluênca no comportamento do sstema massa-mola após pequenos deslocamentos em torno do equlíbro: para valores postvos de k, obtemos soluções osclatóras e, portanto, com certa establdade em torno do ponto de equlíbro; enquanto que para k negatvo as soluções são exponencas, podendo se afastar arbtraramente do equlíbro, o que caracterza nstabldade. Essa dscussão toda é um ndcatvo que, ao menos ntutvamente, faz sentdo que o equlíbro do nosso sstema conservatvo genérco N-dmensonal tenha alguma relação com a matrz de rgdez K. Mas, se essa comparação não fo convncente o sufcente, vamos analsar o que exatamente sgnfca essa matrz de rgdez. De manera explícta, ela é dada por: K = 2 V 2 V 2 V q 2 1 q 1 q 1 q N 2 V q 1 2 V 2 2 V q N 2 V 2 V 2 V q N q 1 q N q 2 N & P 0 Ora, temos uma matrz NxN em que os elementos são as dervadas segundas de uma função avaladas em um ponto (no caso a função potencal avalada no ponto de equlíbro), sendo que essa função é admtda dferencável duas vezes e com dervadas contnuas. Imedatamente segue dsso que a matrz de rgdez nada mas é do que a chamada matrz hessana da função potencal, afnal as duas são defndas de modo dêntco. Isso sgnfca que essa matrz pode nos dar nformações valosas sobre o ponto de equlíbro encontrado: é possível saber se P 0 é ponto de máxmo, mínmo ou sela da função potencal. E veja que sso de fato já nos é sufcente para estabelecermos um crtéro para a establdade do ponto de equlíbro. Pensando fscamente, se P 0 for um ponto de máxmo do potencal, um pequeno deslocamento tende a dmnur a energa potencal, o que se traduz em energa cnétca e, consequentemente, velocdade cada vez maores e, portanto, um afastamento crescente desse ponto de equlíbro. Se recuperarmos nossa defnção de establdade de pontos de equlíbro, esse comportamento se aproxma bastante do que se entende por equlíbro nstável: pequenas perturbações causando afastamento arbtráros. Além dsso, como pontos de sela, por defnção, se comportam como pontos de máxmo ou mínmo, dependendo da dreção em que há a perturbação, é natural nclurmos esses pontos como sendo de equlíbro nstável também.

12 Por outro lado, se P 0 é ponto de mínmo, um pequeno deslocamento sgnfca um acréscmo na energa potencal. É de se esperar, então, que ao ser lberado nessa confguração, o sstema tenda a dmnur o potencal (afnal essa é a tendênca natural de qualquer sstema), mas sso sgnfca voltar justamente para o ponto de mínmo P 0. Como temos uma stuação em que pequenas perturbações retornam o sstema ao ponto orgnal é possível classfcar o equlíbro como estável. Tentando resumr todo o desenvolvmento dessa seção, sera nteressante destacar o segunte: ao analsarmos a establdade dos pontos de equlíbro, estamos nteressados no efeto que pequenas perturbações ao redor desses pontos causam no sstema; essa defnção nos levou a dea de lnearzação das equações de movmento em torno de um ponto de equlíbro, o que fzemos obtendo energas cnétca e potencal quadrátcas para colocarmos nas equações de Lagrange; com as equações de movmento lnearzadas, então, percebemos que a matrz de rgdez devera exercer um papel fundamental na establdade de suas soluções; de fato, em seguda dentfcamos essa matrz como sendo a matrz hessana da função potencal e, por fm, concluímos que o problema de classfcação de establdade de pontos de equlíbro se resuma a um problema de classfcação de pontos crítcos de uma função, assocando establdade com pontos de mínmo do potencal e nstabldade com pontos de máxmo ou de sela. 5. APLICAÇÃO À ANÁLISE DO EMSC Com todas essas novas ferramentas em mãos, podemos voltar ao sstema proposto no EMSC e estudar a establdade dos pontos de equlíbro. Na realdade, vamos nos lmtar a analsar o equlíbro em torno da orgem O(0,0), uma vez que poderemos fazer conexões nteressantes com a dscussão sobre a bfurcação do sstema e o surgmento dos novos pontos de equlíbro smétrcos. Para realzar essa análse, então, precsamos escrever as energas cnétca e potencal quadrátcas, que denotaremos por T 2 e V 2 respectvamente, em torno da orgem. Começando pela energa cnétca, é fácl ver que ela já é quadrátca em x e y, o que nos dá o segunte: & ( T = 1 2 m ( x2 + y 2 ) q t =! x y T 2 =! x y! * m 0 0 m! + * * x y + +

