BALANCEAMENTO GLOBAL DE EIXOS ATRAVÉS DO USO DE MODELOS NUMÉRICOS E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO

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1 UNIVERSIDADE TECNOÓGICA FEDERA DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA KAAS BASTIAAN BRONKHORST BAANCEAMENTO GOBA DE EIXOS ATRAVÉS DO USO DE MODEOS NUMÉRICOS E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO TRABAHO DE CONCUSÃO DE CURSO CURITIBA 1

2 KAAS BASTIAAN BRONKHORST BAANCEAMENTO GOBA DE EIXOS ATRAVÉS DO USO DE MODEOS NUMÉRICOS E TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO Monografa do Projeto de Pesqusa apresentada à dscplna de Trabalho de Conclusão de Curso do curso de Engenhara Mecânca da Unversdade Tecnológca Federal do Paraná, como requsto parcal para aprovação na dscplna. Orentador: Prof. Marco A. uersen, Dr. Eng. Co-orentador: Prof. Carlos A. Bavastr, Dr. Eng. CURITIBA 1

3 AGRADECIMENTOS Prmeramente gostara de dexar claro que todos os objetvos conqustados contaram com a partcpação e contrbução de númeras pessoas, pos na vda nada se conqusta soznho e este sucesso é provenente do esforço de todos os amgos que um da comgo convveram, assm, não podera dexar de mostrar mnha gratdão. Meu agradecmento especal aos orentadores e amgos, professores Dr. Marco Antôno uersen e Dr. Carlos Alberto Bavastr, os quas sempre demonstraram acredtar no meu trabalho. Snceramente agradeço por todo suporte ao longo de todo o curso de Engenhara Industral Mecânca e prncpalmente pela orentação neste trabalho e bom convívo, os quas me proporconou a oportundade de enrquecer meus conhecmentos, com suas experêncas nas áreas de atuação e sugestões no dreconamento das pesqusas. Meu agradecmento ao colega de trabalho e amgo Eduardo Afonso Rbero, cuja parcera fo fundamental na escrta e verfcação da rotna. Também meu agradecmento ao Francsco José Doubrawa Flho que nos deu valosas dcas de como resolver os problemas que encontramos durante o desenvolvmento do códgo. Aos colegas do aboratóro de Vbração e Som, Danelle Voltoln, Junor Bortolotto e Rodrgo Bubnak Slvéro, cuja ajuda fo fundamental na aqusção dos dados expermentas apresentados neste trabalho. E por fnal, mas com a mesma mportânca, agradeço o apoo, preocupação e pacênca de meus pas Koosje e Marus, que sempre me apoaram em mnhas decsões acertadas e me aconselhando nos momentos em que tomava um camnho errado. À mnha amada e aos meus amgos que me ajudaram a superar os das em que nada mas dava certo.

4 Nada é mas dgno do nosso patrocíno que o fomento da cênca e da lteratura. O conhecmento é, em todo e qualquer país,a base mas segura da felcdade públca. (George Washngton, dscurso de 8 de janero de 179) Equlíbro vem do entendmento, humldade e tolerânca. O mas elevado estado de equlíbro é voar lvre de tudo e anda assm manter-se frmemente enrazado na realdade do mundo. (Brahma Kumars entdade ndana)

5 RESUMO BRONKHORST, Klaas Bastaan. Balanceamento global de exos através do uso de modelos numércos e técncas de otmzação f. Monografa (Engenhara Industral Mecânca) Departamento Acadêmco de Mecânca, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná, 1. Máqunas rotatvas são utlzadas em númeras aplcações, tas como nas ndústras petrolífera, papelera, de geração de energa, entre outras. A utlzação dessas máqunas cada vez mas compactas em ambentes severos, em posções crítcas e prncpalmente em rotações muto elevadas exgem o seu perfeto funconamento. Na fabrcação e na montagem é mpossível se obter sstemas lvres de defetos, sendo o mas comum deles o desbalanceamento resdual, o qual pode causar perda de rendmento e/ou danos prematuros à máquna. Exstem város métodos para realzar o balanceamento de rotores. Os mas conhecdos utlzam massa de teste, exgndo que a máquna seja parada e ncada dversas vezes. Para evtar os dversos cclos de partda e parada do rotor, necessáros nas técncas convenconas, mplementase neste trabalho uma metodologa global de dentfcação de balanceamento a partr de respostas conhecdas, obtdas expermentalmente, e respostas de um modelo numérco do rotor em estudo. Esta metodologa basea-se em um procedmento nverso de dentfcação, onde o modelo do sstema e a resposta são conhecdos. Para o modelo numérco, fo utlzado um códgo própro de análse de dnâmca de rotores por elementos fntos. Com este, a partr dos parâmetros modas, é possível encontrar a resposta a dferentes exctações. Para encontrar o desbalanceamento do modelo físco são realzados cálculos repettvos do erro entre as respostas numérca e expermental do sstema, varando para sso a magntude e a posção da massa de desbalanceamento. Este processo é realzado por uma rotna de otmzação que fo adconada ao códgo que modela numercamente o rotor, permtndo a nserção dos dados obtdos expermentalmente, além de confgurar o procedmento de dentfcação. O códgo de elementos fntos exstente para a construção do modelo numérco fo programado na plataforma Fortran, ao qual fo adconada a rotna de balanceamento. Para testar o códgo e a metodologa proposta, um exemplo numérco-expermental fo apresentado. Estudos de convergênca e mínmos locas relaconados ao trabalho são abordados e dscutdos. Palavras-chave: Dnâmca de Rotores, Balanceamento, Elementos Fntos, Otmzação.

6 ABSTRACT BRONKHORST, Klaas Bastaan. Balanceamento global de exos através do uso de modelos numércos e técncas de otmzação f. Monografa (Engenhara Industral Mecânca) Departamento Acadêmco de Mecânca, Unversdade Tecnológca Federal do Paraná, 1. Rotatng machnes are used n numerous applcatons such as n ol, paper, power generaton ndustres, among others. The usage of these machnes, that are more and more compact, n harsh envronments, n crtcal postons and especally n very hgh rotatons demand flawless performance. In the manufacture and assembly t s mpossble to obtan defect-free systems and the most common of these defects s the resdual unbalance, whch can cause loss of effcency and/or premature damage to the machne. There are several methods to perform the balancng of rotors. The most known ones use test masses and requres the machne to be stopped and started several tmes. To avod the varous cycles of startng and stoppng the rotor, requred n conventonal technques, n ths work t s mplemented a comprehensve methodology for dentfyng the balancng from known responses, obtaned expermentally, and from responses of a numercal model of the rotor. Ths methodology s based on a reverse procedure of dentfcaton, where the numercal model of the system and the measured response are known. A fnte elements code was used for the dynamc analyss of the numercal model. Wth ths, usng the modal parameters, one can fnd the response to dfferent exctatons. To fnd the unbalance of the physcal model, repettve calculatons of the error between the numercal and expermental responses of the system are performed, varyng the magntude and poston of the unbalance mass. Ths process s carred out by an optmzaton routne whch was added to the numercal rotor model, allowng the nserton of the expermentally obtaned data, and set the dentfcaton procedure. The exstng fnte element code to buld the numercal model was programmed on the Fortran platform, to whch was added the balancng routne. To test the code and the proposed methodology, an expermental-numercal example was presented. Studes of convergence and local mnma related to the work are dscussed. Keywords: Rotordynamcs, Balancng, Fnte Element, Optmzaton.

7 ISTA DE IUSTRAÇÕES Fgura 1 - Representação geométrca de um dsco utlzado no modelo numérco... 5 Fgura - Sstemas de coordenadas utlzados para um dsco Fgura 3 - Representação de um elemento com os respectvos graus de lberdade localzados nos nós Fgura 4 - Representação das componentes de rgdez e amortecmento de um mancal Fgura 5 - Representação da posção e velocdade de um desbalanceamento D Fgura 6 - Vetor de força de desbalanceamento e resposta fundamental do rotor Fgura 7 - Modos de vbrar de um exo se rotor; a: prmero modo, b: segundo modo e c: tercero modo Fgura 8 - Exemplo de bancada com rotor Fgura 9 - Exemplo de geometra de um rotor Fgura 1 - Representação da massa de desbalanceamento em relação ao exo Fgura 11 - Fluxograma de dentfcação de desbalanceamento Fgura 1 - Fluxograma da Função objetvo Fgura 13 - Fluxograma da rotna de dentfcação de desbalanceamento Fgura 14 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca da forma da função objetvo Fgura 15 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca do caso Fgura 16 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca do caso Fgura 17 - Rotorkt RK-4, Bently Nevada e sensor de deslocamento em detalhe Fgura 18 - Placa de aqusção de dados de vbração Brüel & Kjaer Sound & Vbraton Measurements S/A

