UNIPAMPA Universidade Federal do Pampa Programa de Pós-Graduação em Engenharia (PPEng) Curso de Mestrado Acadêmico em Engenharia BRUNO CONTI FRANCO

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1 UNIPAMPA Unversdade Federal do Pampa Programa de Pós-Graduação em Engenhara (PPEng) Curso de Mestrado Acadêmco em Engenhara BRUNO CONTI FRANCO ANÁLISE POR MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DA PROPAGAÇÃO DINÂMICA DE TRINCA EM UMA HASTE EM QUEDA LIVRE CHOCANDO-SE TRANSVERSALMENTE CONTRA UM APOIO RÍGIDO Alegrete Junho de 015

2 BRUNO CONTI FRANCO ANÁLISE POR MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DA PROPAGAÇÃO DINÂMICA DE TRINCA EM UMA HASTE EM QUEDA LIVRE CHOCANDO-SE TRANSVERSALMENTE CONTRA UM APOIO RÍGIDO Dssertação de mestrado apresentada à banca avaladora do curso de Pós-graduação Strcto Sensu da Unversdade Federal do Pampa UNIPAMPA, como requsto para a obtenção do título de Mestre em Engenhera Mecânca. Orentador: Prof. Dr. Wang Chong Alegrete Junho de 015

3 BRUNO CONTI FRANCO ANÁLISE POR MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS DA PROPAGAÇÃO DINÂMICA DE TRINCA EM UMA HASTE EM QUEDA LIVRE CHOCANDO-SE TRANSVERSALMENTE CONTRA UM APOIO RÍGIDO Dssertação de mestrado, apresentada ao Programa de Pós-graduação Strcto Senso em Engenhara Mecânca, da Unversdade Federal do Pampa, como requsto para a obtenção do Título de Mestre em Engenhara. Área de concentração: Tecnologa de materas. Dssertação defendda e aprovada em: 19 de unho de 015. Banca examnadora: Prof. Dr. Wang Chong Orentador PPEng/UNIPAMPA Prof. Dr. Ignáco Iturroz PROMEC/UFRGS Prof. Dr. Cesar Flaubano da Cruz Crstaldo PPEng/UNIPAMPA Prof. Dr. Lus Eduardo Kostesk PPEng/UNIPAMPA

4 RESUMO Atualmente o Brasl é um dos maores produtores de mnéro de ferro do mundo. Após a extração ocorre a trturação através de equpamentos de grande porte. O Monho de Barras é um dos equpamentos mas utlzados, essas máqunas apresentam elevado custo de manutenção devdo a constante quebra das barras nternas de moagem. Para reduzr esses custos é necessáro realzar análse matemátca e de mecânca da fratura na barra. O obetvo desse trabalho é analsar a propagação de trnca em uma barra no nteror do tambor do monho de barras, para sso, é consderado que a barra ca em queda lvre sobre uma pedra (apoo rígdo) posconada exatamente no centro. A análse fo realzada a partr da solução dnâmca da barra em queda lvre chocando-se transversalmente em um apoo rígdo pelo método de dferenças fntas (MDF). O algortmo do MDF fo aferdo ncalmente por comparação entre os resultados de smulação realzada no ANSYS LS-DYNA e os resultados analítcos para caso de sem trnca, onde fcou comprovada a efcênca do MDF. A resolução da propagação da trnca consste na determnação de quando ocorre o níco da trnca, ou sea, quando a tensão superfcal supera a tensão de ruptura do materal a trnca nca, e na verfcação das condções para a propagação, sto é, após a ncação da trnca utlza-se o balanço de energa de Grffth em cada nstante de tempo para verfcar se a trnca contnua propagando. Ao analsar os resultados do trabalho conclu-se que: a barra pode quebrar em mas de um pedaço; em materas com dureza elevada não ocorre o níco da trnca; a tenacdade à fratura nfluênca dretamente na velocdade e no comprmento propagado da trnca; o coefcente de encruamento do materal é efcente para nterromper a propagação da trnca e reduzr a velocdade de propagação. O presente trabalho poderá ser consderado como base para analsar propagação de trnca em uma barra com múltplas trncas e perfl de dureza varável.

5 ABSTRACT Brazl s one of maor producers of ron ore n the world. After the ore s explored, the frst process of the producton s to trturate ron ore. A rods mll s most common grndng equpment. These machnes are of hgh mantenance costs due to constant falure n the mllng bars caused by the chock when the bar drops down and mpacts on the ores. To reduce such costs, mathematcal and mechancal analyss for the bar falure s necessary. The am of ths study s to analyze the crack propagaton n a bar, subected to the shock nsde the rod mll barrel. It s consdered that the bar falls down freely on a rock (hard support) postoned exactly at the center. The dynamc analyss was performed by the fnte dfference method (FDM). At frst the algorthm based on the FDM was compared wth the results performed n ANSYS LS-DYNA and wth analytcal soluton wthout crack propagaton. It was verfed FDM effcency. The numercal analyss s to check when crack onset occurs and f there are condtons for the crack propagaton, n other words, when the stress exceeds the ultmate strength of the materal ntatng crack, thereafter, usng the energy balance Grffth at each nstant of tme to check the condtons of crack contnue propagaton. By analyzng the results we conclude that: the bar can break nto several peces; n materals wth elevated hardness may not onset crack; the fracture toughness nfluences the speed and length of the crack propagaton; the work hardenng coeffcent of the materal s effcent to arrest crack propagaton and decrease the speed of crack propagaton. Ths work has lad the foundaton for analyzng mult-cracks propagaton n a bar wth a profle of varable hardness.

6 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA 1 - Monho de Barras FIGURA - Processo de moagem do mnéro de ferro no monho de barras FIGURA 3 - Barras do monho de barras FIGURA 4 Infntos graus de lberdade FIGURA 5 - Vga sofrendo deflexão... 0 FIGURA 6 - Dagrama de corpo lvre de um elemento da vga sofrendo deflexão FIGURA 7 Representação do caso crítco... 4 FIGURA 8 - A vga deformada depos do choque com o mnéro FIGURA 9 Modelo de análse: vga de comprmento L, engastada em uma extremdade e lvre na outra FIGURA 10- Passo (h) ndcado na Malha vga... 6 FIGURA 11 Trnca em uma chapa com largura>>a submetda a uma tensão remota FIGURA 1 Modo I: Modo de abertura ou de tração FIGURA 13- Deslocamento do centrode C com a propagação da trnca FIGURA 14 - Densdade do trabalho de deformação absorvdo w d FIGURA 15 Momento de Inérca Varável FIGURA 16 Mola rotaconal FIGURA 17 Cálculo da Rgdez FIGURA 18 Fluxograma do algortmo para análse da propagação de trnca FIGURA 19 Comparação da deflexão entre os resultados dos métodos: Analítco, Dferenças Fntas e Ansys LS-DYNA. Δt = 1μs FIGURA 0 Analítco x Dferenças fntas x Ansys LS-DYNA, (Δt = 1μs) FIGURA 1 - Comparação entre aplcação de ncremento de tempo: (a) Δt = 10μs; (b) Δt = 1μs FIGURA Posção longtudnal onde ocorre o momento máxmo (exo esquerdo) e o valor do Momento Fletor Máxmo (exo dreto), ambos em relação ao tempo FIGURA 3 Comparação entre comprmento de trnca e velocdade de propagação para o Aço Lga 4340 submetdo a dferentes temperas (a) 456HV e K 75MPa m (b) 401HV e KIC 110MPa m FIGURA 4 Influênca da tenacdade a fratura (KIC) na propagação da trnca IC

7 FIGURA 5 - Comprmento da trnca e velocdade de propagação para FIGURA 6- Varação no comprmento da trnca (normalzado) para dferentes hpóteses de coefcentes de encruamento (n), consderando como base n=0.14 do aço FIGURA 7 Varação na propagação da trnca na barra para dferentes alturas de quedas (H), consderando que a barra é fabrcada em aço FIGURA 8 Interpretação geométrca FIGURA 9 Centrode de uma área FIGURA 30- Deslocamento do centrode C com a propagação da trnca... 8

8 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Dados de entrada da smulação Tabela Propredades e resultados da propagação de trnca para dferentes tpos de aços e temperas... 64

9 LISTA DE SIMBOLOS L = Comprmento da metade da barra (caso de smetra); LT = Comprmento total da barra; w = Deslocamento transversal da barra; x = Posção horzontal; t = Tempo; f = Força externa por undade de comprmento; ρ = Densdade de massa; A = Área da seção transversal; V = Força cortante; M = Momento fletor; E = Módulo de elastcdade ou módulo de Young; I = Momento de nérca; y = Posção vertcal s = Trabalho necessáro pra cração de superfíce untára p = Trabalho plástco para cração de superfíce untára a = Profunddade da trnca w f = Energa de fratura G = Taxa de lberação de energa de deformação durante a propagação de uma trnca = Energa potencal de um corpo deformável F = Trabalho realzado por força externa U = Energa de deformação; = Módulo de elastcdade transversal; k IC = Tenacdade a fratura do materal = Índce correspondente ao nó da malha; = Índce correspondente ao tempo; h = Passo admensonal da malha da vga; v = Velocdade; I 0 = Momento de nérca da área da seção ntacta transversal da haste durante a propagação da trnca no tempo ;

