Determinação da Energia de Deformação entre Imagens de Objectos utilizando a Resolução da Equação de Lagrange

Transcrição

1 Determnação da Energa de Deformação entre Imagens de Objectos utlzando a Resolução da Equação de Lagrange Raquel Ramos Pnho 1 João Manuel R. S. Tavares 1 Aluna de Doutoramento LOME Laboratóro de Óptca e Mecânca Expermental FEUP Faculdade de Engenhara da Unversdade do Porto R. Dr. Roberto Fras Porto Portugal E-mal: rpnho@fe.up.pt. Professor Auxlar DEMEGI Departamento de Engenhara Mecânca e Gestão Industral FEUP LOME E-mal: tavares@fe.up.pt Url: Palavras-chave: Métodos Numércos Equação Dnâmca de Equlíbro Objectos Deformáves Método dos Elementos Fntos Análse Modal Vsão Computaconal. Resumo A equação de Lagrange pode ser utlzada entre objectos representados em magens para smular fscamente a sua transformação. Assm dadas duas representações do mesmo objecto ou de dos objectos dstntos pode ser feta a estmação temporal (faseada) da sua transformação/deformação de uma forma coerente com as propredades físcas do materal vrtual utlzado na modelação e das cargas aplcadas sobre o modelo. Esta metodologa permte estmar a energa de deformação global e local envolvdas que podem traduzr a transformação/deformação representada. Abstract Lagrange s equaton can be used to physcally smulate the transformaton between objects represented n mages. Gven two mages of dfferent objects or dfferent mages of the same object a temporal estmaton of ther transformaton/deformaton can be made accordng to the propertes of the vrtual materal adopted and attendng to the charges appled on the bult model. Ths methodology allows the estmaton of the local and global stran energy nvolved whch can be used to translate the represented transformaton/deformaton. Introdução Anda que exsta um vasto trabalho de estmação do movmento entre objectos representados em magens nem sempre os resultados obtdos são coerentes com as propredades físcas dos objectos representados. A smulação físca da transformação/deformação sofrda entre os objectos representados em magens pode ser feta através da resolução da equação de Lagrange. Pressupondo a modelação físca dos objectos representados pelo Método dos Elementos Fntos utlzando ou elementos axas lneares [1 ] ou o elemento fnto soparamétrco de Sclaroff [3 ] e o estabelecmento de correspondêncas de parte dos nodos (dados pontuas) das duas formas utlza-se uma solução dnâmca para smular fscamente o campo de deslocamentos baseada na resolução da equação de Lagrange [3 4 5]. Para tal torna-se necessáro estmar alguns parâmetros uma vez que se admte que são desconhecdas quasquer nformações adconas acerca dos objectos representados ou da deformação em causa. Deste modo serão apresentadas as soluções encontradas para estmar o deslocamento e velocdade ncas assm como as cargas aplcadas. Neste artgo serão apresentados os modelos físcos empregues a metodologa consderada na determnação dos emparelhamentos um método de ntegração que pode ser utlzado na resolução numérca da equação de equlíbro assm como as soluções utlzadas para estmar o deslocamento e velocdade ncas e as cargas envolvdas na transformação (fgura 1). Também serão exemplfcados alguns resultados expermentas obtdos e as respectvas conclusões. A metodologa apresentada neste artgo pode ser utlzada entre formas dferentes do mesmo objecto ou entre objectos dstntos por exemplo para fazer o morphng (transformação faseada) segundo prncípos físcos reconstrução 3D a partr de cortes (magens D) segmentação etc.

