IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DE UM BRAÇO FLEXÍVEL USANDO UMA TÉCNICA PARAMÉTRICA DO DOMÍNIO DO TEMPO

Transcrição

1 IDENTIFICAÇÃO EXPERIMENTAL DE UM BRAÇO FLEXÍVEL USANDO UMA TÉCNICA PARAMÉTRICA DO DOMÍNIO DO TEMPO Víctor Orlando Gamarra Rosado Mauro Hugo Mathas UNESP Campus de Guaratnguetá Departamento de Mecânca, CP 205 E-mal: Resumo. Este artgo trata da modelagem dnâmca e da dentfcação expermental de um braço flexível através de um método paramétrco do domíno do tempo. Este procedmento de dentfcação derva-se do método autoregressvo de médas móves - ARMA, o qual correlacona os parâmetros modas e os coefcentes do modelo. O equaconamento dnâmco reduzdo do braço obtém-se da formulação de Newton-Euler, junto com a teora elementar de vgas e o método de elementos fntos na modelagem do elo flexível. Aplca-se, através do atuador, um snal PRBS - pseudo random bnary sgnal, na exctação do braço, e obtêm-se as respostas do sstema através de extensômetros elétrcos colados no elo. Os resultados obtdos da dentfcação expermental, os quas são comparados com os teórcos, foram fundamentas na aplcação da estratéga de controle de modo a otmzar os níves de vbração na extremdade lvre do braço. Apresenta-se o protótpo expermental. Palavras-chave: Identfcação expermental, Técnca paramétrca do domíno do tempo, Modelagem dnâmca, Braço flexível, Robótca. 1. INTRODUÇÃO No controle de sstemas dnâmcos, freqüentemente tem-se dfculdades na obtenção do modelo físco do sstema. Na robótca, a estratéga de controle de um manpulador que opera lentamente pode desprezar os efetos da flexbldade estrutural, entretanto, no caso de manpuladores nos quas se requer maor velocdade de operação deve-se consderar estes efetos com a fnaldade de melhorar a performance do controle de posção da extremdade lvre do manpulador (Chang et al, 1991; Hollerbach, 1980; Sunada et al, 1983 e Gamarra-Rosado et al, 1996). Assm, estudos de establdade e do controle de estruturas flexíves tem sdo tratados com algortmos de dentfcação (Balas et al, 1990 e Srdhar et al, 1985). Neste trabalho, obtém-se o modelo dnâmco do manpulador flexível através da formulação Newton-Euler, junto com a teora elementar de vgas e com o método de elementos fntos. Isto, porque na prátca, permte lmtar o número fnto de coordenadas e sntetzar o controlador para ter uma performance adequada. A segur, descreve-se o protótpo expermental, e apresenta-se o procedmento de dentfcação utlzado na análse dos dados coletados, obtdos da exctação do braço. Este procedmento se basea no modelo ARMA - autoregressve movng average, o qual é um método paramétrco do domíno do tempo e com resultados muto confáves. E fnalmente, apresenta-se as conclusões segundo os resultados apresentados.

2 2. MODELAGEM DINÂMICA DO BRAÇO FLEXÍVEL O braço flexível consste de um atuador; o acoplamento, o qual é modelado como um corpo rígdo; e o elo de comprmento l, o qual é modelado como uma vga flexível. Utlza-se a formulação de Newton-Euler na obtenção do equaconamento dnâmco deste manpulador, e o método de elementos fntos para dscretzar a estrutura em n elementos de vga, o que resulta em n+1 pontos nodas. A massa dscretzada m está assocada ao -ésmo ponto nodal ( = 0,1,...,n); e a carga na extremdade lvre do manpulador pode ser adconada no n-ésmo ponto nodal, representada por m a. Consdera-se o sstema de coordenadas retangulares fxo (X,Y,Z) e o sstema de coordenadas móvel (x,y,z), com o exo z oposto à dreção da gravdade. A rotação do manpulador em torno do exo z é dada por θ(t), que defne o ângulo da junta; e a vga deformada é defnda pelo deslocamento U. Veja a Fg. (1). De esta formulação e da análse através do método de elementos fntos (Clough et al, 1982) a representação do modelo dnâmco no espaço de estados é dado por, x = Ax + Bu (1) Y m 0 m 1 m 2 m 3 m Acop. m n +m a n X r H comprmento X Y -U n Acop. τ θ U X Fgura 1. Confguração do braço flexível. onde, x=[ α α ] T ; = 0 I 0 θ A ; B = 1 M K M 1 N 1 ; α M U ; 0 0 K= 0 K ; 2 2 [ m(x U )] [ mx] [ mx] m I h + + M ( α) = ; N( α, α ) = θ [ mu] 0 θ [ 2mU] C