10 Tg = Trabalho realzado pela força da gravdade; Ek = Energa cnétca; Tm = Trabalho realzado pela mola rotaconal; G c = Taxa de lberação de energa de deformação; Cf = Coefcente de flexbldade da mola rotaconal; K I = Fator de ntensdade de tensão modo I; w d = Trabalho de deformação plástca absorvda por volume untáro de materal em torno da frontera de uma trnca; r y = Rao da zona plástca na frontera da trnca; b = Metade da largura da frontera da trnca na seção transversal; n = Coefcente de encruamento do materal; e = Tensão de escoamento do materal; u = Tensão últma ou tensão de ruptura do materal; r = Rao da barra; = Parâmetro admensonal referente à metade do comprmento da barra; U = Energa de deformação do materal; H V = Dureza Vckers; v = Coefcente de Posson

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVO E JUSTIFICATIVA OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS JUSTIFICATIVAS REVISÃO BIBLIOGRAFIA TEORIA DAS VIBRAÇÕES Teora das vbrações em vgas de Euler-Bernoull Equação dferencal da vga submetda à vbração lateral SOLUÇÃO DA VIBRAÇÃO DA VIGA SUBMETIDA A IMPACTO PELO MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS FORMULAÇÃO Aceleração Equação Geral Caso não há o surgmento de trnca Caso há o surgmento de uma trnca no ponto fxo x= Condções ncas Condções de contorno CONSTRUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SISTEMA LINEAR MOMENTO FLETOR FORÇA CORTANTE MECÂNICA DA FRATURA TEORIA DO BALANÇO DE ENERGIA DE GRIFFITH A TAXA DE LIBERAÇÃO DE ENERGIA FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÕES PROPAGAÇÃO DE TRINCA Resstênca à propagação da trnca Energa necessára para formar novas superfíces de trnca... 46

12 Área e momento de nérca da seção não trncada Energa Cnétca Trabalho realzado pela mola rotaconal Energa de deformação Força motrz Trabalho realzado pela força da gravdade Condção para a propagação da trnca Crtéro para Incação da Trnca e a propagação de trnca Relação entre tensão de escoamento, tensão últma e coefcente de encruamento com a dureza Programa para análse da propagação de trnca RESULTADOS E DISCUSSÕES VIBRAÇÃO APÓS O CHOQUE E ANTES DA INICIAÇÃO DE TRINCA PROPAGAÇÃO DA TRINCA Materas analsados Influênca de dureza e tenacdade à fratura de materal Influênca do coefcente de encruamento na propagação da trnca Influênca da altura da queda no níco e propagação da trnca CONCLUSÃO SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS ANEXO A MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS ANEXO B MOMENTO DE INÉRCIA DO CIRCULO CORTADO EM RELAÇÃO AO EIXO X ANEXO C ÁREA DO CIRCULO CORTADO ANEXO D CENTROIDE DO CIRCULO CORTADO... 81

13 13 1 Introdução O mnéro de ferro é a prncpal matéra prma para a fabrcação do aço, é encontrado na natureza na forma de rocha, msturado a outros elementos. Após ser extraído, o mnéro passa por dversos processos de benefcamento e redução, para posterormente ser venddo para as ndústras sderúrgcas onde é transformado em aço. Um desses processos é a trturação, que pode ser realzada através de dversos tpos de monhos, como: monho de barras, monho vbratóro, monho vertcal (Vertmll), monho trapezodal, monho de martelo, monho de rolos de superpressão, monho Raymond, monho de bola e outros. Devdo à elevada dureza do mnéro, os componentes mecâncos desses equpamentos estão submetdos a condções severas de trabalho. Uma falha comum e frequente nesse processo é a quebra ou desgaste das barras clíndrcas do Monho de Barras (FIGURA 1). No monho as barras de aço são elevadas através do gro do tambor (FIGURA ) e logo que atngem o ponto mas alto, caem sobre o mnéro produzndo um forte mpacto que o fragmenta. FIGURA 1 - Monho de Barras Fonte:

14 14 FIGURA - Processo de moagem do mnéro de ferro no monho de barras. Fonte: Quando uma barra ca, ela se choca com outras em pontos de contato varáves. Um caso crítco ocorre quando o ponto de mpacto está próxmo ao centro da barra, este caso poderá resultar na quebra da barra, causando danos ao materal e aumentando o custo de fabrcação e manutenção. Barras de trturação de mnéro de ferro. FIGURA 3 - Barras do monho de barras Fonte:

15 15 Obetvo e ustfcatva.1 Obetvo geral O obetvo geral deste trabalho é analsar, através do método de dferenças fntas, a propagação de uma trnca em uma barra com o propósto de estabelecer a nfluênca da altura da queda, resstênca do materal, tenacdade à fratura e coefcente de encruamento no comprmento e na velocdade de propagação da trnca.. Obetvos específcos Para analsar numercamente a propagação dnâmca de uma trnca na barra, obetvase: I. Desenvolver o algortmo baseado no método de dferenças fntas e na teora de vbração de vga de Euller Bernoull para analsar o problema de mpacto transversal em uma barra ntacta 1 ; II. Aplcar o algortmo desenvolvdo e o balanço de energa de Grffth para analsar a propagação dnâmca de uma trnca localzada no centro da barra..3 Justfcatvas O Brasl é um país que possu grandes reservas de mnéro de ferro de alta qualdade e produz grande quantdade de aço. A dmnução no custo de fabrcação do aço poderá aumentar a compettvdade braslera no mercado mundal, em consequênca, melhorando a economa do país. A nvestgação proposta poderá estabelecer a relação entre a quebra de barra de certo dâmetro com a altura da queda, resstênca do materal e o dâmetro da barra, 1 Vga Intacta ndca que não há presença de trnca.

16 16 assm, contrbundo para o proeto de máqunas de monho e dmnundo o custo da fabrcação de aço. A propagação dnâmca de trnca é complexa sendo quase mpossível obter a resolução analítca, dessa forma, para resolução são utlzados softwares comercas como ANSYS LS- DYNA e ABAQUES que além de caros requerem experênca e trenamento especalzado dos usuáros, e anda não são capaz de modelar a propagação dnâmca da trnca provocada por mpacto. Esses softwares dscretzam a equação do movmento no domíno do espaço por meo do método de elementos fntos, e no domíno do tempo através do método de dferenças fntas. O método de dferenças fntas é um método numérco estável e de formulação smples amplamente utlzado em pesqusas centífcas. Porém anda não foram encontrados trabalhos que utlzem exclusvamente este método para análse da propagação dnâmca de trnca provocada por mpacto, sendo assm, o êxto deste trabalho resultará em sgnfcatva contrbução acadêmca.

17 17 3 Revsão bblografa O fenômeno de vbração começou a ser estudado quando foram desenvolvdos os prmeros nstrumentos muscas. Um dos prmeros estudos fo atrbuído ao flósofo e matemátco grego: Ptágoras (58-50 A.C), que realzou expermentos com uma corda vbratóra, utlzando um nstrumento smples chamado de monocórdo (MILLER, 1935). Galleu Galle ( ) também realzou estudo em uma corda vbratóra e fo o prmero a mostrar que o tom, está relaconado com a frequênca de vbração. Galleu também estabeleceu os fundamentos para os estudos de sstemas vbratóros por meo de suas observações fetas em 1583 referentes aos movmentos de uma lâmpada suspensa de uma catedral em Psa, na Itála. Ele descobru que o período do movmento era ndependente da ampltude do balanço da lâmpada. Essa propredade é válda para todos os sstemas vbratóros que podem ser descrtos por modelos lneares. A solução analítca da corda vbratóra fo apresentada por Joseph Lagrange ( ). Em seu estudo, Lagrange admtu que a corda vbratóra, era composta por um número fnto de partículas de massas dêntcas, espaçadas gualmente e estabeleceu a exstênca de um número de frequêncas ndependentes gual ao número de partículas de massa. Consderando-se o número de partículas nfnto, constatou-se que as frequêncas resultantes eram as mesmas frequêncas harmôncas da corda estrada. A possbldade de uma corda vbrar com váras de suas harmôncas presentes ao mesmo tempo, sendo o deslocamento de qualquer ponto em qualquer nstante, gual à soma algébrca dos deslocamentos para cada harmônca, fo provada por meo das equações dnâmcas de Danel Bernoull ( ) (CANNON e DOSTROVSKY, 1981). Já as vbrações de vgas delgadas apoadas e engastadas de dferentes maneras foram estudadas pela prmera vez por Euler em 1744 e Danel Bernoull em Essa abordagem fcou conhecda como Euler-Bernoull. Stephen Tmoshenko ( ), apresentou uma teora mas aperfeçoada de vbração que fcou conhecda como teora de Tmoshenko ou de vgas grossa, que consdera os efetos da nérca de rotação e da deformação por csalhamento, efetos esses, não consderados pelo modelo de Euler-Bernoull. Km e Km (000) analsaram o efeto de uma trnca, na establdade dnâmca de uma vga de Tmoshenko com extremdades lvre submetda a uma força constante ou ntermtente.