8 Fgura 19 - Rotor com a confguração utlzada para a medção Fgura - Montagem dos equpamentos de medção utlzados Fgura 1 - Detalhe a) dos sensores de deslocamento e b) do mancal do rotor Fgura - Modelo numérco do rotor utlzado nas medções Fgura 3 - Mapa de rgdez para calbragem do mancal Fgura 4 - Comportamento da função objetvo para a) 1 rotação, b) rotações, c) 4 rotações e d) 6 rotações Fgura 5 - Comportamento da função objetvo para a) 1 posção, b) posções, c) 4 posções e d) 6 posções Fgura 6 - Comparação das respostas ao desbalanceamento na posção de 6 mm para cada algortmo utlzado Fgura 7 - Aproxmação dos pcos das respostas ao desbalanceamento: a) - 1º modo; b) - º modo; c) - 3º modo Fgura 8 - Resposta ao desbalanceamento: a) três posções e dferentes números de rotações e b) três rotações e dferentes números de posções Fgura 9 - Resposta ao desbalanceamento: a) três posções e dferentes números de rotações e b) três rotações e dferentes números de posções Fgura 3 - Comparação entre resposta numérca e resposta expermental do rotor desbalanceado Fgura 31 - Resposta ao desbalanceamento do modelo numérco Fgura 3 - Resposta ao desbalanceamento do modelo expermental Fgura 33 - Comparação entre modelo numérco e expermental para o Caso Fgura 34 - Comparação entre o Caso 3, o rotor sem massas de desbalanceamento e o rotor desbalanceado

9 ISTA DE TABEAS Tabela 1 - Dados da geometra do caso Tabela - Dados da geometra do caso. 56 Tabela 3 - Dados da geometra do caso Tabela 4 - Geometra do rotor utlzado na medção. 61 Tabela 5 - Rotações utlzadas para a construção da superfíce da função objetvo. 65 Tabela 6 - Posções de resposta utlzadas para a construção da superfíce da função objetvo. 66 Tabela 7 - Comparação dos resultados para o caso 1, etapa Tabela 8 - Comparação dos resultados para o caso 1, etapa. 68 Tabela 9 - Comparação dos resultados para o caso, etapa Tabela 1 - Comparação dos resultados para o caso, etapa. 7 Tabela 11 - Comparação dos resultados para o caso 3, etapa Tabela 1 - Comparação dos resultados para o caso 3, etapa. 71 Tabela 13 - Rotações e posções de medção utlzadas. 74 Tabela 14 - Dferença entre ampltude sem balanceamento e com balanceamento. 75 Tabela 15 - Rotações e posções de medção utlzadas. 75 Tabela 16 - Dferença entre ampltude sem balanceamento e com balanceamento. 76 Tabela 17 - Casos de balanceamento em dos planos, 17 mm e 335 mm. 78

10 agrangeano T Energa cnétca U Energa potencal W Trabalho vrtual Forças dsspatvas F f q q q m j c j g j k j ISTA DE SÍMBOOS Forças generalzadas Forças nternas ou de restrção Deslocamentos/coordenadas generalzadas Velocdades generalzadas Acelerações generalzadas Elemento de nérca da matrz de nérca Elemento de amortecmento da matrz de amortecmento Elemento da matrz groscópca Elemento de rgdez da matrz de rgdez n Graus de lberdade q Vetor de deslocamentos generalzados q Vetor de velocdades generalzadas q Vetor de acelerações generalzadas M Matrz de nérca C Matrz de amortecmento G Matrz groscópca K Matrz de rgdez F Vetor de forças generalzadas rpm Velocdade de rotação do exo Velocdade de rotação ω Vetor velocdade angular u Translação em X w Translação em Z Rotação ao redor de X Rotação ao redor de Z N Número de nós do sstema de E.F. y t Defnção do espaço de estado no tempo Y Defnção do espaço de estado na frequenca F Vetor de forças no domíno da frequênca N Vetor de forças do problema n dmensonal A Matrz auxlar do problema n dmensonal B Matrz auxlar do problema n dmensonal θ Autovetores do problema dreto ψ Autovetores do problema adjunto

11 λ I Λ j j Autovalores Matrz dentdade Matrz espectral Frequêncas naturas Frequêncas naturas complexas Θ Autovetores do problema dreto ortonormalzados Ψ Autovetores do problema adjunto ortonormalzados P Vetor auxlar para transformação de varáves H Matrz de receptânca x nx1 Vetor projeto y exp Resposta expermental y num Resposta numérca r Erro entre respostas r Vetor erro fobj Função objetvo md Magntude do desbalanceamento Fase do desbalanceamento m Número de respostas meddas n Número de planos de balanceamento

12 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO Contexto do Tema Caracterzação do Problema Objetvos Justfcatva Conteúdo 16 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 18.1 Modelagem Numérca do Rotor Equações de agrange Dsco Exo Mancas Desbalanceamento Parâmetros modas e resposta numérca 39. Identfcação do desbalanceamento Obtenção dos dados expermentas 43.. Metodologa de dentfcação de desbalanceamento 44.3 Algortmos de Otmzação Algortmo Genétco Algortmo Quase-Newton 49 3 ROTINA DE OTIMIZAÇÃO 51 4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTA Verfcação da Forma da Função Objetvo Estudo dos Mínmos ocas Caso Caso Caso Verfcação da Rotna de Identfcação Estudo Expermental 58 5 RESUTADOS Forma da Função Objetvo Mínmos ocas Caso Caso Caso Verfcação da Rotna Resultados Expermentas 76 6 CONCUSÕES 8 REFERÊNCIAS 84 APÊNDICE A ARQUIVOS DE ENTRADA E SAÍDA DA ROTINA 87

13 13 1 INTRODUÇÃO O trabalho de conclusão de curso apresentado pretende apresentar e valdar um método de balanceamento que se utlza da resposta de vbração medda expermentalmente em uma máquna rotatva e da resposta de vbração de seu modelo numérco. Comparando as duas respostas obtém-se uma medda de erro que é mnmzada varando-se o valor e posção da massa de desbalanceamento no modelo numérco com o auxílo de um algortmo de otmzação. 1.1 Contexto do Tema Balanceamento é um tpo de controle de vbrações em máqunas rotatvas que vsa corrgr as mperfeções na dstrbução de massas nerentes ao processo de fabrcação das mesmas. Devdo ao fato deste controle ser realzado em apenas alguns planos dscretos e a dstrbução mperfeta poder ocorrer ao longo de todo o rotor da maquna rotatva, sempre exstrá um desbalanceamento resdual que nas normas é permtdo através de lmtes. Em geral, o balanceamento é um procedmento de medção e redução da vbração de uma máquna rotatva, adconando ou retrando-se massas em pontos dscretos predefndos. Váras são as vantagens em se balancear um rotor, tas como: a redução no nível de ruído, aumento na vda dos mancas, dmnução no consumo de energa (entre 3 e 5 % é típco), aumento na qualdade do produto e prncpalmente a redução dos custos de manutenção, pos o rotor trabalhará sob uma dstrbução de tensão menor, reduzndo ou quase elmnando falhas por fadga (WOWK, 1994). Atualmente as técncas de balanceamento mas utlzadas exgem, em geral, muto tempo para a sua realzação, pos a máquna, mutas vezes de grande porte, deve ser parada e aconada váras vezes. Em alguns casos, essas técncas não são efcazes, pos consderam que o exo não se deforma ou, o que é equvalente, que o exo se comporta como rígdo, trabalhando o sufcentemente abaxo da prmera rotação crítca. Em mutos casos a dferença entre a rotação de trabalho e a rotação crítca não é sufcentemente grande para consderar o exo como rígdo, prncpalmente com a tendênca mundal atual, em que são exgdas rotações cada vez mas elevadas das máqunas.

14 14 1. Caracterzação do Problema Mesmo que a produção de máqunas rotatvas esteja muto avançada e que, com as técncas de fabrcação, tolerâncas menores sejam possíves de se obter, exste a mpossbldade de se fabrcar e montar um rotor sem desbalanceamento resdual. Além dsso, as normas nternaconas exgem que os fabrcantes garantam um balanceamento mínmo nos seus produtos, como por exemplo, o caso de motores elétrcos de grande porte (ANSI/API STANDARD 541, 4). Por esses motvos são necessáras técncas de balanceamento apuradas, de modo que a máquna esteja em um estado acetável para funconamento. As técncas convenconas de balanceamento dnâmco que se utlzam de massas de teste são efcazes, mas dependem de város cclos de partda e parada da máquna para obter um nível acetável de vbração. Segundo Bently et al. (), o balanceamento em sstemas rotatvos é smples. Adcona-se ou remove-se massa em locas predetermnados, denomnados planos de balanceamento. Um plano de balanceamento é uma posção axal do exo em que se possa adconar ou retrar uma quantdade de massa, a qual tem a posção defnda por um rao a partr do centro do exo e por uma fase em relação a uma referênca. Pode-se utlzar como plano de balanceamento um dsco ou outro elemento de maor dâmetro montado no exo. Para balanceamento em dos planos necessta-se de três cclos: o prmero sem massa de teste, o segundo com uma massa de teste em um plano e o tercero com uma massa de teste no outro plano. Para um número maor de planos é necessáro um número maor de cclos de partda e parada, pos é necessáro medr a resposta com uma massa de teste em cada plano, separadamente. Para um rotor esbelto com apenas um dsco delgado nele montado pode-se utlzar apenas um plano de balanceamento. Esta confguração, porém não possu mutas aplcações prátcas. Normalmente os dscos ocupam pratcamente todo o comprmento do rotor e devdo a esse fato, quanto maor o número de planos de balanceamento, mas precso é o processo de balanceamento, e consequentemente menor é o desbalanceamento resdual presente neste rotor, já que o desbalanceamento, em geral, também é dstrbuído. Além dsso, é recomendada a utlzação de pelo menos dos planos de balanceamento para que o segundo modo rígdo de vbração do exo possa ser controlado.

