UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

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1 UNIVESIDADE FEDEA DE MINAS GEAIS POGAMA DE PÓS-GADUAÇÃO EM ENGENHAIA MECÂNICA ANÁISE PO EEMENTOS FINITOS DA INFUÊNCIA DE DESCONTINUIDADES GEOMÉTICAS SOBE O COMPOTAMENTO DINÂMICO DE OTOES FEXÍVEIS. BUNO DE FEITAS BANT BEO HOIZONTE, 9 de Junho de 7.

2 Bruno de Fretas Brant ANÁISE PO EEMENTOS FINITOS DA INFUÊNCIA DE DESCONTINUIDADES GEOMÉTICAS SOBE O COMPOTAMENTO DINÂMICO DE OTOES FEXÍVEIS. Dssertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca da Unversdade Federal de Mnas Geras, como requsto parcal à obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Área de concentração: Projeto Mecânco Orentador: Prof. Marco Túlo Corrêa de Fara, Dr. Unversdade Federal de Mnas Geras Belo Horzonte Escola de Engenhara da UFMG 7

3 Unversdade Federal de Mnas Geras Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca Av. Antôno Carlos, 667 Pampulha.7-9 Belo Horzonte MG Tel.: Fax.: E-mal: ANÁISE PO EEMENTOS FINITOS DA INFUÊNCIA DE DESCONTINUIDADES GEOMÉTICAS SOBE O COMPOTAMENTO DINÂMICO DE OTOES FEXÍVEIS. BUNO DE FEITAS BANT Dssertação defendda e aprovada em 9 de Junho de 7, pela Banca Examnadora desgnada pelo Colegado do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca da Unversdade Federal de Mnas Geras, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de "Mestre em Engenhara Mecânca", na área de concentração de "Projeto Mecânco". Prof. Marco Túlo Corrêa de Fara, Dr. Unversdade Federal de Mnas Geras Orentador Prof. ázaro Valentm Donadon, Dr. Unversdade Federal de Mnas Geras Examnador Prof. ogéro José Marczak, Dr. Unversdade Federal do o Grande do Sul Examnador

4 Aos meus pas, Geraldo e Cda

5 AGADECIMENTOS Agradeço ao Governo do Brasl pela Unversdade Federal de qualdade. Ao Professor Marco Túlo Corrêa de Fara pela sua orentação, dedcação e profssonalsmo. À banca examnadora, Professor ázaro Valentm Donadon e Professor ogéro José Marczak. Aos meus amgos e famlares pelo apoo e ncentvo. À mnha esposa, eopoldna, pela compreensão, pacênca e apoo durante todos os das desta jornada. Agradeço à Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor CAPES pelo suporte fnancero para realzação desse trabalho.

6 SUMÁIO NOMENCATUA ISTA DE FIGUAS v ISTA DE TABEAS v ESUMO v ABSTACT x INTODUÇÃO EVISÃO BIBIOGÁFICA 5. Mecânca da fratura 5.. Concentração de tensões e balanço energétco 5.. Fator de ntensdade de tensão e ntegral J 9. Dnâmca de estruturas trncadas. Dnâmca de rotores 7 POCEDIMENTO DE EEMENTOS FINITOS PAA A ANÁISE DAS VIBAÇÕES ATEAIS EM OTOES. Determnação da matrz de rgdez do elemento com descontnudade. Modelo de elementos fntos para o sstema rotor-mancal 4.. Elemento fnto utlzado 4.. Modelagem do rotor 6.. Modelagem dos mancas 8..4 Problema de autovalor Formulação por varáves de estado 4 ESUTADOS 4 4. Valdação do procedmento computaconal Valdação do modelo de rotor sem trnca Valdação do modelo com descontnudade geométrca 8 4. Influênca de uma trnca no comportamento dnâmco de um rotor Análse dos autovalores e establdade do sstema 48 5 CONCUSÕES E SUGESTÕES 55 6 EFEÊNCIAS BIBIOGÁFICAS 58 APÊNDICE A 6

7 APÊNDICE B 7

8 NOMENCATUA etras atnas U Energa de deformação Joule E Modulo de Elastcdade MPa K I Fator de ntensdade de tensão do modo I MPa m K II Fator de ntensdade de tensão do modo II MPa m K III Fator de ntensdade de tensão do modo III MPa m [ A ] Flexbldade Total m/n [ K ] Matrz de gdez N/m [ M ] Matrz de Inérca Translaconal kg [ N ] Matrz de Inérca otaconal Kg.m [ G ] Matrz dos efetos Groscópcos Kg.m [ K m ] Matrz de gdez do flme fludo N/m [ C m ] Matrz de Amortecmento do flme fludo N.s/m [ K r ] Matrz de gdez do rotor N/m ao da seção transversal m a Profunddade da trnca m a uc Flexbldade local sem a trnca m/n a c Flexbldade local com a trnca m/n U Energa de deformação para exo sem trnca Joule c U Energa de deformação para exo com trnca Joule J Energa de deformação devda à trnca Joule s Posção axal ao longo do elemento fnto m k Fator de forma do csalhamento transversal A e Área da seção transversal m G Módulo de csalhamento MPa Comprmento do elemento fnto m EI gdez a flexão MPa h Espessura do flme fludo m P Pressão hdrodnâmca MPa e, e x Excentrcdade vertcal e horzontal do munhão m P Pressão de ordem zero MPa P σ Campo de pressão de prmera ordem MPa /m

9 v etras Gregas ρ ao de curvatura m γ Tensão Superfcal MPa µ Modulo de csalhamento MPa ω Velocdade Angular rad/s ω c Velocdade Crítca rad/s ν Coefcente de Posson Ω Velocdade de rotação rad/s ε azão de excentrcdade µ v Vscosdade Pa s

10 v ISTA DE FIGUAS FIGUA. Exemplfcação do expermento executado por Ingls FIGUA. Varação da energa em função do comprmento de trnca OWEN e FAWKES, FIGUA. Movmentos de deformação entre as superfíces da trnca OWEN e FAWKES, FIGUA.4 Processo de fratura em dferentes escalas SAETHE E TA'ASAN, FIGUA.5 Detalhe da trnca OWEN e FAWKES, FIGUA.6 Integral de contorno... FIGUA.7 Espectro de vbração em um rotor de turbna elétrca DIMAOGONAS, FIGUA.8 Sstema Massa mola de um rotor...7 FIGUA.9 Abertura e fechamento da trnca durante um gro do exo SINOU e EES, FIGUA. epresentação de um elemento fnto de exo com trnca.... FIGUA. Seção transversal do exo.... FIGUA. Elemento fnto de vga de Tmoshenko NESON, FIGUA.4 Exo flexível apoado em mancas radas hdrodnâmcos....6 FIGUA.5 Posção da trnca ao longo do exo....8 FIGUA.6 Coefcentes de rgdez e amortecmento de um mancal radal hdrodnâmco... FIGUA.7 Fluxograma do programa de análse de rotores trncados.... FIGUA 4. Freqüêncas naturas em função dos coefcentes de amortecmento dos mancas, para os prmeros modos de vbração....7 FIGUA 4. Freqüêncas naturas em função dos coefcentes de amortecmento dos mancas, para os modos de vbração 4 e FIGUA 4. Autovalor normalzado em função da profunddade relatva da trnca....4 FIGUA 4.4 Teste de malha de elementos fntos...4