2 Entrada Dados pontuas como nodos de um modelo de elementos fntos Construção do modelo físco t t t t MU + CU + KU = R Determnação das matrzes de massa e de rgdez para cada modelo fnto Determnação dos modos própros Kφ = ω Mφ Resolução do problema de valores/vectores própros generalzado de cada modelo Emparelhamento Análse dos deslocamentos nos respectvos espaços modas Saída Estmatva Obtenção de formas ntermédas atendendo às propredades físcas do materal vrtual Determnação do campo de deslocamentos Resolução da Equação Dnâmca de Equlíbro t t t t MU + CU + KU = R Estmar cargas aplcadas sobre nodos emparelhados ou não por análse modal Estmar deslocamento e velocdade ncas Fgura 1: Dagrama da metodologa adoptada para fazer o morphng segundo prncípos físcos. Elementos Fntos Utlzados Para modelar os objectos representados utlzamos o método dos elementos fntos com o elemento soparamétrco de Sclaroff ou com elementos axas lneares [1 ]. Utlzando-se o elemento fnto de Sclaroff o contorno delmta um objecto vrtual com propredades elástcas obtendo-se um modelo em tudo semelhante a uma membrana elástca. Já se for consderado um conjunto de elementos axas agrupados os pxels do contorno delmtam um modelo oco consttuído uncamente por lados que são os elementos fntos undmensonas. Desta forma com esta segunda modelação toda a contrbução do nteror do objecto é desprezada []. Quando a modelação de um objecto D é efectuada através de um elemento fnto soparamétrco D de Sclaroff não é necessára a exstênca de ordem dos pxels a utlzar como nodos do modelo; contudo quando a modelação é realzada utlzando-se elementos fntos axas lneares é necessáro determnar a ordem correcta dos mesmos de forma a se estabelecer o correcto agrupamento []. Neste caso para se obter a ordem adequada dos nodos é utlzado o algortmo D de Delaunay [6 ]. H (que O elemento soparamétrco de Sclaroff [3 ] para construr a matrz de proxmdade [ ] traduz as dstâncas entre os pontos do objecto) utlza as funções Gaussanas: onde /( σ ) X X g ( X) = e X é o centro de dmensão n das funções Gaussanas e σ é o desvo padrão que controla a nteracção entre os dados do objecto para construr as funções de nterpolação m h( X) = akgk( X) k = 1 dadas por: h onde ak são coefcentes tas que h tome valores não-nulos apenas no nodo e m é o número de pontos amostras do objecto. A dos coefcentes de nterpolação a pode ser determnada por nversão da matrz A matrz [ ] [ G ] defnda como: k

3 ( ) ( m ) g1 X1 g1 X [ G] =. gm ( X1) gm ( X ) m Deste modo a matrz de nterpolação do elemento soparamétrco de Sclaroff para um objecto bdmensonal será da forma: h1 hm 0 0 [ H( X) ] =. 0 0 h1 h m K prossegue usualmente resultando para A construção das matrzes de massa [ M ] e rgdez [ ] objectos D em [3 5]: [ M ] [ 0] aa [ M ] = onde M aa = ρπσ j aa k jl gkl [ 0] [ M ] aa kl [ K] [ K] aa ab πβ ( α + ξ ) [ K ] = onde K ˆ ˆ ab = K j ba = j ak ajl xkl ykl gkl [ K] [ K] ba bb 4σ kl x = x x y = y y ρ é a densdade do materal α β e ξ são funções do em que ˆkl ( k l ) ( ) ˆkl k l módulo de elastcdade de Young E e do coefcente de Posson υ : υ E ( 1 υ ) 1 υ α = β = e ξ =. 1 υ 1+ υ 1 υ 1 υ ( )( ) ( ) Amortecmento Neste trabalho utlzamos o amortecmento de Raylegh segundo o qual a matrz de C consste na combnação lnear das matrzes de massa e rgdez prevamente amortecmento [ ] determnadas [ C] ˆ α[ M] ˆ β[ ] = + K onde ˆα e ˆβ são respectvamente as constantes de massa e rgdez do amortecmento proporconal determnadas em função das fracções de amortecmento crítco [7 8]. Emparelhamento Modal O estabelecmento das correspondêncas entre os m e n nodos dos modelos ncal t e objectvo t +1 respectvamente é feto através da resolução do problema de valores própros generalzado de cada um K Φ = M Φ Ω onde (para um modelo D com m nodos): [ ][ ] [ ][ ][ ] ω1 0 T T T T [ Φ ] = [ φ1 φm ] = u 1 um v1 v T m e [ Ω ] = 0 ω m φ descreve o deslocamento ( uv ) dos nodos devdo a esse modo e na matrz dagonal [ Ω ] os quadrados das frequêncas de vbração são ordenados de forma onde o vector de forma do modo { } crescente. Construídas as matrzes modas [ Φ t ] e [ Φ t+1] para os modelos t e t + 1 respectvamente as correspondêncas obtém-se por comparação dos deslocamentos de cada nodo nos respectvos espaços modas. Assm é construída uma matrz de afndades [ Z ] cujos elementos são dados por: Z = u u + v v j 1 j 1 j onde os melhores emparelhamentos são ndcados pelos mínmos na sua lnha e na sua coluna [].