15 15 Quando se utlzam as máqunas de balanceamento usuas, a rgdez dos apoos e a rotação de trabalho normalmente não condzem com a condção de operação da máquna. Estas máqunas também não consderam que o exo se comporta como um exo flexível, quando o rotor trabalha perto ou acma da prmera rotação crítca. Segundo a norma ANSI/API STANDARD 541, se consdera exo flexível aquelas máqunas rotatvas que trabalham acma de 7% da rotação crítca ou acma dela. Nessas velocdades de rotação deve-se levar em conta o modo de vbrar do rotor, dexando o processo convenconal de balanceamento mas complexo e dspendoso em relação ao tempo de servço. 1.3 Objetvos Tem-se como objetvo neste trabalho a mplementação e aplcação de uma técnca robusta de dentfcação de desbalanceamento (balanceamento) utlzada tanto para exos flexíves quanto para exos consderados rígdos. A técnca é baseada na comparação e ajuste das respostas do rotor, em pontos predetermnados de balanceamento, através de medções expermentas e as respostas obtdas numercamente a partr de um modelo de elementos fntos. Este procedmento fo mplementado para atender o balanceamento de um rotor em uma ou váras rotações de operação e será mplementado em um ambente de otmzação. Pretende-se aplcar uma metodologa que permte o balanceamento dos rotores em dferentes planos de balanceamento, exgndo apenas um cclo de partda e parada para a(s) rotação(ões) de balanceamento especfcada/as, além de possbltar o balanceamento de rotores flexíves com acuráca e rapdez. 1.4 Justfcatva No desenvolvmento de máqunas rotatvas, geralmente de grande porte, (motores elétrcos, turbnas hdráulcas, bombas, entre outros) é necessára a utlzação de técncas de balanceamento, que devem ser cada vez mas precsas e rápdas. Isso se mostra na ndústra de geração de energa elétrca, refno de petróleo, nuclear e aeroespacal, onde, no projeto, procura-se a dmnução do peso e o aumento da velocdade de rotação, aumentando-se assm a flexbldade das máqunas (SANTOS, 3). Desta forma, cada vez mas as máqunas rotatvas

16 16 trabalham acma da segunda ou tercera rotações crítcas, ou seja, para que as velocdades de rotação de trabalho sejam atngdas, é necessáro passar pelas regões de ressonânca, o que pode levar a altos níves de vbração. Além dsso, a máquna pode trabalhar em velocdades de rotação varável e o aumento do nível de vbração pode causar danos graves. Surge então a necessdade de realzar o balanceamento desses rotores, dmnundo-se a níves acetáves a vbração destes próxmo à regão de ressonânca ou da velocdade de rotação de trabalho. Para empresas que fabrcam rotores para motores elétrcos acma de 5 HP, por exemplo, o balanceamento resulta em um obstáculo no processo de fabrcação, pos o tempo necessáro para balanceamento pode chegar a algumas horas, dependendo da velocdade de rotação e o tpo do rotor. Para essas empresas é exgdo por norma que os motores sejam entregues ao clente com um desbalanceamento resdual máxmo (ANSI/API STANDARD 541, 4). Com a técnca aqu proposta, estma-se que este tempo pode car drastcamente para alguns mnutos. O tema do trabalho faz parte da área de mecânca estrutural e o trabalho engloba conhecmentos de vbrações e métodos numércos além da modelagem de sstemas dnâmcos. Portanto, é uma oportundade de aplcação dos conhecmentos adqurdos no decorrer do curso. O autor da presente proposta atua na área de vbrações mecâncas desde 8, em trabalhos de ncação centífca realzados no aboratóro de Vbrações da UTFPR. No estágo realzado na empresa VOITH AG, na Alemanha, trabalhou com a aqusção de snas de vbração de turbnas hdráulcas e geradores de usnas hdrelétrcas, desde a nstalação dos sensores até a nterpretação dos snas meddos. Desta forma, este projeto de pesqusa contnua na lnha de atuação que se desenvolveu durante este período. 1.5 Conteúdo Este trabalho é formado ncalmente por uma fundamentação teórca, apresentada no Capítulo, onde está descrta a teora utlzada para construr o modelo numérco de um rotor. Apresenta-se rapdamente a Equação de agrange e os componentes que formam um rotor, juntamente com a formulação numérca respectva a cada componente. A partr deste ponto dscorre-se sobre a obtenção

17 17 dos parâmetros modas utlzados como dados de entrada para a rotna de dentfcação de desbalanceamento. O equaconamento da dentfcação de desbalanceamento é apresentado a segur, dscorrendo sobre a obtenção dos dados expermentas e a metodologa de balanceamento. Os algortmos de otmzação utlzados também são apresentados neste capítulo O Capítulo 3 dscute a rotna de otmzação que mplementa a dentfcação dos desbalanceamentos e no Capítulo 4 são apresentados os materas e métodos. O resultados e análses prévas da rotna de dentfcação de desbalanceamento estão apresentados no Capítulo 5. Neste capítulo encontra-se o estudo da forma da função objetvo e da presença de mínmos locas em casos com mas de um plano de balanceamento. Fo realzada também a valdação numérca do funconamento da rotna de dentfcação de desbalanceamento e uma valdação com resultados expermentas. As conclusões estão ncluídas no Capítulo 6 e um exemplo dos arquvos de entrada e de saída está demonstrado no Apêndce A.

18 18 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A necessdade de técncas mas rápdas e precsas para o balanceamento de máqunas rotatvas faz com que cada vez mas pesqusadores se nteressem pelo assunto. O balanceamento de rotores flexíves em baxas velocdades de rotação é apresentado em Tan e Wang (1993), utlzando-se das técncas de balanceamento modal e de coefcentes de nfluênca. Em Xu et al () é apresentado um método que utlza as técncas de coefcentes de nfluênca e do ponto de fase ncal do Holospectrum (método de FFT que combna os espectros ordnáros de vbração nas dreções vertcal e horzontal). Calculando a resposta ao desbalanceamento teórco e medndo o desbalanceamento orgnal, encontra-se através de métodos de otmzação a massa de desbalanceamento. Uma metodologa de balanceamento atvo é proposta em Moon et al. (6) que se utlza do método de coefcente de nfluênca em conjunto com um dspostvo magnétco, aplcado em rotores de altas velocdade de rotação. Em Han (7) está apresentada uma metodologa baseada na dervada da resposta modal de desbalanceamento provenente da análse modal completa para rotores não-sotrópcos. A utlzação do método de Programação Sequencal Quadrátca (SQP) é aplcado por Wang (7) para, através de um problema de otmzação mn-max, encontrar o desbalanceamento baseando-se nas técncas de coefcentes de nfluênca e Holospectrum. A fundamentação teórca para o estudo apresentado neste projeto basea-se nos trabalhos de Bavastr et al. (1), Doubrawa Flho (8) e Faras e Rbas (5)..1 Modelagem Numérca do Rotor A aplcação da metodologa de balanceamento contda neste trabalho necessta que o rotor seja representado numercamente. Para sso serão utlzadas as Equações de agrange, que são capazes de caracterzar sstemas dnâmcos utlzando quantdades escalares como energa potencal, energa cnétca e trabalho vrtual das forças não conservatvas. Para encontrar a equação de movmento de um rotor, aplcam-se os concetos de dnâmca para determnar as expressões de energa cnétca e de energa

19 19 potencal e trabalho vrtual de cada elemento do rotor. Assm, os elementos báscos que serão consderados, segundo a lnha proposta por alanne e Ferrars (199) são: o exo, o dsco e o mancal. Dferentes combnações destes três elementos podem representar a maora dos rotores. Utlzando-se o conceto de elementos fntos é possível determnar as expressões de energa e trabalho para cada elemento..1.1 Equações de agrange A aprecação escalar baseada em energa e trabalho traz uma grande vantagem quanto à complexdade do problema, tornando-o muto mas smples para geometras mas complexas. Além dsso, a formulação das equações de movmento a partr das Equações de agrange dspensa completamente a consderação das forças restrtvas de artculações e guas sem atrto, ou seja, as forças nternas (MEIROVITCH, 199). As equações de movmento de um sstema podem ser formuladas por meo de dversos sstemas de coordenadas, mas para sso são necessáras n coordenadas ndependentes para descrever o movmento de um sstema de n graus de lberdade. Tas coordenadas ndependentes são chamadas coordenadas generalzadas q j. O movmento da estrutura pode ser representado por mas do que n coordenadas. Nesse caso têm-se as coordenadas supérfluas, ou seja, coordenadas que podem ser representadas por expressões de restrção, que relaconam essa coordenada supérflua a uma coordenada generalzada. agrange utlza o prncípo do trabalho vrtual para formular as equações de movmento. Um deslocamento vrtual é uma mudança nfntesmal da coordenada e respetando as restrções do sstema analsado, o deslocamento pode ser realzado de qualquer manera sem consderar o tempo t. Consderando-se um sstema qualquer em equlíbro, formado por N partículas e mpondo deslocamentos vrtuas nfntesmas rj, fscamente possíves, de manera que o trabalho vrtual W realzado pelas forças F j responsáves pelos deslocamentos seja nulo, tem-se que