11 v FIGUA 4.5 Freqüênca Natural Normalzada em função da posção da trnca prmero modo...4 FIGUA 4.6 Freqüênca Natural Normalzada em função da posção da trnca segundo modo...4 FIGUA 4.7 Freqüênca Natural Normalzada em função da posção da trnca tercero modo...44 FIGUA 4.8 Freqüêncas naturas em função da rotação do exo FIGUA 4.9 Freqüêncas naturas em função da rotação do exo FIGUA 4. Varação da prmera freqüênca natural em função do amortecmento dos mancas para rotores com trnca e sem trnca...47 FIGUA 4. Varação da segunda freqüênca natural em função do amortecmento dos mancas para rotores com trnca e sem trnca...47 FIGUA 4. Varação da tercera freqüênca natural em função do amortecmento dos mancas para rotores com trnca e sem trnca...48 FIGUA 4. Curvas de decamento exponencal em função do coefcente de amortecmento efetvo....5 FIGUA 4.4 Curvas de decamento exponencal para rotores com trnca e sem trnca. 5 FIGUA 4.5 Varação percentual do coefcente de amortecmento efetvo em função da profunddade da trnca na regão de transção de establdade FIGUA A. epresentação de um elemento fnto de exo com trnca....6 FIGUA A. Seção transversal do exo...6

12 v ISTA DE TABEAS Tabela 4- - Parâmetros físcos do rotor analsado por und Tabela 4- - Análse da sensbldade da malha de elementos fntos. 5 Tabela 4- Desvo relatvo das freqüêncas naturas calculadas com dferentes números de elementos fntos. 6 Tabela 4-4 Parâmetros físcos do problema dscutdo por Dong e Cheng 4. 9 Tabela 4-5 Sensbldade da malha de elementos fntos na análse de um exo trncado. 4 Tabela 4-6 Varação percentual dos valores de freqüênca natural em função do tamanho da malha. 4 Tabela Parâmetros do sstema rotor-mancal hdrodnâmco. 49 Tabela 4-8 Parte real a do autovalor prncpal do sstema. 5

13 v ESUMO Este trabalho apresenta uma análse do comportamento dnâmco de rotores flexíves suportados em mancas radas hdrodnâmcos na presença de descontnudades geométrcas, utlzando o método de elementos fntos. Descontnudades geométrcas - tas como trncas, furos, rebaxos e outras - podem alterar de forma sgnfcatva a resposta vbraconal do sstema rotatvo devdo às varações na rgdez local do rotor. O modelo de rotor está baseado na teora de vgas de Tmoshenko, no qual estão ncluídas as contrbuções da nérca translaconal, da nérca rotaconal, dos momentos groscópcos e do csalhamento. Os mancas hdrodnâmcos são modelados por meo de um procedmento de perturbação aplcado na equação clássca de enolds, que permte a obtenção dos coefcentes dnâmcos de força desses mancas. A descontnudade geométrca é representada no modelo de rotor por meo da modfcação localzada da matrz de rgdez do exo rotatvo. Os prncípos da Mecânca da Fratura são empregados para defnr a nfluênca dos parâmetros geométrcos da descontnudade do exo sobre a matrz de rgdez modfcada do sstema rotatvo. A equação de movmento do sstema rotor-mancal representa o problema de vbração lateral de exos suportados em mancas radas de flme fludo. Uma formulação de varáves de estado é utlzada para a obtenção do problema de autovalor para sstemas groscópcos amortecdos. Os autovalores assocados a rotores trncados são estmados para város parâmetros geométrcos de trncas transversas. Os mapas de velocdades crítcas são obtdos para rotores com e sem trncas, mostrando a nfluênca de trncas transversas sobre o comportamento dnâmco de sstemas rotatvos. Palavras-chaves: otores trncados; Elementos fntos; Análse de vbração; Autovalores Complexos.

14 x ABSTACT Ths work deals wth a fnte element analss of the dnamc behavor of cracked flexble rotors supported b hdrodnamc journal bearng. Geometrc dscontnutes such as cracks, holes, undercuts, etc. can strongl affect the vbratonal response of rotatng sstems due to the rotor local flexblt changes. The rotor model s based on the Tmoshenko beam theor, n whch the translatonal nerta, rotar nerta, groscopc effects and shear effects are accounted for. The hdrodnamc bearngs are modeled b usng a lnearzed perturbaton procedure appled on the classcal enolds equaton, whch permts to render the bearng dnamc force coeffcents. The rotor crack s represented on the rotor model b the localzed modfcaton of the shaft element stffness matrx. The fundamentals of the Fracture Mechancs are emploed to obtan a relatonshp between the geometrc dscontnut and the modfed rotor stffness matrx. The global equaton of moton of the rotor-bearng sstem descrbes the bendng vbraton problem of rotatng shafts supported b flud-flm bearngs. A formulaton of state varables s emploed to generate an egenvalue problem assocated wth dampng groscopc sstems. The cracked rotor egenvalues are estmated for varous transverse crack szes. The crtcal speed maps are computed for contnuous and cracked rotors, depctng the nfluence of transverse cracks on the dnamc behavor of rotatng sstems. Kewords: Cracked rotors; Fnte Element; otor dnamcs; Vbraton analss; Complex egenvalues.

15 INTODUÇÃO A maor parte das falhas de exos rotatvos se manfesta na forma de fraturas por fadga, cuja orgem usualmente se encontra em pontos de concentração de tensão, como cantos vvos, fletes, entalhes, rasgos de chaveta, defetos de forjamento, etc. Mas raras são as fraturas fráges e dúctes, as prmeras assocadas à seleção ou processamento ncorreto do materal e as segundas a sobrecargas acdentas. Dessa forma, a análse de trncas em sstemas rotatvos se torna mportante devdo a seu papel sgnfcatvo na falha de componentes de máqunas [AFFONSO, 5]. Segundo Bastan 978, sstemas mecâncos e sstemas estruturas normalmente apresentam descontnudades ou outros defetos ntroduzdos durante a fabrcação. Estes defetos produzem concentração de tensões capaz de levar o equpamento à fratura, mesmo quando submetdo a tensões nferores à tensão de projeto. O fenômeno de falhas por propagação catastrófca de uma trnca em sstemas mecâncos e estruturas destaca-se como um problema, ao projeto e à análse, em dversos campos da engenhara. Um exemplo de uma área onde não deve haver falha é a ndústra aeronáutca, cuja segurança é de fundamental mportânca, porém o uso de componentes leves e flexíves é muto mportante para redução de peso. Conseqüêncas de falhas catastrófcas são também analsadas em usnas de geração de energa, partcularmente em usnas nucleares. Para um projeto adequado são necessáros procedmentos confáves que quantfquem adequadamente os efetos de descontnudades geométrcas sobre o comportamento e a ntegrdade do sstema, para os quas são ndspensáves os fundamentos da Mecânca da Fratura. A possbldade de propagação de uma trnca em equpamentos que estão submetdos a carregamentos nferores à capacdade de projeto, alada à presença de descontnudades ntroduzdas na fabrcação, dfcultam a predção da vda útl de equpamentos sujetos a cargas cíclcas. Para se garantr margem acetável de confabldade na operação de

