ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE PLACAS FABRICADAS A PARTIR DE MATERIAIS COMPÓSITOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 13 o POSMEC - Smpóso do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE PLACAS FABRICADAS A PARTIR DE MATERIAIS COMPÓSITOS VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ilvan Porto Perera Júnor Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda, Campus Santa Mônca, Bloco M, s/n pperera@mecanca.ufu.br Raquel Santn Leandro Rade Faculdade de Físca, Unversdade Federal de Uberlânda, Campus Santa Mônca, Bloco X, s/n rslr@ufu.br Domngos Alves Rade Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal de Uberlânda, Campus Santa Mônca, Bloco M, s/n domngos@ufu.br Resumo: No presente trabalho aborda-se a análse dnâmca e estátca de placas fabrcadas a partr de materas compóstos va método dos elementos fntos. São obtdas as dez prmeras freqüêncas naturas de uma determnada placa além da sua resposta harmônca e transente em nós predefndos da malha. Estes resultados propcarão uma análse da sensbldade na resposta dnâmca à varação angular das camadas em relação ao sstema referencal de exos da placa e uma melhor compreensão no que dz respeto ao amortecmento hsterétco nerente ao materal, analsado a partr da resposta transente. No que dz respeto a análse estátca, procura-se obter a confguração do estado de tensões e deformação nos lamnados, uma vez que de acordo com a teora de placas, o campo de tensões é descontínuo, sso devdo às dferentes propredades do materal ao longo da seqüênca de emplhamento. Entretanto, o campo de deformações permanece contínuo, garantndo a ntegrdade estrutural. A partr da análses dos resultados, conclu-se que as varações no comportamento estátco e dnâmco refletem uma grande flexbldade na utlzação do materal compósto. Entretanto, paradoxalmente, essa característca pode se transformar numa grande desvantagem, sendo esta a dfculdade na fabrcação de materas que reproduzam o comportamento esperado. Palavras-Chave: Materas Compóstos, Análse Estátca, Análse Dnâmca. 1-INTRODUÇÃO No campo da cênca dos materas, o uso dos compóstos tem apresentado uma certa predleção por dversos setores da ndústra, pode-se notar, por exemplo, uma larga aplcação no setor aeroespacal e bomédco. A vantagem dos compóstos advém da sua alta rgdez comparada ao seu baxo peso específco, o que proporcona estruturas cada vez mas leves e rígdas. Entretanto, para aplcações onde se desea obter uma alta performance alcançada pelo materal, são necessáras análses precsas que garantam o bom desempenho nas funções atrbuídas ao mesmo.

2 -OBJETIVO No presente trabalho abordar-se-á a análse dnâmca e estátca de placas fabrcadas a partr de materas compóstos va método dos Elementos Fntos (MEF). Como ferramenta computaconal será utlzado o software Ansys 6.0. Desea-se obter as prmeras freqüêncas naturas de uma determnada placa além da sua resposta harmônca em nós predefndos da malha, estes resultados propcarão uma análse da sensbldade na resposta dnâmca à varação angular das camadas da placa em relação ao sstema referencal de exos. Outra parte da análse dnâmca que permte uma melhor compreensão no que dz respeto ao amortecmento hsterétco nerente ao materal compósto é a resposta transente da estrutura, na presente abordagem devdo a uma exctação na forma de mpacto. No que dz respeto a análse estátca, procura-se obter a confguração do estado de tensões e deformação nos lamnados, uma vez que de acordo com a teora clássca, o campo de tensões é descontínuo, sso devdo às dferentes propredades do materal ao longo da seqüênca de emplhamento, sendo que o campo de deformações permanece contínuo, razão pela qual é garantda a ntegrdade da estrutura. 3-MATERIAIS COMPÓSITOS Um materal compósto é uma mstura de dos ou mas materas que dferem em forma e composção químca e são essencalmente nsolúves um no outro produzndo assm propredades mutas vezes mas nteressantes do que um únco materal. Ser capaz de predzer as propredades de um composto, dadas as propredades dos componentes e seu arrano geométrco, onde as propredades mecâncas podem ser expressas para esse tpo de materal devdo ao conceto de homogenezação. Essas propredades são determnadas a partr de um elemento de volume representatvo, sendo este volume representado por V. Impondo as condções de tensões e deformações na frontera do elemento de volume, a tensão e a deformação médas são defndas por: 1 σ = σ ( X k ) dv (1) V V 1 ε = ε ( X k ) dv () V V onde X e dv são respectvamente o ponto e o elemento de volume. k Defnndo C e S como matrzes de rgdez e flexbldade, respectvamente, as relações kl entre tensão e deformação são dadas por: kl σ =. (3) Ckl ε kl Skl σ kl ε =. (4) 4-MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A PLACAS Na formulação va MEF, os graus de lberdade utlzados nos nós são três, um dzendo respeto ao deslocamento e dos as rotações entre exos, logo será utlzado um elemento retangular para a obtenção das matrzes de massa e rgdez, adequadamente escolhdo devdo a geometra da estrutura. Segundo o elemento e o número de graus de lberdade, o elemento nodal será um vetor de dmensão doze e terá a segunte forma:

3 [ w θ θ w θ θ θ ] T w 1 ε1 η1 ε η... η 4 = (5) As relações entre a translação e as rotações em termos de coordenadas naturas fca defnda por: θ θ ε η w = η w = ε (6 a.b) Dervando a função de nterpolação φ ( ε, η), o que permte o processo usual aplcado no método, tem-se como uma boa escolha para este caso, o polnômo descrto por: φ( ε, η) = c 8 = c 9 ε + c η + c c ε η + c εη + c η + c 3 ε + c εη + c η + c ε ε η + c εη 7 (7) O deslocamento fca defndo pela segunte relação: T W ( ε, η) = φ w (8) Assm, as matrzes de rgdez e massa são obtdas a partr da equação da energa do sstema, ou sea: W ( υ da (9) = W W W W E W ) + (1 ) x y A x y y x U D onde D E representa a varável de rgdez à flexão da placa: D E = A mw dxdy (10) Realzando uma transformação em termos das coordenadas naturas seguntes relações: x = x y = y + aε + bη ( x, y ) obtém-se as (11) Assm, substtundo as expressões da Eq.11 na Eq.10 e efetuando as devdas operações se obtém as matrzes de massa M e rgdez para a placa. K 3

4 K 1 1 = ab D 1 1 E 1 a φ 1 + ε b T T 1 υ φ φ φ φ a b ε η ε η ε η φ 1 η a T φ 1 + ε b T φ φ + dεdη η ε T φ + η... (1) 1 1 T M = ab m φφ dεdη (13) FUNDAMENTOS DE ANÁLISE MODAL, HARMÔNICA E TRANSIENTE A determnação das freqüêncas naturas não amortecdas e modos de vbrar de um sstema, é obtda a partr da solução da equação que descreve o movmento para uma estrutura não amortecda, dada por: [ M ]{} u + [ K ]{} u = {} 0 (14) Para um sstema lnear, as vbrações serão de forma harmônca, descrtas por: {} u {} φ cos{} φ cosω t onde: = (15) {} φ representa o autovetor do modo de vbrar da -ésma freqüênca natural; ω é a -ésma freqüênca natural crcular (radanos por undade de tempo) e t o tempo. Assm, a Eq.14 pode ser reescrta na segunte forma: ( [ M ] + [ K] ){ φ} = { 0} ω (16) Essa desgualdade é satsfeta para as seguntes soluções: φ det( ) = 0 (17) {} = {} 0 ou ω [ M ] + [ K] Como a prmera opção é a trval, se opta pela segunda, de forma que a solução é dada por: [ M ] + [ K] = {} 0 ω (18) A solução da Eq.18 representa um problema de autovalor, o qual pode ser resolvdo para n valores de ω e n autovetores, onde n é o número de graus de lberdade. A FRF, função resposta em freqüênca, geralmente traduz o comportamento do sstema dentro de uma certa faxa de freqüêncas. Os pcos na maora dos casos são traduzdos como as freqüêncas naturas do sstema, o que possblta ao proetsta análses referentes a faxas de utlzação de determnados equpamentos. A análse transente é feta a partr de uma resposta da ampltude de vbração no tempo, o que confere ao proetsta uma sensbldade no que dz respeto ao amortecmento do sstema. 6-ESPECIFICAÇÃO DO MATERIAL COMPÓSITO E DA ESTRUTURA ANALISADA 4