20 W N F j r j. (1) j Para um sstema de n graus de lberdade em que o deslocamento r j é expresso por n coordenadas generalzadas e o tempo t, q, q,..., q, t j 1, N rj rj 1 n,...,, () o trabalho vrtual do sstema, expresso em termos das coordenadas generalzadas é W Q q, (3) n 1 em que QI é defndo como a soma Q n j1 rj Fj q. (4) O conceto de agrange e o prncípo do trabalho vrtual foram estenddos por D Alembert para sstemas dnâmcos aplcando a segunda le de Newton a -ésma partícula de massa f tem-se m, sendo as forças nternas ou de restrção representadas por F f m r. (5) Aplcando o prncípo do trabalho vrtual em um sstema de n coordenadas generalzadas e utlzando a equação de energa cnétca T de um sstema de partículas, obtém-se

21 1 n d T T WT Qk qk. dt q q k 1 k k (6) sendo WT o trabalho vrtual dependente da energa cnétca. Em um sstema conservatvo não há dsspação de energa no camnho realzado por uma partícula, em termos de coordenadas generalzadas e consderando-se o estado ncal com uma energa potencal nula, o trabalho em termos de energa potencal U é dado pela expressão U WU q q k k k. (7) sendo WU o trabalho vrtual dependente da energa potencal. A exstênca de forças não conservatvas no sstema (ex.: forças externas e de atrto), em coordenadas generalzadas geram uma força generalzada por ela realzado é expresso por Q k. O trabalho W Q Q kq k k. (8) Para um sstema não conservatvo, a equação de agrange fca d dt q k q k d dt T q k T q k U q k Q k (9) em que o agrangeano defndo como U T U e. q Como demonstrado em Espíndola (199), as equações de movmento de uma estrutura podem ser consderadas lneares quando o deslocamento das coordenadas generalzadas fca restrto à vznhança do seu ponto de equlíbro. O ponto de equlíbro é denomnado (zero) e as dervadas são calculadas neste

22 ponto. evando em conta que a mínma energa potencal ocorre na posção de equlíbro, a sua dervada prmera pode ser consderada nula. A energa potencal no ponto de referênca também pode ser consderada nula. A expressão de energa potencal para um sstema de n graus de lberdade em função de suas coordenadas generalzadas e expandda em séres de Taylor, pode ser smplfcada para a Equação (1) quando os termos superores da sére de Taylor são desprezados. U 1 n n j 1 l 1 U q jql q q j l (1) Comparando-se a Equação (1) com a da energa potencal de um componente elástco de um grau de lberdade, U 1 kx, defne-se a rgdez generalzada jl k como sendo U k jl. (11) q jql De forma genérca é possível escrever a energa potencal elástca do sstema através da equação 1 U q T K q. (1) A energa cnétca de um sstema com n graus de lberdade em que r é a posção em função das coordenadas generalzadas q, a velocdade da -ésma partícula é n r r r q j. q t (13) j1 j A energa cnétca é expressa de modo geral como

23 3 N m r T 1 1. (14) Substtundo na Equação (13) a Equação (14) obtém-se para um sstema de N partículas em termos de coordenadas generalzadas a relação N n j n j j j n l l j l j t r t r q q r t r q q q r q r m T , (15) ou separando em três termos 1 T T T T. O prmero termo T representa um sstema cujas restrções são ndependentes do tempo, ou seja, as dervadas em relação ao tempo são nulas e, consderando essa ndependênca em relação ao tempo tem-se N l j n j n l l j q r q r m q q T T (16) Analogamente à rgdez generalzada pode-se agora defnr a massa generalzada N l j l j jl q q T q r q r m m 1, (17) e que de forma matrcal pode ser representada como M q q T T 1. (18) A equação de agrange em sua forma mas geral é dada por (MEIROVITCH, 199)

24 4 d dt F j q j q j q (19) j sendo F j a força generalzada que atua na j-ésma coordenada generalzada, representa as forças dsspatvas e vem da defnção do lagrangeano T U, em que T é a energa cnétca e U é a energa potencal do sstema. As forças dsspatvas surgem do amortecmento que os mancas nserem no modelo do sstema. As equações geras de movmento para um rotor serão encontradas utlzando as equações de agrange, através da energa cnétca, energa potencal e trabalho vrtual de forças externas..1. Dsco A deformação do dsco é pequena em relação à deformação do exo, desta forma assume-se que o dsco é um elemento rígdo. O dsco é caracterzado apenas pela energa cnétca. A Fgura 1 apresenta a geometra utlzada para representar um dsco, sendo h a espessura, R o rao externo, r o rao nterno e d a densdade. A energa cnétca de um dsco é representada como sendo 1 T r d M d Idω, () onde M d é a massa do dsco, r é a velocdade de translação do sstema de referênca móvel em relação ao sstema nercal, ω o vetor de velocdades angulares e I d o vetor de nércas em cada uma das dreções, referentes ao centro de massa C.

25 5 Z r Y X h Fgura 1 - Representação geométrca de um dsco utlzado no modelo numérco. Fonte: Autora Própra 1 R A massa do dsco é calculada como M d R r h d (1) e sua nérca é representada pela matrz Idx I d Idy, () I dz em que, segundo Norton (4) I I dx dy M d I dz 3r 1 M d r R 3R h (3) A obtenção da energa cnétca do dsco ocorre fxando-se um ponto de referênca arbtráro no corpo do dsco, sso é possível por se tratar de um corpo 1 Todas as fguras, tabelas e quadros presentes neste documento que não possuem ndcação de fonte são de autora do autor.

26 6 rígdo. Defne-se então um sstema de coordenadas nercal X, Y, Z concdente com o sstema fxo no dsco R x, y, z dsco. R com orgem, que tem orgem no centro do Fgura - Sstemas de coordenadas utlzados para um dsco. Fonte :alanne e Ferrars (199) As coordenadas X, Y, Z e x,, y z são relaconadas por três ângulos, e e o vetor de posção global de um ponto qualquer sobre o corpo rígdo pode ser escrto por r R A u, (4) em que no corpo x y z, R é o vetor de posção global da orgem do sstema de coordenadas fxada A é a matrz de transformação que defne a orentação do corpo no sstema de coordenadas global XYZ e u é o vetor de posção de um ponto arbtráro em relação à orgem do sstema de coordenadas fxo no corpo. A matrz de transformação A é uma matrz 3x3 e formada por

27 7 A cos sn sn cos 1. 1 cos sn cos sn. cos sn 1 sn. (5) cos A prmera matrz representa a rotação do sstema x em torno do exo Z y z por um ângulo, a segunda matrz rotacona de um ângulo o sstema de coordenadas x em torno do novo exo x. Para completar a rotação, a tercera y z matrz realza a rotação do sstema de coordenadas x em torno do novo exo y y z por um ângulo. A transformação de coordenadas pode ser fnalmente obtda por x y, z A R X, Y, Z R,. Através da matrz de transformação, segundo alanne e Ferrars (199), é possível obter o vetor velocdade angular, em torno do exo Y. cos sn cos ω sn (6) cos sn sn Desta manera, consderando que o dsco é smétrco em relação ao exo de rotação I dx I dz e que a velocdade angular é constante, obtém-se (DOUBRAWA FIHO, 8) T d u w I cos I sn sn 1 M d dx dy. (7) Consderando que os ângulos e são pequenos e que a velocdade angular é constante e desprezando o termo de segunda ordem sn obtém-se u w I I 1 T d M d dx dy, (8)

28 8 em que termo I representa a soma da energa cnétca e o efeto dy groscópco (efeto de Corols) do dsco grando a um velocdade angular, respectvamente. Como o dsco é consderado rígdo, não há energa potencal a ele assocada. Para formular o rotor utlzando a técnca de elementos fntos, consdera-se que cada nó possu quatro graus de lberdade. Cada nó possu então um vetor de deslocamento nodal na forma q T u, w,,, (9) em que u e w são deslocamentos na dreção X e Z, respectvamente e e são rotações ao redor dos exos X e Z, respectvamente. Consdera-se que o dsco nfluenca apenas o nó em que este está posconado. Aplcando a equação de agrange na equação de energa cnétca do dsco, obtém-se, segundo alanne e Ferrars (199), as matrzes de contrbução de massa e groscópca são respectvamente M d M d M d e I dx I dx G d. I (3) dy I dy.1.3 Exo O exo é modelado com uma seção transversal crcular S e momento de segunda ordem de área I constantes em um segmento fnto de comprmento, materal sotrópco com massa específca, módulo de elastcdade E e coefcente de Posson. A energa cnétca T e pode ser obtda por extensão da equação de energa cnétca do dsco através da ntegração ao longo do comprmento como

29 9 T e S I u w dy dy I I dy. (31) Consderando que o momento de segunda ordem de área I da seção S pode ser obtdo pela expressão I x S x ds e I z S z ds, (3) e que o exo possu smetra axal, segundo alanne e Ferrars (199) demonstra-se que a energa potencal do exo é dada por U e ntegrada sobre a seção S ao longo do comprmento EI u w U e dy y y. (33) No modelo apresentado, as cargas axas que podem estar presentes no exo são desconsderadas. Na formulação medante o uso da técnca de elementos fntos, dvde-se o exo em n segmentos de comprmento graus de lberdade. y de seção constante. Cada nó possu quatro Sendo os deslocamentos u e w pequenos, podem ser estabelecdas relações entre deslocamentos lneares e angulares conforme w e y u. y (34) No método dos elementos fntos, cada elemento é, em sua essênca, um modelo de um pequeno sóldo deformável, no qual alguns graus de lberdade

