ANÁLISE ESTATÍSTICA DE CORRELAÇÕES PVT DE PETRÓLEOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO ROGRAMA DE ÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA GARBEN BRAVIM GOMES ANÁLISE ESTATÍSTICA DE CORRELAÇÕES VT DE ETRÓLEOS VITÓRIA 8

2 GARBEN BRAVIM GOMES ANÁLISE ESTATÍSTICA DE CORRELAÇÕES VT DE ETRÓLEOS Dssertação apresentada ao rograma da ós-graduação em Engenhara Mecânca da Unversdade Federal do Espírto Santo, como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Orentador: rof. Dr. Márco Coelho de Mattos. VITÓRIA 8

3 Dados Internaconas de Catalogação-na-publcação (CI) (Bbloteca Central da Unversdade Federal do Espírto Santo, ES, Brasl) G633a Gomes, Garben Bravm, 98- Análse estatístca de correlações VT de petróleos / Garben Bravm Gomes f. : l. Orentador: Márco Coelho de Mattos. Dssertação (mestrado) Unversdade Federal do Espírto Santo, Centro Tecnológco.. Correlação (Estatístca).. Reservatóros. 3. etróleo - Análse. I. Mattos, Márco Coelho de. II. Unversdade Federal do Espírto Santo. Centro Tecnológco. III. Título. CDU: 6

4 GARBEN BRAVIM GOMES ANÁLISE ESTATÍSTICA DE CORRELAÇÕES VT DE ETRÓLEOS Dssertação apresentada ao rograma da ós-graduação em Engenhara Mecânca do Centro Tecnológco da Unversdade Federal do Espírto Santo, como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Aprovada em 8 de outubro de 8. COMISSÃO EXAMINADORA rof. Dr. Márco Coelho de Mattos Unversdade Federal do Espírto Santo - orentador rof. Dr. Dens José Schozer Unversdade Estadual de Campnas rof. Dr. João Luz Marcon Donatell Unversdade Federal do Espírto Santo

5 À mnha famíla, por todo o apoo e estímulo dado ao longo da mnha vda. Ao Johannes, um grande companhero nos últmos anos.

6 AGRADECIMENTOS A Deus pela vda. Ao rof. Dr. Márco Coelho de Mattos, do Departamento de Engenhara Mecânca da UFES, pelo apoo, estímulo, orentação e, sobretudo, por ter acredtado e apostado no meu desempenho no rograma. À Unversdade Federal do Espírto Santo UFES e ao rograma de ós-graduação em Engenhara Mecânca GEM pela oportundade de cursar o Mestrado. À Coordenação de Aperfeçoamento de essoal de Nível Superor CAES pela bolsa de estudos que me fo concedda. Ao rof. Dr. Oldrch Joel Romero, do Departamento de Engenhara e Cêncas Exatas do Centro Unverstáro Norte do Espírto Santo - CEUNES/UFES pelo auxlo e colaboração no desenvolvmento deste trabalho. Ao Johannes que me ncentvou e ajudou de dversas maneras durante o curso. Aos amgos que tornaram esta jornada mas agradável e dvertda. À Zezé, secretára do GEM, que sempre nos atende com carnho e um grande sorrso.

7 Quanto mas aumenta nosso conhecmento, mas evdente fca nossa gnorânca. (John Kennedy)

8 v RESUMO Uma estmação precsa do comportamento do reservatóro é necessára para a avalação das reservas de hdrocarbonetos, prevsão de desempenho futuro desenvolvmento das nstalações de produção e planejamento de métodos efcazes de recuperação de óleo. No entanto, a medção de todas as propredades do petróleo durante a operação de um poço exploratóro é nvável por causa do tempo demandado para a completa caracterzação. O problema é contornado com a medção de algumas propredades, a partr das quas se estmam outras. Com esta fnaldade dversos modelos foram desenvolvdos nos últmos anos para relaconar, de forma efcente, as propredades do fludo do reservatóro como, por exemplo, fator volume de formação, razão de solubldade, pressão de saturação, temperatura, grau AI, densdade etc. Estes modelos são conhecdos na lteratura e ndústra como correlações VT, dentre as quas as mas conhecdas são de Standng, Glaso e Vazquez-Beggs. Dversas modfcações dessas correlações têm sdo ntroduzdas nos últmos anos por De Ghetto, Al Marroun, etrosky, dentre outros. Neste trabalho apresentamos, com aplcação de um ferramental estatístco adequado, uma análse destas das correlações VT que estmam a pressão de saturação propostas por Standng, Glaso e Vazquez-Beggs. Os dados expermentas utlzados são os apresentados por De Ghetto et al. (995). alavras chaves: Correlações, ropredades VT, Reservatóros de etróleo.

