ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO DOS MANCAIS HIDRODINÂMICOS, ATRAVÉS DAS FORÇAS TRANSMITIDAS PELO FLUIDO

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1 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE RIGIDEZ E AMORTECIMENTO DOS MANCAIS HIDRODINÂMICOS, ATRAVÉS DAS FORÇAS TRANSMITIDAS PELO FLUIDO Abdon Tapa Tadeo, ta_deo@yahoo.com.br UFRB - Unversdade Federal do Recôncavo da Baha CETEC-Centro de Cêncas Exatas e Tecnológcas, Engenhara Mecânca Campus Unverstáro de Cruz das Almas - Centro - Cruz das Almas/BA Resumo: Quando se projeta um sstema mecânco é freqüentemente necessáro ter um modelo matemátco representatvo, para os propóstos de predção do comportamento dnâmco, sob dferentes condções de operação, para cada um dos componentes do sstema. Os mancas hdrodnâmcos são componentes cujas superfíces estão completamente separadas pelo flme lubrfcante. Neste trabalho, o lubrfcante é representado por um modelo molaamortecedor e caracterzado por coefcentes equvalentes de rgdez e amortecmento dretos e cruzados respectvamente. Fazendo uso das forças que atuam em cada mancal, assm como, dos deslocamentos do exo em cada posção dos mancas, as mesmas que foram meddas expermentalmente, para confguração básca do sstema Rotor- Mancal. Implementou-se, um procedmento de ajuste de parâmetros que permte determnar os valores dos oto parâmetros, para cada mancal e para cada rotação do sstema. O modelo matemátco é mplementado utlzando o método de elementos fntos para representar cada um dos componentes do sstema, sendo que os modelos são os mas smplfcados propostos na lteratura relaconada. Também, consderam-se somente as vbrações transversas. Palavras-chave: Mancas hdrodnâmcos, ajustes de parâmetros, dnâmca de rotores.. INTRODUÇÃO O sstema rotatvo de uma máquna nterage com as outras partes rotatvas da mesma, assm como, com a estrutura estaconára da máquna, através de uma varedade de mecansmos. Os mas comuns são os rolamentos, mancas hdrodnâmcos, amortecedores, selos, acoplamentos e mecansmos de conexão aerodnâmca. Entretanto os parâmetros representatvos em termos de rgdez e amortecmento dos mesmos são pouco conhecdos na medda, do que os mesmos, dependem de város fatores, assm, por exemplo, os coefcentes de rgdez e de amortecmento que representam os mancas hdrodnâmcos, dependem de fatores, tas como: tpo de fludo, temperatura do fludo, rotação do sstema, carga de trabalho, condções geométrcas (folga, tamanho, forma, etc.) do mancal hdrodnâmco. No trabalho de Tapa A. (2003), modela-se, o sstema mecânco Rotor-Acoplamento-Mancal, onde se pretendeu determnar os parâmetros de rgdez e do amortecmento, que representaram o acoplamento, utlzando a resposta ao desbalanceamento expermental do sstema, não se conseguram resultados alentadores, na medda que os parâmetros representatvos dos mancas hdrodnâmcos, eram também desconhecdos, com sto, aumentava-se o número de parâmetros a serem dentfcados no processo de ajuste, além dsso os parâmetros dos mancas varam com a rotação do exo do sstema. Neste sentdo, neste trabalho apresenta-se um procedmento para estmar esses parâmetros dos mancas hdrodnâmcos, utlzando para sso as meddas expermentas de deslocamento do exo dentro dos mancas, e das forças transmtdas na posção dos mancas nas dreções horzontal e vertcal. 2. MANCAIS HIDRODINÂMICOS A modelagem de mancas hdrodnâmcos vsa representar matematcamente seu flme de óleo, consderando: o carregamento devdo ao peso do rotor, as característcas geométrcas do mancal que defnem a expressão para a espessura do flme de lubrfcante responsável, e o campo de pressões e forças hdrodnâmcas de sustentação. O lubrfcante é representado por um modelo mola-amortecedor, sendo caracterzado por coefcentes equvalentes de rgdez e amortecmento respectvamente (Kramer, 993 e Nelson et al 992), conforme representado na Fg. (), onde se observa o esquema da montagem de um mancal hdrodnâmco, e o modelo físco smplfcado do mancal hdrodnâmco onde: k XX, c XX e k ZZ, c ZZ são a rígdez e o amortecmento nas dreções dos exos X e Z respectvamente;

