UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS CURITIBA 2014

2 EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS Trabalho Fnal de Curso apresentado ao Curso de Eng. Cvl, Setor de Tecnologa da Unversdade Federal do Paraná, como requsto parcal à obtenção de título de Bacharel em Engenhara Cvl. Orentador: Coorentador: Prof. Marcos Arndt Prof. José Antono Marques Carrer CURITIBA 2014

3 TERMO DE APROVAÇÃO EDUARDO HENRIQUE VIECILLI MARTINS DE MELLO ANÁLISE DINÂMICA DE VIGAS DE EULER-BERNOULLI E DE TIMOSHENKO COM O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS Trabalho Fnal de Curso aprovado pelo Curso de Eng. Cvl, Setor de Tecnologa da Unversdade Federal do Paraná, como requsto parcal à obtenção de título de Bacharel em Engenhara Cvl. Orentador: Prof. Marcos Arndt, D.Sc. Unversdade Federal do Paraná Coorentador: Prof. José Antono Marques Carrer, D.Sc. Unversdade Federal do Paraná Prof. Roberto Dalledone Machado, D.Eng. Unversdade Federal do Paraná CURITIBA 02 de dezembro de 2014

4 AGRADECIMENTOS Agradeço à mnha mãe pelo apoo e carnho, não só durante a elaboração deste trabalho, mas durante toda mnha vda. Agradeço ao prof. José Antono Marques Carrer que desde 2010 dspendeu sua atenção com mnhas dúvdas, me orentou na ncação centífca a partr de 2011 e fo parte fundamental neste trabalho. Também pela oportundade de utlzar os métodos numércos e que em mutas vezes que estava preocupado me contagou com sua pacênca. Agradeço ao Raphael Fernando Scucato, que muto me ensnou sobre programação e fo ndspensável para a conclusão deste trabalho. Agradeço ao prof. Marcos Arndt por acetar ser meu orentador neste trabalho e ao prof. Roberto Dalledone Machado, por acetar o convte para partpar da banca de avalação. Agradeço a todos os amgos fetos ao longo do curso, que me auxlaram com deas e dscussões para escrever este texto. Agradeço às amgas dos outros cursos, pelo grande ncentvo e cobrança para a elaboração deste trabalho e por terem proporconando conversas relaxantes sobre os mas varados temas.

5 RESUMO Este trabalho apresenta um estudo relatvo à análse dnâmca de vgas regdas pelas teoras de Euler-Bernoull e de Tmoshenko. São consderados os quatro tpos mas comuns de vgas - bapoada, bengastada, engastada-apoada e em balanço - sujetos à ação de um carregamento unformemente dstrbuído no espaço e atuando contnuamente no tempo. É dscutda a utlzação dos Métodos Numércos para problemas de engenhara e, partcularmente, o Método das Dferenças Fntas. Este método é utlzado para a solução numérca dos problemas e os algortmos necessáros para a mplementação são apresentados. Para as vgas de Euler- Bernoull, as respostas numércas são comparadas com as soluções analítcas; para as vgas de Tmoshenko, as respostas numércas são comparadas com a analítca, dsponível somente para a vga bapoada. As respostas relatvas às duas teoras são comparadas entre s, possbltando, assm, verfcar que tpo de dferença pode ocorrer entre elas. Conclu-se que há dferenças tanto nas flechas como nas frequêncas, que crescem à medda que a altura da seção aumenta, mantendo o vão da vga constante. Também conclu-se que o Método das Dferenças Fntas apresenta bons resultados para as duas teoras. Palavras-chave: Teora de Euler-Bernoull. Teora de Tmoshenko. Análse dnâmca de vgas. Método das Dferenças Fntas.

6 ABSTRACT Ths paper presents a study concernng the dynamc analyss of beams governed by Euler- Bernoull and Tmoshenko theores. The four most common types of beams - pnned-pnned; fxed-fxed; fxed-pnned and fxed-free - are consdered, under a unformly dstrbuted dynamc load n space, that acts contnuously n tme. The use of Numercal Methods n engneerng problems s dscussed, partcularly the Fnte Dfference Method. Ths method s used for the numercal soluton of both problems and the algorthms needed for the mplementaton are developed. For Euler-Bernoull beams, the numercal solutons are compared wth the analytcal ones; for Tmoshenko beams, the numercal results are compared wth the analytcal ones, only avalable for pnned-pnned beams. The results from both theores are compared wth each other, allowng, therefore, to verfy what dfferences can occur between them. One can conclude that dfferences, not only on the deflecton but also on the frequency, appear and growth up wth the ncrease of the secton heght for a fxed length of the beam. Also, the Fnte Dfference Method can provde relable results for both theores. Keywords: Euler-Bernoul beam theory. Tmoshenko beam theory. Dynamc analyss of beams. Fnte Dfference Method.

7 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 APOIO SIMPLES FIGURA 2 ARTICULAÇÃO FIGURA 3 ENGASTE FIGURA 4 TIPO DE VÍNCULOS FIGURA 5 VIGA BIAPOIADA FIGURA 6 VIGA BIENGASTADA FIGURA 7 VIGA ENGASTADA E APOIADA FIGURA 8 VIGA EM BALANÇO FIGURA 9 TRECHO DE VIGA FIGURA 10 ETAPAS ENVOLVIDAS NA UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS FIGURA 11 PONTOS FORA DO DOMÍNIO DO ESPAÇO NA VIZINHANÇA DE = 1 E DE = n FIGURA 12 VIGA BIAPOIADA DISCRETIZADA FIGURA 13 VIGA BIENGASTADA DISCRETIZADA FIGURA 14 VIGA ENGASTADA-APOIADA DISCRETIZADA FIGURA 15 VIGA ENGASTADA-LIVRE DISCRETIZADA FIGURA 16 DESLOCAMENTOS PARA OS 4 TIPOS DE VIGAS ANALISADAS - SOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA - TEORIA DE EULER-BERNOULLI FIGURA 17 DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS BIAPOIADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS - TEORIA DE TIMOSHENKO FIGURA 18 DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS BIAPOIADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS FIGURA 19 DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA VIGAS BIENGASTADAS PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS FIGURA 20 DESLOCAMENTOS DO PONTO CENTRAL PARA AS VIGAS ENGASTADA-APOIADA PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS FIGURA 21 DESLOCAMENTOS PARA O PONTO DA EXTREMIDADE LIVRE PARA VIGAS EM BALANÇO PARA AS QUATRO SEÇÕES ANALISADAS

8 LISTA DE TABELAS TABELA 1 LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE EULER-BERNOULLI TABELA 2 LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE TIMOSHENKO TABELA 3 APROXIMAÇÕES DO MDF PARA DERIVADAS DE PRIMEIRA ATÉ QUARTA ORDEM TABELA 4 VALORES DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL DAS VIGAS TABELA 5 TIPOS DE SEÇÕES ANALISADAS TABELA 6 DESLOCAMENTOS PARA A VIGA BIAPOIADA EM j = TABELA 7 DESLOCAMENTOS PARA A VIGA BIAPOIADA EM j = TABELA 8 DESLOCAMENTO ESTÁTICO-DINÁMICO-ANALÍTICO - EULER-BERNOULLI TABELA 9 DESLOCAMENTOS - EULER-BERNOULLI TABELA 10 DESLOCAMENTOS - TIMOSHENKO