13 Para o potencal quadrátco precsaremos realzar todas as dervadas parcas de segunda ordem da função potencal que já obtvemos para montarmos a matrz de rgdez. Após um certo trabalho algébrco, é possível ver que: & 2 V = 2k ( 1 α) x 2 (0,0) 2 V = 2 V = 0 x y (0,0) y x (0,0) 2 V = 2k y 2 (0,0) V 2 = ( ) x y ( *, + ), 2k ( 1 α) 0 0 2k *( -, + -), x y * Assm, colocando essas expressões nas equações de Lagrange, de fato obtemos um sstema lnearzado em torno da orgem:! m 0 0 m! & x y! & & + 2k ( 1 α) 0 0 2k! & & x y & & = 0 De qualquer forma, vamos nos voltar para a matrz (hessana) de rgdez. Para analsarmos o equlíbro, precsamos decdr se a orgem é um ponto de máxmo, mínmo ou sela e, para tanto, é precso calcular seu determnante, que é dado por: det K = 4k 2 (1 α) & det K > 0, se α < 1 det K = 0, se α = 1 det K < 0, se α > 1 Veja que o determnante depende do valor do nosso parâmetro α, que, recordando, está relaconado com o estado orgnal da mola. Consequentemente, a establdade do equlíbro na orgem também depende desse parâmetro, o que já ndca de que forma faremos alguma relação com o dagrama de bfurcação.

14 Vamos, então, analsar com maor cudado as três stuações possíves para o determnante. Do cálculo, sabemos que para 2 dmensões um ponto é de mínmo se o seu determnante hessano é postvo e o prmero termo da dagonal prncpal também. Para α < 1 é justamente sso o que acontece, de modo que podemos conclur que na stuação de molas ncalmente alongadas a orgem é um ponto de equlíbro estável. Por outro lado, temos que quando o determnante é negatvo o ponto em questão é um ponto de sela. Segue medatamente que para α > 1 a orgem é um ponto de sela do potencal e, portanto, quando as molas estão ncalmente comprmdas a orgem apresenta um equlíbro nstável para o sstema. Por últmo, quando α = 1 o determnante é nulo e a análse va hessano nos dz que nada se pode afrmar sobre o ponto em questão quanto sua classfcação como extremante do potencal. Nesse ponto, podemos retornar à bfurcação dos pontos de equlíbro. Já mostramos que para α < 1 o únco ponto de equlíbro razoável era justamente a orgem e que para α > 1 surgam dos outros pontos smétrcos em relação ao exo y. Ora, α = 1 é justamente a stuação lmítrofe, em que o equlíbro nca sua bfurcação. Do ponto de vsta da establdade desses pontos, a stuação é bastante análoga: a orgem começa como sendo um ponto de equlíbro estável e, após a stuação lmítrofe, torna-se nstável. É possível mostrar, anda, que os novos pontos smétrcos são, de fato, estáves. Para fnalzar, é nteressante dexar claro o que está acontecendo com o potencal conforme varamos α. Para α < 1 temos que o potencal tem um únco ponto de mínmo; esse ponto então se torna um ponto de sela para α > 1 o que orgna dos poços de potencal, ou seja, dos novos mínmos smétrcos em relação ao exo y. Essa confguração no potencal ncta a formação dos chamados atratores estranhos, fenômenos típcos de sstemas caótcos e presentes na teora de caos desde seus prmeros passos, mas cujos detalhes fogem do escopo desse texto.

15 6. SIMULAÇÃO Para a smulação, consderamos a massa da partícula m=50g, a dstânca entre as extremdades (pontos A e B) de 0,5m, e a constante elástca da mola k=10 N/m. Para cada sstema, há uma condção ncal dferente e um comprmento natural de mola dferente. É possível vsualzar cada condção ncal nas magens abaxo: Analsaremos o sstema nestas quatro condções dstntas, que consderamos nteressantes para entender o comportamento do sstema. 1. A mola está ncalmente estcada (α=0.2) : Há um e somente um ponto de establdade na própra posção ncal da partícula. 2. A mola está em posção natural ncalmente (α=1): Essa é uma condção lmte do sstema. A partr deste valor, o sstema passa a ter 3 pontos de establdade, ao nvés de somente 1.

16 3. A mola está em compressão ncalmente (α=1.4): O sstema admte dos pontos de equlíbro estável smétrcos e um ponto de equlíbro nstável na posção ncal. 4. A mola está numa compressão maor (α=2): o comportamento do sstema é mas caótco e apresenta os três pontos de equlíbro, como o anteror. 6.1 POTENCIAL Como ferramenta de análse do sstema, obtemos o gráfco de energa potencal em função das coordenadas da massa. Os valores de energa potencal estão expressso em Joules, onde cores mas escuras correspondem a potencas mas baxos e cores mas claras correspondem a potencas maores. Também é possível vsualzar uma superfíce z(x,y), que representa um análogo ao potencal gravtaconal. Para as duas prmeras smulações é possível vsualzar na sua superfíce uma espéce de poço de potencal. Caso a partícula seja posconada em qualquer ponto na vznhança do ponto de establdade (x=0, y=0), então a tendênca é ela car nesse posso, ou seja, osclar em torno do ponto de establdade. No caso da segunda smulação é possível ver um certo alargamento do poço. Isso é devdo ao valor de α=1, um caso lmte onde os poços tenderão a bfurcar para dos lados opostos.