2 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o k XZ, c XZ são a rgdez e o amortecmento na dreção X, porém com efetos na dreção do exo Z; k ZX, c ZX correspondem à rgdez e amortecmento na dreção Z, mas com efetos na dreção X; (u,v ) e (u j,v j ) são os deslocamentos do centro do exo e do suporte do mancal respectvamente. Z Z Suporte do mancal v j k ZZ c ZZ k XX mancal X v óleo u j u c XZ Y c XX k ZX k XZ Ω c ZX Nó j do suporte Nó do exo Esquema da Montagem do Mancal Hdrodnâmco Modelo Físco do Mancal Hdrodnâmco Fgura. Montagem e o Modelo físco dos mancas hdrodnâmcos. No geral, as componentes das forças generalzadas nos mancas atuantes entre as estações e j, como é mostrada pela Fg. (), podem ser representadas pelas relações: F X = f ( u, v, u, v,ω ) e f ( u, v, u, v,ω ) F Z =, () onde: u = u j u, v v j v =, u = u j u, v = v j v são os deslocamentos e as velocdades relatvas entre as duas estações e j; e ω é a rotação do exo. Neste modelo físco do mancal hdrodnâmco, é assumdo, que estes componentes de conexão só dependem das coordenadas de translação do munhão e do suporte do mancal, e que os efetos tanto devdo à flexão (rotações) como os devdo à nérca dos mancas (suporte e óleo) são consderados desprezíves. Porém, como no sstema Rotor-Mancal, consderado no presente trabalho a estrutura de suporte (fundação) é consderada rígda, os deslocamentos e as velocdades dos nós do suporte são nulas (u j =v j =0, u v = 0 ). Conseqüentemente, a equação de movmento dos mancas hdrodnâmcos pode ser escrta como: j = j F X = k u + k v + c u + c v F = k u + k v + c u + c v. (2) XX XZ XX XZ ; Z ZX ZZ ZX ZZ Sendo: F X, F Z as forças atuando nos suportes fxos dos mancas nas dreções X e Z no tempo; k XX, k XZ, c XX, c XZ, k ZX, k ZZ, czx, c os parâmetros de rgdez e amortecmento dretos e cruzados dos mancas ZZ hdrodnâmcos. Consderando as equações da Eq. (2), pode-se, determnar os 8 parâmetros, fazendo uso das forças que atuam em cada mancal, e os deslocamentos do munhão do mancal, as mesmas que serão meddas expermentalmente, através de sensores de deslocamento e células de carga. De acordo aos trabalhos de Lund, J. e Thomsen, K. (978), referente a mancas hdrodnâmcos do tpo clíndrco com canas axas de almentação, o comportamento dos parâmetros de rgdez e amortecmento em função do numero de Sommerfeld para mancas cuja razão L/D=, sendo L o comprmento axal do mancal, e D o dâmetro externo do munhão do mancal, são apresentados na Fg. (2). Observa-se, nessa fgura que os parâmetros são admensonalzados e apresentadas na escala logarítmca, porem alguns coefcentes de rgdez tem valores negatvos em algumas faxas de valores do número de Sommerfeld, as mesmas que foram postvzadas para poder plota-los em escala logarítmca. O número de Sommerfeld segundo Nelson, H. e Crandall, S. (992), é defnda pela segunte expressão matemátca: µ Ν R S = P δ 2 e P = W L D, (3)