18 18 Para obter as frequêncas naturas e os modas vbratóros transversas utlzaram-se dos métodos de elementos fntos e das escalas múltplas. Na mesma lnha Ksa e Gurel (007) desenvolveram uma nova técnca numérca para análse de vbrações de vgas de seção transversal crcular contendo trncas. Através dos métodos de elementos fntos e de síntese modal de componentes obtveram os modos de vbração de uma vga de seção crcular contendo uma trnca. Porém nesses trabalhos não é consderada a propagação dnâmca da trnca. Mas recentemente Dona e Palmer et al. (01) desenvolveram um modelo para análse de vbração de vga, baseado no método de elementos fntos, de estruturas retculadas com múltplos defetos concentrados. O modelo proposto consdera váras trncas em dferentes locas da vga e os efetos macroscópcos desses defetos são smulados atrbundo molas longtudnas, rotaconas e transversas na posção de cada trnca. Hoffmann (013) do grupo de pesqusa Mecânca Aplcada da UNIPAMPA realzou a modelagem matemátca do perfl de dureza da barra através do método analítco pela aplcação da teora de Euller Bernoll e mecânca da fratura. Porém devdo a lmtações do método analítco, não fo possível tratar adequadamente a propagação de uma trnca. A propagação dnâmca de trnca é obeto de estudo de mutos pesqusadores, Brckstad (1983) nvestgou a propagação rápda de trnca através do desenvolvmento de um programa de elementos fntos para consderar o materal como Elástco-Vscoplástco. Nesse modelo os efetos da deformação plástca são consderados. Needleman (1994) analsou a propagação dnâmca de uma trnca em sóldos rígdos através do método de elementos fntos, como resultado obteve a velocdade de propagação da trnca. Na mesma lnha Marur (1994) desenvolveu um método para análse dnâmca de pré-trnca em um corpo de prova de três pontos b-apoado utlzando elementos fntos. Kostesk (01) usou o método de elementos dscretos (DEM) para analsar a propagação de trnca em materas quase-fráges. 3.1 Teora das vbrações As teoras de vbração estudam o movmento osclatóro de corpos e as forças envolvdas nesses deslocamentos. Ao analsar as energas mecâncas envolvdas na vbração de um sstema, pode-se afrmar que o movmento de vbração envolve a transformação da energa potencal armazenada no corpo em energa cnétca e ou vse versa.

19 19 Para determnar a posção dos componentes de um sstema durante o movmento osclatóro envolve-se o número de graus de lberdade do sstema. Esse número é gual ao número mínmo de coordenadas necessáras para determnar completamente a posção de todos os componentes do sstema em um determnado nstante de tempo. Ao consderar uma vga engastada (FIGURA 4) contendo nfntos pontos materas são necessáros nfntos graus de lberdade para determnar os respectvos deslocamentos ( w1, w, w 3,...). FIGURA 4 Infntos graus de lberdade. Fonte: RAO, 011 Na maora dos casos de vbrações envolvendo problemas de engenhara são necessáros nfntos graus de lberdade para descrever o movmento, esses sstemas são chamados de contínuos e são determnados por uma equação dferencal parcal. Para a formulação de uma vga pode-se consderar dos modelos: a vga de Euler- Bernoull e a de Tmoshenko. A prncpal dferença entre estes modelos é que na formulação de Euler-Bernoull não é consderada a deformação de csalhamento presente nas seções transversas. Para a resolução do problema proposto nesse trabalho utlza-se o modelo da vga de Euler-Bernoull Teora das vbrações em vgas de Euler-Bernoull Na teora clássca de Euler-Bernoull, consderam-se vgas prsmátcas unformes (de seção transversal constante) com comprmento longtudnal como dmensão predomnante. No caso de vgas, o nteresse resde em ações de movmento chamadas ações de flexão (FIGURA 5). Para aplcarmos a teora das vgas de Euler-Bernoull ou teora elementar das vgas, devemos fazer as seguntes premssas (BEER, JR., et al., 01):

20 0 I. Exste um exo na vga que não sofre tração ou compressão, e o exo x será posconado ao longo deste exo neutro. II. As seções transversas perpendculares ao exo neutro no estado não torcdo da vga permaneceram planas e perpendculares ao exo neutro durante o deslocamento, o que sgnfca que o csalhamento pode ser desconsderado. III. O materal é lnearmente elástco e as propredades da vga são homogêneas em todas as dreções. IV. As tensões lateras desenvolvdas nos exos σ y e σ w são desprezíves quando comparadas com as tensões desenvolvdas no exo x (σ x ). O plano xw, é o plano prncpal, conforme mostra FIGURA 5. FIGURA 5 - Vga sofrendo deflexão 3.1. Equação dferencal da vga submetda à vbração lateral Segundo RAO (011), para analsar a vbração lateral é necessáro pensar em um elemento da vga 3 (FIGURA 6) onde M(x,t) é o momento fletor, V(x,t) é a força de transversal. O exo y passa na orgem e é perpendcular aos exos w e x. 3 Vga é um elemento undmensonal onde o comprmento é bem maor que as dmensões da seção

21 1 csalhamento, e f(x,t) é a força externa por undade de comprmento da vga. Vsto que a força de nérca que age sobre o elemento da vga é: ρa(x)dx w (x, t) t A equação de movmento da força na dreção w é: (V + dv) + f(x, t)dx + V = ρa(x)dx w (x, t)...(3.1) t FIGURA 6 - Dagrama de corpo lvre de um elemento da vga sofrendo deflexão. Fonte: RAO (011). onde ρ é a densdade da massa, e A(x) é a área da seção transversal da vga. A equação do movmento rotaconal em relação ao exo y que passa pelo ponto O, desconsderando a aceleração angular, é dada por: (M + dm) (V + dv)dx + f(x, t)dx dx M = 0...(3.) Anotando que: dv V dx...(3.3) x dm = M x dx...(3.4)

22 Desconsderando os termos envolvendo a segunda potênca de dx, as Equações (3.1) e (3.) podem ser escrtas respectvamente: V x (x, t) + f(x, t) = ρa(x) w t (x, t)...(3.5) M x (x, t) V(x, t) = 0...(3.6) Utlzando a relação V = M x da Equação (3.6), a E quação (3.5) torna-se: M x (x, t) + f(x, t) = ρa(x) w t (x, t)...(3.7) Sabe-se pela teora elementar da flexão de vgas (também conhecda como teora de Euler-Bernoull ou teora da vga delgada ou fna) que a relação entre o momento fletor e deflexão pode ser expressa como: M(x, t) = EI(x) w x (x, t)...(3.8) Onde E é o módulo de Young do materal e I(x) é o momento de nérca de área da seção transversal da vga em relação ao exo y. Este equação é valda somente para regme elástco. Inserndo a Equação (3.8), na Equação (3.7), obtemos a equação de movmento para a vbração lateral forçada de uma vga não unforme: x [EI(x) w x (x, t)] + ρa(x) w (x, t) = f(x, t)...(3.9) t A equação acma é valda para um mesmo modulo de elastcdade. Para nosso caso, o modulo de elastcdade é constante.

23 3 Para uma vga unforme, a Equação (3.9) reduz-se a: EI 4 w x 4 (x, t) + ρa w t (x, t) = f(x, t)...(3.10) Para vbração lvre, f(x, t) = 0; e portanto, a equação de movmento torna-se: onde: c 4 w x 4 (x, t) + w t (x, t) = 0...(3.11) c = EI ρa

24 4 4 Solução da vbração da vga submetda a mpacto pelo método de dferenças fntas Para o caso em estudo realzou-se análse dos fenômenos físcos que são orgnados durante o processo de trturação do mnéro de ferro. Após estudos defnu-se que o caso mas crítco ocorre quando a barra ca de uma altura H sobre uma pedra de mnéro posconada exatamente no meo, representado na FIGURA 7. FIGURA 7 Representação do caso crítco Desse modo consdera-se o caso extremo de solctação de resstênca da barra, no momento em que a haste se choca com uma únca rocha exatamente na metade de seu comprmento, a barra deformada é representada na FIGURA 8. Assume-se que a rocha de mnéro de ferro é um vínculo rígdo ndeformável, sendo assm no momento em que a barra toca o mnéro não ocorrem perdas de energa causadas por uma possível deformação do vínculo e emssão de som.

25 5 FIGURA 8 - A vga deformada depos do choque com o mnéro. Observa-se na FIGURA 8, que a deflexão da haste é smétrca. Com o obetvo de otmzar recursos computaconas é possível consderar somente a metade da vga consderando-a como engastada, devdo à smetra (FIGURA 9). FIGURA 9 Modelo de análse: vga de comprmento L, engastada em uma extremdade e lvre na outra. As dferenças fntas 4 é um método smples e muto utlzado em trabalhos centífcos, é aplcado na resolução de equações dferencas complexas onde a resolução analítca é dfícl e na maora das vezes mpossível de se obter. Segundo Ruggero e Lopes (1996), esse método consste em transformar o problema de resolver uma equação dferencal em um problema de resolver um sstema de equações algébrcas, usando para sto aproxmações por dferenças fntas das dervadas que aparecem na equação. O método empregado é o de dferenças fntas centrada o qual apresenta menor erro, comparado com a dferença fnta regressva e progressva. Outra característca mportante é sua establdade no domíno do tempo e para esse tpo de problema também apresentou-se estável no domíno do espaço. 4 O conceto do método de dferenças fntas encontra-se no ANEXO A.