16 máqunas e equpamentos, tanto técncas crterosas de nspeção quanto procedmentos efcentes de análse e projeto devem ser utlzados e aprmorados. A presença de trncas em sstema mecânco ou estrutural ntroduz uma flexbldade local que afeta a sua resposta vbraconal PAPADOPOUOS e DIMAOGONAS, 987. Dessa forma, a medção dos níves de vbração pode ser um meo não destrutvo, barato e rápdo de predção e detecção de trncas e de outras descontnudades geométrcas do materal EE e CHUNG,. A análse das vbrações em sstemas rotatvos requer procedmentos computaconas precsos e confáves para a modelagem dnâmca do sstema. A nclusão no modelo de rotor dos efetos nercas e elástcos do exo rotatvo e da contrbução dos mancas de suporte é de fundamental mportânca para se garantr representatvdade físca acetável do sstema rotatvo VANCE, 988. O método de elementos fntos vem sendo largamente utlzado para o desenvolvmento de modelos de exos rotatvos GASCH, 976; NESON e MCVAUGH, 976; ZOZI E NESON, 977; MIANDA et al., 5. Um modelo bastante efcente para o estudo do comportamento elástco lnear de exos crculares contínuos fo proposto por Nelson 98, o qual nclu as contrbuções da nérca translaconal, da nérca rotaconal, dos efetos groscópcos e do csalhamento do exo. No modelo proposto por Nelson 98, os mancas são representados, de forma bastante smplfcada, como molas elástcas sotrópcas. As análses por elementos fntos desenvolvdas para exos rotatvos com descontnudades geométrcas estão baseadas em modelos de vga de Tmoshenko e Euler-Bernoull PAPADOPOUOS e DIMAOGONAS, 987; OSTACHOWICZ e KAWWCZUK, 99; GUDMUNDSON,98. A matrz completa 6x6 para representação da rgdez nodal utlzando a teora de vga de Tmoshenko fo ntroduzda por Papadopoulos e Dmarogonas 987 e Ostachowcz e Krawwczuk 99 para representar exos de seções retangulares e crculares. Um modelo smlar fo obtdo por Gudmundson 98, utlzando a teora de vga de Euler-Bernoull.

17 Entretanto, na maora desses estudos os mancas são representados de forma smplfcada, sendo que os coefcentes dnâmcos não são consderados. Com o objetvo de trazer subsídos para um melhor entendmento sobre o comportamento dnâmco de rotores trncados, esse trabalho apresenta uma análse da nfluênca de trncas transversas sobre o comportamento de rotores flexíves suportados em mancas radas hdrodnâmcos. O método de elementos fntos é utlzado para a obtenção da equação de movmento de sstemas rotor-mancas, que consste em um sstema groscópco amortecdo. Uma formulação de varáves de estado é utlzada para se obter o problema de autovalor, que permte predzer os valores de freqüêncas naturas de rotores com trncas transversas. A nclusão da trnca no modelo de elementos fntos do exo rotatvo é efetuada pela modfcação localzada da matrz de rgdez. As matrzes de rgdez e de amortecmento dos mancas radas hdrodnâmcos são também ncluídas no modelo. Elementos de vga, baseados na teora de vga de Tmoshenko, são empregados na modelagem do exo. Elementos dscretos de massa concentrada, que permtem representar dscos montados sobre o exo, também são ncluídos no modelo de rotor. Os mancas radas hdrodnâmcos são representados por oto coefcentes lnearzados de força, que são obtdos por um procedmento de elementos fntos mplementado para resolver as equações de lubrfcação de prmera ordem, obtdas por meo da perturbação da equação clássca de enolds. Esse trabalho está dvddo em cnco capítulos, sendo que no capítulo apresenta-se uma revsão bblográfca que será subdvdda entre concetos relatvos à Mecânca da Fratura, vbrações em estruturas trncadas e dnâmca de rotores. No capítulo, a metodologa empregada na obtenção do modelo matemátco para cálculo da matrz de rgdez bem como o procedmento de solução utlzado para resolução da equação do movmento são apresentados. O capítulo 4 apresenta os testes de efcênca computaconal para avalação da sensbldade da malha de elementos fntos e para a valdação do procedmento mplementado. As predções de elementos fntos para os autovalores de sstemas rotatvos são comparadas

18 4 com resultados dsponíves na lteratura. Também são apresentados os resultados obtdos para rotores com trncas operando em mancas com flme fludo. Mapas de velocdade crítca são obtdos para dferentes condções de operação, mostrando a nfluênca dos parâmetros geométrcos da trnca no comportamento de rotores flexíves. Por fm, no capítulo 5, são apresentadas as prncpas conclusões do trabalho e as recomendações para trabalhos futuros.

19 5 EVISÃO BIBIOGÁFICA Neste capítulo, são apresentados alguns concetos de Mecânca da fratura, dnâmca de estruturas trncadas e dnâmca de rotores. Os concetos da Mecânca da Fratura são utlzados para quantfcar a nfluênca da descontnudade geométrca sobre a rgdez do exo rotatvo. Mostra-se, neste capítulo, que a rgdez do rotor é uma função peródca do tempo para exos rotatvos. Característcas de sstemas dnâmcos são apresentadas enfatzando a mportânca da representação dos mancas no sstema rotatvo.. Mecânca da fratura A Mecânca da fratura pode ser consderada o ramo da mecânca dos sóldos que estuda o comportamento de meos contínuos com descontnudades geométrcas, do tpo trncas. As relações entre a geometra da descontnudade, a resstênca do materal e as tensões lmtes para evtar sua propagação são objetos de estudo da Mecânca da fratura. Estas descontnudades ocorrem devdo a númeras razões, nclundo as ncertezas no carregamento, os defetos nos materas, a nadequação ao projeto e a manutenção falha. Em 98, o Natonal Bureau of Standards atual Natonal Insttute for Scence and Technolog e o Battelle Memoral Insttute estmaram os custos para falhas devdo à fratura nos EUA em 9 blhões de dólares amercanos por ano OYANCE,. A Mecânca da fratura descreve a magntude e a dstrbução do campo de tensões na vznhança de uma trnca, sendo a magntude do campo de tensões quantfcada pelo fator de ntensdade de tensão... Concentração de tensões e balanço energétco Ingls 9 fo o prmero a quantfcar os efetos da concentração de tensão ao analsar entalhes elíptcos em placas planas sob um carregamento unforme. Nessa análse, Ingls obteve uma expressão que determna a tensão na extremdade do maor exo da elpse. A FIGUA. mostra uma placa plana com uma trnca elíptca no centro, submetda a um carregamento unforme conforme expermento executado por Ingls. Ingls 9