3 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o Onde: µ é a vscosdade absoluta do fludo do mancal, N a velocdade rotaconal do exo em rpm, P pressão no mancal, R rao do munhão do mancal, δ folga radal do mancal, W carga permanente do mancal, L comprmento axal do mancal, e D dâmetro externo do munhão do mancal. Fgura 2. Coefcentes de rgdez e de amortecmento para um mancal hdrodnâmco clíndrco 2.. Montagem Expermental A montagem da bancada expermental fo de acordo ao esquema apresentado na Fg. (3). As medções expermentas levantadas foram: as forças nos mancas hdrodnâmcos e 2; os snas de deslocamento do munhão dos mancas hdrodnâmcos, 2; e os deslocamentos nos dscos rígdos ou massas e 2. Em cada ponto fo medda, na dreção horzontal X e vertcal Z. Fgura 3. Esquema da montagem expermental do sstema Rotor-Acoplamento-Mancal. As propredades físcas dos componentes (exo, massas e mancas hdrodnâmcos) da bancada expermental: Rotor-Mancal, são apresentadas na Tab. (). Tabela. Propredades físcas e dmensões geométrcas dos componentes da bancada expermental. EIXO Materal: aço020 Modulo de Elastcdade: 2*0 N/m 2 Densdade: 7760 kg/m 3 comprmento = 0.65m dâmetro externo = 2.00mm DISCOS ou MASSAS Dsco Dsco 2 Materal: aço020 massa = 2.00kg dâmetro externo = 94.82mm dâmetro nterno =2.00mm espessura = 43.00mm Materal: aço020 massa =.50kg dâmetro externo = 75.50mm dâmetro nterno = 2.00mm espessura = 30.00mm MANCAIS HIDRODINÂMICOS Mancal Hdrodnâmco Mancal Hdrodnâmco 2 Fludo: Óleo AWS22 Vscosdade Absoluta = 3 mcro Reynols (Norton, R. 2004) Munhão: Materal : aço020 Dmensões: dâmetro externo = mm ; dâmetro nterno = 2.00mm comprmento axal =20.00mm ; folga radal = 0.60mm

4 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o A Fgura (4), apresenta a forma dos snas de força meddos expermentalmente em cada um dos mancas hdrodnâmcos, através das células de carga para uma rotação de rpm do exo do sstema Rotor-Mancal. Fgura 4. Forças levantadas expermentalmente. A Fgura (5), apresenta a forma dos snas de deslocamento meddos expermentalmente nos mancas, através dos sensores de proxmdade, para uma rotação de rpm do exo do sstema Rotor-Mancal. Observa-se, das fguras Fg. (4) e Fg. (5), que tanto os snas de forças, quanto os de deslocamento, apresentam perturbações devdo ao ruído e às componentes em freqüêncas dferentes à do desbalanceamento. Portanto, para nosso caso, faz-se necessáro a utlzação de fltragem destes snas para poder, somente obter a resposta devdo ao desbalanceamento, e poder trabalhar sobre estes. Fgura 5. Deslocamentos levantados expermentalmente Procedmento de Ajuste dos Coefcentes Lneares (rgdez, amortecmento) Equvalentes. Assumndo funções peródcas (de senos e cossenos da mesma freqüênca), para representar os deslocamentos de vbração do exo, dentro dos mancas hdrodnâmcos, defndas pelas seguntes relações: ( t) = U + U Cos( ω t) + U 2Sen( ω t) ( t) = V + V Cos( t) + V Sen( ω t) u o v o ω 2. (4)

5 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o Onde: U e V (com = 0,, e 2) são os coefcentes das equações; t é o tempo; e ω é a freqüênca de vbração do exo dentro dos mancas. Consderando a defnção da Eq. (4) para os deslocamentos, a velocdade de vbração do exo dentro dos mancas, serão defnda pelas relações (dervada no tempo das Eq.(4)): u v ( t) = U ω Sen( ω t) + U 2 ω Cos( ω t) ( t) = V Sen( ω t) + V ω Cos( ω t). ω 2 Utlzando os valores meddos expermentalmente do deslocamento no exo dentro do mancal, correspondente a u(t) e v(t), podem-se estmar os coefcentes da Eq. (4), através da bbloteca de mínmos quadrados lsqcurveft do MatLabR2006b. Consderando as meddas expermentas de deslocamento na dreção horzontal e vertcal no mancal hdrodnâmco para uma rotação de rpm., através dos sensores de proxmdade, a Fg. (6), amostra os resultados do ajuste para os deslocamentos, assm como, os snas de velocdades na dreção vertcal e horzontal, defndas utlzando os coefcentes (U,U 2,V,V 2 ) obtdos no ajuste, também se amostra as forças meddas no mancal hdrodnâmco, nas dreções horzontal e vertcal respectvamente, obtda através das células de carga. Na Fgura (6), observa-se um resultado de ajuste para os deslocamentos relatvamente muto bons, em ambas as dreções, as mesmas que serão melhores na medda que os snas de deslocamento expermentas, se aproxmem mas de um snal harmônco, como é a resposta ao desbalanceamento de todo sstema mecânco rotatvo. (5) Fgura 6. Snas expermentas e ajustados dos deslocamentos. Em forma análoga às equações Eq. (4) e Eq. (5), são defndas as equações para o deslocamento e da velocdade de vbração, para outras rotações (0.0Hz a 48.0Hz) do exo do sstema Rotor-Mancal. Entretanto, fazendo uso das equações de deslocamento, de velocdades das vbrações nos mancas, podemos escrever as forças transmtdas à estrutura de suporte dos mancas hdrodnâmcos, de acordo com a relação matemátca segunte (Kramer, 993 e Nelson et al 992): F F u v ( t) = k xxu ( t) + k xzv ( t) + cxxu ( t) + cxzv ( t) ( t) = k u ( t) + k v ( t) + c u ( t) + c v ( t) zx zz zx zz Analsando os termos da Eq. (6), temos que: os deslocamentos, as velocdades, e as forças de vbração, que aparecem nessas equações até o momento são conhecdas. Os deslocamentos e as forças são dados expermentas e a (6)