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO OBJETIVOS REVISÃO BIBLIOGRÁFICA TEORIA DE VIGAS Teora de Euler-Bernoull Teora de Tmoshenko MÉTODOS NUMÉRICOS Método das Dferenças Fntas MÉTODOS VIGAS ANALISADAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS Euler Bernoull EQUACIONAMENTO NUMÉRICO Solução Numérca - Teora de Euler-Bernoull Solução Numérca - Teora de Tmoshenko Algortmos - Fluxogramas Algortmos para a Teora de Euler-Bernoull Algortmos para a Teora de Tmoshenko MATERIAIS NOMENCLATURA ADOTADA DETERMINAÇÃO DOS INCREMENTOS x E DO t RESULTADOS CONCLUSÃO REFERÊNCIAS

10 10 1 INTRODUÇÃO As vgas são elementos presentes na engenhara cvl. Logo, o conhecmento de seu comportamento é mportante. A Resstênca dos Materas apresenta a teora básca para conhecer os deslocamentos e esforços envolvdos em cada stuação HIBBELER, 2010). Geralmente, a teora apresentada para a cálculo dos deslocamentos de vgas é a Teora de Euler-Bernoull, também chamada de teora clássca, como apresentado em Beer et al. 2003), Hbbeler 2010), Nash 1982) e Popov 1978). Porém a teora clássca não leva em consderação os efetos do csalhamento na deformação da vga BORGES, 1996). Assm, a Teora de Tmoshenko, que leva em conta estas deformações, se mostra como uma teora superor à clássca SORIANO; LIMA, 2003). Esta teora utlza, dentre outros parâmetros, o coefcente corretvo κ, dependente da geometra da seção transversal, que é ntroduzdo para compensar o fato de que a tensão csalhante real e a correspondente a dstorção não são unformes BORGES, 1996). No desenvolvmento do trabalho, serão apresentadas as teoras e suas soluções para carregamentos estátco e dnâmcos, consderando aplcação de cargas dstrbuídas unformemente ao longo de toda a extensão da vga. 1.1 OBJETIVOS O objetvo prncpal deste trabalho é efetuar análses de vgas, empregando as teoras de Euler-Bernoull e de Tmoshenko, sujetas à ação de um carregamento unformemente dstrbuído no espaço e atuando nstantânea e contnuamente no tempo, mostrando as dferenças entre elas. Para a solução numérca dos problemas pretende-se empregar o Método das Dferenças Fntas MDF), que resolve de manera aproxmada equações dferencas CUNHA, 2000).

11 11 Para a aplcação deste método, serão utlzados programas computaconas na lnguagem FORTRAN, desenvolvdos pelo autor, que são dferentes para cada teora e para cada vga analsada. Assm, outro objetvo é a obtenção dos algortmos que serão base para cada um dos programas a serem desenvolvdos. Depos, pretende-se testar os resultados numércos com as soluções analítcas dsponíves. Uma vez testados os algortmos, pode-se realzar a comparação dos resultados obtdos e procurar as dferenças e semelhanças entre os resultados proporconados pelas duas teoras. Como as soluções analítcas consderando carregamento estátco para as duas teoras são conhecdas, também va se procurar a dferença entre o carregamento estátco e dnâmco em cada teora. A segur será apresentado um breve resumo a respeto das teoras estudadas, bem como consderações sobre vgas, sobre métodos numércos e a uma descrção do Método das Dferenças Fntas.

12 12 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 TEORIA DE VIGAS Vgas são geralmente elementos prsmátcos retos longos. Na maora dos casos, as forças atuantes nelas são perpendculares ao seu exo, provocando somente flexão e csalhamento. Quando as forças não estão em ângulo reto com o exo da vga, podem produzr também esforços axas. BEER et al., 2003). As vgas são elementos comuns em estruturas de pontes, torres, construções, etc. Há numerosas estruturas que só foram vablzadas devdo ao conhecmento e aplcação da teora de vgas. O carregamento de um vga pode ser com cargas externas dstrbuídas, forças externas concentradas, momentos ou qualquer combnação destes CRAIG, 2003). Quando a força dstrbuída tver valor constante sobre parte da vga, dz-se que a força é unformemente dstrbuída sobre aquela parte. BEER et al., 2003). Ao aplcar um carregamento, forças reatvas surgem nos suportes das vgas, em reação às cargas aplcadas CRAIG, 2003). Os suportes podem também ser chamados de vínculos CAMPANARI, 1985) e abaxo são apresentados três deles: a) Apoo smples: mpede somente o deslocamento perpendcular ao plano de apoo, ntroduzndo uma únca força nesta dreção e permtndo a rotação. Quando estver na extremdade, rá mpor deslocamento e momento fletor nulos. FIGURA 1 APOIO SIMPLES FONTE: Campanar 1985)

13 13 b) Artculação: mpede o deslocamento em qualquer dreção do plano, ntroduzndo assm uma força numa dreção qualquer, mas permte rotação. Se for escolhdo um sstema de exos de ortogonas, a artculação poderá ntroduzr duas componentes de força. Quando estver na extremdade, suas restrções serão de deslocamento e momento fletor nulos. FIGURA 2 ARTICULAÇÃO FONTE: adaptado de Campanar 1985) c) Engaste: mpede qualquer deslocamento ou rotação no plano, ou seja, o deslocamento e a rotação para este tpo de vínculo serão nulos. FIGURA 3 ENGASTE FONTE: adaptado de Campanar 1985) Hbbeler 2010) defne estes apoos, respectvamente, de rolete, pno externo e apoo fxo. Apresenta anda acoplamentos com cabos, com apoo lso e com pno nterno. O grupo destes ses apoos são os mas comuns e estão lustrados na fgura 4. FIGURA 4 TIPO DE VÍNCULOS FONTE: adaptado de Hbbeler 2010)

14 14 Conforme a localzação e os tpos de apoos, pode-se nomear as vgas como segue BEER et al., 2003) e CAMPANARI, 1985). A dstânca L representada nas fguras é o vão. a) Vgas bapoadas: consttuídas de uma únca barra, com as duas extremdades vnculadas. L FIGURA 5 VIGA BIAPOIADA FONTE: adaptado de Campanar 1985) b) Vgas bengastadas: consttuídas de uma barra retlínea com engaste nas duas extremdades. L FIGURA 6 VIGA BIENGASTADA FONTE: adaptado de Campanar 1985) c) Vgas engastada e apoada: consttuídas de uma barra retlínea com engaste numa das extremdades e um apoo smples ou artculação na outra. L FIGURA 7 VIGA ENGASTADA E APOIADA FONTE: adaptado de Campanar 1985) d) Vgas em balanço ou engastada: consttuídas de uma barra retlínea com engaste numa das extremdades e a outra lvre. L FIGURA 8 VIGA EM BALANÇO FONTE: adaptado de Campanar 1985)