20 6 consderou que as tensões no entalhe não eram nfluencadas pelo contorno da placa, ou seja, a largura é muto maor que a e o comprmento muto maor que b. A EQUAÇÃO. mostra a tensão no ponto A da FIGUA.. a σ A σ +. ρ onde ρ b / a é o rao de curvatura da ponta da trnca. FIGUA. Exemplfcação do expermento executado por Ingls 9. Pode ser vsto na EQUAÇÃO. que quanto menor o rao de curvatura do entalhe entalhe mas agudo maor será a tensão em sua ponta. Mas a concentração de tensão para um rao nulo no entalhe, neste caso chamado de uma trnca, tende ao nfnto. Isto sugere que a ruptura ocorrera numa tensão nomnal aplcada próxma de zero, o que evdentemente não acontece na realdade. Ingls apenas resolveu o problema de entalhe, mas não explcou porque as peças não falham da forma prevsta teorcamente. Grffths deu o passo segunte para um melhor entendmento das trncas aplcando o prncpo de conservação da energa OWEN e FAWKES, 98. Grffths realzou expermentos com vdro, consderando que a fratura ocorre em um materal frágl deal, com uma trnca de comprmento a no nteror de uma placa plana. Segundo Grffths, uma trnca torna-se nstável quando a energa de deformação durante a abertura da trnca for maor que a energa requerda para formar uma nova superfíce de

21 7 trnca. A energa de deformação elástca, U E, para uma trnca de comprmento a em um corpo homogêneo e nfnto é dada pela EQUAÇÃO. e EQUAÇÃO. OWEN e FAWKES, 98: U E σ E πa Estado plano de tensões. σ U E πa ν Estado plano de deformações. E onde E é o módulo de elastcdade e ν é o coefcente de Posson. O ganho de energa com a cração da superfíce de fratura de dmensão a é dado pela EQUAÇÃO.4, onde γ representa a energa necessára para a cração das superfíces de fratura. U S aγ.4 A varação da energa de deformação elástca, da energa superfcal e da energa total do sstema em função do comprmento da trnca é apresentada na FIGUA.. A energa de deformação total é a soma das energas de deformação elástca e superfcal. Energa Superfcal, US Energa Comprmento da trnca, a Energa Total, UT Energa de deformação elástca, UE FIGUA. Varação da energa em função do comprmento de trnca OWEN e FAWKES, 98.

22 8 Percebe-se pela FIGUA. que a partr de um determnado comprmento de trnca ocorre a nversão da energa total. Este comprmento de trnca é defndo como comprmento crítco de propagação e pode ser determnado conforme EQUAÇÃO.5. U S + U E a.5 Para trncas de tamanho crítco exste a propagação nstável da trnca, pos o módulo da taxa de energa elástca é maor que a energa superfcal por undade de comprmento. Deste modo, há energa dsponível para a formação de novas superfíces, conforme a nequação segunte. U a E > U a S.6 Denomna-se taxa de lberação de energa elástca por undade de espessura, postvo da taxa de energa potencal, conforme a EQUAÇÃO.7. G E, ao valor G E U E.7 a A taxa de energa absorvda pela trnca é dada pela EQUAÇÃO.8: U S.8 a O crescmento da trnca se torna nstável quando G E for gual a. Desta forma, a tensão atuante para um determnado comprmento de trnca é dada pela EQUAÇÃO.9: Eγ σ.9 πa

23 9.. Fator de ntensdade de tensão e ntegral J Uma trnca stuada em um corpo pode estar carregada de dferentes maneras. Irwn 957 observou a exstênca de três movmentos ndependentes de deformação entre as superfíces da trnca. Estes movmentos foram categorzados como mostra a FIGUA.. FIGUA. Movmentos de deformação entre as superfíces da trnca OWEN e FAWKES, 98. Conforme apresentado na FIGUA., no Modo I abertura da trnca, as superfíces da trnca são deslocadas na dreção e permanecem smétrcas nos planos x- e x-z. No Modo II csalhamento da trnca, as superfíces escorregam entre s na dreção x, mas permanecem smétrcas no plano x- e ant-smétrcas no plano x-z. No Modo III rasgamento da trnca, as superfíces escorregam entre s na dreção z e a deformação é ant-smétrca em relação aos planos x- e x-z. Em escala reduzda, o mecansmo de falha ocorre em uma zona em torno da ponta da trnca, gerando campos complexos de deformações locas o que mpossblta a descrção smplfcada deste mecansmo SAETHE e TA'ASAN, 4. Ao categorzar os três modos de fratura em uma escala macroscópca são desprezadas as deformações mcroscópcas atuantes. Na FIGUA.4 pode ser vsto o processo de fratura em dferentes escalas SAETHE e TA'ASAN, 4.

24 FIGUA.4 Processo de fratura em dferentes escalas SAETHE E TA'ASAN, 4. Usando as funções de tensão de Westergard, Irwn 957 demonstrou que o campo de tensões elástcas na proxmdade da ponta da trnca comprmento a, pode ser descrto, no modo I, por: σ x K I θ θ θ cos sen sen πr. σ K I θ θ θ cos + sen sen πr. K I θ θ θ τ x sen cos cos. πr onde o rao r e o ângulo θ são defndos na FIGUA.5 e tensão do modo I de trncamento defndo por Irwn 957. K I é o fator de ntensdade de

25 FIGUA.5 Detalhe da trnca OWEN e FAWKES, 98. Na FIGUA.5 é mostrado o sstema de coordenadas polares na regão de propagação da trnca, objetvando facltar a determnação das tensões atuantes na ponta da trnca. O fator de ntensdade de tensão K é função da forma e tamanho da trnca, tpo de carregamento e confguração da geometra do componente estrutural. Das equações para a tensão na ponta da trnca, pode-se escrever K da segunte forma smplfcada OWEN e FAWKES, 98: K Yσ π a. onde σ é a tensão aplcada, a corresponde a meo comprmento de trnca e Y é uma função admensonal da geometra da trnca. Os fatores de ntensdade de tensão para os três modos de deformação, apresentados na FIGUA., podem ser relaconados com a razão da energa de deformação G conforme a EQUAÇÃO.4. κ + G I K I 8µ κ + G II K II 8µ.4 G III K III µ

26 onde µ é o módulo de csalhamento do materal e κ 4ν, para estado plano de ν deformação, e κ, para estado plano de tensões. + ν O fator de ntensdade de tensões também pode ser representado por uma ntegral de contorno OWEN e FAWKES, 98, sendo que um contorno qualquer para esta ntegral é apresentado na FIGUA.6. FIGUA.6 Integral de contorno. Pela FIGUA.6, uma ntegral de lnha, denomnada por ntegral J, é ndependente de um camnho fechado, podendo ncar em qualquer ponto em uma das faces da trnca e termnar em qualquer ponto da outra face. A ntegral J é defnda pela segunte equação: J u Ud t ds.5 x Γ sendo U a taxa de energa de deformação, t o vetor de tração, u o vetor de deslocamento e ds um elemento de arco ao longo do contorno de ntegração.. Dnâmca de estruturas trncadas A presença de trncas em um sstema mecânco ou estrutural ntroduz uma flexbldade local que afeta a sua resposta vbraconal. A análse da flexbldade na regão da trnca fo quantfcada nos anos entre 95 e 96 por Irwn 957, que relaconou a flexbldade com o fator de ntensdade de tensão. Baseado neste prncípo fo desenvolvdo um método