9 v ABSTRACT A precse estmaton of a reservor behavor s very mportant for the correct evaluaton of hydrocarbons amount, predcton of the performance, development of producton facltes and plannng of effcent recuperaton methods. But drect evaluaton of all petroleum propertes s not vable durng operaton of an exploratory well bore. Ths problem s solved by estmatng some propertes from others whose evaluaton n laboratory s easer. Several correlatons were proposed and commented n the lterature for correlatng ol formaton volume factor, solublty rato, bubble pont pressure, reservor temperature, ol gravty, gas gravty, and so on. These models have been nomnated VT correlatons, although sometmes the nclude some non VT propertes as ol and gas vscosty. The most famous correlatons s that proposed by Standng, Glaso and Vazquez-Beggs, whch have been modfed by other researchers as, for example, De Gheto, Al Marroun and etrosky. In ths work, we present statstcal analyss of some correlatons (for bubble pont pressure estmaton) for Standng, Glaso and Vazquez-Beggs correlatons. The expermental data are that presented by De Gheto n 995. Keywords: Correlaton, VT propertes, etroleum reservor.

10 x LISTA DE TABELAS Tabela. - Resumo das prncpas Correlações VT de petróleo propostas nas últmas décadas e utlzadas na ndústra do petróleo... 4 Tabela. - Tabela ANOVA para testar a sgnfcânca da regressão... 7 Tabela 3. - Lmtes usados no desenvolvmento das correlações de Standng... 9 Tabela 3. - Lmtes usados no desenvolvmento das correlações de Glaso... 3 Tabela Lmtes usados no desenvolvmento das correlações de Vazquez- Beggs... 3 Tabela Valores dos coefcentes C, C e C 3 que compõem a Correlação de Vazquez-Beggs Tabela 4. - arâmetros re-estmados para a correlação de Standng... 4 Tabela 4. - Desvos percentuas dos parâmetros re-estmados com perturbação em relação aos parâmetros re-estmados sem perturbação para a correlação de Standng... 4 Tabela arâmetros re-estmados para a correlação de Glaso Tabela Desvos percentuas dos parâmetros re-estmados com perturbação em relação aos parâmetros re-estmados sem perturbação para a correlação de Glaso Tabela arâmetros re-estmados para a correlação de Vazquez-Beggs lnearzada Tabela Desvos percentuas dos parâmetros re-estmados com perturbação em relação aos parâmetros re-estmados sem perturbação para a correlação de Vazquez-Beggs lnearzada... 5 Tabela arâmetros re-estmados para a correlação de Vazquez-Beggs... 5 Tabela Desvo percentual dos parâmetros re-estmados com perturbação em relação aos parâmetros re-estmados sem perturbação para a correlação de Vazquez-Beggs... 5 Tabela 5. - Estatístcas referentes aos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas sem perturbações pelas equações de Standng, Glaso e Vazquez-Beggs em relação à pressão de saturação fornecda por De Ghetto (995)... 6

11 x LISTA DE FIGURAS Fgura. - adrões de comportamento para gráfcos de resíduos: (a) satsfatóro, (b) funl, (c) arco duplo, (d) não lnear... Fgura 4. - Dagrama esquemátco da análse da robustez das correlações Fgura 4. - Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Standng para erro de até % nas varáves ndependentes... 4 Fgura Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Standng com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro Fgura Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Standng para erro de até % nas varáves ndependentes Fgura Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Standng com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro Fgura Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Glaso para erro de até % nas varáves ndependentes Fgura Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Glaso com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro Fgura Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Glaso para erro de até % nas varáves ndependentes Fgura Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Glaso com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro Fgura 4. - Fgura 4. - Fgura 4. - Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Vazquez-Beggs para erro de até % nas varáves ndependentes... 5 Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Vazquez-Beggs com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro... 5 Dstrbução dos resíduos para a pressão de saturação calculada através da correlação de Vazquez-Beggs para erro de até % nas varáves ndependentes... 53

12 x Fgura Dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas através da correlação de Vazquez-Beggs com até % de erro nas varáves ndependentes em relação à sem erro Fgura 5. - Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em R s em relação às calculadas sem erro... Fgura 5. - Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em R s em relação às calculadas sem erro... Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em g e gs em relação às calculadas sem erro... Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em g e gs em relação às calculadas sem erro Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em AI em relação às calculadas sem erro Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em AI em relação às calculadas sem erro Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em T em relação às calculadas sem erro Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas com erro de até % de erro em T em relação às calculadas sem erro Fgura Comparação entre os autores da dstrbução dos desvos percentuas das pressões de saturação calculadas sem erro em relação à pressão de saturação apresentada por De Ghetto (995)... 6