3 A entrada u é dada pela tensão, M e K são as matrzes de nérca e de rgdez, respectvamente, e N é a matrz não-lnear devdo aos esforços de Corols e as forças centrpetas, a qual consdera o amortecmento. 3. DESCRIÇÃO DO PROTÓTIPO EXPERIMENTAL O protótpo expermental do braço flexível, conforme a Fg. (2), consste bascamente do hardware de controle que se basea no mcrocontrolador do tpo HCTL-1100, de um atuador dado pelo motor-cc da MAXON, o qual tem agregado um encoder ncremental, de uma placa de potênca, e de uma barra flexível com carga na extremdade (Gamarra-Rosado et al, 1996). Fgura 2. Protótpo expermental. h = 25.4 (mm) e = 5.0 (mm) l = 300 (mm) Tabela 1. Propredades da barra de aço. : largura : espessura : comprmento E = 2, (N/m 2 ) : módulo de elastcdade de Young ρ = 0, (Kg/m 3 ) : densdade m a = 0,020 (Kg) : carga na extremdade A barra flexível é montada na posção horzontal, perpendcular ao exo do atuador. As característcas desta lamna de aço especal, com seção transversal retangular, são dadas na Tab. (1). Para a medda das deformações, foram colados extensômetros em dos pontos da barra flexível à dstânca de 0,105 m e a 0,190 m do exo do atuador. Em cada um dos pontos se formaram crcutos em mea ponte de Wheatstone, um em cada lado da barra. Os extensômetros utlzados são da KYOWA tpo KFG C1-11. Os snas dos extensômetros foram obtdos através de uma Ponte amplfcadora para extensometra Modelo AB-120/350 de dos canas, marca INTERFACE, os

4 quas passam pelo fltro ROBOTRON (Passa baxa), e foram coletados va placa A/D (analógcadgtal) modelo CAD12/35 da LYNX. Veja a Fg. (3). Acoplamento Extensômetros Carga Motor- CC Barra flexível Ponte Amplfcadora Encoder Amplfcador de potênca Fonte de Almentação HCTL Placa A/D PC 486/50 MHz Fltro ROBOTRON Fgura 3. Esquema geral do expermento. 4. PROCEDIMENTO DE IDENTIFICAÇÃO Na dentfcação de sstemas tem-se que levar em consderação o esforço computaconal e o número de parâmetros que descrevem o modelo, por sto, segundo o prncípo da plausbldade os parâmetros que o caracterzam devem ser o menor possível. O método utlzado neste trabalho (Mathas et al, 1994) se basea no dados de saída, o qual tem mportânca prátca para sstemas com entradas desconhecdas. O modelo autoregressvo de médas móves de ordem (p,q) denomnado modelo ARMA é descrto pela equação de dferenças, y(t) = a y(t 1) a y(t p) + x(t) + b x(t 1) b x(t q) (2) 1 p 1 q onde os coefcentes a p são relatvos à componente autoregressva, e os coefcentes b q são relatvos à componente das médas móves. O termo de médas móves contém componentes nãodetermnístcas do sstema. A forma polnomal do modelo ARMA é dada por, B(z) Y (z) = X(z) (3) A(z) onde, B(z) é um polnômo de ordem q defndo por, -1 -q B(z) = 1 + b1z bqz (4)