30 3 substtuem os nfntos graus de lberdade do sstema contínuo. A Fgura 3 apresenta um elemento de um exo e seus graus de lberdade. Fgura 3 - Representação de um elemento com os respectvos graus de lberdade localzados nos nós. Fonte: Faras e Rbas, 5. u e Em cada elemento o deslocamento das coordenadas T u u 1 w é aproxmado por uma combnação lnear de funções de forma y w T w 1 deslocamentos nodas γ u e γ w, respectvamente nas dreções X e Z, N e u N1 γ u w e N γ w. (35) As funções de forma N 1 e N são matrzes de uma lnha cujos elementos varam de acordo com o modelo de vga utlzado. Como estas funções não dependem da varável temporal, as velocdades podem ser expressas por u Nq. (36) Escreve-se a energa cnétca T com sendo 1 T γ T Mγ, (37)

31 31 em que a matrz de massa é obtda através da expressão T M N NdV. V (38) Quando as funções de forma são substtuídas adequadamente na equação de energa cnétca do exo, obtém-se a expressão Te Tem Tes Teg I, (39) em que: T em Tes 1 T 1 T γ M1γ γ w M γ u u w, 1 T 1 T γ M γ γ w M γ u 3 u 4 w, (4) Teg γ T M γ u 5 w. As expressões foram desenvolvdas por alanne e Ferrars (199) e as matrzes M 1 e M são matrzes clásscas de massa, M 3 e M 4 representam a nérca rotatóra e o efeto groscópco é representado por M 5. Ao se aplcar as Equações de agrange na Equação (39) obtém-se d dt T e Te M M G s. (41) As matrzes obtdas dessa manera são dadas por

32 S M, (4) I M s, (43) e I G. (44) A energa potencal provenente da deformação do exo pode ser obtda de modo análogo a partr da equação de energa de deformação do exo. w T w u T u e U γ K γ K γ γ 1 1 1, (45)

33 33 em que, segundo alanne e Ferrars (199), K 1 e K são as matrzes clásscas de rgdez. É comumente ntroduzdo um fator de correção que leva em conta o csalhamento transversal da vga durante a flexão. O fator de correção é defndo como 1EI a, G S S (46) em que G S é o módulo de csalhamento de um materal. Quando a equação de agrange é aplcada na energa potencal, representada pela Equação (45), para um segmento do exo obtém-se U e K C. (47) A matrz de rgdez que se obtém é K C 1 EI a a 6l a 4 a 6 a a 6 4 a a 6 4 a (48).1.4 Mancas Para modelar a contrbução dos mancas são consderadas somente as forças devdo a deslocamentos dos nós. Os coefcentes de rgdez e amortecmento são conhecdos e podem ser determnados através de aplcatvos e dados fornecdos pelos fabrcantes dos mancas. Mancas hdrodnâmcos possuem parâmetros dependentes das cargas radas, do lubrfcante, da folga e da rotação, entretanto, no

34 34 presente trabalho serão consderados mancas com parâmetros constantes como hpótese. Além das forças que surgem na mesma dreção do deslocamento, o modelo utlzado apresenta termos cruzados para amortecmento vscoso e rgdez, sto é, quando um deslocamento ocorre numa dreção, surge uma força na dreção perpendcular. A Fgura 4 esquematza o tpo de mancal utlzado. Fgura 4 - Representação das componentes de rgdez e amortecmento de um mancal. Fonte: Doubrawa Flho, 8. A contrbução dos mancas ao modelo é encontrada através do trabalho vrtual das forças que atuam sobre o exo e é dada pela relação W krr cr r, (49) sendo krr k uu k wu k uw k ww, xx xz cr r c u u c w u c u w c w w, xx xz zx zx zz zz (5) que podem ser matrcalmente apresentadas como F F u w k k xx zx k k xz zz u c w c xx zx c c xz zz u. w (51)

35 35 A formulação por elementos fntos aqu apresentada para os mancas despreza possíves reações à momentos fletores e rotações, desta manera é suposta nula a rgdez do mancal para qualquer rotação ou. Em decorrênca dsso, as forças F e F também são nulas, obtendo-se a equação F F F F u w k k xx zx k k xz zz u c w c xx zx c c xz zz u. w (5).1.5 Desbalanceamento Quando se trata de sstemas rotatvos, o desbalanceamento resdual é uma exctação que estará sempre presente, em maor ou menor grau. A força de desbalanceamento depende da velocdade de rotação e é dada pela relação (AANNE e FERRARIS, 199) mr F e, (53) em que mr e representa dretamente o desbalanceamento resdual, cuja undade 6 normalmente empregada é o grama-mlímetro ( 1g. mm 1 kgm. ). Fgura 5 - Representação da posção e velocdade de um desbalanceamento D. Fonte: Doubrawa Flho, 8.

36 36 A posção do desbalanceamento D em coordenadas generalzadas, para uma posção y qualquer e constante, é representada como u re sn t D constante (54) w re cos t e a velocdade através de u re cos t D. (55) w re sn t A energa cnétca de uma massa resdual (199) pode ser aproxmada por m u, segundo alanne e Ferrars T u t q snt mur q 1 cos. (56) Aplcando a equação de agrange na expressão de energa cnétca de uma massa resdual posconada no exo z em t, de acordo com alanne e Ferrars (199), obtém-se d dt Tu Tu m u sn t r. cos t (57) A transformada de Fourer, aplcada sobre o vetor força F em que está nserda uma exctação do tpo desbalanceamento nas coordenadas u e w correspondentes a -ésma coordenada generalzada exctada tem a forma

37 u mur w m ur F. (58) A posção angular (fase) dos vetores de força e de resposta são parâmetros vtas para o procedmento de balanceamento. Em aplcações prátcas, a fase da resposta é medda em relação a um transdutor de referênca, comumente chamado de keyphasor. O snal de mpulso, um por gro, é recebdo smultaneamente com o snal do transdutor de medção de deslocamento lateral do rotor. Este mpulso é utlzado como referênca e marca a fase zero do rotor (MUSZYNSKA, 5). A fase da força de desbalanceamento é medda em graus ou radanos a partr de uma referênca de ângulo nulo marcada na crcunferênca do rotor. A fase da resposta, também medda em graus ou radanos, representa o ângulo entre o vetor da força de desbalanceamento e o vetor da resposta somada à fase orgnal do vetor da força. A resposta está sempre atrasada em relação à força de desbalanceamento, pos a fase move-se em dreção contrára à rotação. Consdera-se que a ampltude e a fase tem mesma mportânca em balanceamento e é possível representar essas duas quantdades em um únco valor através do formalsmo de números complexos. A força de desbalanceamento e a resposta podem ser então escrtas respectvamente de manera smples como: e Fe t jt j mr e (59) j t Be (6) Se for elmnada a função peródca dependente do tempo representados na Fgura 6 são encontrados j t e, os vetores

38 38 e F Fe mr e j j j B Be (61) (6) Quadratura (magnáro) Rotação Ângulo de referênca zero Dreto (real) Fgura 6 - Vetor de força de desbalanceamento e resposta fundamental do rotor. Fonte: Adaptado de Muszynska, 5. Substtundo todos os termos desenvolvdos de energa cnétca e potencal e de trabalho das forças conservatvas e não conservatvas na Equação (19), obtémse o conjunto de equações que descrevem o movmento de um sstema lnear com n graus de lberdade (MEIROVITCH, 199 e DOUBRAWA FIHO, 8) n m q j j c j g q j j kjq j F 1,,..., n j1 (63) ou em sua forma matrcal C G q Kq F Mq rpm (64) onde M é a matrz de nérca, C representa a matrz de amortecmento vscoso, rpm G é a matrz groscópca e a matrz de rgdez é representada por K. A matrz

39 39 groscópca é uma matrz antssmétrca e é função da velocdade de rotação do exo. As forças generalzadas são representadas por F, que é o vetor de exctação, q é o vetor de deslocamentos generalzados, q o vetor de velocdades generalzadas d q dt e q o vetor de acelerações generalzadas. d q dt.1.6 Parâmetros modas e resposta numérca O vetor de coordenadas generalzadas T q u w u w N N é formado pelas translações u e w e pelas rotações e em cada nó do modelo, formando um sstema de n 4 N graus de lberdade ou coordenadas generalzadas, em que N é o número de nós no sstema. Cada grau de lberdade u, w, ou corresponde a uma coordenada generalzada Verfca-se que quando a matrz de amortecmento C é obtda de um modelo não proporconal, ou seja, um modelo em que ela não é proporconal à soma das matrzes de nérca e rgdez, da forma C M K, o equaconamento do problema de autovalores leva a um sstema de n equações que precsa ser resolvdo em um espaço n dmensonal, denomnado de espaço de estado e defndo por Ewns () como q j. N N y t t t. q q (65) Inserndo a Equação (65) na Equação (64) e reescrevendo-a no domíno da frequênca obtém-se C G M K Y F. rpm (66) Para crar o espaço n dmensonal defne-se a equação auxlar M MY. (67)