17 Para as duas últmas smulações, onde α>1 já é possível ver dos poços dstntos, e um ponto de sela na coordenada (0,0). Este ponto de sela (que assemelha-se com uma sela de cavalo) é o que faz este ponto ser nstável, pos se magnarmos uma partícula na vznhança com uma leve perturbação, ela tenderá a se afastar deste ponto. Por outro lado, na vznhança dos poços, a partícula sempre tenderá a osclar em torno de um poço (ou dos dos, como veremos a segur). Os pontos mas claros desse potencal (onde se concentram dos bcos ) são as sngulardades da força elástca, ou seja, o potencal não é dferencável nesse ponto, logo não há gradente que defna a dreção da força nesse ponto. Enganosamente parece um ponto nstabldade no ntervalo de análse, porém não é possível conclur nada a respeto da establdade nesse ponto por meo das ferramentas matemátcas. Fscamente, esses dos pontos representam a lgação das molas ao espaço. Logo, é de se esperar que elas não tenham nenhuma dreção defnda de força (é dfícl magnar para que dreção uma mola comprmda a l=0 rá depos de ser lberada!) 6.2 MOVIMENTO DA PARTÍCULA Agora que dscutmos o suposto comportamento da partícula devdo ao potencal presente, então foram fetas smulações dos movmentos nas quatro condções. A trajetóra representa o movmento da partícula ao longo de um tempo de 10 segundos. A magem mostra, além da trajetóra da partícula, o potencal em escala de matz (vermelho maor potencal, azul escuro menor potencal) e os dos pontos de fxação das molas (em preto). As partículas foram lberadas nas posções descrtas pelas lustrações anterores.

18 Como prevmos, para as prmeras smulações a partícula oscla em torno do poço de potencal. É nteressante notar que a partícula nos dos casos segue um movmento bem regular e peródco. Lnearzando a equação da mola em torno de (0,0) e resolvendo as equações dferencas (que não faremos aqu) é possível notar uma parametrzação de (x,y) em função de t, em função de

19 termos em seno e cosseno. Por conta dsso, gera-se um padrão regular e smétrco que vmos nessa smulação. Exstem curvas que exbem um comportamento smlar que se chamam curvas de Lssajous. Para as duas últmas osclações, devdo a α>1, há dos pontos de equlíbro estáves. Logo a partícula tende claramente a osclar em torno deles. Como há energa o sufcente para a partícula atravessar de um lado para o outro, ela também tende a osclar no outro poço.

20 É nteressante esse comportamento, pos uma leve dferença na posção ncal leva a trajetóras totalmente dferentes. Talvez a partícula oscle em torno de um poço, ou em torno dos dos. À prmera vsta também não é possível ver se a partícula alternará de poço ou permanecerá no mesmo após uma osclação, ou seja, para α>1, o comportamento se torna caótco. A grosso modo, um sstema caótco é um sstema dnâmco que com pequenas perturbações ncas, ele sofrerá grandes mudanças na sua trajetóra, que a prncípo não parecem tão óbvas de se prever. 6.3 ESPAÇO DO FASES A fm de podermos vsualzar comportamentos nteressantes sobre o sstema, às vezes é útl termos um espaço de fases. Um espaço de fases é um espaço n-dmensonal consttuído por n varáves (arbtráras e que nos nteressam) de um sstema dnâmco. No caso, podemos consderar um espaço de fases consttuído por x versus velocdade em x ou y versus velocdade em y. Os espaços de fase que escolhemos estão relaconados com energa potencal e energa cnétca. Plotando o gráfco deles em cada condção podemos obter resultados nteressantes.

21 Para a prmera smulação, podemos ver que o espaço de fases nos dos gráfcos são um conjunto de curvas fechadas que se aproxmam para uma elpse. Isso é um comportamento característco para sstemas que apresentam establdade. Também podemos nterpretar a curva como sendo aproxmadamente uma elpse que satsfaz a equação: x 2 a 2 +!x2 b 2 =1 Sendo a e b constantes quasquer. Mas para pequenas perturbações em x não consderando o movmento em y (como sendo desprezível), então o potencal V da mola e a energa cnétca K (escolhendo-se as constantes adequadas) podem ser aproxmados como: K!x2 b e V x2 K +V =1 2 2 a A últma equação mpõe que a energa mecânca (V+K) é constante, o que condz com a stuação dos sstemas conservatvos que estamos analsando. Claro que é apenas uma nterpretação aproxmada e sujeta a mprecsões, mas é possível ter um pouco de ntução sobre o porquê das curvas fechadas, neste caso em que as osclações são regulares, relatvamente pequenas e o potencal é quase smetrcamente radal.

22 Para estas duas últmas smulações é possível vsualzar padrões nteressantes. O que mas se destaca é o fato de ter duas órbtas que aparentemente representam os dos pontos de establdade do sstema. Para a últma smulação, mas caótca, essas curvas se comportam muto menos regularmente e seguem uma órbta muto menos defnda. Intutvamente o conceto desses espaços de fases apresentam um tpo de comportamento de perodcdade e establdade do sstema dnâmco.