5 Uma vez estabelecdo o modelo de análse do sstema, os parâmetros são estmados. Neste procedmento os parâmetros foram obtdos através de um processo de estmação de dados em bloco (batch estmaton), ou seja, o modelo é atualzado a partr de um bloco de dados fxos. A estmação se basea em algortmos recursvos, os quas operam um bloco fxo de amostragens, onde um crtéro baseado na mnmzação de um funconal é otmzado para a obtenção da ordem do modelo. A ordem do modelo ótma fo obtda com base na mnmzação do valor médo quadrátco do erro dos resíduos, computados dos dados observados (meddos) e estmados (correlaconados). Este procedmento se aplca aos dados que foram coletados do sstema através dos extensômetros colados no elo flexível, descrto no ítem 3. A entrada utlzada para exctar o sstema é um snal PRBS - Pseudo random bnary sgnal, realzada através do atuador dado pelo motor-cc. 5. RESULTADOS A dentfcação fo processada através dos snas coletados va placa A/D. A segur, o snal de saída passa por um fltro passa baxa, ajustado na freqüênca de corte de 50 Hz. Optou-se por esta freqüênca de corte de forma a evtar os modos de vbrar acma de 50 Hz. Assm, aplcando-se este método para um modelo ARMA de ordem (8,6) obteve-se o segunte espectro da resposta conforme a Fg. (4). Fgura 4. Espectro do sstema. Estes resultados foram comparados com os resultados teórcos obtdos do modelo dnâmco, conforme a Tab. (2). Observa-se que exste pequena dferença, o qual deve-se provávelmente às smplfcações consderadas na modelagem do braço. Assm como, nas perturbações na nstrumentação que possam ter ocorrdo durante a coleta de dados e a rudos presentes nos snas meddos no sstema. 6. CONCLUSÕES Tabela 2. Resultados teórcos e expermentas do braço. Modos de vbrar Teórca Expermental Fator de amortecmento (Hz) 4.3 (Hz) (Hz) 27.6 (Hz) O trabalho apresenta o equaconamento matemátco de um braço flexível obtdo através da formulação de Newton-Euler, junto com a teora elementar de vgas. Também, apresenta uma técnca paramétrca no domíno do tempo na dentfção do protótpo. Com base nestes resultados,

6 bastante próxmos dos obtdos do modelo teórco, fo mplementado o controle de posção do braço robótco, evtando-se níves de vbração e melhorando a performance do controlador. 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Balas, G. and Doyle, J., 1990, "Identfcaton of flexble structures for robust control", IEEE Control Magazne. Chang, L. W. and Hamlton, J. F., 1991, "Dynamcs robotc manpulators wth flexble lnks", ASME J. Dyn. Sys., Meas., and Control, vol. 113, pp Clough, R. and Penzen, J., 1982, Dynamcs of structures. Mac Graw-Hll. Gamarra-Rosado, V. O., et. al., 1996, "Automaton and cybernetcs: Control of a flexble one-lnk manpulator", The Internatonal Journal of Systems & Cybernetcs - Kybernetes, vol. 25, n 5, pp Gamarra-Rosado, V. O., et. al., 1995, "Tp poston control wth hub poston correctons for a onelnk flexble manpulator", IFAC- Workshop on Human-Orented Desgn of Advanced Robotcs Systems - DARS'95, Venna, Sep , pp Hollerbach, J. M., 1980, "A recursve lagrangan formulaton of manpulator dynamcs and a comparatve study of dynamcs formulaton complexty", IEEE Trans. On Systems, Man. And Cybernetcs, vol. SMC-10, n 11, pp Mathas, M. H., Brandon, J. A. and Kurka, P. R. G., 1994, "Performance of ARMA algorthms on a tme seres from a smple vbratng system", Proceedngs of the 5 th Internatonal Conference on Structural Dynamcs, Unv. of Southampton, England, July 18-21, pp Srdhar, B., Aubrum, J. and Lorell, K., 1985, "Identfcaton experment for control of flexble structures", IEEE Control Magazne, n 5. Sunada, W. H. and Dubowsky, S., 1983, "On the dynamc analyss and behavor of ndustral robotc manpulators wth elastc members", ASME Journal of Mechansms, Transmssons and Automaton n Desgn, vol. 105, n 1, pp DIREITOS AUTORAIS Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do materal mpresso ncluído no seu trabalho. EXPERIMENTAL IDENTIFICATION OF A FLEXIBLE ARM USING A PARAMETRIC TIME DOMAIN TECHNIQUE Víctor Orlando Gamarra Rosado Mauro Hugo Mathas UNESP Campus de Guaratnguetá Departamento de Mecânca, CP 205 E-mal: vctor@feg.unesp.br mhm@feg.unesp.br Abstract. Ths paper s related to the dynamc modelng and the expermental dentfcaton of a flexble arm usng a parametrc tme doman technque. The dentfcaton procedures derve from the Auto Regressve Movng Average method - ARMA, whch hghlghtng the relatons between modal parameters and model coeffcents. The reduced analytcal dynamc equatons of the arm was obtaned usng the Newton-Euler's formulaton together wth the elementary beam theory based on the fnte element method. The arm was excted through the actuator by a PRBS sgnal and the response data were collected usng stran-gauges fxed n the lnk. The results from the dentfcaton were compared wth the theoretcal ones and were fundamental to apply a control

7 strategy to the system that optmze the level of vbraton at the end-effector of the arm. It s showed the expermental prototype. Keywords. Expermental dentfcaton, Parametrc tme doman technque, Dynamc modelng, Flexble arm, Robotcs.