15 15 A dstânca L representada nas fguras é o vão. As vgas podem ser projetadas consderando os crtéros de resstênca dos materas consttuntes ou pela lmtação da deflexão máxma BEER et al., 2003). Deformações excessvas podem alterar a aparênca e a efcênca de uma estrutura, além de causar desconforto ou medo para os seus ocupantes e usuáros. As mas severas consequêncas, no entanto, são devdas aos danos locas, como fssuração de elementos estruturas e não-estruturas ou rotação excessva LIMA; FONTES; LIMA, 2003) Para o cálculo das deflexões exstem algumas teoras, dentre elas a teora de Euler- Bernoull e a de Tmoshenko. A teora de Euler-Bernoull, ou teora clássca, consdera somente os efetos do momento fletor, enquanto a de Tmoshenko consdera também a deformação orunda do esforço cortante RAO, 2004) Teora de Euler-Bernoull As hpóteses para a teora clássca são apresentadas por város autores como Beer et al. 2003) Nash 1982) e Hbbeler 2010). Podem ser expressas como: a) A vga é prsmátca e possu um exo central reto, concdente com o exo x ver fgura 9); b) A seção transversal da vga possu pelo menos um exo de smetra, concdente com o exo de y ver fgura 9) ; c) Todas as cargas atuam no plano de smetra plano x-y) ver fgura 9); d) As seções perpendculares ao exo x permanecem planas após a deformação; e) O materal é admtdo como elástco, sotrópco e homogêneo; f) As deformações transversas são pequenas. 2010). Com estas hpóteses, pode-se chegar à equação estátca, apresentada por Hbbeler

16 16 d 2 y dx 2 = M EI 1) onde: y = yx) = deslocamento no ponto x, M = Mx) = momento fletor em torno do exo z, varando ao longo do exo x, E = módulo de elastcdade, I = momento de nérca de área da seção em relação ao exo z. A fgura 9 apresenta os sentdos postvos consderados. q M V V M x y FIGURA 9 TRECHO DE VIGA FONTE: adaptado de Hbbeler 2010) Adconalmente à eq.1), as seguntes equações são também utlzadas. Elas calculam a rotação [eq.2)], o esforço cortante [eq.3)] e a carga dstrbuída [eq.4)] TIMOSHENKO; YOUNG; WEAVER, 1974): dy dx = θ EI d 3 y dx 3 = V EI d 4 y dx 4 = q EI 2) 3) 4) onde: θ = θx) ângulo de rotação da seção transversal em x, V = V x) = esforço cortante em x q = qx) = carregamento dstrbuído no ponto x. A solução da eq.4) se dá com ntegração dreta e os valores das constantes de ntegração são obtdos com as condções de contorno. As condções de contorno são dadas pelas restrções dos apoos ou pela extremdade lvre, como já menconado. Estas ntegrações

17 17 resultam nas equações da tabela 1, encontradas no trabalho de Fleschfresser 2012). TABELA 1 LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE EULER-BERNOULLI Tpo de vga Equação para o deslocamento Bapoada yx) = q x 4 2Lx 3 + L 3 x ) 24EI Bengastada yx) = q x 4 2Lx 3 + L 2 x 2) 24EI Engastada-Apoada yx) = q 2x 4 5Lx 3 + 3L 2 x 2) 48EI Em balanço yx) = q x 4 4Lx 3 + 6L 2 x 2) 24EI FONTE: adaptado de Fleschfresser 2012) Para o caso dnâmco, Rao 2004) apresenta: EI 4 y x 4 + ρa 2 y t 2 = q 5) onde: y = yx, t) = deflexão no ponto x no tempo t, q = qx, t) = carga no ponto x no tempo t, ρ = densdade do materal da vga, A = área da seção transversal da vga. As gualdades nas eq.2), eq.3) e eq.4) permanecem váldas, mas as dervadas passam a ser parcas. Como no caso estátco, as condções de contorno são necessáras para a solução analítca, mas não sufcentes, pos o tempo também é uma varável. Logo, as condções ncas, envolvendo os valores y e ẏ = dy dt no níco da análse t = 0), completam os requstos para a solução. As condções ncas dependem de cada caso. Neste trabalho são analsadas vgas com as condções ncas nulas e suas soluções estão no tem

18 Teora de Tmoshenko A hpótese de que as seções transversas permanecem planas e normas à lnha neutra na teora clássca corresponde a desprezar a deformação do esforço cortante na deflexão da vga. Mas esta deformação nem sempre pode ser desprezada SORIANO; LIMA, 2003). A teora de Tmoshenko para vgas consdera os efetos da nérca à rotação e dos efetos cortantes no cálculo da deflexão e por sso é consderada mas acurada TIMOSHENKO; YOUNG; WEAVER, 1974) e consderada herarqucamente superor SORIANO; LIMA, 2003). Para o caso estátco, a formulação é dada pelas seguntes equações BORGES, 1996): ) dφ κga dx d2 y = q 6) dx 2 EI d2 φ dx = κga φ dy ) 2 dx 7) onde : q = qx) = carga dstrbuída no ponto x, y = yx) = deslocamento do ponto x, φ = φx) = rotação da seção localzada no ponto x, κ = fator de csalhamento, A = área da seção transversal, G = módulo de elastcdade transversal, ρ = densdade do materal da vga, E = módulo de elastcdade, I = momento de nérca de área da seção transversal. O fator de csalhamento, κ, surge pelo fato da formulação consderar tensão csalhante constante ao longo da seção transversal. Para uma dstrbução parabólca de tensões e seção retangular, κ = 5/6 FEODOSIEV, 1980 apud SORIANO; LIMA, 2003). O momento fletor e o esforço cortante podem ser calculados como RAO, 2004): M = EI dφ dx 8)

19 19 ) dy V = κga dx φ 9) tabela 2. A solução para o caso estátco pode ser obtda analtcamente e está resumda na TABELA 2 LINHA ELÁSTICA PARA O CASO ESTÁTICO - TEORIA DE TIMOSHENKO Tpo de vga Equação para o deslocamento Bapoada yx) = q x 4 2Lx 3 + L 3 x ) + q Lx x 2 ) 24EI 2κGA Bengastada yx) = q x 4 2Lx 3 + L 2 x 2) + q Lx x 2 ) 24EI 2κGA Engastada-Apoada yx) = q 2x 4 5Lx 3 + 3L 2 x 2) + qd f Lx 3 3L 2 x 2) 48EI 48EI q x 2 + 2C f Lx ) 2κGA Em balanço yx) = q x 4 4Lx 3 + 6L 2 x 2) + q Lx x 2 ) 24EI 2κGA FONTE: Carrer et al. 2013) Os termos C f e D f que aparecem na tabela 2 podem ser calculados de acordo com as eqs.10) e 11). 12EI + 5κGAL2 C f = 10) 24EI + 8κGAL 2 3EI D f = 11) 3EI + κgal 2 Observa-se que os prmeros termos à dreta das gualdades na tabela 2 correspondem aos deslocamentos obtdos pela teora de Euler-Bernoull, apresentados na tabela 1. Para o caso dnâmco, tem-se as seguntes equações RAO, 2004): ) φ κag x 2 y + q = ρa 2 y 12) x 2 t 2 EI 2 φ x κag φ y ) = ρi 2 φ 13) 2 x t 2