26 6 Incalmente é dscretzado o domíno em n passos, o que se denomna malha. Neste trabalho é empregada uma malha unforme, ou sea, a dstânca entre os pontos possuem o 1 mesmo comprmento h. No total a vga fo dscretzada em 1 pontos (FIGURA 10). n FIGURA 10- Passo (h) ndcado na Malha vga 4.1 Formulação Na seção anteror vmos que a equação do movmento para uma vga de uma seção transversal não unforme submetda à vbração lateral forçada, é a segunte: M ( x, t) w( x, t) A x t f ( x, t)...(4.1) Para smplfcar a solução das ntegras de modo a consderar os lmtes de ntegração de 0 a 1, ntroduzmos o segunte parâmetro admensonal: x (4.) L onde L é a metade do comprmento da total da barra. Aplcando (4.) na Equação (4.1), temos: M (, t) w(, t) A f (, t) L t...(4.3)

27 7 onde f(, t) Ag, constante. Dscretzando o Momento Fletor na Equação (4.3) pelo método de Dferença Fnta Centrada de prmera ordem, temos no ponto e no tempo : M L 1 M M M L h (4.4) Onde: w 1 1 M 1 EI 1 EI 1 w w 1 w x L h...(4.5) w 1 M EI EI w w w x L h (4.6) w 1 M EI EI w w w x L h (4.7) Substtundo as Equações (4.5), (4.6) e (4.7) na Equação (4.4), temos: 4 M w E ( EI I w w 1 w I w 1 w w 1 L L L h I 1 w w 1 w )...(4.8) Aceleração w( L, t) Sabemos que na Equação (4.3) corresponde à aceleração. Para calculá-la t utlzamos a equação de movmento lnear de um ponto materal com a consderação em que a aceleração é unforme porque o ncremento de tempo será muto curto: t = t t 1, = 1,, m :

28 8 1 1 s v t a t...(4.9) Sabemos que s w w e 1 a w(, t ), então temos: t w(, t ) 1 1 w w v t t t...(4.10) w(, t ) A 1 1 A w w v t t t...(4.11) Após de obtenção w, pode-se calcular a pela Equação (4.1) e em seguda a velocdade: v v a t 1 A qual é mprescndível para obter a energa cnétca Equação Geral Substtundo as Equações (4.8) e (4.11) na Equação (4.3), temos: E I w w 1 w I w 1 w w 1 I 1 w w 1 w Lh w w v t Ag (4.1) Onde: tf Com m,1 m e t 1 n,1 n h w é o deslocamento em cada ponto ; t é o ncremento ou passo de tempo;

29 9 tf é o tempo total da análse; m é o número total de ntervalos de tempo da análse; n é o número total de passos. Caso ocorra o surgmento de uma trnca em um local, o momento de nérca da barra neste local vara com o tempo, então a equação (4.1) assume formas dstntas, ou sea, o momento de nérca é constante no local da propagação quando a vga está ntacta e varável a partr do níco e da propagação da trnca. Para tornar a resolução mas compacta nomeamos as seguntes notações: EI (4.13) Lh A...(4.14) t Ag 1 v t...(4.15) Caso não há o surgmento de trnca Caso não houver o surgmento de uma trnca, o momento de nérca I é constante para todos os tempos e posções I 1 I I 1 I, então a equação (4.1) assume a segunte forma: w w w w w w w v t Ag...(4.16)

30 Caso há o surgmento de uma trnca no ponto fxo x=0 Supor-se neste trabalho que a trnca ocorra apenas no ponto fxo: x=0, ou sea =0. O momento de nérca I 0 vara na medda em que a trnca se propaga. Então a Equação (4.1) assume a segunte forma para =1: E I w w w w I w w1 1 w 1 Lh w w v t Ag...(4.17) 1 Para as demas posções o momento permanece constante em todo o tempo I I I e a equação (.15) se mantem mesma. Para resolver a Equação (4.1) são necessáras duas condções ncas e quatro condções de contorno. Essas condções devem ser dscretzadas pelo método de dferenças fntas para substtur na equação geral Condções ncas 0 Uma condção ncal é dada por w( x, t 0) w, consderando w( x,0) w(,0) 0, temos: w 0, com 1 n...(4.18) 0 A outra condção ncal é dada pela velocdade ncal da vga w ( x, t 0) v t momento em que a barra choca-se com o mnéro de ferro (FIGURA 8), assm temos: 0 no v 0 gh, 1 n...(4.19)

31 31 onde g é a aceleração da gravdade e H é a altura da queda Condções de contorno A haste está engastada na extremdade esquerda conforme mostra a FIGURA 9, onde as condções de contorno apresentam-se da segunte forma: I. Na extremdade engastada ( L 0 ou 0 ), a deflexão e a nclnação são nulas, sendo assm: a) Deflexão w(0, t) = 0 aplcado para todos os nstantes de tempo, temos: w0 0, para 1 m...(4.0) w(0, t) w0 1 w0 1 b) A nclnação x h 0, resulta em: w 1 w, 1 m...(4.1) 1 II. Na extremdade lvre 1 ou sto é: n, o momento fletor e a força cortante são nulos, a) Momento fletor em: w( n, t ) E EI( n) I ( n wn 1 wn wn 1) 0, resulta L L h w w w, 1 m...(4.) n1 n1 n b) Através da força cortante, têm-se:

32 3 w( n, t ) E EI( n) ( I 3 3 n wn wn 1 wn 1 w n) 0 L L L h...(4.3) Substtundo (4.) em (4.3), temos: w w 4w 4w...(4.4) n n n1 n 4. Construção de equações do sstema lnear A solução do sstema lnear é obtda através da matrz dos coefcentes de deslocamentos, utlzando a Equação (4.17) para a prmera lnha e a Equação (4.16) para as demas. Incamos com o tempo 1, o qual corresponde ao prmero nstante t 1 = t, os demas nstantes se utlzam das nformações dos nstantes anterores. A velocdade no tempo é obtda por: v = v 1 + a t...(4.5) onde a aceleração: a = ρa t (w w 1 v 1 t)...(4.6) Substtundo as condções ncas (4.19) e (4.0) na Equação (4.1), temos: E L h A I w w w w I w w w w w v t Ag t (4.7) ou sea

33 E w w w w 1 I w w 1 w w Lh...(4.8) Substtundo as condções ncas (4.19) e (4.0) na Equação (4.16), temos: EI L h A w w w w w w w v t Ag t (4.9) w 4w 1 6w 4w 1 w w...(4.30) Para construr a matrz dos coefcentes dos deslocamentos aplcamos a Equação (4.8) para a prmera lnha e a Equação (4.30) para as demas, assm temos: I. Prmera lnha da matrz, E w w w w 1 I w w 1 w w1 1 Lh (4.31) Substtundo as condções de contorno (4.0) e (4.1) em (4.31), temos; 1 I 0 5 w 4 w w I (4.3) II. Segunda lnha da matrz,. w 4w 6w 4w w w (4.33) Substtundo a condção de contorno (4.0) na Equação (4.33), temos: 4 w 6 w 4 w w...(4.34)

34 34 III. Tercera lnha da matrz, 3. w 4w 6w 4w w w (4.35) Substtundo a condção de contorno (4.0) em (4.35), temos: w 4 w 6 w 4 w w (4.36) IV. Antepenúltma lnha da matrz, n. w 4w 6w 4w w w n4 n3 n n1 n n n w 4 w 6 w 4 w w n4 n3 n n1 n n V. Penúltma lnha da matrz, n 1. w 4w 6w 4w w w n3 n n1 n n1 n1 n1 (4.37) Substtundo a condção de contorno (4.) em (4.37), temos: n3 n n1 n n1 w 4 w 5 w w (4.38) VI. Últma lnha da matrz, n. w 4w 6w 4w w w n n1 n n1 n n n (4.39) Substtundo a condção de contorno (4.) e (4.4) em (4.39), temos:

35 n n1 n n w 4 w w (4.40) Analsando a Matrz (4.41) observamos que há varação nos coefcentes somente em 1,, n 1 e n, os demas se repetem na dagonal prncpal. E quando há propagação de trnca apenas a prmera lnha da matrz se altera. I 5 0 w1 4 I w 4 (6 ) 4 4 (6 ) (6 ) (6 ) 4 4 (6 ) (5 ) ( ) w w w w w n n n1 n1 w n n...(4.41) Para manter a establdade do método e dmnur o erro na solução numérca do sstema, é necessáro manter os valores de α e β na mesma ordem, ou sea, pelas Equações (4.13) e (4.14) tem-se: EI A 4 4 L h t anda A L h x EI c R c R t L h 0 0 Onde x é a dstânca (ou o passo) entre dos pontos consecutvos. Constata-se que o ntervalo de tempo t tem uma relação parábola com o passo x e c 0 E

36 36 é a velocdade de som de propagação de onda undmensonal no materal. Consderando os valores: L=,1 m, R=0,0508 m, E=00 GPa, ρ=7850 kg/m 3 e tomando x =0,01 m, obtêmse: c m/s e 7 t 7,8 10 s. Adota-se então 6 t 110 s 1 s. 4.3 Momento fletor Para obtermos a tensão superfcal na barra, precsamos calcular o momento fletor ( M ) máxmo. Assummos que o momento fletor máxmo ocorre no meo da barra, consderando as condções de smetra. Então substtundo 0 na Equação (4.6), temos: EI0 M 0 w1 w0 w 1, Lh Aplcando as condções de contorno (4.0) e (4.1), temos: M EI w para =0...(4.4) Lh onde I 0 é o momento de nérca na posção onde a trnca se propaga Também podemos obter a expressão para o momento fletor para as demas posções, substtundo as condções de contorno na equação: EI M w w w Lh 1 1 para 1n...(4.43) Por exemplo: Para 1 (4.0), resulta em: EI aplcando a condção de contorno Lh 1 temos M1 w w1 w0 EI M1 w w1...(4.44) Lh

37 Força cortante A força cortante pode ser expressa da segunte forma: V ( ) EI(, t) 3 w(, t) 3 x...(4.45) Dscretzando a Equação (4.45), temos: E V I 3 w w 1 w 1 w, 1 m...(4.46) h A partr da Equação (4.46), podemos determnar a força cortante para qualquer tempo e posção na barra, conforme segue para =1, temos: E V1 I 3 1 w1 w0 w w3, h Aplcando as condções de contorno (4.0) e (4.1), temos: EI V1 3 w1 w w3...(4.47) h Para =, temos: E V I 3 w0 w1 w3 w4. h Aplcando as condções de contorno (4.0) e (4.1) e a condção de contorno (4.1), temos: EI V 3 w1 w3 w4...(4.48) h