40 4 Combnando as Equações (66) e (67) obtém-se o problema n dmensonal C G rpm M K F Y, M M (68) que pode ser escrto em sua forma smplfcada A BY N rpm. (69) A Equação (69) pode ser soluconada para cada valor de rpm como um problema de autovalores generalzado do tpo Bθ λaθ, (7) e como a matrz groscópca G rpm é antssmétrca, o problema adjunto também deve ser defndo T T B ψ λa ψ. (71) As matrzes de autovalores θ e ψ formam um base ortogonal e podem ser utlzadas para dagonalzar as matrzes no espaço de estado, de forma que \ a j \ ψ T Aθ. (7) Se dvdrmos cada j-ésma coluna de θ e ψ por a j, obtém-se as matrzes de autovalores ortonormalzados Θ e Ψ. De forma que

41 41 Ψ T \ AΘ 1 I, (73) \ e \ T ψ BΘ j Λ. (74) \ Ou seja, a matrz A dagonalzada pelos autovalores normalzados resulta na matrz dentdade I e a matrz B resulta na matrz espectral Λ, cuja dagonal possu as frequêncas naturas complexas do sstema. A solução apresentada permte obter as frequêncas naturas do sstema j para cada rotação rpm em que o sstema rotatvo opera. As frequêncas j são complexas, dadas em pares conjugados de tal forma que * j j j, (75) em que o símbolo * representa o complexo conjugado. O desbalanceamento é um tpo de exctação síncrona, de modo que rpm e a expressão para a resposta do sstema pode ser obtda fazendo a transformação de varáves Y ΘP, (76) que aplcada na Equação (69) e pré-multplcando por estado o segunte resultado T Ψ, obtém-se no espaço de

42 4. N Ψ BΘ P Ψ AΘ Ψ T T T (77) Substtundo as Equações (73) e (74) na Equação (77) resulta em N Ψ Λ I P T 1. (78) Aplcando a transformação de varáves da Equação (76), a Equação (78) se torna N Ψ Λ I Θ Y T 1. (79) A matrz de receptânca no espaço de estado, que defne a relação entre exctação e resposta, é defnda como T Ψ Λ I Θ H 1. (8) A nversão da matrz de receptânca é smples, já que a matrz dentdade I e a matrz espectral Λ são dagonas. A resposta ao desbalanceamento será obtda aplcando no vetor de força N, uma exctação proporconal ao quadrado da rotação (BAVASTRI et al., 1) e md e md w u N. (81) A dferença entre a Equação (58) e a Equação (81) é a nserção da fase que exste entre a posção da resposta e a marca de referênca na crcunferênca do exo, mostrado em detalhes na Equação (6).

43 43. Identfcação do desbalanceamento Para realzar a dentfcação do desbalanceamento em um rotor físco é necessáro obter, além da resposta numérca, a resposta medda expermentalmente nesse rotor. A dentfcação do desbalanceamento é executada através da comparação numérca das respostas expermental e numérca e através de uma rotna de otmzação aconada para modfcar a resposta numérca, de tal forma que as duas respostas se aproxmem da melhor forma possível...1 Obtenção dos dados expermentas A medção da resposta pode ser realzada com dferentes tpos de sensores. Normalmente são utlzados sensores de proxmdade, mas também são empregados acelerômetros e com menor frequênca, velocímetros. Os sensores de proxmdade determnam a dstânca entre o sensor e a superfíce para o qual está apontado através de um campo magnétco gerado pelo sensor. A varação da dstânca entre a superfíce e o sensor causa uma varação na dferença de potencal necessára para manter o campo magnétco. Os acelerômetros são bascamente consttuídos de uma massa nterna lgada à carcaça por um elemento de mola e amortecedor. Quando o sensor é conectado a uma superfíce para medr vbrações, a aceleração da superfíce é obtda através do deslocamento relatvo entre a massa e a carcaça. Os snas obtdos em dferença de potencal elétrco são transformados em valores com sgnfcado mecânco através de uma constante também chamada sensbldade do sensor. A resposta medda pelos sensores, para dentfcação de desbalanceamento, deve ser obtda em relação a uma fase. Para sso deve-se utlzar um keyphasor. Esse é um tpo de sensor que, a partr de um ou mas marcações na superfíce do exo, marca a posção angular do exo. Um keyphasor pode ser ótco, de proxmdade, entre outros. O sensor do tpo ótco utlza uma fta reflexva colada num pequeno trecho da faxa de medção, refletndo o snal eletromagnétco quando esta se alnha com o sensor. O sensor de proxmdade necessta que o exo tenha uma modfcação geométrca na faxa de medção, normalmente um rebaxo.

44 44 A fase de vbração do rotor é de suma mportânca para que se possam comparar os modelos numérco e físco, de manera adequada e, depos do desbalanceamento dentfcado, se possa posconar adequadamente a massa de correção. Deve-se posconar o sensor de medção de vbração corretamente, evtando os locas em que o modo de vbrar do rotor forma um nó. Nesse ponto não exste deslocamento, velocdade ou aceleração. A Fgura 7 mostra um modo de vbrar de um rotor smples, claramente se verfca os locas em que não é possível obter valores para a ampltude de vbração do exo. Fgura 7 - Modos de vbrar de um exo se rotor; a: prmero modo, b: segundo modo e c: tercero modo. Fonte: GUNT Equpment for Engneerng Educaton. Normalmente posconam-se os sensores próxmos aos mancas, de modo que seja garantda a obtenção da ampltude de vbração do rotor. A medção anda pode ser realzada em dferentes rotações, de modo que dferentes valores são obtdos. As rotações de medção podem ultrapassar ou não as prmeras rotações crítcas do rotor, dependendo da faxa de rotações em que o rotor deverá atuar... Metodologa de dentfcação de desbalanceamento A dentfcação da exctação de desbalanceamento realzada neste trabalho exge o conhecmento do modelo dnâmco do rotor e das respostas do mesmo. As respostas do modelo numérco são encontradas com a teora de dnâmca de rotores

45 45 apresentada por alanne e Ferrars (199) através dos parâmetros modas (matrzes Θ, Ψ e Λ ) que representam o rotor (BAVASTRI et al., 1). A obtenção dos parâmetros modas está apresentada na Seção.1.6. A Fgura 8 apresenta um exemplo de uma bancada de ensaos. Fgura 8 - Exemplo de bancada com rotor. Fonte: Fotografa trada no extnto aboratóro de Vbrações da UTFPR Câmpus Curtba. A Fgura 9 apresenta um rotor da Fgura 8 modelado numercamente no programa computaconal elaborado anterormente, em que Z é o exo de coordenadas vertcal na dreção radal do exo e Y é o exo de coordenadas horzontal na dreção axal do exo. O exo de coordenadas X, perpendcular ao plano Y-Z, não está representado. Fgura 9 - Exemplo de geometra de um rotor. Fonte: Imagem fornecda pela nterface em Matlab do Rotordn. As respostas obtdas do rotor físco devem ser nserdas no arquvo de entrada da rotna que dentfca a exctação de desbalanceamento através da comparação

46 46 das respostas numérca e expermental do rotor. Propõe-se a utlzação de técncas de otmzação não-lnear, sendo então necessáro defnr ncalmente uma função objetvo, assocada a uma medda de erro a ser mnmzada, que mapea um espaço do n no espaço, n f : x nx1, (8) sendo n, neste caso, o número de varáves de projeto e x nx1 o vetor das varáves de projeto ou vetor projeto. Uma função objetvo para medr o erro pode ser defnda como a norma Eucldana do vetor r dado pelas dferenças entre as l m respostas meddas expermentalmente, numercamente, exp y, e suas equvalentes l m respostas obtdas num y. A resposta numérca é obtda para uma exctação de desbalanceamento, nos planos de balanceamento prevamente escolhdos, utlzando a Equação (79). O número de respostas utlzadas provém da multplcação das l posções de resposta e as m rotações requerdas para balanceamento. num exp y y rpm num exp yl y l num exp y1 y1 r rpm num. exp yl y (83) l num exp y y 1 1 m rpm num exp yl yl A ampltude das respostas pode ser obtda em deslocamento do centro do exo em relação ao equlíbro, em velocdade e em aceleração. Como essa resposta é complexa, e aplcando a escala db sobre a norma Eucldana de r para melhorar o

47 47 desempenho da rotna de otmzação (DOUBRAWA FIHO, 8), a função objetvo é dada por fobj log 1 r T r *. (84) O vetor projeto x é composto pelas massas de balanceamento multplcadas pelo seu rao a partr do centro do exo de balanceamento com relação à referênca adotada md e as posções angulares dos n planos T n x md,, 1 1, md n,. (85) Inúmeras combnações de desbalanceamento são possíves para uma mesma resposta. Adconalmente pode-se defnr a restrção do tpo md para que o desbalanceamento se mantenha postvo e tenha sentdo físco. Da mesma forma a posção angular pode ser restrngda na faxa de a. Fgura 1 apresenta o posconamento da massa de desbalanceamento md defasado de um ângulo em relação à referênca no exo e o sensor de referênca para a medção. md sensor de referênca exo Fgura 1 - Representação da massa de desbalanceamento em relação ao exo. A Fgura 11 apresenta um fluxograma com os passos a serem segudos para a realzação do balanceamento de rotores, utlzando a metodologa apresentada neste projeto de pesqusa.