20 20 onde : q = qx, t) = carga dstrbuída no ponto x no tempo t, y = yx, t)= deslocamento do ponto x no tempo t, φ = φx, t) = rotação da seção localzada no ponto x no tempo t. As gualdades nas eq.8) e eq.9) permanecem váldas, mas as dervadas passam a ser parcas. Bem como para a teora de Euler-Bernoull, a solução depende das condções de contorno e ncas. Durante esta revsão bblográfca, a únca solução analítca encontrada fo a solução para a vga smplesmente apoada, publcada por Carrer et al. 2013). 2.2 MÉTODOS NUMÉRICOS A solução de problemas de engenhara segue, de manera geral, os mesmos prncípos das cêncas. Ao formular um problema, chega-se a equações que o descrevem, podendo ser: equações não-lneares, equações ntegras, equações dferencas parcas, dentre outras. Para problemas mas smples, sua solução pode ser obtda analtcamente. Quando sto não é possível, recorre-se aos métodos numércos KAW; KALU, 2009). Utlzar métodos numércos envolve váras fases, representadas na fgura 10. FIGURA 10 ETAPAS ENVOLVIDAS NA UTILIZAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS FONTE: RUGGIERO e LOPES 1996)

21 21 Não é raro que os resultados fnas estejam dstantes do prevsto, mesmo segundo os passos acma. Os resultados dependem também da precsão dos dados de entrada, da forma como estes dados são representados no computador e das operações numércas efetuadas RUGGIERO; LOPES, 1996). De uma manera geral, os dados de entrada contém uma mprecsão nerente, pos representam meddas obtdas com o uso de equpamentos específcos. A representação dos dados e as operações numércas efetuadas também podem acrescentar erros, pos a representação de números em uma máquna tem um número fnto de dígtos e há mudança de base numérca, o que acarreta em erros de arredondamento ou truncamento RUGGIERO; LOPES, 1996). Dentre os métodos numércos dsponíves, exstem: os métodos dretos e ndretos para sstemas de equações lneares; os métodos para sstemas de equações não-lneares, como o Método de Newton e o das Secantes; e os métodos para equações dferencas ordnáras, como o Método das Dferenças Fntas e os de Runge-Kutta CUNHA, 2000). Exstem também: o Método dos Elementos Fntos, Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Dscretos HUAMAN, 2009). Para este trabalho é utlzado o Método das Dferenças Fntas. Assm, é apresentado a segur uma dscussão sobre ele Método das Dferenças Fntas O Método das Dferenças Fntas MDF) resolve numercamente equações dferencas através da aproxmação do operador dferencal por quocentes de números fntos. A ferramenta matemátca básca na defnção destas aproxmações é a sére de Taylor CUNHA, 2000). No MDF, o domíno do problema, contínuo, é substtuído por uma sére de pontos dscretos, ou nós, nos quas são calculadas as ncógntas do problema. Essa substtução do contínuo pelo dscreto é denomnada de dscretzação ALVES; CARRER, 2007). Uma vez efetuada a dscretzação do domíno do problema, aplca-se o MDF para a

22 22 determnação das ncógntas. As dervadas, que aparecem na equação orgnal, são substtuídas ou aproxmadas) por fórmulas dscretas de dferenças. A aplcação dessas fórmulas aos pontos do domíno dscretzado gera, geralmente, um sstema de equações algébrcas, cuja solução fornece os valores das ncógntas do problema nesses pontos dscretos ALVES; CARRER, 2007). A sére de Taylor representa uma função por uma sére de potêncas, num dado ntervalo THOMAS et al., 2002). De acordo com Thomas et al. 2002), dada uma função yx), que tem dervadas até a ordem n + 1 numa dada vznhança, sua expansão da sére de Taylor é: yx + α) = yx) + α dy dx + α2 d 2 y 2! dx αn 2 n! yn) x) + αn+1 n + 1)! yn+1) ξ) 14) onde ξ está entre x e x + α. O últmo termo da expressão acma representa o erro da aproxmação de yx + α) pelos n + 1 prmeros termos da sére de Taylor. 1 Tomando n = 1 e α = h na eq.14), tem-se a fórmula progressva para a aproxmação da dervada e seu erro: dy dx = yx + h) yx) h h 2 d 2 y ξ) 15) dx2 De modo análogo, tomando α = h na eq.14), mantendo n = 1, obtém-se a fórmula regressva e seu erro: dy dx = yx) yx h) h + h 2 d 2 y ξ) 16) dx2 Tomando n = 2 e fazendo α = h e α = h na eq.14), obtém-se, respectvamente: yx + h) = yx) + h dy dx + h2 d 2 y 2 dx + h3 d 3 y ξ) 17) 2 3! dx3 e yx h) = yx) h dy dx + h2 d 2 y 2 dx h3 d 3 y ξ) 18) 2 3! dx3 1 Esta dedução é uma transcrção do que consta no lvro de Cunha 2000).

23 23 Subtrando a eq.18) da eq.17), obtém-se a fórmula centrada para a aproxmação da dervada e seu erro: dy dx = yx + h) yx h) 2h h2 d 2 y ξ) 19) 3! dx2 Deve ser observado que o erro envolvdo na aproxmação da dervada pela eq.19) é da ordem de h 2, enquanto nas aproxmações progressvas e regressvas é da ordem de h. Segundo os mesmos prncípos pode-se chegar a uma expressão para o cálculo de aproxmações para a segunda dervada. Tomando α = h e α = h, mas com n = 3 na eq.14), temos: yx + h) = yx) + h dy dx + h2 d 2 y 2 dx + h3 d 3 y 2 3! dx + h4 d 4 y ξ) 20) 3 4! dx4 e yx h) = yx) h dy dx + h2 d 2 y 2 dx h3 d 3 y 2 3! dx + h4 d 4 y ξ) 21) 3 4! dx4 Somando as eq.20) e eq.21) e explctando d2 y dx 2, chega-se a: d 2 y yx + h) 2yx) + yx h) = h2 d 4 y ξ) 22) dx2 h 2 12 dx4 Analogamente, pode-se chegar nas expressões para as dervadas de ordem três e quatro, apresentadas na tabela 3. Nesta tabela também está o resumo do exposto anterormente, sendo que para a prmera dervada é apresentada somente a dferença centrada. TABELA 3 APROXIMAÇÕES DO MDF PARA DERIVADAS DE PRIMEIRA ATÉ QUARTA ORDEM Dervada dy dx Aproxmação pelo MDF yx + h) yx h) 2h d 2 y yx + h) 2yx) + yx h) dx 2 h 2 d 3 y yx + 2h) 2yx + h) + 2yx h) yx + 2h) dx 3 2h 3 d 4 y yx + 2h) 4yx + h) + 6yx) 4yx h) + yx + 2h) dx 4 h 4 FONTE: O Autor 2014)

24 24 Smth 2004) apresenta a aplcação do Método das Dferenças Fntas para equações dferencas parcas. As gualdades da tabela 3 permanecem váldas, porém com o denomnador de cada fração representando a varável na qual a dervada parcal é avalada.