38 38 Para =3, temos: EI V3 3 w1 w w4 w5...(4.49) h

39 39 5 Mecânca da Fratura Observando uma fratura a nível atômco, teorcamente o materal fratura quando é submetdo a tensão para romper as suas lgações químcas. No entanto expermentalmente a tensão de fratura para materas fráges são de três a quatro vezes nferores a tensão teórca de coesão atômca. Expermentos realzados por Leonardo da Vnc, Grffth, e outros ndcam que essa dscrepânca entre tensão real de fratura e tensão teórca ocorre devdo a defetos nternos exstentes nos materas. Esses defetos nternos estão entre as prncpas causas de fratura dos materas. A fratura ocorre quando ha separação de um corpo em duas ou mas partes em resposta a mposção de uma tensão. Para os materas de engenhara são possíves duas modaldades de fratura: Dúctl e Frágl. O aço é classfcado como um materal de engenhara dúctl, portanto esse tpo de fratura será nosso obeto de estudo. Os materas dúctes apresentam uma deformação plástca substancal com grande absorção de energa antes da fratura. O processo de fratura começa com a formação de uma trnca e sua propagação em resposta a mposção de uma tensão. 5.1 Teora do balanço de energa de Grffth De acordo com a prmera le da termodnâmca quando um sstema passa de uma condção de não equlíbro para uma condção de equlíbro há uma perda de energa líquda. Em 190, Grffth aplcou esta dea para a formação de uma trnca. Uma trnca pode se formar ou se propagar somente se o processo apresenta perda de energa ou a mantém constante. A condção crítca para fratura pode ser defnda como o ponto onde a propagação da trnca ocorre em condções de equlíbro, sem alteração da energa líquda total. A teora do balanço de energa de Grffth para um ncremento de área da trnca da, sobre condções de equlíbro, pode ser expresso da segunte forma: det d dws 0 da da da

40 40 externas; Onde: E t = Energa total; d dw s...(5.1) da da = Energa potencal fornecda pela energa de deformação nterna e forças W s = Trabalho requerdo para a cração de novas superfíces. Pela análse de tensão de Ingls, conforme mostra FIGURA 11, resulta em: ab 0 E d a...(5.) da E dws da...(5.3) s Substtundo as equações (5.) e (5.3) na equação (5.1), temos a solução para a tensão de fratura em materas fráges, obtda pelo balanço de energa de Grffth: f E s a 1/...(5.4)

41 41 FIGURA 11 Trnca em uma chapa com largura>>a submetda a uma tensão remota Fonte: (ANDERSON, 005) A equação (5.4) somente é valda para materas fráges, portanto não pode ser utlzada para metas. Irwn e Orowan modfcaram a equação de Grffth para calcular a tensão lmte para fratura em metas, consderando os efetos da deformação plástca presente em materas dúctes. f E( s p) a 1/...(5.5) onde é o trabalho da deformação plástca por undade de superfíce, normalmente p é p muto maor que s. energa. É possível generalzar o modelo de Grffth para todos os tpos de dsspação de f Ewf a 1/...(5.6) onde w é a energa superfcal da fratura, onde podem ser ncluídos os efetos plástcos, f vscoelástcos ou vscoplástcos dependendo do materal.

42 4 A equação (5.6) pode ser aplcada somente para materas que apresentam comportamento lnear elástco, ou sea, o comportamento global da estrutura deve ser elástco. Todos os efetos não lneares devem estar confnados em uma pequena regão próxma a ponta da trnca, então consdera-se w constante (ANDERSON, 005). f 5. A taxa de lberação de energa Em 1956, Irwn propôs uma abordagem para fratura que é essencalmente equvalente ao modelo de Grffth, exceto que a abordagem de Irwn está em uma forma mas convenente para resolver problemas de engenhara. Irwn defnu uma taxa de lberação de energa G, a qual é a quanta de energa dsponível para que ocorra um ncremento na propagação da trnca. Aqu o termo taxa não se refere à dervada em relação ao tempo, e sm a taxa de varação da energa potencal em relação à área da trnca. (ANDERSON, 005) Defne-se a taxa de lberação de energa durante a propagação de uma trnca como: d G...(5.7) da Segundo a equação (5.1) podemos defnr que a propagação da trnca ocorre quando G atng um valor crítco G c, defndo por: G c dws wf...(5.8) da onde dado por: G c é a resstênca à fratura do materal e é a energa potencal de um corpo elástco, U T...(5.9) onde: U é a energa de deformação armazenada no corpo; T é o trabalho realzado por forças externas.

43 43 Como G é obtdo pela dervada da potênca, é chamada também como força motrz de propagação de trnca. Pode-se utlzar a segunte relação para materas com comportamento lnear elástco: G = k I E + k II + k III E μ...(5.10) Onde: E = { E (Estado plano de tensão) E 1 ν (Estado plano de deformação) μ, é o módulo de elastcdade transversal; k I, k II e k III são chamados fatores de ntensdade de tensão de modos I, II e III de propagação de trnca respectvamente. Para o nosso caso o carregamento corresponde ao modo I e estado plano de deformação, então reescrevendo a Equação (5.10), temos: G = (1 ν )k I E...(5.11) 5.3 Fatores de ntensdade de tensões Exstem os três dferentes modos de propagação de trnca, porém aplca-se a esse trabalho o modo I de abertura de trnca (FIGURA 1) e condção de deformação plana.

44 44 FIGURA 1 Modo I: Modo de abertura ou de tração Fonte: (CALLISTER JR. e RETHWISCH, 009) Em estudo realzado sobre a propagação de trncas em perfs de roscas de elementos fxadores, James e Mlls (1988) obtveram váras soluções de fatores de ntensdade de tensão (k) para o modo I e forma da seção da trnca crcular ou semcrcular. Os resultados obtdos são decorrentes de métodos numércos. O trabalho mostra convergênca entre os resultados de város pesqusadores tornando possível o desenvolvmento de uma equação para obter o fator de ntensdade de tensão como a segunte. MRa k ( a) Y( a) a Y( a) a...(5.1) I I a 3 4 a a a a Ya ( ) 1, 04 3, 64 16,89 3,59 8, 41 R R R R...(5.13) onde, conforme demonstra a FIGURA 13: centrode C; M é o momento fletor na seção da trnca; R a é a dstânca da frontera da trnca até o centrode C da área ntacta da trnca ; I a é o momento de nérca da área ntacta em relação ao exo horzontal que passa no a Representa a profunddade da trnca.

45 45 FIGURA 13- Deslocamento do centrode C com a propagação da trnca 5.4 Propagação de trnca Consdera-se que uma trnca se propague em uma área trncada da. Pelo balanço de energa de Grffth, esta propagação depende da competção entre a força motrz, que tende promover a propagação, e a resstênca à propagação da trnca. Para uma propagação dnâmca da trnca na barra em questão, a força motrz consste na varação da energa cnétca e do trabalho realzado pela força da gravdade em relação ao deslocamento ocorrdo durante o tempo t; a resstênca à propagação da trnca consste na varação de energa de deformação, energa consumda para formar nova área da e a energa gerada pelo momento fletor na posção da trnca como uma mola rotaconal em relação a rotação da seção da trnca. Para analsar a possbldade da propagação, precsa-se calcular a força motrz e a resstênca à propagação.

46 Resstênca à propagação da trnca Energa necessára para formar novas superfíces de trnca Na estátca, a resstênca à propagação de trncas ou a tenacdade à fratura do materal G c, é defnda por: G ( )...(5.14) c p s Onde: γ S, é a energa consumda durante a quebra das lgações atômcas/moléculas, em uma superfíce untára; γ p, é energa plástca, em uma superfíce untára. Geralmente para materas dúctes, como nosso caso de estudo, γ S, pode ser desprezado em comparação a γ p no caso exsta plastfcação consderável na regão ao redor da frontera da trnca. A energa consumda pela propagação de trnca em comprmento da é dada por: Gc ( a, t) wd dv wdv...(5.15) V onde w d é a densdade do trabalho de deformação absorvdo, o qual é constante para materas homogêneos, e V é o volume: V r bda...(5.16) y onde b é a largura da trnca e da a profunddade da trnca (FIGURA 13). Segundo Hoffmann (013), w d é representado pela área em verde da FIGURA 14 e é dado por: w n1 1 n e u 1 E E( n 1) e d e u...(5.17)

47 47 onde n é o índce de encruamento e σ e e σ u são a tensão de escoamento e a tensão de ruptura do materal respectvamente. FIGURA 14 - Densdade do trabalho de deformação absorvdo Fonte: (HOFFMANN, 013) w d por: O rao da zona plástca na frontera da trnca r y, segundo (ANDERSON, 005) é dado r y rp 1 k I 6 e...(5.18) Substtundo as equações (5.18), (5.17) e (5.16) na equação (5.15), temos: n1 n 1 e u 1 k I Gc ( a, t) e u 1 bda E E( n 1) e 6 e...(5.19) n1 n ki u u Gc ( a, t) 1 1 bda 6 E e ( n 1) e...(5.0)

48 48 Substtundo o valor de k I Equação (5.1) na Equação (5.0), temos: n1 a( Y( a) MR ) n a u u Gc ( a, t) 1 1 bda 6 EI a e ( n 1) e...(5.1) onde Ya ( ) é dado pela Equação (5.13), pela Equação (5.51). u pela Equação (5.47), e pela Equação (5.46) e n Área e momento de nérca da seção não trncada A área sombreada A, representada na FIGURA 15, mostra a seção não trncada e é dada pela Equação (5.) (vea Anexo C). r A sen...(5.) Onde r é o rao e é dado por: ( r a) arcsen r...(5.3)