5 Utlzou-se um composto de S-Glass/Epoxy, formado por quatro camadas com a segunte seqüênca: [ 0, 45] s com as dmensões defndas pela Fg m Aresta Aresta m m Fgura 1 7-ANÁLISE ESTÁTICA DA PLACA O prncpal propósto da análse estátca de placas fo o estudo da resposta da estrutura a um dado carregamento, para que essa forneça ao proetsta nformações sobre a nfluênca da seqüênca de emplhamento e do alnhamento das camadas com o seu respectvo exo de referênca. O campo de tensões e de deformações apresentam partculardades que podem ser evdencadas para cada camada. Consderando que o materal contnuará íntegro ao longo do carregamento, fca claro que o campo de deformações é contínuo na nterface das camadas, entretanto, como as camadas podem apresentar dreções preferencas e serem fabrcadas a partr de materas dstntos, o campo de tensões se mostra descontínuo nas nterfaces. O expermento numérco realzado utlzou como condções de contorno o engastamento das arestas 1 e, ver Fg.1, e como carregamento uma pressão de 5 KPa sob toda a superfíce da placa. Os resulatdos obtdos estão ndcados nas Fgs., 3, 4 e 5. Fgura - Campo de deformações Ux camada 1 Fgura 3- Campo de deformações Ux camada Fgura 4- Campo de tensões V. Mses camada 1 Fgura 5- Campo de tensões V. Mses camada 8-ANÁLISE DINÂMICA DA PLACA 5

6 Uma grande vantagem apresentada por estruturas fabrcadas a partr de materas compóstos é a sua grande versatldade no que dz respeto ao seu comportamento dnâmco, o que é de grande mportânca na confecção de um proeto mecânco. Se for consderada uma placa fabrcada a partr de uma materal sotrópco e homogêneo, a únca forma de se fazer com que os seus modos de vbrar e suas respectvas freqüêncas naturas seam alteradas é provocando uma varação na sua geometra, ou na sua massa, ou em suas condções de contorno, sso é claro consderando que o materal sea perfetamente íntegro, pos o dano nserrá alterações em sua rgdez, provocando alterações nas suas característcas dnâmcas. No que dz respeto aos materas ansotrópcos, sto não é plenamente aplcado, pos estes podem varar as suas característcas dnâmcas apenas de acordo com o alnhamento das dreções prncpas das camadas da placa. Outro ponto relevante é no que dz respeto ao amortecmento hsterétco, que pode ser alterado em função da proporção de fbra e matrz ou do própro alnhamento das camadas (ver Fg.6). Outra forma para evdencar a nfluênca do alnhamento das camadas no comportamento dnâmco é uma análse da FRF aplcada ao mesmo nó da malha de elementos fntos. Para tal análse se utlza uma malha com 800 elementos e lmta-se a uma faxa de freqüênca que va de zero a cem hertz. Uma curosdade que pode ser observada, fo o não aparecmento de algumas freqüêncas naturas dentro desta faxa, assunto que será dscutdo de forma mas oportuna na conclusão do presente trabalho. Influênca do Alnham ento nas Freq. N aturas Frequênca Natural [0/45/0/45] [30/60/30/60] [0/90/0/90] [0/0/0/0] [90/90/90/90] [15/45/65/90] [0/40/5/50] [65/15/-65/-15] [-45/45/-45/45] Modos Fgura 6- Varação das freqüêncas naturas do sstema Fgura 7- FRF alnhamento [0 / 0 / 0 / 0] Fgura 8- FRF alnhamento [45 / 45 / 45 / 45] 6