27 para estmar o fator de ntensdade de tensões a partr da rgdez à flexão nverso da flexbldade. ebowtz 967 usou prncípos da Mecânca da fratura para relaconar a energa de deformação, o fator de ntensdade de tensões e o teorema de Castglano para uma vga de seção retangular. A flexbldade local para uma regão trncada fo defnda pela EQUAÇÃO.6: a c M / φ 6π h / bei F s.6 onde: a c é flexbldade local na regão trncada, h é a altura da seção transversal, b é a largura da seção retangular, EI a rgdez a flexão, s a/h, a é a profunddade da trnca, e F s s s s s s s s + s ,86,95 + 6,7 + 76,8 + 6,9 + 7, , 6. A flexbldade local reduz a rgdez do sstema, dmnundo assm o valor de sua freqüênca natural. Dmarogonas 97 verfcou que, para uma trnca de pequena profunddade, a flexbldade local ac é proporconal a a / h. A flexbldade total do exo A é obtda pela soma da flexbldade devda à trnca ac com a flexbldade da estrutura não trncada a uc, obtendo-se A a uc + ac. A rgdez do sstema é dada pela EQUAÇÃO.7. K / A / a + a / a + λ a / h.7 uc c uc Onde λ,866πh / EI é constante. Para pequenas trncas, ω + ω K / m ω + ω ω + ω ω + ω / a m + λ a / h / a / a m λ a / h / a uc uc uc uc para λ a / h / <<. Desprezando a uc uma trnca é dada pela EQUAÇÃO.8. ω, a varação na freqüênca natural provocada por ω λ a / h / ω.8 a uc Dmarogonas 97 deparou-se com o problema da determnação da flexbldade local de um exo com uma trnca transversal. A aplcação dreta de Mecânca da Fratura não pôde

28 4 ser feta porque a formulação para determnar o fator de ntensdade de tensões para um exo clíndrco com uma trnca transversal não estava dsponível. Desta forma, aproxmouse a seção transversal do exo a váras tras de elementos que varavam a altura numa dreção perpendcular à ponta da trnca e paralela ao exo de smetra do rotor clíndrco. Cada elemento fo consderado como uma seção retangular de uma barra com uma trnca lateral, onde a EQUAÇÃO.6 é válda. A flexbldade, rotação por undade de momento no plano que contém o exo de smetra do rotor que é normal à ponta da trnca, fo determnada pela ntegração da energa de deformação. A n a 64/ Eπ F a / D.9 onde: A n é a flexbldade normal à trnca e F é o rotaconal da flexbldade local durante a flexão, expresso por F Ae Eπ / 64. A e é a área da seção transversal. Smlarmente para uma flexão no plano, que contém o exo de smetra do rotor, e paralelo à ponta da trnca, tem-se: A t a / E G a / D. onde: A t é a flexbldade tangencal à trnca e G é o rotaconal da flexbldade local durante a flexão, dado por: G Ae E /. No tempo t, é consderado que um exo horzontal possu uma trnca e o exo vertcal é perpendcular à ponta da trnca. No tempo t, o exo grou um ângulo ω t, obtendo-se as flexbldades apresentadas na EQUAÇÃO.. A A sn ωt + A cos n t ωt A A A x xx x A A sn ωt / n t A sn ωt + A cos t n ωt A + A sn ωt / n t.

29 5 Assm, as flexbldades são funções peródcas do tempo, com freqüênca de ω DIMAOGONAS, 97. Esta é uma mportante observação, pos a freqüênca de resposta do componente será duas vezes a freqüênca de exctação. A FIGUA.7 apresenta um espectro de vbração obtdo para um rotor de uma turbna da companha públca de energa da Gréca DIMAOGONAS, 996. O fabrcante do equpamento suspetava de desalnhamento, realzando este servço sem sucesso. Dmarogonas dentfcou uma trnca com base no pco osclatóro a duas vezes a freqüênca de operação. A máquna fo nspeconada e uma trnca de º fo encontrada. FIGUA.7 Espectro de vbração em um rotor de turbna elétrca DIMAOGONAS, 996. A modelagem de um rotor deve ser feta em um sstema de város graus de lberdade, pos a rotação modfca a localzação da superfíce da trnca, alterando as propredades elástcas do exo. Pafelas 974 consderou um rotor com n elementos clíndrcos, delmtados por n nós, com comprmentos,...,, n. O exo é suportado por dos mancas nos nós j e j. A secção trncada, de rgdez local gual a k c, é posconada no nó k. O coefcente de nfluênca da flexbldade acj no elemento trncado o deslocamento do nó

30 6 j devdo a uma força untára no nó consderando somente a flexbldade da trnca,, j,,..., n, é dado pela EQUAÇÃO.. a cj l l l l l l l l / k l + l l l para > j k k c k l l l l l l l l l / k l + l l l para < j k k c k l. Estes coefcentes de nfluênca são alocados em uma matrz Α. A matrz de flexbldade do sstema será [ Α ] + [ Α], onde Α é a matrz de flexbldade do rotor sem a trnca. A equação do movmento é dada nas EQUAÇÕES. e.4. [ A] + [ A] [ M ]{ x& } + { x} [ A] + [ A] { F} &. onde M é a matrz massa, { x} é o deslocamento e { F} é o vetor força. Multplcando por [ ] + [ A] A. [ M ]{ x& } + [ K] + [ K ]{ x} { F} &.4 onde [ K ] [ A] + [ A] [ K ] Para um exo rotatvo, [ K ] é uma função do tempo. A matrz de rgdez da trnca pode ser defnda desprezando o acoplamento do movmento vertcal e horzontal através da EQUAÇÃO.5. [ K] [ K ] sn ω t + [ K ] cos ω t.5 n p Onde Erro! Não é possível crar objetos a partr de códgos de campo de edção.e Erro! Não é possível crar objetos a partr de códgos de campo de edção.correspondem à dreção perpendcular e paralela à ponta da trnca respectvamente. Usando dentdade trgonométrca, a matrz de rgdez para a trnca é dada pela EQUAÇÃO.6. / + [ K ] [ K ] cos ωt / [ K ] [ K ] + [ K].6 n p n p

31 7. Dnâmca de rotores Dentre as dversas etapas do projeto do exo rotatvo de uma máquna ndustral destacamse a seleção dos mancas, o cálculo das velocdades crítcas e a análse de establdade do sstema. Os mancas possuem a função de suportar as cargas estátcas e dnâmcas do sstema, ntroduzr rgdez e amortecmento ao sstema e controlar a posção do rotor. Mancas de flme fludo são amplamente utlzados em máqunas rotatvas ndustras por sua grande capacdade de carga, pelo amortecmento e pela vda útl bastante longa STENICHT e EWIS, 968. A determnação precsa das velocdades crítcas de exos rotatvos suportados em mancas hdrodnâmcos é uma etapa prelmnar de projeto extremamente mportante para máqunas rotatvas ndustras. A velocdade crítca pode ser defnda como a velocdade de rotação em que o rotor apresenta máxma ampltude de vbração orbtal. A estmatva da faxa de operação adequada de um exo rotatvo depende da capacdade de predção das velocdades crítcas. Em sstemas dscretos levemente amortecdos, os valores de velocdades crítcas estão próxmos dos valores das freqüêncas naturas. Para exemplfcar o cálculo das freqüêncas naturas, consdera-se o sstema massa-mola mostrado na FIGUA.8. Nessa fgura, o rotor possu uma rgdez K r e está apoado em molas de rgdez K e amortecmento C. A freqüênca natural f n, para esse modelo smplfcado, é determnada pela EQUAÇÃO.7. FIGUA.8 Sstema Massa mola de um rotor.