48 48 Fgura 11 - Fluxograma de dentfcação de desbalanceamento..3 Algortmos de Otmzação Para dentfcar o desbalanceamento ou encontrar o desbalanceamento utlzase a combnação de um algortmo evoluconáro de otmzação (algortmos genétcos) com um método determnístco, o algortmo Quase-Newton. A otmzação ajusta sstematcamente a quantdade e a posção do desbalanceamento em cada plano através da função objetvo que é estabelecda pela norma Eucldana do erro entre a resposta de vbração medda e smulada, expressa em db, conforme a Equação (85).

49 Algortmo Genétco Como o própro nome já dz, algortmos genétcos tomam emprestada a déa da genétca natural. Nesse tpo de algortmo exstem os ndvíduos, ou genótpo de uma população. Os ndvíduos são compostos de undades que equvalem aos genes. Cada gene corresponde a uma varável do vetor projeto. Algortmos genétcos são teratvos e em cada teração, ou também chamada geração, a população é modfcada utlzando-se as melhores característcas da geração anteror (SARAMAGO, 3). A técnca consste em quatro estágos ou operações. A evolução, que mede a aptdão (valor da função objetvo) de cada ndvíduo solução. A seleção, que, baseada na aptdão, escolhe os ndvíduos da população que servrão de base para a próxma geração. A reprodução ( crossover ), que toma ndvíduos e os combna para gerar novos ndvíduos da próxma população e a mutação, que randomcamente modfca os ndvíduos através de alterações nos genes. O número de ndvíduos da população deve representar a complexdade do problema. O processo se repete até que atnja um número pré-determnado de gerações. A solução é representada pelo elemento mas apto (melhor valor da função objetvo) da últma geração (DOUBRAWA FIHO, 8). O algortmo genétco aqu utlzado fo ncalmente escrto por Carrol (4) e adaptado para a função objetvo apresentada na Equação (84). Para o algortmo genétco foram utlzadas 6 gerações com 1 ndvíduos em cada uma delas. A probabldade de cruzamento fo ajustada em 5% e a de mutação em 1%..3. Algortmo Quase-Newton Para explcar o algortmo Quase-Newton é necessáro ntroduzr o método de Newton. Este se utlza da expansão de segunda ordem em sére de Taylor da função objetvo no ponto. Isto resulta em uma expressão quadrátca para aproxmar a função, que depende do gradente (prmeras dervadas) e do Hessano (segundas dervadas) da função no ponto. A déa básca do método de Newton é achar, em um únco passo, o mínmo da função quadrátca ajustada no ponto. Entretanto, o mínmo da expressão quadrátca ajustada não é precsamente o mínmo da função orgnal, e o ponto necessta ser atualzado. Uma vez atualzado, ajusta-se sobre o novo ponto

50 5 uma nova quadrátca e assm sucessvamente. Uma vez que um dado crtéro de convergênca seja satsfeto, o mínmo da quadrátca passa a ser o mínmo da função objetvo (BAZARAA e SHETTY, 1979). O algortmo Quase-Newton é baseado no método de Newton, entretanto utlza uma aproxmação do Hessano (segundas dervadas) a partr apenas das prmeras dervadas da função. Sua dreção de busca se localza entre a dreção do gradente e a dreção de Newton. O algortmo Quase-Newton começa a procura geralmente na dreção do gradente e, no decorrer do processo de otmzação, encontra-se entre a dreção do gradente e a dreção de Newton. Quando o método Quase-Newton é utlzado com restrções, é necessáro penalzar a função objetvo de modo que as restrções não sejam voladas. Além dsso, é mportante determnar um crtéro de parada para a busca, um valor pequeno que expressa a dferença entre o valor que se busca com o algortmo e o valor da função no últmo ponto encontrado.- O algortmo utlzado neste projeto de pesqusa pode ser encontrado em Press (199). O parâmetro de penalzação sobre a restrção volada fo e a restrção 1 volada elevada ao quadrado. O crtéro de parada adotado fo gual a 1 1.

51 51 3 ROTINA DE OTIMIZAÇÃO Neste capítulo é apresentada a descrção da rotna utlzada para dentfcar o desbalanceamento presente em um rotor a partr da obtenção dos parâmetros modas (matrzes Θ, Ψ e Λ ). Estas matrzes são calculadas por um códgo computaconal programado em lnguagem Fortran de nome Rotordn e desenvolvdo no Projeto PROMOVE 4931/6 FINEP/UTFPR/WEG. O códgo recebe todas as nformações de geometra e materal do rotor e, com a teora apresentada no Capítulo, calcula os parâmetros modas necessáros para a dentfcação do desbalanceamento. O códgo de otmzação fo escrto também em lnguagem Fortran e nserdo no programa Rotordn como uma rotna adconal para dentfcação de desbalanceamento pelo autor deste projeto de pesqusa. Fo necessáro compreender como os parâmetros modas são calculados e armazenados e como estes parâmetros deveram ser utlzados. A rotna de dentfcação de desbalanceamento faz uso de uma função objetvo que recebe os dados das respostas expermentas, o vetor projeto atualzado da teração atual do algortmo de otmzação e a matrz de receptânca. Incalmente ela monta o vetor de exctações utlzando a Equação (81). As respostas numércas são calculadas multplcando-se a matrz de receptânca apresentada na Equação (8) pelo vetor de exctações, de acordo com a Equação (79). As respostas numérca e expermental são comparadas formando um vetor erro (Equação (83)) e o valor da função objetvo é calculada como sendo a norma do vetor erro, como é apresentado na Equação (84). O resultado da função objetvo é apresentado em decbés. A Fgura 1 apresenta o fluxograma para o cálculo da função objetvo. Para a dentfcação, os dados expermentas devem ser nserdos e devdamente organzados em um arquvo de texto. Devem ser apresentadas as seguntes nformações: número de planos de balanceamento, número de plano de medção e número de rotações de medção. Além dsso, deve-se apresentar a posções e o valor das rotações de medção e o valor de ampltude de cada uma das medções.

52 5 Fgura 1 - Fluxograma da Função objetvo. A rotna apresentada na Fgura 13 recebe os parâmetros modas e calcula a matrz de receptânca H, como apresentado na Equação (8). Ela recebe também os dados expermentas para montar o vetor de respostas meddas. Estes dos conjuntos de nformações devem ser fornecdos para o cálculo da função objetvo. O algortmo Quase-Newton exge um vetor projeto ncal que é fornecdo pelo algortmo genétco, que determna um vetor projeto ncal próxmo do mínmo global. Os algortmos atualzam o vetor projeto (Equação (85)) a cada teração e com ele calculam um novo valor da função objetvo até que o resultado seja encontrado. O algortmo genétco tem como lmte de terações o número de gerações a ser calculado, escolhendo-se a cada geração o melhor ndvíduo, que é caracterzado pelas varáves do vetor projeto. O algortmo Quase-Newton tem como lmte um número máxmo de terações ou a tolerânca admtda para o projeto, que é a dferença entre a últma teração e a teração anteror.

53 Fgura 13 - Fluxograma da rotna de dentfcação de desbalanceamento. 53

54 54 4 PROCEDIMENTO EXPERIMENTA Com o ntuto de verfcar e valdar o códgo de dentfcação de balanceamento adconado ao programa Rotordn já exstente fo necessára a realzação de testes numércos e expermentas. 4.1 Verfcação da Forma da Função Objetvo Incalmente foram realzados testes numércos para verfcar o formato da função objetvo e o comportamento dela quando se utlzam dferentes números de dados de entrada. Fo crado um modelo numérco com desbalanceamento conhecdo de modo que a resposta ótma do algortmo de otmzação fosse conhecda. A geometra utlzada para esse estudo está apresentada na Tabela 1. Tabela 1 - Dados da geometra do caso 1. Posção Comprmento Dâmetro Número Materal [mm] [mm] [mm] Exo Aço Dsco Alumíno Número Mancal Posção [mm] Rgdez [N/m] Amortecmento [Ns/m] Massa [kg] 1 1,E ,E+8 1 A Fgura 14 representa o rotor utlzado no estudo da forma da função objetvo. Fgura 14 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca da forma da função objetvo.