49 49 FIGURA 15 Momento de Inérca Varável O momento de nérca I c em relação ao exo que passa o centrode C, paralelo ao exo x é dado pela Equação (5.4) (vea ANEXO E) r 1 8r cos I0 Ic sen ( sen )...(5.4) Energa Cnétca A energa cnétca é dada pela segunte expressão: L 1 ( ) (, ) 0 Ek t Av x t dx...(5.5) onde e A são constantes, tornado admensonal em relação a x pela Equação (4.), temos:

50 50 1 AL ( ) (, ) Ek t v t d...(5.6) 0 Resolvendo a ntegral pelo método dos trapézos e a dscretzação dada, temos: AL 1 0 n Ek h v v v n 0...(5.7) Onde a varação de energa cnétca durante tempo t é: n n 1 ( ) ( ) 1 v v ALh 0 0 Ek Ek Ek v0 v0 v n vn...(5.8) Trabalho realzado pela mola rotaconal Como a seção trncada pode ter uma rotação, podemos consderar o apoo na extremdade esquerda da barra como uma mola rotaconal correspondendo a rotação da seção trncada (FIGURA 16). O trabalho feto pelo momento fletor M em relação a uma pequena 0 rotação da seção trncada pode ser dado por:

51 51 FIGURA 16 Mola rotaconal Tm M...(5.9) 0 0 onde M0 é o momento na seção de trnca, como há varação de um nstante de tempo, calculase a méda entre os momentos M 0 M M A rotação da mola entre o tempo -1 e é dada por 1 w1 w1 conforme mostrado na FIGURA 17. Lh FIGURA 17 Cálculo da Rgdez

52 5 Assm temos: M M w w Lh 1 1 Tm (5.30) Tm0 M 0 M 0 w1 w1...(5.31) Lh Energa de deformação A energa de deformação elástca armazenada na barra é calculada pelas tensões normas. Segundo conceto de resstênca dos materas, temos: U x dv...(5.3) E Como a barra está submetda à flexão barra com E e I constante, temos: x My I, ntegrando para o comprmento da L 1 L 1 U M dx M d EI EI...(5.33) 0 0 onde é dado pela Equação (4.). Pela dscretzação temos: então: n L 1 U h M ( M0 ) ( M n) EI 0, por defnção sabemos que M 0, n

53 53 U n Lh M M EI 0 0 n 1 Lh EI Lh EI0 w ( w 1 w w 1) EI 1 L h EI L h n1 Lh EI I0 1 ( w 1 w w 1) EI L h 1 I Lh n1 ( w 1 w w 1 I0 1) w1 I w 1...(5.34) onde é representado na Equação (4.13). A varação da energa de deformação é dada por: 1 U U U...(5.35) 5.4. Força motrz Trabalho realzado pela força da gravdade expressão: O trabalho realzado pela força da gravdade durante tempo t é dado pela segunte L Tg(t) Ag w( x, t) dx...(5.36) 0 Aplcando a defnção (4.), temos: 1 Tg(t) AgL w(, t) d...(5.37) 0

54 54 Dscretzando (5.37), temos: 1 AgLh n Tg w 0 w w n 0...(5.38) Aplcando a condção de contorno (4.0) na Equação (5.38), temos: n w n Tg AgLh w...(5.39) 0 A varação o trabalho realzado pela força da gravdade durante o tempo t é: 1 Tg Tg Tg...(5.40) Condção para a propagação da trnca 1 Lh c K K Tg U U M M w w G E E...(5.41) Crtéro para Incação da Trnca e a propagação de trnca Sabemos que a tensão na superfíce da haste em uma posção, é dada por: Onde s M r I M é dado pela Equação (4.43), r é o rao da barra e seção transversal, que é constante para 1n Equação (5.4). Para a posção onde ocorre o níco da trnca =0, temos: I...(5.4) I é o momento de nerca da

55 55 Onde: M0 r s I 0...(5.43) M 0 é dado pela Equação (4.4) e I 0 é o momento de nerca da seção transversal dado pela Equação (5.4). Para que nce a propagação da trnca, a tensão na superfíce da barra deve ser maor que a tensão de ruptura do materal. s u...(5.44) M0 r u...(5.45) I Quanto a propagação de trnca, aplca-se o crtéro: k I k IC onde k I é obtdo pela Equação (5.1) e k IC é a tenacdade à fratura de materal no estado de deformação plano, que é medda por ensao Relação entre tensão de escoamento, tensão últma e coefcente de encruamento com a dureza (PAVLINA e VAN TYNE, 008) Após analsar dados de mas de 150 expermentos, de aços hpoeutetódes e não austenítcos, afrmam em seu trabalho que as correlações de tensão de escoamento e tensão últma com dureza, podem ser dadas por: 90, 7,876H...(5.46) e V

56 56 99,8 3, 734H...(5.47) u V onde a tensão de escoamento e e a tensão últma u estão em MPa. pela prâmde de damante conhecda por dureza Vckers, em kgf/mm². H V é a dureza medda A dureza Vckers é uma forma de classfcação da dureza dos materas onde uma prâmde de damante com ângulo de dedro de 136º é comprmda por uma força "F", contra a superfíce do materal. Essa força é chamada de carga plena e é aplcada normalmente durante um tempo de 10 a 15 segundos. Após a retrada da carga as duas dagonas da ndentação mpressas na superfíce do materal são meddas através de um mcroscópo. Com a méda artmétca dos valores ldos calcula-se a área da superfíce nclnada da ndentação. A dureza Vckers é o quocente obtdo dvdndo a carga (kgf) pela área da endentação (mm²). O encruamento do materal é defndo pelo endurecmento por deformação a fro. Quanto mas força age sobre o corpo, mas resstente ele se torna. Ao analsar o gráfco de tensão ( ) e deformação ( ) do aço, observa-se que ocorre um aumento contínuo da resstênca a tensão do materal após o escoamento. Isto ocorre devdo às nterações entre as dscordâncas que mpedem o escorregamento dos planos crstalográfcos, formando barreras para a deformação. Podemos medr o encruamento através do coefcente de encruamento, representado por n. O valor de "n" é determnado por uma relação matemátca empírca, consderando que a parcela da curva tensão-deformação real ou verdadera entre o escoamento e a estrcção é representada por uma equação exponencal. Cahoon (1970) conclu em seu estudo, que as medções de dureza podem ser utlzadas para determnar a tensão de escoamento, o coefcente de encruamento e a tensão últma para uma vasta gama de materas, tas como alumíno, bronze e aço. A relação entre tensão últma ( ), coefcente de encruamento ( n ) e dureza dada por (CAHOON, 1970): u H V, é u HV n,9 0, 17 n...(5.48) onde é dado em kgf/mm². u Para o presente estudo, a fm de reduzr o erro é melhor não ntroduzr mas dados que necesstam ser determnados através de expermentos, exceto a dureza e a tenacdade a fratura

57 57 do materal. Isto mplca que o coefcente de encruamento ( n ), deverá ser determnado pela dureza. Assm substtuímos a Equação (5.47) na Equação (5.48) e convertemos MPa para kgf/mm² multplcando por 0,1, resultando em: HV n 0,1( 99,8 3, 734 HV ),9 0, 17 n...(5.49) n(ln n ln 0, 17) ln H ln(1, 0886H 8,94) 0...(5.50) V V Obtemos então o coefcente em função da dureza método numérco. H V, a qual pode ser resolvda por n n( H V )...(5.51) Programa para análse da propagação de trnca Após defnr as equações que descrevem o comportamento físco da vbração e propagação de trnca, fo elaborado um programa no software MATLAB para realzar a smulação numérca. O fluxograma do programa é mostrado na FIGURA 18.

58 FIGURA 18 Fluxograma do algortmo para análse da propagação de trnca 58

59 59 6 Resultados e dscussões 6.1 Vbração após o choque e antes da ncação de trnca A fm de verfcar a confabldade do método de dferenças fntas fo realzada uma smulação dnâmca no software Ansys LS-DYNA e ambos comparados com os resultados obtdos pela solução analítca de Hoffmann (013). Os dados de entrada para as smulações encontram-se na Tabela 1. Parâmetro Módulo de Elastcdade ( E ) Rao ( r ) Comprmento da metade da barra ( L ) Densdade ( ) Tabela 1 Dados de entrada da smulação Valor 07 GPa m.1 m 7850 Kg/m³ Altura da queda ( H ) m (0 pés) Intervalo de tempo ( t ) 1 μs Número de dscretzação ( n ) 1 Os resultados do deslocamento do últmo ponto da barra na FIGURA 19. n podem ser vsualzados

60 60 FIGURA 19 Comparação da deflexão entre os resultados dos métodos: Analítco, Dferenças Fntas e Ansys LS-DYNA. Δt = 1μs Observa-se no gráfco da FIGURA 19 que nos pcos ocorre um afastamento do resultado do Ansys em comparação com o resultado analítco, esse erro ocorre provavelmente porque o software ntroduz algum tratamento especfco para evtar o efeto de Hourglass. FIGURA 0 Analítco x Dferenças fntas x Ansys LS-DYNA, (Δt = 1μs). Ao analsar os resultados dos gráfcos das FIGURA 19 e FIGURA 0, podemos perceber que a solução numérca do método de dferenças fntas fcou quase dêntca com a solução analítca, o que comprova a efcênca do método de dferenças fntas para a