4 Método de Newmark Exstem város métodos numércos de ntegração que podem ser utlzados na resolução da equação de Lagrange. Neste artgo apenas apresentamos o método de Newmark. O método de Newmark resumdamente é um método de segunda ordem cujas aproxmações da velocdade e do deslocamento em cada nstante são dadas respectvamente por: t+ t t t t+ t { U } = { U } + ( 1 δ){ U } + δ{ U } t t+ t t t 1 t t+ t { U } = { U } + { U } t+ α { U } + α{ U } t onde α e δ são parâmetros que controlam a exactdão e precsão de resultados [7]. Substtundo o sstema anteror na equação dnâmca de equlíbro obtém-se o esquema resolutvo utlzado neste trabalho. Cargas Aplcadas As cargas aplcadas sobre os nodos emparelhados foram estmadas neste trabalho como sendo proporconas ao deslocamento total pretenddo utlzando uma constante k comum a todas as componentes do vector { R } nodos: R () = k( X X ) t+ 1 j onde R( ) representa a -ésma componente do vector de cargas quando é um nodo emparelhado X representa as coordenadas do nodo na forma l l ). Para os nodos não emparelhados (fgura ) utlzamos: DT D B R () = k ( Xt+ 1 B' X1 ) B' todos os DT nodos entre A' e C' onde D T representa a soma das dstâncas de todos os nodos envolvdos no cálculo do vector de cargas para o nodo não emparelhado e D B representa a dstânca do cada par de nodos não emparelhados. A C B Fgura : Solução adoptada para estmar as cargas a aplcar quando A é emparelhado com A C com C e B é um nodo não emparelhado. Deslocamento e Velocdade Incas Para o arranque do processo resolutvo apresentado é necessáro o deslocamento e velocdade ncas. A solução encontrada neste trabalho consste em aproxmar o deslocamento ncal em função do deslocamento pretenddo controlado por uma constante c u (entre 0.0 e 1.0): 0 U () = c ( X X ) (7) u t+ 1 t onde U 0 () representa a -ésma componente do vector deslocamento ncal. De modo análogo a 0 velocdade ncal é calculada em função do deslocamento ncal por U 0 () = cvu () onde c V é uma constante a defnr. Para os nodos não emparelhados utlzamos: 0 c U 0 U () = R() se k 0 e U () = 0 se k = 0. k Resultados Expermentas Apresentaremos de seguda alguns dos resultados expermentas obtdos outros exemplos podem ser encontrados em [5]. Todas as magens apresentadas neste trabalho ncluem os nodos das formas ncal e objectvo (não lgados por segmentos de recta). Os resultados obtdos estão representados numa escala de cnzentos por ntensdade das cargas aplcadas ou pela ntensdade da energa de deformação global ou local (unndo os nodos obtdos em cada teração por segmentos de A C

5 recta) correspondendo a valores menos ntensos (de forças ou energa) níves mas escuros de cnzento. Na paragem da resolução da equação de Lagrange utlzamos um crtéro de equlíbro (cargas aplcadas quase nulas) e também um crtéro de proxmdade (paragem determnada pela aproxmação da forma fnal). O crtéro de proxmdade utlza muto menos terações já que com ntensdades de cargas adequadas as formas ntermédas obtdas aproxmam-se da forma objectvo satsfatoramente. Consderando as formas ncal A e objectvo B (fgura 3) modeladas pelo elemento soparamétrco de Sclaroff pode ser atngdo o equlíbro em 6407 terações (fgura 4). Consderando as formas ncal C e fnal D emparelhadas conforme ndcado na fgura 5 utlzando elementos axas lneares na modelação a deformação pode ser smulada em 33 terações se se utlzar um crtéro de paragem que permte a pausa do processo quando se obtém uma aproxmação dos nodos da forma fnal a 35 pxels (a que corresponde uma aproxmação méda de 8.7 pxels por cada nodo) como se pode verfcar na fgura 6. As formas ntermédas estmadas nas fguras 4 e 6 estão representadas por ntensdades das cargas aplcadas verfcando-se que a ntensdade das cargas aplcadas será tanto maor quanto mas afastados estverem os resultados obtdos das formas objectvo. B A D C Fgura 3: Emparelhamento entre as formas A e B. Fgura 4: Formas ntermédas obtdas com o crtéro de equlíbro quando se utlza o elemento soparamétrco de Sclaroff. Fgura 5: Emparelhamento entre as formas C e D. Fgura 6: Formas ntermédas obtdas com o crtéro de paragem quando se utlzam elementos axas lneares. Consderando os contornos ncal E e objectvo F (fgura 7) e a modelação por ntermédo do elemento soparamétrco de Sclaroff obtvemos as formas ntermédas representadas na fgura 8 até à aproxmação de cada nodo emparelhado da forma objectvo a.4 pxels. Assm notamos que a energa de deformação global envolvda aumenta com a aproxmação do contorno objectvo pelo facto do deslocamento estmado entre terações r aumentando. De modo nteramente análogo justfca-se que a energa de deformação local é tanto maor quanto maor o deslocamento entre terações de cada nodo como se pode ver pela fgura 10 (onde estão representados os contornos ncal G e objectvo H cujos nodos são emparelhados conforme ndcado na fgura 9). F E H G Fgura 7: Emparelhamento entre as formas E e F. Fgura 8: Formas ntermédas representadas por energa de deformação global. Fgura 9: Emparelhamento entre as formas G e H. Fgura 10: Prmeras formas ntermédas obtdas representadas por energa de deformação local.