6 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o velocdade e deduzda através da Eq. (5). Portanto, os coefcentes de rgdez e de amortecmento, que representam os mancas hdrodnâmcos, são os úncos termos a serem dentfcados. Utlzando a bbloteca de mínmos quadrados lsqcurveft do MatLabR2006b, estmam-se, esses 8 coefcentes. Consderando as forças e os deslocamentos meddos no mancal hdrodnâmco, juntamente com as velocdades estmadas do sstema montado expermental, para uma rotação do exo de rpm, a Fg. (7), amostra as forças expermentas (FEx, FEz) e ajustadas (FAx, FAz) para este caso. Fgura 7. Snas expermentas e ajustados das forças no mancal hdrodnâmco. Os valores dos 8 coefcentes representatvos do mancal hdrodnâmco, estmados no processo de ajuste para essa rotação do exo, são apresentados na Tab, (2). Tabela 2. Valores estmados dos coefcentes do mancal hdrodnamco para a rotação de 560.0rpm. Rotação: rpm k xx :N/m k xz :N/m k zx :N/m k zz :N/m c xx :Ns/m c xz :Ns/m c zx :Ns/m c zz :Ns/m Segundo o mesmo procedmento de ajuste descrto, foram estmados os valores dos coefcentes de rgdez e do amortecmento, para o mancal hdrodnâmco do sstema da Fg. (3), para as dferentes condções de rotação do exo do sstema Rotor-Mancal. Os resultados são apresentados na Fg. (8). Fgura 8. Valores de rgdez e amortecmento do mancal para as dferentes rotações.

7 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o Os valores dos coefcentes de rgdez e amortecmento foram admensonalzados, através dos parâmetros: δ,w, e ω ( folga radal do mancal, carga permanente do mancal, rotação do exo do sstema em rad/s), consderando as relações matemátcas: k j δ W c j δ ω W ;. (7) Onde: k j representa cada um dos 4 coefcentes de rgdez; c j representa cada um dos 4 coefcentes de amortecmento. O erro obtdo para cada rotação, no ajuste das forças expermentas em X e Z, foram determnadas utlzando a segunte expressão matemátca: erro Fr Fa Fr Fr 00% n n % = Fr, (8) = = onde: n é número de pontos de cada função, Fr valor real -esmo da função, Fa valor -esmo da função ajustada, para cada rotação do sstema. Os resultados percentuas dos erros são apresentados na Fg. (9). Fgura 9. Erros percentuas no ajuste para cada rotação. Fnalmente algumas consderações que precsam ser menconados, para o processo de ajuste ter bons resultados, os mesmos que foram tdos em consderação, para poder obter os resultado apresentados: Para cada processo de ajuste tenhamos quatro funções meddas expermentalmente, as mesmas eram semelhantes às apresentadas nas fguras Fg. (4) e Fg. (5), porem faza-se necessáro a fltragem das mesmas. O fltro aplcado a cada função deva ter as mesmas característcas para as quatro funções, devdo ao problema de defasagem que produz a aplcação de fltros nos snas meddos. O valor ncal para cada parâmetro estmado, nfluenca no resultado de ajuste, tveram-se casos nas quas não se conseguu um bom ajuste, senão até mpor valores adequados de partda para cada um dos parâmetros estmados, consegundo-se, com sto, um ajuste acetável na faxa do 20.0% de erro. Na medda que o snal fltrado, apresentar pouco amortecmento ou estar bem próxmo de uma função harmônca bem defnda ou pouco perturbada, obstem-se bons resultados no ajuste. 3. CONCLUSÕES Fnalmente, apresentou-se, a mplementação de um processo de estmação dos parâmetros de rgdez e amortecmento, em função das forças e deslocamentos meddos expermentalmente nos mancas hdrodnâmcos, para um sstema Rotor-Mancal. Na medda que foram consderadas város regmes de operação do sstema, em relação à rotação do exo, valdandose dessa forma o procedmento de ajuste, proposto no trabalho. Sendo os erros em torno de 20.0% na maora dos casos consderados. O procedmento de estmação dos coefcentes de rgdez e de amortecmento dos mancas hdrodnâmcos é aplcável às vbrações nduzdas ou produzdas devdo ao desbalanceamento resdual ou mposta do sstema. Portanto, as vbrações têm uma freqüênca gual à prmera harmônca da rotação do exo do sstema Rotor-Mancal. Os resultados obtdos para os parâmetros de rgdez e de amortecmento em algumas faxas de rotação resultaram negatvos, sendo postvzadas e admensonalzadas para serem representadas em forma semelhante aos da Fg. (2), obtendo-se dessa forma os resultados apresentados na Fg. (8). Na qual, observa-se geralmente uma pouca varação ao longo da faxa de analse em relação ao valor do numero de Sommerfeld.