61 61 resolução desse tpo de problema. Também estas fguras confrmam que a solução analítca obtda por Hoffmann está correta. (a) (b) FIGURA 1 - Comparação entre aplcação de ncremento de tempo: (a) Δt = 10μs; (b) Δt = 1μs. Sabe se que para resolução de problemas dnâmcos, o tamanho do passo de tempo é mportante para obter bons resultados. Este prncípo pode ser observado neste trabalho. A FIGURA 1 lustra os resultados de aplcação para dferentes Δt. Pode se ver claramente quando Δt = 10μs (FIGURA 1(a)), há uma pequena dferença nos pcos entre o resultado do

62 6 método de dferenças fntas e o analítco, mas essa dferença dmnu sgnfcantemente quando Δt = 1μs. A FIGURA apresenta no exo esquerdo, em azul, a posção onde ocorre a tensão superfcal máxma em relação ao tempo, dada pela Equação (5.43). No exo dreto, em verde, é representado o valor do momento fletor máxmo na barra também em relação ao tempo. O pco entre 1700 e 1800 μs pode ser nterpretado que exstem dos locas (a 8% e a 50% do comprmento) na vga onde os momentos fletores são quase dêntcos e máxmos no nstante 1707 μs, ou sea, as tensões máxmas poderão ocorrer nestes dos lugares no mesmo nstante de tempo. Isto mplca que uma trnca poderá ser ncada nestes lugares, ou sea, em város pontos no mesmo nstante. FIGURA Posção longtudnal onde ocorre o momento máxmo (exo esquerdo) e o valor do Momento Fletor Máxmo (exo dreto), ambos em relação ao tempo. 6. Propagação da trnca Para facltar o entendmento, é possível separar a smulação em duas fases: a prmera consste no níco da trnca onde a tensão gerada na superfíce superor da barra deve atngr ou ultrapassar a tensão de ruptura do materal, demonstrada pela Equação (5.45), somente assm ocorrerá o níco da trnca. A segunda analsa as condções para que ocorra a

63 63 propagação da trnca, essa análse é descrta pela Equação (5.41). O algortmo do programa é apresentado no fluxograma da FIGURA 18. A modelagem apresentada nesse trabalho somente é válda enquanto a haste encontra- se em contato com o apoo, ou sea, as smulações são realzadas para w 0. No momento 0 em que w 0 (a barra se solta e perde o contato com o apoo) a smulação é fnalzada. 0 Devdo à proporção, os resultados são plotados pelo comprmento da trnca em relação ao dâmetro total da barra e a velocdade de propagação em relação a velocdade do som para a propagação de uma onda undmensonal no materal dada por E / Materas analsados A fm de verfcar o comportamento da barra para dferentes materas, a smulação da propagação de trnca fo realzada para os aços 1040, 4140 e Ambos são comercalzados em barras e apresentam boa temperabldade e outras característcas partculares (SUPPLIERS, ): O aço 1040 é classfcado de médo carbono e utlzado para fabrcação de vrabrequns, acoplamentos e peças conformadas a fro. Quando endurecdo por tempera apresenta elevada tensão de ruptura. O aço 4140 é um aço baxa lga de Cromo, Molbdêno e Manganês utlzado nas mas dversas aplcações. É caracterzado pela sua tenacdade e boa resstênca à fadga. Outra característca nteressante é a temperabldade, sendo possível atngr alta tensão de ruptura com baxa temperatura de tempera. O aço lga 4340 quando tratado termcamente apresenta elevada tenacdade e é capaz de desenvolver alta resstênca mecânca mantendo boa resstênca a fadga. É aplcado normalmente em estruturas, exos, barras e outros. Tabela. As propredades dos referdos materas utlzados para a smulação, encontram-se na

64 64 Tabela Propredades e resultados da propagação de trnca para dferentes tpos de aços e temperas Dureza (HV) 490* 584* 456* 401* Tensão últma ou de ruptura ( MPa ) 50* 179,86** 080,86** 160,90** 1397,53** u Coefcente de encruamento (n) 0.14* 0.393** --- 0,354** 0,73** Tenacdade a fratura MPa m 54* 60* 53* 75* 110* Iníco da trnca (μs) Tempo de duração (μs) Comprmento Propagado (mm) , ,5 59,61 Velocdade Máxma de Propagação (m/s) 414,9 999, ,46 851,99 * Dados da lteratura, Fonte: (ASM-HANDBOOK, 1991). ** Dados calculados através da dureza. A dureza Vckers (HV) fo convertda de Brnell (HB), conforme ASTM E Não nca a propagação. Pelos dados a velocdade do som para a propagação de uma onda undmensonal no materal dada é 5135 m/s. 6.. Influênca de dureza e tenacdade à fratura de materal Ao analsar o aço 4340 de 584 HV (Tabela ), observamos que não ocorre o níco da trnca quando H=6,096 m (0 pés) devdo à elevada tensão de ruptura do materal, nesse caso não há tensão gerada sufcente na superfíce para que ocorra o níco da trnca e consequentemente não há propagação. Em relação ao aço 4340 para dferentes temperas, onde a dureza é nversamente proporconal à tenacdade a fratura (Tabela ). Observa-se que, nos casos onde há o níco da

65 65 trnca, a trnca propaga mas e com maor velocdade no aço 4340 de maor resstênca mecânca e menor tenacdade (HV=456, FIGURA (a)), comparado ao de menor resstênca mecânca e maor tenacdade à fratura (HV=401, FIGURA 3 (b)). Assm é possível verfcar a nfluênca da tenacdade à fratura do materal na velocdade máxma e na propagação da trnca. (a) (b) FIGURA 3 Comparação entre comprmento de trnca e velocdade de propagação para o Aço Lga 4340 submetdo a dferentes temperas (a) 456HV e K 75MPa m (b) 401HV e K 110MPa m IC IC

66 Comprmento da trnca/dâmetro 66 A FIGURA 4 mostra a nfluênca da tenacdade a fratura do materal no comprmento da trnca, observa-se que quando temos a elevação do K IC de 81MPa m para 108MPa m ocorre uma redução drástca no comprmento da trnca Tempo (us) KIC=43. (-0%) KIC=54 KIC=64.8 (+0%) KIC=81 (+50%) KIC=108 (+100%) FIGURA 4 Influênca da tenacdade a fratura (KIC) na propagação da trnca Influênca do coefcente de encruamento na propagação da trnca Quando ocorre a propagação, há deformação plástca na frontera da trnca. Essa zona plástca tende a travar e mpedr a propagação. Sendo assm é notável que quanto menor o coefcente de encruamento menor a propagação e consequentemente menor o comprmento da trnca.

67 67 (a) (b) FIGURA 5 - Comprmento da trnca e velocdade de propagação para (a) aço 1040, 50MPa e k 54MPa m ; (b) aço 4140 u IC 179,86MPa e k 60MPa m. u IC Comparando os resultados para os aços 1040 e 4140, mostrado na FIGURA 3. Observa-se que, no aço de menor tensão últma, a trnca nca logo no prmero nstante de tempo (=1μs), sso ocorre devdo à tensão de ruptura do aço 1040 corresponder a aproxmadamente 1/3 a do aço Anda em relação a esses materas, ao comparar o comprmento e velocdade de propagação da trnca, observa-se que no aço 1040 a trnca propaga menos (16,74 mm) em

68 Comprmento da trnca/dâmetro 68 relação ao aço 4140 onde a trnca chega a 71,5 mm. Porém para esses dos materas os valores de tenacdade a fratura não apresentam dferença sgnfcatva, o que leva a analsar o coefcente de encruamento n que nesse caso apresenta dferenças sgnfcatvas para entre os aços 1040 e 4140, com valores de 0.14 e 0.3 respectvamente. A FIGURA 3 mostra o aço 4140 para dferentes coefcentes de encruamento. É possível observar que a trnca propaga menos quando n é menor, sso ocorre devdo à nfluênca desse parâmetro na energa necessára para formar novas superfíces de trnca, conforme a Equação (5.41) Tempo (us) n=0.168 (+0%) n=0.14 n=0.11 (-0%) FIGURA 6- Varação no comprmento da trnca (normalzado) para dferentes hpóteses de coefcentes de encruamento (n), consderando como base n=0.14 do aço 1040.

69 Comprmento da trnca/dâmetro Influênca da altura da queda no níco e propagação da trnca A FIGURA 7 mostra a propagação da trnca quando vara-se somente a altura da queda da barra, os resultados são os esperados. A trnca propaga mas quando ca de uma altura maor e menos quando ca da menor. Além dsso, os tempos de níco da trnca são dferentes, para a altura maor a trnca nca mas rapdamente que na altura de queda menor Tempo (us) H=3.6576m (1 pés) H=6.0960m (0 pés) H=8.5344m (8 pés) FIGURA 7 Varação na propagação da trnca na barra para dferentes alturas de quedas (H), consderando que a barra é fabrcada em aço 1040.

70 70 7 Conclusão Analsando os resultados obtdos, pode-se conclur que: (1) A solução pelo método de dferenças fntas para análse de mpacto transversal em vgas de Euler - Bernoull apresentada, mostra-se capaz de descrever o deslocamento de uma vga ntacta. A confabldade da solução é aferda através da comparação entre os resultados da resolução analítca realzada com ausênca de trnca por Hoffmann ( 013) do mesmo grupo de pesqusa, da smulação dnâmca pelo software de Elementos Fntos ANSYS-LS DYNA e pelo Método de Dferenças Fntas descrta nesse trabalho; () Tensão máxma poderá ocorrer em mas de uma posção, ocasonando a quebra da barra em város pedaços; (3) Em materas com dureza elevada pode não ocorrer o níco da trnca, porque à tensão na superfíce da barra não atnge a tensão últma do materal, a qual aumenta com a dureza. Observa-se um pco de velocdade no níco da trnca e logo uma queda acentuada não voltando a ocorrer extremos, esse fenômeno pode ser explcado pelo consumo de energa da zona plástca na ponta da trnca, essa regão tende a frear a propagação; (4) A nfluênca da tenacdade à fratura do materal na propagação da trnca é notável: quanto maor tenacdade a fratura, menor serão as velocdades e tempo de propagação. Observa-se anda que, quanto menor k IC, maor a propagação da trnca; (5) O coefcente de encruamento mostra-se capaz de frear a propagação da trnca. Esse parâmetro nterfere dretamente na propagação da trnca devdo a sua nfluênca na energa de deformação. Quanto menor for n mas dfícl da trnca propagar no materal.