6 Conclusões Neste trabalho apresentamos uma metodologa físca para estmar a transformação/deformação exstente entre objectos representados em magens. Pressupondo a modelação físca dos objectos por ntermédo do método dos elementos fntos utlzando ou o elemento fnto soparamétrco de Sclaroff ou elementos axas lneares agrupados e o estabelecmento de correspondêncas de parte dos nodos das duas formas conseguda neste trabalho através da análse dos deslocamentos de cada nodo no respectvo espaço modal recorreu-se à resolução da equação de Lagrange para smular fscamente o campo de deslocamentos entre as formas dadas e assm avalar a energa de deformação global e local envolvdas. Para proceder à resolução da equação dnâmca de equlíbro fo necessáro estmar alguns parâmetros como as cargas aplcadas o deslocamento e velocdade ncas. Estmamos a carga aplcada sobre cada nodo não emparelhado como uma força resultante que consste na méda ponderada das forças que atraem esse ponto para os nodos da forma fnal compreenddos entre os nodos que correspondem aos nodos emparelhados adjacentes a esse ponto (solução baseada no crtéro de vznhança). O deslocamento ncal pode ser proporconal ao deslocamento total pretenddo e a velocdade ncal é obtda ao afectar de uma constante o deslocamento ncal. Analsando a nfluênca dos parâmetros envolvdos na metodologa apresentada chegamos a conclusões que vão de encontro às expectatvas ntutvas o que é justfcado pelo facto da referda metodologa se fundamentar em prncípos físcos. Na modelação utlzamos o elemento soparamétrco de Sclaroff e elementos axas lneares verfcando-se que os modelos construídos pelos elementos fntos axas serem geralmente mas flexíves e menos densos o que pode dfcultar a convergênca para a forma objectvo quando se faz a smulação da deformação representada. Quanto às cargas aplcadas sobre cada nodo confrmou-se que seram tanto mas ntensas quanto maor a dstânca aos nodos correspondentes da forma objectvo. A energa de deformação quer global quer local revela-se tanto maor quanto maor o deslocamento entre terações e o valor total da mesma pode servr para comparar as deformações dadas. Em [5] pode ser encontrada uma análse à nfluênca dos outros factores envolvdos nesta metodologa como sendo a constante de rgdez global que controla a ntensdade das cargas aplcadas ncalmente o deslocamento e velocdade ncas o amortecmento o materal vrtual utlzado para modelar os objectos o sgma Gaussano das funções de forma do elemento soparamétrco de Sclaroff e anda a comparação entre os métodos de ntegração numérca da Dferença Central de Newmark e de Sobreposção de Modos. No futuro este trabalho deverá ser expanddo para formas trdmensonas e podem mplementar-se opções que permtam por exemplo adequar entre terações a ntensdade das cargas aplcadas ou o passo de tempo utlzado. Também no futuro a metodologa proposta deverá ser aplcada em exemplos concretos e nteressantes com a consequente valdação. Referêncas [1] L. Merovtch Elements of Vbraton Analyss Mcgraw-Hll [] J. Tavares Tese de Doutoramento: Análse de Movmento de Corpos Deformáves usando Vsão Computaconal FEUP 000. ( [3] S. Sclaroff PhD Thess: Modal Matchng: A Method for Descrbng Comparng and Manpulatng Dgtal Sgnals MIT [4] C. Nastar PhD Thess: Modèles Phsques Déformables et Modes Vbratores pour l Analyse du Mouvement non-rgde dans les Images Multdmensonnelles L École Natonale des Ponts et Chaussées [5] R. Pnho Dssertação de Mestrado: Determnação do Campo de Deslocamentos a partr de Imagens de Objectos Deformáves FCUP FEUP Unversdade do Porto 00. [6] V. Foley H. Fener Computer Graphcs Addson-Wesley [7] K. Bathe Fnte Element Procedures Prentce-Hall [8] R. Cook D. Malkus M. Plesha Concepts and Applcatons of Fnte Element Analyss Wley 1989.