32 8 f K. Kr Kr K n K + Kr M M K + Kr.7 Nota-se na EQUAÇÃO.7 que a flexbldade do apoo reduz a freqüênca natural do sstema. Vale ressaltar que a EQUAÇÃO.7 é bastante smplfcada, pos nesta não está prevsta a varação da freqüênca natural com a velocdade de rotação do exo. A varação das velocdades crítcas pode estar assocada a mudanças na rgdez do exo, que, por sua vez, pode ser provocada por descontnudades geométrcas. A determnação préva das característcas dnâmcas do sstema permte uma correlação com medções vbraconas, o que pode permtr a detecção de rregulardades no sstema. A nfluênca de uma trnca no comportamento dnâmco de exos rotatvos tem sdo objeto de estudo de dversos trabalhos SINOU e EES, 5; DAPE et. al., 4; ADEWUSI e A-BEDOO, ; DIMAOGONAS, 996; MUSZYNSKA, 989; BENTY, 986; DIMAOGONAS, 97; DIMAOGONAS e PAPADOPOUOS, 98. A presença de uma trnca em uma máquna rotatva traz dversos pergos à operação da máquna, além do rsco de falhas catastrófcas de todo o sstema. Geralmente dos métodos para dentfcar a presença de uma trnca em um exo são utlzados. O prmero vsa reduzr a rgdez, devdo à presença da trnca, obtendo freqüêncas naturas reduzdas se comparadas às freqüêncas do exo sem trnca. A outra frente de pesqusa vsa dentfcar a presença da trnca baseada na mudança da resposta dnâmca do exo SINOU e EES, 5. Durante a operação do exo, o peso própro produz uma flexão que faz a trnca abrr e fechar durante uma volta completa do exo, varando sua rgdez através de uma função harmônca. Este mecansmo de abertura e fechamento da trnca é chamado de breathng crack e pode ser vsto na FIGUA.9 SINOU e EES, 5.

33 9 FIGUA.9 Abertura e fechamento da trnca durante um gro do exo SINOU e EES, 5. O processo de abertura e fechamento da trnca gera pcos de ampltudes em freqüêncas guas a duas vezes a velocdade de operação. Estes pcos não ndcam a presença de um trnca, pos tal efeto também pode ser provocado pelo desalnhamento do exo, pela assmetra do exo, pela folga nos parafusos ou por outras não lneardades ADEWUSI e A-BEDOO, ; BENTY, 986. Conseqüentemente, esta característca soznha é nsufcente para ndcar a presença de uma trnca transversal em rotores. Desta manera, a observação adconal das órbtas pode ser útl para revelar a presença de trncas MUSZYNSKA, 989. A maor parte dos trabalhos desenvolvdos na análse de rotores trncados não consdera os efetos de varação de freqüênca dos coefcentes de força dos mancas na modelagem do rotor. O cálculo das velocdades crítcas tem grande sensbldade à varação dos coefcentes dnâmcos dos mancas. Outro aspecto mportante não abordado na grande maora das análses computaconas de rotores com descontnudades geométrcas é a avalação da establdade do sstema em função dos parâmetros dos mancas. Para a realzação de uma análse de establdade mas elaborada de sstemas rotatvos, torna-se necessáro resolver o problema de autovalor para o sstema groscópco amortecdo.

34 POCEDIMENTO DE EEMENTOS FINITOS PAA A ANÁISE DAS VIBAÇÕES ATEAIS EM OTOES A análse do comportamento dnâmco de rotores trncados é realzada por meo de um procedmento de elementos fntos. O desenvolvmento das equações de elementos fntos e a determnação da matrz de rgdez de um elemento trncado são apresentados neste capítulo.. Determnação da matrz de rgdez do elemento com descontnudade Consdera-se uma trnca de espessura desprezível e transversal ao exo. Tas consderações acarretam no aumento da flexbldade local sem a redução de massa do sstema. A representação da trnca no exo é feta através da modfcação da matrz de rgdez do elemento possudor da descontnudade. A matrz de rgdez modfcada representa todos os fenômenos de acoplamento exstentes em um rotor trncado, sto é, flexão-compressão, compressão-torção e flexão-torção DAPE et al., 4. Os passos detalhados para a obtenção da matrz de rgdez modfcada, que consdera a varação local da flexbldade do exo causada por trncas, estão mostrados no Apêndce A. Uma fgura esquemátca de um elemento fnto de exo que possu uma descontnudade está dada na FIGUA.. A posção da trnca é defnda através da coordenada x. O elemento de exo está sujeto a um carregamento com forças de csalhamento P, P e P8, P9, momentos fletores P5, P6 e P, P, forças axas P e P7 e momentos torconas P4 e P.

35 FIGUA. epresentação de um elemento fnto de exo com trnca. O materal do exo é consderado homogêneo e sotrópco com modulo de elastcdade E e coefcente de Posson ν. A seção transversal do exo pode ser vsta na FIGUA.. Observa-se que o rao da seção transversal é defndo por e a profunddade da trnca por a. FIGUA. Seção transversal do exo. Na determnação da matrz de rgdez modfcada, os graus de lberdade de flexão, torção e tração-compressão são consderados nos nós do modelo de vga. A matrz de flexbldade do elemento trncado é determnada a partr do teorema de Castglano DAPE et al., 4.

36 u U P T. onde u são os deslocamentos, defnda por: P são as forças e U T é a energa total de deformação, U + c T U U. sendo, U a energa de deformação do elemento sem a presença de descontnudade e a energa de deformação devda à trnca. Deste modo o deslocamento é expresso por: c U é u u + u. c onde u U P, u c c U.4 P Através da energa de deformação, tanto o deslocamento u como c u podem ser dervados. Consderando a ação de forças axas, torconas, momentos fletores e csalhamento na seção transversal da trnca, a energa de deformação pode ser escrta da segunte forma. U α sv α sv M M T F dx GAe GA EI EI GI Ae E.5 onde V, V são forças csalhantes, M, M são momentos fletores, T é o momento torconal, F é a carga axal atuante na seção trncada, G é o modulo de elastcdade transversal, E é o módulo de elastcdade, I é o momento de nérca da seção transversal, I é o momento polar de nérca da seção transversal, α s é o coefcente de csalhamento. Ae é a área da seção transversal e Usando os prncípos de Mecânca da Fratura, a energa de deformação adconal devda à trnca é dada pela EQUAÇÃO.6 DAPE et al., 4.