25 25 3 MÉTODOS Neste trabalho é aplcado o Método das Dferenças Fntas para a solução de vgas sujetas a carregamento dstrbuído sobre todo o comprmento da vga. Este carregamento é aplcado nstantaneamente, ou seja, de forma abrupta. Para medr a qualdade da soluções numércas obtdas, estas serão comparadas com as soluções analítcas dsponíves. As característcas das vgas analsadas são apresentadas no tem 3.1. As soluções analítcas e numércas, nos tens 3.2 e 3.3. As condções ncas para todas as análses serão sempre nulas, ou seja: yx, 0) = 0 φx, 0) = 0 e e y t φ t = 0 23) t=0 = 0 24) t=0 representando, respectvamente: deslocamento, velocdade da translação, o ângulo de rotação da seção e a taxa de varação deste. Para a teora de Euler-Bernoull a eq.24) não se aplca, pos o ângulo de rotação é obtdo dretamente pela eq.2). 3.1 VIGAS ANALISADAS Neste trabalho serão analsadas 4 tpos de vgas: bapoada, bengastada, engastada e apoada e em balanço. O comprmento da vga em balanço é de 2 metros e para os outros três tpo, 4 metros. O carregamento dstrbuído será gual a q = N/m para todas as análses. Supôs-se que o materal consttunte delas é o mesmo e possu as característcas apresentadas na tabela 4.

26 26 TABELA 4 VALORES DAS PROPRIEDADES DO MATERIAL DAS VIGAS Propredade Sgla Undade Valor Densdade ρ kg/m Módulo de elastcdade longtudnal E N/m Módulo de elastcdade transversal G N/m FONTE: O Autor 2014) Para cada tpo de vga, serão smuladas quatro seções transversas dferentes, partndo de uma mas esbelta e conclundo com uma mas espessa. Espera-se, assm, avalar a nfluênca do esforço cortante nas deformações para cada confguração. As seções analsadas serão sempre retangulares e terão sempre a mesma base, b. Na Tabela 5, as seções analsadas e as propredades dependentes delas. TABELA 5 TIPOS DE SEÇÕES ANALISADAS Seção b m) h m) Área m 2 ) Inérca m 4 ) 1 0,20 0,30 0,06 0, ,20 0,45 0,09 0, ,20 0,60 0,12 0, ,20 0,75 0,15 0, FONTE: O Autor 2014) 3.2 SOLUÇÕES ANALÍTICAS Dadas as confgurações de vgas analsadas, a solução analítca pode ser calculada. Para a teora de Euler-Bernoull os quatro tpo estudados possuem solução analítca dsponível. Já para a teora de Tmoshenko, somente fo encontrada solução para a vga bapoada, no artgo de CARRER et al., 2013).

27 Euler Bernoull Os passos para a obtenção da solução para a lnha elástca não consderando os efetos dnâmcos pode ser encontrada em Hbbeler 2010) e utlzam a ntegração dreta da equação dferencal. Já a solução para o caso dnâmco envolve separação de varáves e pode ser encontrada em Rao 2004) e Graff 1991). O artgo de Carrer, Mansur e Vanzut 2010) se basea nestes lvros e apresenta também as raízes para as frequêncas naturas. Abaxo uma transcrção do trecho do artgo. Pode-se mpor para a solução da função yx, t) a segunte gualdade: yx, t) = W n x)q n t) 25) n=1 onde W n x) é o n-ésmo modo de vbração e q n t) é a função genérca do tempo. Os valores dos modos de vbração e da frequênca são calculados para cada tpo de vga analsada. Os cálculos utlzam carga dstrbuída constante. A frequênca pode ser calculada como abaxo: ωn 2 = βn 4 EI ρa 26) onde : ω n = frequênca natural no n-ésmo modo de vbração, β n = constantes que dependem do tpo de vga analsada Assm, a solução é obtda para: Vga Bapoada Modo de Vbração: W n x) = C n sen β n x) 27) Frequênca natural: β n = nπ L 28) q n t) = 4q 1 cos ω n t EIL βn 5 para n ímpar 29) onde C n é a constante de ntegração para o modo de vbração. Na solução partcular, esta

28 28 constante fo ncorporada nas constantes orundas da solução da função genérca do tempo, q n t). O termo b n da eq.29) é calculado com a eq.30). b n = L 2 30) Vga Bengastada Modo de Vbração: W n x) = C n [senh β n x sen β n x) δ n cosh β n x cos β n x)] 31) onde: δ n = senh β nl sen β n L cosh β n L cos β n L 32) Frequênca natural: cos β n L cosh β n L = 1 33) sendo que as prmeras raízes da eq.33) são: β 1 L = 4, ; β 2 L = 7, ; β 3 L = 10, ; β 4 L = 14, A função genérca do tempo pode ser calculada com a eq.34). q n t) = 2q EIb n ) senh βn L sen β n L 1 cos cosh β n L cos β n L 1 ωn t βn 5 34) O termo b n pode ser calculado com a eq.35). b n = cos β nl sen β n L 2 senh β n L) + cosh β n L senh β n L 2 sen β n L) 2β n δ n sen β n L senh β n L) 2 + β n δn 2 [2β n L + cos β n L sen β n L 2 senh β n L) + cosh β n L senh β n L 2 senh β n L)] 2β n 35) Vga Engastada-Apoada Modo de Vbração: W n x) = C n [sen β n x senh β n x) δ n cos β n x cosh β n x)] 36)

29 29 onde: δ n = sen β nl senh β n L cos β n L cosh β n L 37) Frequênca natural: tg β n L = tgh β n L 38) sendo que as prmeras raízes da eq.38) são: β 1 L = 3, ; β 2 L = 7, ; β 3 L = 10, ; β 4 L = 14, A função genérca do tempo pode ser calculada com a eq.39). q n t) = 2q EIb n 1 senh β ) nl sen β n L 1 cos ωn t cosh β n L cos β n L βn 5 39) onde b n pode ser calculado com a eq.35). Vga Engastada-Lvre Modo de Vbração: W n x) = C n [sen β n x senh β n x) δ n cos β n x cosh β n x)] 40) onde: δ n = sen β nl + senh β n L cos β n L + cosh β n L 41) Frequênca natural: cos β n L cosh β n L = 1 42) sendo que as prmeras raízes da eq.42) são: β 1 L = 1, ; β 2 L = 4, ; β 3 L = 7, ; β 4 L = 10, A função genérca do tempo pode ser calculada com a eq.43). q n t) = 2q 1 cos ω n t EIb n βn 5 43) onde b n pode ser calculado com a eq.35).