71 71 8 Sugestão para trabalhos futuros Neste trabalho, a dureza é consderada constante em toda a barra. Em caso real as barras são tratadas termcamente, então, o perfl de dureza é varável em termos da dstânca da superfíce da barra até o centro da seção transversal. O perfl da dureza pode ter grande nfluênca na propagação da trnca. Por sso, sugere-se a realzação de smulação com perfs de dureza varáves. Além dsso é possível modelar a barra ntera com surgmento de váras trncas. Também poderá usar o DEM para realzar modelagem e comparar os resultados com os de MDF.

72 7 REFERÊNCIAS ANDERSON, T. L. Fracture mechancs fundamentals and applcatons. 3. ed. [S.l.]: Taylor & Francs Group, 005. ASM-HANDBOOK. ASM HANDBOOK Heat Treatng. [S.l.]: ASM Handbook Commttee, v. 4, BEER, F. P. et al. Mechancs of Materals. 6ª. ed. [S.l.]: MeCraw-Hll, 01. BRICKSTAD, B. A Vscoplastc Analyss of Rapd Crack Propagaton Experments n Steel. Journal of the Mechancs and Physcs of Solds, Stockholm, v. 31, p , CAHOON, J. R.. B. W. H. A. K. A. R. The Determnaton of Yeld Strength From Hardness Measurements. Journal Metallurgcal Transactons, v., p , ulho CALLISTER JR., W. D.; RETHWISCH, D. G. Materals scence and engneerng an ntroducton. 8th. ed. [S.l.]: John Wley & Sons, 009. CANNON, J. T.; DOSTROVSKY, S. The evoluton of dynamcs: vbraton theory from Nova York: [s.n.], DONA, M. et al. A two-node mult-cracked beam element for statc and dynamc analyss of planar frames. Proceedngs of the Eleventh Internatonal Conference on Computaconal Structures Technology. Escóca: B. H. V. Toppng. 01. HOFFMANN, A. U. Modelagem matemátca de propagação de trnca em uma haste em queda lvre chocando-se transversalmente contra um apoo rígdo. Unversdade Federal do Pampa. Alegrete JAMES, L. A.; MILLS, W. J. Revew And Synthess Of Stress Intensty Factor Solutons Applcable To Cracks In Bolts. Engneerng Fracture Mechancs, Rchland, v. 30, p , KIM, K. -H.; KIM, J. -H. Effect of a crack on the dynamc stablty of a free-free beam subected to a follower force. Journal of Sound and Vbraton, Seoul, p , 000. KISA, M.; GUREL, M. A. Free vbraton analyss of unform and stepped cracked beams wth crcular cross sectons. Internatonal Journal of Engneerng Scence, Sanlurfa, n. 45, p , Março 007. MARUR, P. R. An Engneerng Approach to Impact Analyss of Notched Beams by Conventonal Beam Elements. Computers & Structures, Bangalore, v. 59, p , Outubro 1994.

73 73 MILLER, D. C. Anecdotal Hstory of the Scence of sound. Nova York: Macmllan: [s.n.], NEEDLEMAN, X.-P. X. A. A. Numercal Smulatons of Fast Crack Growth n Brttle Solds. Journal of the Mechancs and Physcs of Solds, Provdence, v. 4, p , março PAVLINA, E. J.; VAN TYNE, C. J. Correlaton of Yeld Strength and Tensle Strength. Journal of Materals Engneerng and Performance, v. 17(6), p , Dezembro 008. RAO, S. S. Mechancal Vbratons. 5ª. ed. Mam: Pearson PRENTICE Hall, 011. RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérco: aspectos teórcos e computaconas.. ed. [S.l.]: Pearson Makron Books, SUBRAHMANYAN, K. B.; LEISSA, A. W. An mproved fnte dfference analyss of uncoupled vbratons of cantlevered beams. Journal of Sound and Vbraton, Oho, p. 1-11, Dezembro SUPPLIERS, M. Metal Supplers Onlne, Dsponvel em: < Acesso em: 15 Mao 015. SUPPLIERS, M. Metal Supplers Onlne, Dsponvel em: < Acesso em: 15 Mao 015.

74 74 ANEXO A Método de Dferenças fntas O método de dferenças fntas utlza-se do conceto de dervada para a aproxmação do valor de um ponto ux ( 0) através dos pontos vznhos x 1 e x 1 (FIGURA 8). Por defnção temos: u u( x x) u( x) u( x) u( x x) u( x x) u( x x) ( x) lm lm lm x x0 x x0 x x0 x FIGURA 8 Interpretação geométrca Realzando a expansão em séres de Taylor da função u em torno do ponto x 0, à dreta e a esquerda de x 0 (FIGURA 8), temos respectvamente: x x 3 3 u u u x! x 3! x u u x...(a.1) x x 3 3 u u u x! x 3! x u u x...(a.) As aproxmações possíves para a prmera dervada de u pode ser obtda por dferentes formas. Aproxmando ux ( 0) pela dreta através do ponto x 1, na FIGURA 8,

75 75 temos o método de dferença fnta progressva, pela esquerda através do ponto x 1 o método de dferença fnta regressva e fnalmente aproxmando ux ( 0) pelos pontos x 1 e x 1 temos o método de dferença fnta centrada. I. Dferença fnta progressva u Truncando a sére (A.1) após o segundo termo u 1 u x x, temos: Com erro: u u x u x 1 1 u x ( x) x...(a.3)...(a.4) II. Dferença fnta regressva u Truncando a sére (A.) após o segundo termo u 1 u x x, temos: Com erro: u u u x x 1 1 u x ( x) x...(a.5)...(a.6) III. Dferença fnta centrada Nessa formulação a aproxmação é mas precsa porque utlza-se de dos pontos, anteror e posteror. a) Dervada de prmera ordem

76 76 Subtrando a Equação (A.1) de (A.) e truncando após o segundo elemento, temos: u u u x 1 1 x u u u x x...(a.7) Resolvendo temos: Com erro: u u u x x u 3 x ( x ) 6 x...(a.8)...(a.9) b) Dervada de segunda ordem Para obter a expressão para a dervada segunda de (A.) e truncamos após o segundo elemento, temos: u, somamos as Equações (A.1) x u u u x 1 1 x u u u x x...(a.10) Resolvendo temos: Com erro: u u 1u u 1 x x...(a.11)

77 u 4 x ( x ) 1 x...(a.1) c) Dervada de tercera ordem Dervando uma vez os termos de u na Equação (A.11), temos: 3 u u u 1 u 1 u 3 3 x x...(a.13) d) Dervada de quarta ordem Dervando uma vez os termos de u na Equação (A.13), temos: 4 u u 4u 1 6u 4u 1 u 4 4 x x...(a.14)

78 78 ANEXO B Momento de nérca do crculo cortado em relação ao exo x A equação geral do momento de nérca em relação ao exo x é dada por: I x y da (B.1) A Para esse caso, com a propagação da trnca a FIGURA 15, há varação no momento de nérca I a, aplca-se então a ntegral defnda em relação ao exo y. ra I x y xdy r...(b.) Por substtução trgonométrca utlza-se a relação y sen r, dy cosrd e x cosr, resultando em: 4 I x r sen cos d...(b.3) Utlzando as dentdades trgonométrcas: 1 cos sen...(b.4) 1 cos cos...(b.5) Substtundo (B.4) e (B.5) em (B.3), temos: 4 4 1cos 1cos r Ix r d d cos d...(b.6)

79 79 I x 4 r cos d...(b.7) A resolução da ntegral du d, resulta em: cos d, é obtda por substtução, onde u, cos d cos udu sen (B.8) Substtundo na Equação (B.7), temos: 4 4 r 1 1 r 1 Ix sen4 sen (B.9)

80 80 ANEXO C Área do crculo cortado A área do crculo (FIGURA 15) vara com a propagação da trnca a e é calculada pela ntegral defnda em relação ao exo y....(c.1) A da xdy A A Onde por substtução trgonométrca na Equação (C.1), temos: x rcos, y rsen e dy r cos, substtundo A r cos r cos d r cos d...(c.) Aplcando dentdade trgonométrca, temos: 1 r A r d r d d sen 1 cos cos ( )...(C.3)

81 81 ANEXO D Centrode do crculo cortado O centrode C (FIGURA 15) de coordenadas x e y (FIGURA 9) da área A em relação ao exo x, pode ser determnado pela segunte expressão: yda Ay...(D.1) A Onde y y na FIGURA 15. c FIGURA 9 Centrode de uma área Fonte: (BEER, JR., et al., 01) Colocando em evdênca y na equação (D.1), temos: y yc yda yxdy sen rcosr cosr d A A A r A 3 A A sen cos d...(d.) Resolvendo a ntegral por substtução, onde u cos e du send, temos: y c r r cos r 4r cos u du cos A A 3 3A 3( sen )...(D.3)