37 U c A A da, J.6 e e onde J A pode ser expressa pela EQUAÇÃO.7. e J Ae K I K II m K III ; E,6.7 sendo: E E / ν e m + ν. K, K, K são os fatores de ntensfcação de tensão correspondentes ao Modo I, Modo I II III II e Modo III de deslocamento da trnca, respectvamente ver FIGUA.. Substtundo-se as expressões de J A na EQUAÇÃO.6, os deslocamentos assocados e à trnca podem ser obtdos. O deslocamento total u pode ser obtdo através da adção de u e c u na EQUAÇÃO.. O resultado desta equação pode ser escrto da segunte forma: u Aj Pj,,6.8 onde A é a matrz de flexbldade. A partr da matrz de flexbldade local pode ser obtda a matrz de rgdez do elemento usando uma matrz de transformação, consderando o equlíbro estátco do elemento fnto. A matrz de transformação [ T ] converte a matrz flexbldade [6x6] em uma matrz de rgdez [x] através da nversão da matrz de flexbldade e realocação dos termos. { } T T { q } T q [ ] 6.9 Desta forma a matrz de rgdez para um elemento fnto com trnca pode ser escrta como se segue: c T [ K ] [ T ][ A][ T ].

38 4. Modelo de elementos fntos para o sstema rotor-mancal Nesse tem, são descrtas as etapas de modelagem do exo rotatvo e dos mancas hdrodnâmcos. Prmeramente, são apresentadas as matrzes assocadas ao exo rotatvo, que são: [ M ] Inérca translaconal, [ N ] Inérca rotatóra, [ G ] Efeto Groscópco, [ ] gdez NESON, 98. Em seguda, apresenta-se o procedmento de dervação das matrzes de rgdez e de amortecmento assocadas aos mancas, que são: [ K m] gdez do flme fludo, [ C m ] Amortecmento do flme fludo. Os coefcentes cruzados de rgdez e de amortecmento das matrzes dos mancas são consderados na análse. Por últmo, é montado o problema de autovalor através da formulação de varáves de estado, a partr das equações geradas pelas matrzes de elementos fntos. Os autovalores complexos assocados ao sstema permtem analsar a establdade do sstema rotor-mancal hdrodnâmco em função de dferentes parâmetros consttutvos e geométrcos MIANDA et al., 6. Apenas o problema de vbração lateral de rotores flexíves é estudado nesse trabalho. Os termos da matrz de flexbldade da trnca assocados à torção e à tração-compressão são desconsderados na análse. São estudados neste trabalho apenas rotores horzontas apoados em mancas radas pelas suas extremdades, com sto a compressão no exo devdo ao peso própro é desconsderada. Para a análse lnear de sstemas elástcos, o desacoplamento do problema de flexão não acarreta erros na análse... Elemento fnto utlzado Neste trabalho é utlzada a teora de vga de tmoshenko para dervação das matrzes correlaconadas ao exo rotatvo. Para a determnação das funções de forma é utlzado o sstema de coordenadas lustrado na FIGUA.. K

39 5 Y ωt s q β q 7 q 5 X,x ωt z Z q q q 4 W V Γ q 6 q 8 FIGUA. Elemento fnto de vga de Tmoshenko NESON, 98. Em seu trabalho, Nelson 98 consdera um elemento típco do exo localzado a uma dstânca s da extremdade da vga. A translação do centro da seção crcular, desprezando o deslocamento axal, é dada por dos deslocamentos V, W provenentes da contrbução dos momentos V, W e da deformação csalhante V,. A rotação da seção crcular é β β W e e descrta pela rotação angular B Wβ / s, Γ Vβ / s assocada à deformação devda ao momento. As translações de um ponto nterno a um elemento típco do exo são defndas aproxmadamente pelas relações apresentadas na EQUAÇÃO.. V W s, T s, T ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 4 ψ 4 { q t } [ Ψ s ]{ q t }. As funções de forma ndvduas; ψ s α s + Φβ s,,,, 4 ; representam os modos de deslocamentos estátcos assocados ao deslocamento untáro de um ponto stuado na extremdade do elemento. As funções α s são assocadas com a deformação devda ao momento de flexão e β s são funções assocadas à deformação devda ao csalhamento. Essas funções estão apresentadas no Apêndce B. As rotações da seção de um elemento típco do exo são defndas aproxmadamente pelas relações apresentadas na EQUAÇÃO..

40 6 B Γ s, T s, T φ φ φ φ φ φ φ 4 φ 4 { q t } [ Φ s ]{ q t }. As funções de forma ndvduas; φ s ε s + Φδ s,,,, 4 ; representam as funções de forma assocadas com o deslocamento na extremdade de um elemento. As funções ε s e δ s são relaconadas com os deslocamentos devdos ao momento e ao csalhamento, respectvamente, para a vga de Tmoshenko. As funções de forma e as matrzes para o elemento de vga estão apresentadas no APÊNDICE B... Modelagem do rotor A teora de vgas de Tmoshenko permte nclur os efetos da nérca translaconal, da nérca rotatóra, dos momentos groscópcos e do csalhamento no modelo de rotor. O sstema analsado está mostrado esquematcamente na FIGUA.4. FIGUA.4 Exo flexível apoado em mancas radas hdrodnâmcos. Para a modelagem da vbração lateral dos exos flexíves, são utlzados elementos de vga com dos nós e com quatro graus de lberdade por nó. A nfluênca dos mancas nos coefcentes de rgdez e amortecmento do rotor também é consderada na modelagem. Os deslocamentos nodas são obtdos através equação global do movmento utlzando o

41 7 método de elementos fntos. A equação global do movmento é apresentada na EQUAÇÃO.. [ ] [ N] M + { U& } + [ C]{ U& } + [ K]{ U} { } &. Onde: { } é a força aplcada no sstema, [ M ] representa a matrz global de nérca translaconal; [ N ] é a matrz global de nérca rotatóra; [ K ] a matrz de rgdez do exo; e [ C] a matrz de amortecmento equvalente do sstema rotor-mancal, que é expressa como [ C] [ Cm ] Ω. [ G], onde [ ] rotação do rotor. G é a matrz de efeto groscópco do rotor e Ω é a velocdade de Os vetores de aceleração, velocdade e deslocamento são dados, respectvamente, por { U & }, { U& }, { U}. Cada nó possu 4 graus de lberdade, onde o deslocamento do -ésmo elemento é representado pelo vetor FIGUA.: U composto pelas seguntes componentes ver U deslocamento horzontal x ϕ, onde x deslocamento vertcal ϕ rotação em torno do exo θ θ rotação em torno do exo x O vetor carregamento sobre rotor é representado pelo vetor na EQUAÇÃO.. Na análse do problema de autovalor este vetor é consderado nulo, analsando-se, portanto o problema de vbração lvre. Um dsco rotatvo rígdo é montado em uma posção axal pré-determnada do exo, que permte smular sstemas rotatvos de aplcação ndustral, tas como compressores, bombas e turbnas. Este dsco pode representar qualquer elemento de máquna que esteja acoplado ao exo, tal como um motor, um mpeldor de uma turbomáquna, etc. Para a nserção da trnca na matrz de rgdez é utlzado o procedmento descrto no tem.. A matrz modfcada é nserda na matrz de rgdez global através da substtução dos termos correspondentes ao elemento trncado. Tal elemento é determnado após a defnção