30 EQUACIONAMENTO NUMÉRICO Para a aplcação do Método das Dferenças Fntas é necessáro a dscretzação do domíno do problema. Para este trabalho a dscretzação será feta, como esperado, para o tempo e o espaço. No espaço, a vga será dscretzada em pontos gualmente espaçados de x. O contador do espaço será a letra, que vara de 1, representando o níco da vga, até n, representando o fm da vga. No tempo, a dscretzação empregará ntervalos guas a t. O contador para o tempo será a letra j, podendo varar de 0, representando o níco da análse, até τ, representando o fm da análse. O tempo fnal da análse pode ser calculado como T = τ t. Neste trabalho, o contador para o espaço está sobrescrto à varável e o contador do tempo, superescrto. A mplementação numérca permte que a carga dstrbuída possa varar no tempo e no espaço Solução Numérca - Teora de Euler-Bernoull A teora de Euler-Bernoull, para o caso dnâmco, está representada na eq.5), que é: EI 4 y x 4 + ρa 2 y t 2 = q As dervadas parcas apresentadas na equação podem ser substtuídas pelas aproxmações apresentada na tabela 3 do tem Método das Dferenças Fntas. Assm, as dervadas tornam-se: 4 y x 4 = yj +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 x) 4 44) 2 y t = yj+1 2 2y j + yj 1 t) 2 45)

31 31 Substtundo as eq.44) e eq.45) na equação anteror 5), resulta em: EI yj +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 x) 4 + ρa yj+1 2y j + yj 1 t) 2 = q 46) As condções ncas são fornecdas, ou seja, os deslocamentos no tempo 0 j = 0) são valores conhecdos. Assm, deve ser calculado o deslocamento para o próxmo passo de tempo. Rearranjando a eq.46), chega-se a: = t)2 ρa [ q EI y j x) yj yj 4yj 1 + ) ] yj 2 + 2y j yj 1 47) que é a equação geral para o cálculo dos deslocamentos de uma vga sujeta a um carregamento dnâmco, segundo a teora clássca. A equação utlza o deslocamento de cnco pontos no j-ésmo passo de tempo, sendo eles os pontos de 2 até +2 e um deslocamento do passo de tempo anteror para o -ésmo ponto. Dos problemas surgem. Um deles é que para o cálculo do prmero passo de tempo, o valor a ser calculado é y 1, o que resulta em j = 0. Ao fazer sso, o últmo termo da eq.47) fca com valor fora do domíno do tempo, ou seja, y 1. O segundo problema é o aparecmento dos pontos + 2 e 2, que extrapolam o comprmento da vga. Seja, por exemplo, uma vga bapoada de comprmento L dscretzada com n pontos para a representação da malha de dferenças fntas, conforme fgura n-2 n-1 n n+1 n+2 FIGURA 11 PONTOS FORA DO DOMÍNIO DO ESPAÇO NA VIZINHANÇA DE = 1 E DE = n. FONTE: O Autor 2014) O ponto = 1 e = n representam os apoos que, para vgas bapoadas, tem deslocamentos nulos e constantes no tempo, dspensando seu cálculo. Assm, o cálculo nca em = 2 e va até = n 1. Para o ponto = 2, o termo y j 2 da eq.47) resulta em yj 0 e

32 32 para = n 1, surge o termo y j n+1, extrapolando em ambos os casos os lmtes da vga Para contornar estes problemas foram utlzadas, respectvamente, as condções ncas e as condções de contorno. As condções ncas são que os deslocamentos ncas são nulos para todos os pontos e a vga está em repouso, ou seja: y 0 = 0 ẏ 0 = yj = 0 t j=0 48) Conforme apresentada no tem Método das Dferenças Fntas, a dervada da segunda gualdade da eq.48) pode ser aproxmada por: y j t = yj+1 2 t j=0 y j 1 49) Da eq.48) e da eq.49), tem: y j t = yj+1 2 t j=0 y j 1 = 0 y 0+1 y 0 1 = 0 O que resolve a fuga do domíno do tempo. y 1 = y 1 50) Para soluconar o problema dos pontos fora da vga, recorre-se às condções de contorno, que varam para cada tpo de apoo, como mostrado no tem TEORIA DE VIGAS. As condções de contorno se aplcam aos extremos da vga, que é onde se localzam os apoos, ou seja: para o prmero e o últmo ponto do domíno da vga. Como as vgas serão dscretzadas em n pontos, os pontos em que se aplcam as condções de contorno são o prmero e o n-ésmo. a segur: Das vgas analsadas, são três as condções de contorno das extremdades, ndcadas Apoo smples

33 33 O apoo smples não apresenta resstênca a momentos fletores. Assm, o momento fletor neste tpo de apoo é sempre nulo M = 0). Como apresentada na eq.1), o momento na teora clássca é: 2 y x 2 = M EI Substtundo pela aproxmação dada pelo MDF e consderando o momento nulo para este apoo, temos: 2 y x 2 = yj +1 2yj + yj 1 x) 2 = M EI = 0 y j +1 2yj + yj 1 = 0, = 1 ou = n 51) Substtundo por = 1 e = n, chega-se á: y j 2 2y j 1 + y j 0 = 0 y j n+1 2y j n + y j n 1 = 0 52) Mas de acordo com a condções de contorno, y j 1 = y j n = 0 o que resulta em, y j 0 = y j 2 y j n+1 = y j n 1 j 53) tornando conhecdos os valores que extrapolam o domíno do espaço. Engaste O engaste se caracterza por mpedr deslocamentos e rotações. Assm, conforme apresentada no tem 2.1, temos para estes apoos: y j = 0 ẏ j = 0 j 54) Como apresentada na eq.2), a rotação na teora clássca é: y x = θ EI

34 34 Substtundo pela aproxmação dada pelo MDF e já consderando a rotação nula, temos: y x = yj +1 yj 1 2 x = θ EI = 0 y j +1 yj 1 = 0 Estas condções só são váldas para o engaste, que se localza nos extremos da vga, ou seja, para os pontos = 1 e = n. Assm, y j 0 = y j 2 y j n+1 = y j n 1 j 55) tornando conhecdos os valores dos pontos fora do domíno do espaço. Extremdade lvre A extremdade lvre apresenta momento e esforço cortante nulos. As equações da teora clássca que apresentam estas propredades são: smples: 2 y x 2 = M EI 3 y x 3 = V EI Para o momento nulo, pode ser realzada a mesma substtução feta para o apoo 2 y x 2 = yj +1 2yj + yj 1 x) 2 = M EI = 0 y j +1 2yj + yj 1 = 0, = 1 ou = n 56) Substtundo por = 1 e = n, chega-se á: y j 0 = y j 2 + 2y j 1 y j n+1 = 2y j n y j n 1 57)

35 35 Para o esforço cortante, podemos substtur a dervada parcal pela aproxmação apresentada no tem Método das Dferenças Fntas, obtendo: 3 y x 3 = yj +2 2yj yj 1 yj 2 2 x) 3 = V EI = 0 y j +2 2yj yj 1 yj 2 = 0 Assm: Como estas condções só são váldas para os extremos, o valor de é = 1 ou = n. y j 3 2y j 2 + 2y j 0 y j 1 = 0 58) y j n+2 2y j n+1 + 2y j n 1 y j n 2 = 0 59) chega-se á: Substtundo nesta equação a relação da eq.57) e solando os termos fora do domíno, y j 1 = 4y j 1 4y j 2 + y j 3 60) y j n+2 = 4y j n 4y j n 1 + y j n 2 61) Ao contráro dos apoo smples e do engaste, o deslocamento da extremdade lvre precsa ser calculado, o que envolve dos pontos a frente e dos pontos atrás na malha. Por sso as relações da eq.60) e eq.61) são necessáras. Todas as substtuções se encontram no tem Solução Numérca - Teora de Tmoshenko A teora de Tmoshenko está representada nas eq.6) e eq.7), que permtem calcular o deslocamento e a rotação da seção transversal. Já as eq.12) e eq.13), são as anterores avaladas ao longo do tempo. Assm, a exemplo do realzado para a teora de Euler-Bernoull, fo mplementada a solução numérca dos casos dnâmcos. As dervadas parcas das equações eq.12) e 13), reapresentadas abaxo, foram subs-