8 V I I C o n g r e s s o N a c o n a l d e E n g e n h a r a M e c â n c a, 3 d e j u l h o a 0 3 d e A g o s t o 2 0 2, S ã o L u s - M a r a n h ã o 4. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq, UNICAMP e a UFRB pelo suporte fornecdo para o presente trabalho, nas dferentes etapas do trabalho. 5. REFERÊNCIAS Kramer, E., 993, Dynamcs of Rotors and Foundatons, New York, Sprnger-Verlag. 38p. Lund, J. W. e Thomsen, K. K. 978, A Calculaton Method and Data for the Dynamc Coeffcents of Ol-Lubrcated Journal Bearngs Topcs n Fluds Flm Bearng and Rotor Bearng System Desgn and Otmzaton, ASME, New York, pp.-28. MatLabR2006b, Curve Fttng Toolbox, The MathWorks, Inc. Nelson, H. D., Crandall, S. H., 992, Vbraton Consderatons n the Desgn of Rotatng Machnery. In: EHRICH, F. F., Handbook of Rotordynamcs. Unted States of Amerca, McGraw-Hll, Inc., Cap., pp Norton, R. L., 2004, Projeto de Máqunas: Uma abordagem Integrada. Trad. João Batsta de Aguar, José Manoel de Aguar, et al, 2ed., Bookman, Porto Alegre-Brazl, 92p. Tapa, A. T., 2003, Modelagem dos Acoplamentos Mecâncos nos Sstemas Horzontas Rotor-Acoplamento-Mancal. Campnas: Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Estadual de Campnas, 250p. Tese (Doutorado). 6. DIREITOS AUTORAIS Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do materal mpresso ncluído no seu trabalho.

9 ESTIMATION OF STIFFNESS AND DAMPING S PARAMETERS TO HYDRODYNAMIC BEARINGS, USING THE FORCES TRANSMITTED BY THE FLUID Abdon Tapa Tadeo, ta_deo@yahoo.com.br UFRB - Unversdade Federal do Recôncavo da Baha CETEC-Centro de Cêncas Exatas e Tecnológcas, Engenhara Mecânca Campus Unverstáro de Cruz das Almas - Centro - Cruz das Almas/BA Abstract. The project of mechancal systems frequently must to have a representatve mathematcal model, for the purposes of predcton of the dynamc behavor, under dfferent operaton condtons, for each one of the components of the mechancal system. The hydrodynamc bearngs are component whose surfaces are completely separate for the lubrcatng flm. In ths work, the lubrcant s represented by a model sprng-damper and characterzed by equvalent coeffcents of stffness, dampng drect and crossed respectvely. Usng of the forces that act n each bearng and the dsplacements of the shaft n each poston of the bearng whch were measured expermentally, for basc confguraton of the system Rotor-Bearng. It was mplemented, a procedure of adjustment of parameters that allows to determne the values of the eght parameters, for each bearng and for each rotaton of the system. The mathematcal model was mplemented usng the fnte elements method to represent each one of the components of the system, and the models are the more smplfed proposed n the lterature. Also, was consdered only the bendng vbratons. Keywords: Hydrodynamc bearng, adjustments parameters, rotordynamc.