42 8 da malha de elementos fntos utlzada. Uma lustração de uma posção para a trnca ao longo de um exo rotatvo pode ser vsta na FIGUA.5. A dmensão Z apresentada na FIGUA.5 corresponde à posção da trnca ao longo do exo. FIGUA.5 Posção da trnca ao longo do exo... Modelagem dos mancas O modelo de elementos fntos do mancal hdrodnâmco é desenvolvdo a partr da equação clássca de enolds para mancas radas lubrfcados a óleo Chlds, 99. Em coordenadas clíndrcas θ, Z, essa equação é dada por: h P h P Ω dh h θ + µ v θ + Z µ v Z.4 dθ t A coordenada Z está ao longo do exo e as coordenadas X, Y na dreção ortogonal, conforme ndcado na FIGUA.4. A velocdade rotaconal do exo é denotada por Ω, o tempo por t e θ é a coordenada polar. As excentrcdades do mancal nas dreções vertcal e horzontal são expressas por e X e e Y, respectvamente. A razão de excentrcdade é defnda como ε e/c, onde e e X +e Y. A vscosdade do fludo lubrfcante é dada por µ v, P representa a pressão hdrodnâmca e h é a espessura do flme fludo. Um procedmento de perturbação lnear é utlzado em conjunto com a EQUAÇÃO.4 para representar as equações de lubrfcação de ordem zero e prmera ordem FAIA,. Estas equações permtem o cálculo das forças de reação do mancal e de oto coefcentes dnâmcos de força. As equações de lubrfcação de ordem zero e prmera ordem para mancas radas clíndrcos são descrtas nas EQUAÇÕES.5 e.6.

43 9 h P h P Ω dh Ω + v Z v Z θ µ θ µ dθ { e sn θ + Ω. t e cos θ + Ω. } X Y t.5 h P σ h P + θ µ v θ Z µ v Z σ Ω dhσ + ωh dθ σ dhσ + Ω dθ h h θ µ v σ h h Z µ v P θ σ P Z.6 Nas EQUAÇÕES.5 e.6, h representa a espessura do flme de ordem zero e h σ representa a espessura provenente da perturbação de prmera ordem. A perturbação é aplcada na freqüênca de exctação ω em uma posção de equlíbro e X, e Y. P representa a pressão de ordem zero e P σ, representa o campo de pressão bdmensonal no plano X,Y causada pelas perturbações dnâmcas dos deslocamentos e velocdades do rotor. Os coefcentes dnâmcos de força dos mancas são estmados a partr dos campos de pressão de ordem zero e prmera ordem FAIA,. Os coefcentes dnâmcos do mancal assocados à rgdez { K } β, σ X, Y σβ e ao amortecmento { C σβ } β, σ X, Y são calculados a partr das mpedâncas complexas pelas EQUAÇÕES.7 e.8. Z π σβ Kσβ + ωcσβ pβ hσ.dθ.dz ;, σ X, Y β.7 ou K K XX YX K K XY YY C +. ω. C XX YX C C XY YY π p X h p X h X p p h h X Y Y Y Y..d θ.dz.8 As matrzes de rgdez [ K m ] e o amortecmento [ m ] C representam a resstênca do flme fludo às varações do deslocamento e da velocdade do rotor, respectvamente. Essas matrzes são obtdas a partr da ntegração da EQUAÇÃO.8 onde [ K m ] é o coefcente da parte real e [ C m ] o coefcente da parte magnára, defndas como:

44 K XX K XY C XX C XY [K m ] ; [C m ] KYX K.9 YY CYX CYY A FIGUA.6 mostra a seção transversal de um sstema rotor-mancal de deslzamento, na qual há oto coefcentes lneares de rgdez e amortecmento representando as característcas dnâmcas do flme de óleo. FIGUA.6 Coefcentes de rgdez e amortecmento de um mancal radal hdrodnâmco...4 Problema de autovalor Formulação por varáves de estado A análse de vbrações de sstemas rotatvos consste em assunto de grande relevânca para o desenvolvmento de turbomáqunas seguras e efcentes. A etapa ncal na análse dnâmca de máqunas rotatvas consste na obtenção dos valores de suas freqüêncas naturas em dversas condções de operação. O problema de vbração lvre de sstemas dscretos leva naturalmente ao problema de autovalor, quando o sstema é representado através de um sstema lnear de equações dferencas ordnáras JAMES et al., 994. Desta forma, após a mplementação das matrzes que representam o modelo dscreto do sstema rotor-mancal, segue-se com a formulação do problema de autovalor para a análse de establdade. Os autovalores complexos fornecem nformações sobre as freqüêncas naturas e sobre a establdade do sstema.

45 Como o sstema lnear é de segunda ordem, EQUAÇÃO., o problema de autovalor pode ser formulado através de varáves de estado Merovtch, 974; Merovtch, 98. eescreve-se a EQUAÇÃO. no formato da EQUAÇÃO., consderando o problema de vbração lvre, onde { }. O problema de autovalor assocado à EQUAÇÃO. pode ser reduzdo a um problema equvalente, representado por um sstema de equações dferencas ordnáras de prmera ordem, que possu o dobro de varáves do problema orgnal de segunda ordem. [ ] [ N] M + { U& } + [ C]{ U& } + [ K]{ U} { } &. Introduz-se o vetor { X }, defndo por: T [ ] T T { X } { U& } { U}. Fazendo-se a substtução de varáves, substtundo-se a EQUAÇÃO. na EQUAÇÃO., obtém-se um novo sstema, dado por: onde * * [ ]{ X } + [ C ]{ X } { } M &. * [ ] [ M ] [ N ] [ C] [ K] [ I ] + * M [ ] ; [ C ]. I sendo que [ I ] é a matrz dentdade, que tem a mesma dmensão das matrzes [ M ] [ N],[ C] [ K ]. A solução da EQUAÇÃO. é da forma: { X } t { X } st o e, e.4 que leva ao problema de autovalor * * [ M ]{ X } [ C ]{ X } { } s.5 o + o

46 que pode ser reescrto na forma * [ A ]{ X } s{ } o X o.6 * Consderando-se que [ M ] é uma matrz não sngular, tem-se: * * * [ ] [ ] [ ] [ M ] + [ N ] M C [ C] [ M ] [ N ] [ K ] [ I ] + A.7 Vale ressaltar que a matrz [ C] [ Cm ] Ω. [ G], onde [ ] exo e a matrz [ C m ] representa o amortecmento do mancal. G é a matrz de efeto groscópco do A varável s fornece os autovalores complexos do sstema da EQUAÇÃO.5. Estes autovalores são formados por uma parte real a e uma magnára b, dadas pela EQUAÇÃO.8. s a ± b.8 A partr da parte magnára b, obtêm-se as freqüêncas naturas do sstema em pares. A parte real a permte analsar a establdade do sstema. O problema de autovalor dervado da equação de movmento através das varáves de estado é resolvdo utlzando-se o método Q PESS et al., 986. O procedmento de elementos fntos desenvolvdo para a determnação das freqüêncas naturas em rotores trncados é mplementado utlzando-se o software Matlab 6.5. O fluxograma do algortmo é apresentado na FIGUA.7. Nesse procedmento a profunddade da trnca, a localzação da trnca, a rotação do exo e o amortecmento dos mancas devem varar soladamente dependendo da resposta requerda.