36 36 ttuídas pelas aproxmações fornecdas pelo método das dferenças fntas. Os termos a serem substtuídos são: ) φ κag x 2 y + q = ρa 2 y x 2 t 2 EI 2 φ x κag φ y ) = ρi 2 φ 2 x t 2 φ x = φj +1 φj 1 2 x) 62) 2 ω x 2 = yj +1 2yj + yj 1 x) 2 63) 2 ω t 2 = yj+1 2y j + yj 1 t) 2 64) 2 φ x 2 = φj +1 2φj + φj 1 x) 2 65) ω x = yj 1+1 y j x) 66) 2 φ t 2 = φj+1 2φ j + φj 1 t) 2 67) obtem-se: Substtundo na equação eq.12) as gualdades dadas pelas eq.62), eq.63) e eq.64), κag φ j +1 φj 1 yj +1 2yj + ) yj 1 + q = ρa yj+1 2 x) x) 2 2y j + yj 1 t) 2 68) Lembrando que φ = φx, t) = φ j e substtundo na equação eq.13) as gualdades dadas pelas equações eq.65), eq.66) e eq.67), obtemos: EI φj +1 2φj + φj 1 x) 2 κag φ j yj 1+1 y j x) ρi φj+1 ) = 2φ j + φj 1 t) 2 69)

37 37 As condções ncas, ou seja para t = 0 ou j = 0), são dados conhecdos. Assm, as ncógntas das eq.68) e eq.69) são as que possuem o índce j + 1. Isolando estes termos temos, da prmera equação: [ = t) 2 κg φ j +1 φj 1 yj +1 2yj + ) yj 1 + ρ 2 x) x) 2 ] qx, t) + ρa 70) +2y j yj 1 E da segunda, obtemos: [ φ j+1 = t) 2 E φ j +1 2φj + )] φj 1 κag φ j ρ x) 2 ρi yj 1+1 y j x) 71) +2φ j φj 1 As equações eq.70) e eq.71) são as equações geras para o cálculo do deslocamento e rotação de uma seção de acordo com a teora de Tmoshenko. A eq.70) utlza, para o j-ésmo passo de tempo, três valores de deslocamento e dos valores da rotação, entre os pontos 1 e + 1. Também utlza o valor do deslocamento no passo de tempo j 1. Smlar ao encontrado no equaconamento para Euler-Bernoull, para o tempo ncal, j = 0, é necessáro o valor de y j 1 = y 1, que não está contdo no domíno do tempo. Além dsso, para = 1 e = n, o valor do deslocamento necessáro não está contdo no domíno do espaço. Estes dos problemas podem ser contornados recorrendo também as condções ncas e as de contorno de cada vga analsada. As condções ncas são que a vga está em repouso, logo os deslocamentos e as rotações são nulas no tempo t = 0. Ou seja: y 0 = 0 φ 0 = 0 ẏ 0 = yj = 0 t j=0 φ 0 = φj = 0 t j=0 72)

38 38 Conforme apresentado no tem 2.2.1, a tercera gualdade das condções ncas pode ser substtuída por: y j t = y0+1 2 t j=0 y 0 1 = 0 Que resulta em: y 1 = y 1 73) Resolvendo a fuga do domíno do tempo para o cálculo dos deslocamentos. A eq.71) utlza, para o j-ésmo passo de tempo, dos valores de deslocamento e três valores da rotação, entre os pontos 1 e + 1. Também utlza o valor da rotação no tempo j 1. Para o tempo j = 0, é necessáro o valor de φ j 1 = φ 1, que não está contdo no domíno do tempo. Além dsso, para = 1 e = n, o valor da rotação necessára não está contdo no domíno do espaço. Estes dos problemas podem, novamente, ser contornados recorrendo às condções ncas e às de contorno de cada vga analsada. As condções ncas foram apresentadas na eq.72). A quarta gualdade desta equação pode ser substtuída com a equação apresentada no tem 2.2.1, obtendo: φ j t = φ0+1 φ t j=0 = 0 Que resulta em: φ 1 = φ 1 74) Resolvendo a fuga do domíno do tempo para o cálculo das rotações. Para os problemas que extrapolam o domíno do espaço, deve-se recorrer às condções de contorno, que varam para cada apoo, como mostrado no tem TEORIA DE VIGAS. As condções de contorno se aplcam aos extremos da vga, ou seja, para o prmero e o últmo ponto da dscretzação. Como as vgas serão dvdas em n pontos, os pontos que se aplcam as condções de contorno são o prmero e o n-ésmo. Das vgas analsadas, são três as condções de contorno das extremdades. Cada uma

39 39 apresenta uma consderação dferente, apresentadas a segur. Apoo Smples O apoo smples possu momento e deslocamentos nulos. Como apresentado na eq.8), o momento é dado por: M = EI φ x Rearranjando, substtundo pelo MDF e consderando que o momento é nulo temos: φ x = φj +1 φj 1 2 x = M EI = 0 φ j +1 φj 1 = 0 φ j +1 = φj 1, = 1 ou = n 75) Mas o apoo smples não mpede a rotação da seção. Assm, apesar de o cálculo do deslocamento não ser necessáro para o ponto = 1 e para o ponto = n, o cálculo para a rotação da seção nestes pontos precsa ser feto. Analsando a eq.71), percebe-se que o cálculo da rotação envolve o valor do deslocamento de dos pontos adjacentes, um de cada lado, faltando a nformação de um deslocamento para os extremos. Os termos y j +1 e yj 1 são utlzados no cálculo de φj+1. Quando = 1 ou = n, os termos extrapolam o domíno do espaço. Estes dos termos apareceram ao substtur a dervada parcal de prmera ordem da rotação em relação ao espaço na eq.7) pela dferença centrada do MDF [eq.19)]. Mas exste mas de uma manera de substtur a dervada de prmera ordem. Como apresentada no tem Método das Dferenças Fntas, temos a dferença progressva [eq.15)] e a dferença regressva [eq.16)], que utlzam o valor do ponto e o valor do ponto segunte ou anteror, respectvamente. Assm, fo utlzado estas substtuções ao nvés da dferença centrada, apesar do erro envolvdo crescer. Para o apoo smples em = 1 é utlzada a dferença progressva e para o apoo em = n a dferença regressva. O tem apresenta a substtução feta. Engaste

40 40 O engaste se caracterza por deslocamentos e rotações restrtos. Como não há deformações ncas nas análses, eles são nulos. Assm, temos para este tpo de apoo: y j = 0 φ j = 0 para = 1 ou = n 76) A rotação e o deslocamento para os pontos = 1 ou = n estão defndos pelas condções de contorno, devendo ser calculado os valores para os pontos de = 2 até = n 1. Como dscutdo anterormente, o cálculo do -ésmo ponto envolve os pontos 1 e + 1. Assm, o engaste não extrapola o domíno do espaço e dspensa qualquer mudança na equação geral, exceto para o prmero passo de tempo, mostrado nas eq.73) e eq.74). Extremdade lvre A extremdade lvre apresenta momento e esforço cortante nulos. As equações da teora de Tmoshenko que apresentam estas propredades são: M = EI φ x ) y V = κag x φ Rearranjando, substtundo pelas aproxmações do MDF e consderando o valor nulo de momento, temos: φ x = φj +1 φj 1 2 x = M EI = 0 φ j +1 φj 1 = 0 φ j +1 = φj 1, = 1 ou = n 77) já apresentada na eq.75). Igualmente, para o esforço cortante nulo, temos: ) y y j V = κag x φ +1 = κag ) yj 1 φ j 2 x) 2 = 0 y j +1 yj 1 2 x) 2 φ j = 0

41 41 yj 1 = 2 x)2 φ j + yj +1, para = 1 y j +1 = 2 x)2 φ j + yj 1, para = n 78) Assm, quando no cálculo do deslocamento da extremdade lvre pela eq.70), o valor do ponto que extrapola o domíno do espaço deve ser substtuído por uma das gualdades apresentadas Algortmos - Fluxogramas Para facltar as consderações fetas para os pontos que extrapolam o domíno do tempo, a dea prncpal dos códgos fo transcrta Algortmos para a Teora de Euler-Bernoull Os códgos seguntes se basearam na eq.47) e nas gualdades do tem Solução Numérca - Teora de Euler-Bernoull.