7 A tercera e últma análse realzada sob a placa é a que dz respeto ao seu comportamento vbratóro no tempo, essa análse permte uma reflexão sob o comportamento do amortecmento do própro materal. No caso dos materas compóstos, esse é um fator de extrema relevânca, uma vez que o mesmo pode ter o seu coefcente hsterétco alterado de acordo com o percentual fbra matrz. Esse tpo de materal tem um comportamento vscoelástco ou vscoplástco, o que lhe confere um cclo hsterétco com grande capacdade de absorção de energa de deformação, sendo assm, são materas que possuem um consderável amortecmento. Fo realzada uma análse a partr da alteração do percentual dos consttuntes do compósto (Tab.1). Abaxo será mostrada uma tabela com os respectvos valores dos coefcentes empregados nas análses. Coef. de amortecmento Hsterétco Percentual fbra x matrz Coefcente 40/ / Tabela 1- Coefcente de amortecmento hsterétco 9-CONCLUSÕES Fgura 9- Transente 0.5/ 0.5 Fgura 10- Transente 0.4/ 0.6 A partr da análse dos resultados obtdos, pode-se conclur que as varações no comportamento estátco e dnâmco refletem uma grande flexbldade no que dz respeto as faxas de utlzação do materal compósto, entretanto, por uma ótca análoga, essa característca pode se transformar numa grande desvantagem, sendo esta a dfculdade na fabrcação de materas que reproduzam o comportamento esperado. Pode-se afrmar que dentro da análse estátca, tem-se um materal que permte ser moldado de acordo com as necessdades da estrutura, ou sea, promovendo o dreconamento dos exos adequadamente de forma a se obter uma maor resstênca do sstema. No campo da dnâmca, as vbrações de magntude elevada devem ser evtadas, o que garante a preservação da ntegrdade estrutural. Para tal medda geralmente são utlzados amortecedores ou um montoramento das frequêncas naturas. No que é tocante ao amortecmento, é sabdo que o materal compósto, geralmente consttuído por fbra e matrz, tem um comportamento global vscoelástco ou vscoplástco, ou sea, um materal que possu um alto amortecmento hsterétco, dependente da percentagem de fbra x matrz. Algumas freqüêncas naturas da placa não apareceram para certos alnhamentos de fbra, sso ocorre devdo ao fato do ponto onde fo coletada a resposta poder ser mas sensível a determnados modos que a outros, ocultando assm, algumas destas freqüêncas nerentes a estrutura. 7

8 Com relação as freqüêncas naturas, estas podem varar de acordo com o alnhamento das camadas, assm sendo, tem-se um materal que permte alterar os valores destas freqüêncas sem alterar a sua geometra, suas condções de contorno e até mesmo a massa do componente ou da estrutura propramente dta. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS YOUNG,W.K. ; BANG, H. - The Fnte Element Method usng MATLAB. Ed-CRC. London ; MEIROVITCH, L.- Prncples and Technques of Vbratons. Ed- Prentce-Hall. USA-1997; WHITNEY, J.M. ; DANIEL, I.M. - Expermental Mechancs of Fber Renforced Composte Materals. Ed-SEM. USA-1984; RADE, R.S.L. ; FERREIRA, N.S.S. - Notas de Aula, Materas Compóstos, UFU- Uberlânda 003; RADE, D.A. - Notas de Aula, Método dos Elementos Fntos, UFU- Uberlânda- 003 STEFFEN, V. - Notas de Aula, Fundamentos de Vbração, UFU- Uberlânda STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS OF PLATES MANUFACTURED FROM COMPOSITE MATERIALS USING FINITE ELEMENTS METHOD Ilvan Porto Perera Júnor School of Mechancs Engneerng, Federal Unversty of Uberlânda pperera@mecanca.ufu.br Raquel Santn Leandro Rade School of Physcs, Federal Unversty of Uberlânda rslr@ufu.br Domngos Alves Rade School of Mechancs Engneerng, Federal Unversty of Uberlânda domngos@ufu.br Abstract: In the present work, t s performed the dynamc and statc analyses of plates from composte materals usng the fnte elements method. The ten frst natural frequences of a determned plate are obtaned beyond ts harmonc and transent response n predefned knots of the mesh. These results wll allow senstvty analyss of the dynamc response to the angular varaton of the layers wth respect to the referencal system of axes of the plate and a better understandng related to the nherent hysteretc dampng of the materal, analyzed from the transent response. Concernng the statc analyss, t s observed the confguraton of the stress state and stran n the layers. In accordance wth plate theory, the stress feld s dscontnous, whch s due to the dfferent propertes of the materal along the plng sequence. However, the stran feld remans contnuous, guaranteeng the structural ntegrty. From the analyss of the results, t can be concluded that the varatons n the statc and dynamc behavors reflect the great flexblty n the use of composte materals. However, ths characterstc can be dsadvantageous, whch becomes a dffculty n the manufacturng of materals that reproduce the expected behavor. Key words: Composte Materals, Statc Analyss, Dynamc Analyss 8