55 55 A função objetvo fo estuda varando-se o número de rotações para uma determnada posção de medção de resposta. Posterormente, para uma determnada rotação de medção, dferentes pontos de medção de resposta foram analsados. O formato da função objetvo só pode ser grafcado quando é realzada a dentfcação em um plano de balanceamento, pos neste caso o vetor projeto possu duas varáves. Para dos planos de balanceamento ou mas, o número de varáves do vetor projeto não permte que a função objetvo seja grafcada. 4. Estudo dos Mínmos ocas Para verfcar o comportamento da rotna de dentfcação de desbalanceamento quando se tem mas de um plano de balanceamento, optou-se por estudar as respostas fornecdas pelo algortmo de otmzação mplementado. Os algortmos de otmzação foram estudados em separado, de modo a justfcar a utlzação de dos algortmos em conjunto. Os resultados do algortmo genétco e do algortmo quase-newton para dferentes vetores ncas de projeto e dos algortmos em conjunto foram estudados comparando-se as massas de correção fornecdas com as massas de correção esperadas. O estudo fo realzado em três casos dferentes, cada um utlzando uma geometra dferente. Cada caso anda fo estudado em duas etapas, a prmera etapa com três posções de medção de resposta e a segunda etapa utlzando apenas uma posção de medção Caso 1 No caso 1, a dentfcação de desbalanceamento fo realzada apenas nos planos em que se localzam os dscos. Os dados da geometra do prmero caso estudado são os mesmos utlzados no estudo da forma da função objetvo e estão apresentados na Tabela 1 e o rotor utlzado está mostrado na Fgura 14. O estudo fo realzado em duas etapas, ncalmente utlzando-se dados de medção de três planos de medção na rotação de 36 rpm. Os planos meddos escolhdos foram posconados em 75 mm, 45 mm e 65 mm a partr da extremdade esquerda do rotor. Na segunda etapa utlzou-se um quantdade menor

56 56 de dados de entrada para o algortmo de otmzação. Para a rotação de 36 rpm utlzou-se apenas os dados de um plano de medção, localzado em 45 mm. 4.. Caso No segundo caso estudado acrescentou-se à geometra um dsco posconado em 3 mm. Os dados da geometra do caso estão apresentados na Tabela, em que os dados de rgdez são valores escolhdos e que caracterzam a rgdez de um mancal de rolamento e o amortecmento pequeno fo ntroduzdo para establzar o cálculo. Tabela - Dados da geometra do caso. Posção Comprmento Dâmetro Número Materal [mm] [mm] [mm] Exo Aço Alumíno Dsco Alumíno Número Mancal Posção [mm] Rgdez [N/m] Amortecmento [Ns/m] Massa [kg] 1 1,E ,E+8 1 A Fgura 15 apresenta o rotor utlzado no segundo caso estudado. Fgura 15 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca do caso. O caso fo estudado em duas etapas; ncalmente foram utlzados como dados de entrada 3 posções de medção, mm, 45 mm e 65 mm. Foram utlzadas 5 rotações de medção: duas abaxo da prmera rotação crítca e todas

57 57 abaxo da segunda rotação crítca. As rotações utlzadas foram 36 rpm, 5 rpm, 88 rpm, 11 rpm e 14 rpm. A etapa dos fo estudada utlzando-se apenas um plano de medção posconado em 45 mm e as mesmas rotações de medção Caso 3 A tercera geometra estudada está apresentada na Tabela 3. Ela possu um exo de seção únca, três dscos e dos mancas. Tabela 3 - Dados da geometra do caso 3. Número Posção Comprmento Dâmetro [mm] [mm] [mm] Materal Exo Aço Aço Dsco 3 Número Mancal Aço Aço Posção [mm] Rgdez [N/m] Amortecmento [Ns/m] Massa [kg] 3 1,E ,E A geometra está apresentada na Fgura 16. Fgura 16 - Geometra e dscretzação do exo para realzar a smulação numérca do caso 3. As posções de medção para o caso 3 são 6 mm, 65 mm e 794 mm na etapa 1. As rotações de medção utlzadas foram 36 rpm, 54 rpm, 85 rpm, 118 rpm e 1836 rpm. O caso anda fo estudado com um plano de medção localzado em 65 mm e as mesmas rotações de medção.

58 Verfcação da Rotna de Identfcação Foram realzadas análses em um rotor com um dsco e um desbalanceamento para avalar a dentfcação do desbalanceamento e avalar o efeto da massa de balanceamento para um plano, resultado da otmzação, na resposta ao desbalanceamento do rotor. A avalação fo feta para dferentes números de pontos medção e números de rotações de trabalho. Utlzou-se ncalmente com a mesma geometra apresentada na Tabela 1 e representada na Fgura 14. A mesma análse fo realzada para um rotor com dos dscos e dos desbalanceamentos, realzando o balanceamento para duas rotações crítcas e devdo a sso, utlzando dos planos de balanceamento. A geometra utlzada é a mesma apresentada na Tabela e representada na Fgura Estudo Expermental O modelo físco utlzado para este trabalho fo o Rotorkt fabrcado pela empresa Bently Nevada. O modelo utlzado fo o RK 4 que é composto por uma base mecânca, motor, acoplamento, exo, dos dscos, dos mancas de deslzamento, ses proxmeters e três bases para os proxmeters. Além dsso, possu um conjunto de fornecmento energa para os proxmeters e um dspostvo de controle do motor através de corrente. O rotorkt pode trabalhar em até 1 rpm com dversas combnações de dscos e mancas Os sensores de proxmdade utlzados são do modelo 33 NSv. Fgura 17 - Rotorkt RK-4, Bently Nevada e sensor de deslocamento em detalhe. Fonte: Bently Nevada TM e Instrumart.

59 59 O equpamento de medção fo o AN-X Type 316, fabrcado pela Brüel & Kjaer Sound & Vbraton Measurements S/A. O software utlzado fo o Pulse abshop, também dstrbuído pela Brüel & Kjaer Sound & Vbraton Measurements S/A. Utlzou-se o módulo de balanceamento para medr a ampltude e fase do deslocamento do exo. Fgura 18 - Placa de aqusção de dados de vbração Brüel & Kjaer Sound & Vbraton Measurements S/A. Fonte: Brüel & Kjær. O computador utlzado para as medções expermentas fo um notebook do fabrcante enovo, modelo Thnkpad com processador Core I5 de,4 GHz e 4 GB de memóra RAM. O sstema operaconal utlzado na máquna fo o Wndows 7 Professonal de 3 bts da empresa Mcrosoft. Todos os equpamentos pertencem ao aboratóro de Vbrações e Som (AVIBS) da Unversdade Federal do Paraná. A dentfcação de desbalanceamento em rotores utlzando a teora proposta neste projeto de pesqusa exge que alguns passos sejam segudos para que o processo seja realzado de modo consstente. Incalmente deve-se conhecer a geometra do rotor, as dmensões e posções do exo e dos dscos. O mancal deve ser caracterzado em relação à rgdez e amortecmento que este ntroduz no sstema. As posções dos mancas também devem ser conhecdas. Os mancas de rgdez constante podem ser caracterzados

60 6 utlzando-se as rotações crítcas do rotor de tal modo que as rotações crítcas meddas sejam as mesmas que as calculadas no modelo numérco. O materal do exo e dscos deve ser conhecdo, de modo que se tenham os valores de densdade e módulo de elastcdade dos mesmos. Com estes dados conhecdos é possível construr o modelo numérco do rotor e calbrá-lo, modfcando prncpalmente a rgdez e amortecmento dos mancas para que este tenha um comportamento semelhante ao rotor real. A calbração aproxma as característcas dnâmcas do modelo numérco às característcas dnâmcas do modelo expermental. A Fgura 19 apresenta o rotor com a montagem utlzada na medção expermental e os equpamentos utlzados para realzar a medção estão apresentados na Fgura. motor mancal de deslzamento suporte dos sensores suporte dos sensores mancal de deslzamento acoplamento dsco dsco exo Fgura 19 - Rotor com a confguração utlzada para a medção. É mportante que se verfque através do modelo numérco as rotações crítcas e prncpalmente os modos de vbrar do rotor, a fm de evtar o posconamento dos sensores de medção em posções que formam nós em algum modo de vbrar que se quera controlar.

61 61 computador nversor de frequênca Placa de aqusção de dados fonte de potênca para os sensores Fgura - Montagem dos equpamentos de medção utlzados. Depos de verfcar o modelo numérco é necessára a montagem dos sensores de deslocamento no rotor. Estes devem ter a sensbldade bem calbrada para que o valor de ampltude meddo seja o valor real. A Fgura 1 apresenta em detalhe a montagem dos sensores e do mancal presentes no Rotorkt. Os parafusos de latão são lmtadores de deslocamento para que os sensores, localzados ao lado deles, não sejam prejudcados por deslocamentos excessvos. A geometra do rotor utlzada na parte expermental para verfcar as característcas dnâmcas está apresentada na Tabela 4. Tabela 4 - Geometra do rotor utlzado na medção. Comprmento Dâmetro Número Posção [mm] Materal [mm] [mm] Exo Aço Aço Dsco Aço Número Mancal Posção Rgdez Amortecmento [mm] [N/m] [Ns/m] Massa 45 5,e ,e+5 5 [kg]

62 6 sensor de deslocamento lmtadores de deslocamento mancal de deslzamento a) b) Fgura 1 - Detalhe a) dos sensores de deslocamento e b) do mancal do rotor. A geometra smplfcada do rotor está representada na Fgura. Fgura - Modelo numérco do rotor utlzado nas medções. Fonte: Imagem fornecda pela nterface em Matlab do Rotordn. O modelo numérco pode ser calbrado para a prmera frequênca natural utlzando-se o mapa de rgdez para o respectvo rotor. O mapa de rgdez é obtdo calculando-se as frequêncas naturas do rotor para uma determnada rotação, varando-se a rgdez dos mancas. O mapa de rgdez para o rotor utlzado está apresentado na Fgura 3 e para a rotação de 3 rpm a rotação crítca deve ser de 38,3 Hz, obtendo-se então uma rgdez para os mancas de N/m. O mapa de rgdez na Fgura 3 apresenta quatro curvas. As duas curvas nferores correspondem à frequênca de vbração do rotor dos prmeros dos modos de vbração, em sentdo backwards e sentdo forwards. As duas superores