42 42 Vga Bapoada A vga bapoada analsada contém os apoos nas extremdades e vão L, conforme fgura 12. Nela estão apresentadas também a dscretzação no espaço, a numeração dos nós e a dstânca x entre eles. L Δx Δx Δx Δx Δx Δx n-2 n-1 n FIGURA 12 VIGA BIAPOIADA DISCRETIZADA FONTE: O Autor 2014) Tendo como base a eq.47) e utlzando as relações apresentadas nas eq.50) e eq.53) quando necessáro, pode-se chegar ao segunte códgo para o cálculo dos deslocamentos de uma vga bapoada: Para j = 0, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 2ρA Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 2ρA Para = n 1, fazer: = t)2 2ρA De j = 1 até j = τ, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 ρa Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 ρa Para = n 1, fazer: = t)2 ρa [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1) ] + y j [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1

43 43 Vga Bengastada A vga bengastada analsada contém os apoos nas extremdades e vão L, conforme fgura 13. Nela estão apresentadas também a dscretzação no espaço, a numeração dos nós e a dstânca x entre eles. L Δx Δx Δx Δx Δx Δx n-2 n-1 n FIGURA 13 VIGA BIENGASTADA DISCRETIZADA FONTE: O Autor 2014) Tendo como base a eq.47) e utlzando as relações apresentadas nas eq.50) e eq.55) quando necessáro, pode-se chegar ao segunte códgo para o cálculo dos deslocamentos de uma vga bengastada: Para j = 0, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 2ρA Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 2ρA Para = n 1, fazer: = t)2 2ρA De j = 1 até j = τ, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 ρa Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 ρa Para = n 1, fazer: = t)2 ρa [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1) ] + y j [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1

44 44 Vga Engastada-Apoada Outra tpo de vga analsada fo a engastada-apoada, sendo que o engaste se encontra na extremdade esquerda, no ponto = 1, e o apoo smples na extremdade dreta, no ponto = n, representado na fgura 14. L Δx Δx Δx Δx Δx Δx n-2 n-1 n FIGURA 14 VIGA ENGASTADA-APOIADA DISCRETIZADA FONTE: O Autor 2014) Tendo como base a eq.47) e utlzando as relações apresentadas nas eq.50), eq.53) e eq.55) quando necessáro, pode-se chegar ao segunte códgo para o cálculo dos deslocamentos deste tpo de vga. Para j = 0, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 2ρA Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 2ρA Para = n 1, fazer: = t)2 2ρA De j = 1 até j = τ, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 ρa Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 ρa Para = n 1, fazer: = t)2 ρa [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1) ] + y j [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 4y j yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1

45 45 Vga Engastada-Lvre A vga engastada-lvre possu a extremdade da esquerda, no ponto = 1, engastada e a da dreta, no ponto = n, em balanço, conforme fgura 15. Nela estão apresentadas também a dscretzação no espaço, a numeração dos nós e a dstânca x entre eles. L Δx Δx Δx Δx Δx Δx n-2 n-1 n FIGURA 15 VIGA ENGASTADA-LIVRE DISCRETIZADA FONTE: O Autor 2014) Tendo como base a eq.47) e utlzando as relações das eq.50), eq.55) e eq.57) quando necessáro, pode-se chegar ao segunte códgo para o cálculo de seus deslocamentos. Para j = 0, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 2ρA Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 2ρA Para = n 1, fazer: = t)2 2ρA Para = n, fazer: = t)2 2ρA De j = 1 até j = τ, fazer: Para = 2, fazer: = t)2 ρa Para = 3 até = n 2, fazer: = t)2 ρa Para = n 1, fazer: = t)2 ρa Para = n, fazer: = t)2 ρa [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1) ] + y j [ EI x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI x) 4 2y j yj 4yj 1 + yj 2) ] + y j [ EI x) 4 2y j 4yj 1 + 2yj 2) ] + y j [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 y j +2 4yj yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 2y j yj 4yj 1 + yj 2 + 2y j yj 1 [ EI ) ] x) 4 2y j 4yj 1 + 2yj 2 + 2y j yj 1

46 Algortmos para a Teora de Tmoshenko Os códgos seguntes se basearam nas eq.70) e eq.71) e nas gualdades apresentadas no tem Solução Numérca - Teora de Tmoshenko. A dscretzação segue a mesma das fguras 12, 13, 14 e 15 e por sso não foram representadas novamente.

47 47 Vga Bapoada Tendo como base as eqs.70) e 71) e utlzando as relações apresentadas nas eq.73), eq.74), eq.75) e substtundo a dferença centrada pela dferença progressva ou regressva, quando necessáro, pode-se chegar ao segunte fluxograma: Para j = 0, fazer: Para = 1, fazer: φ j+1 = t)2 2 [ E φ j +1 2φj + ) φj 1 ρ x) 2 κag φ j ρi yj +1 )] yj + φ j x Para = 2 até = n 1, fazer: [ = t)2 κg φ j +1 φj 1 y +1 2y j + yj 1 2 ρ x 2 x φ j+1 = t)2 2 Para = n, fazer: φ j+1 = t)2 2 De j = 1 até j = τ, fazer: Para = 1, fazer: φ j+1 [ E ) ρ x) 2 φ j +1 2φj + φj 1 [ E ) ρ x) 2 φ j +1 2φj + φj 1 [ = t) 2 E ) ρ x) 2 φ j +1 2φj + φj 1 κag ρi κag ρi κag ρi Para = 2 até = n 1, fazer: [ = t) 2 κg φ j +1 φj 1 y +1 2y j + ) yj 1 ρ x 2 x [ = t) 2 E ) ρ x) 2 φ j +1 2φj + φj 1 φ j+1 Para = n, fazer: [ = t) 2 E ) ρ x) 2 φ j +1 2φj + φj 1 φ j+1 κag ρi κag ρi ) ] + q + y j ρa φ j yj +1 yj 1 2 x φ j yj yj 1 x φ j yj +1 yj x )] )] )] + φ j + φ j ] + q + 2y j ρa yj 1 φ j yj +1 yj 1 2 x φ j yj yj 1 x )] )] + 2φ j φj 1 +2φ j φj 1 + 2φ j φj 1