13 x LISTA DE SÍMBOLOS b : pressão de saturação, psa. R s : razão de solubldade de gás no óleo, scf/stb. g : densdade do gás (ar = ). AI : grau AI, densdade relatva do óleo. T : temperatura do reservatóro, F. B o : fator volume de formação do óleo, bbl/stb. y : varável dependente, ou resposta. x j : varável ndependente, ou regressora. j : parâmetros a serem estmados através de regressão lnear. : componente de erro aleatóro. L : função de mínmos quadrados. ˆ j : estmador de mínmos quadrados de j. ŷ : estmatva da varável dependente. e : erro ou resíduo do modelo de regressão. SQ E : soma dos quadrados dos resíduos. : varânca. ˆ : estmador da varânca. MQ E : méda quadrátca dos resíduos. MQ R : méda quadrátca de regressão. SQ R : soma dos quadrados de regressão. SQ T : soma dos quadrados totas. R : coefcente de determnação múltpla. j FIV ˆ : fator de nflação da varânca para ˆ j. j : parâmetros a serem estmados através de regressão não lnear. S SS : soma dos quadrados dos erros do modelo de regressão não lnear. : soma dos quadrados dos erros do modelo de regressão não lnear lnearzado através de métodos nteratvos.

14 x j : parâmetros a serem estmados através de regressão não lnear. θˆ : vetor dos parâmetros estmados através de regressão não lnear. Var θˆ : estmatva da matrz de covarânca assntótca do vetor de parâmetros θˆ. bs: pressão de saturação calculada através de correlação de Standng, psa. bg: pressão de saturação calculada através de correlação de Glaso, psa. bvb : pressão de saturação calculada através de correlação de Vazquez-Beggs, psa. : pressão do reservatóro, psa. o : densdade do óleo (água = ). gs: densdade do gás consderando a pressão no separador de 4,7 psa. gp: a densdade do gás obtda para o separador nas condções de sp e T sp. sp: pressão no separador, psa. T sp : temperatura no separador, F. D(bs): desvos percentuas da pressão de saturação calculada com erro nas varáves ndependentes em relação à calculada sem erro através das correlações de Standng. D(bg): dem, através das correlações de Glaso. D(bvb): dem, através das correlações de Vazquez-Beggs. D(b): desvo percentual da pressão de saturação calculadas sem perturbações pelas equações de Standng, Glaso ou Vazquez-Beggs em relação à pressão de saturação fornecda por De Ghetto (995).

15 xv SUMÁRIO. INTRODUÇÃO..... RINCIAIS CORRELAÇÕES DE RORIEDADES VT..... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE AS CORRELAÇÕES ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO MOTIVAÇÃO DO TRABALHO OBJETIVOS ESTRUTURA DO TRABALHO.... ANÁLISE DE REGRESSÃO ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR Estmação dos parâmetros por mínmos quadrados Testes de hpótese e estmação ntervalar Meddas de adequação do modelo Análse dos resíduos Coefcente de determnação múltpla Multcolneardade..... ANÁLISE DE REGRESSÃO NÃO LINEAR Método de Levenberg-Marquardt Obtenção da matrz de covarâncas assntótcas dos parâmetros estmados ropredades assntótcas dos estmados de mínmos quadrados ANÁLISE DAS RINCIAIS CORRELAÇÕES ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO DE ETRÓLEO ALICADA NA INDÚSTRIA CORRELAÇÃO DE STANDING CORRELAÇÃO DE GLASO CORRELAÇÃO DE VAZQUEZ-BEGGS DEMONSTRAÇÃO DA NÃO-UNICIDADE DE SOLUÇÃO ARA A CORRELAÇÃO DE GLASO ANÁLISE ESTATÍSTICA DAS RINCIAIS CORRELAÇÕES ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO DE ETRÓLEO ALICADA NA INDÚSTRIA DADOS DISONÍVEIS... 36

16 xv 4.. ROCEDIMENTO DE ANÁLISE ALICAÇÃO À CORRELAÇÃO DE STANDING ALICAÇÃO À CORRELAÇÃO DE GLASO ALICAÇÃO À CORRELAÇÃO DE VAZQUEZ-BEGGS ANÁLISE COMARATIVA DOS RESULTADOS DAS CORRELAÇÕES ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO DE ETRÓLEO ALICADA NA INDÚSTRIA CONCLUSÕES... 6 REFERÊNCIAS AÊNDICES AÊNDICE A DADOS EXERIMENTAIS UTILIZADOS AÊNDICE B GRÁFICOS E RINCIAIS RESULTADOS ARESENTADOS ELO SOFTWARE SSS.5 REFERENTES ÀS ANÁLISES DE REGRESSÃO NÃO LINEAR DA CORRELAÇÃO VT DE STANDING ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO AÊNDICE C GRÁFICOS E RINCIAIS RESULTADOS ARESENTADOS ELO SOFTWARE SSS.5 REFERENTES ÀS ANÁLISES DE REGRESSÃO NÃO LINEAR DA CORRELAÇÃO VT DE GLASO ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO AÊNDICE D GRÁFICOS E RINCIAIS RESULTADOS ARESENTADOS ELO SOFTWARE SSS.5 REFERENTES ÀS ANÁLISES DE REGRESSÃO NÃO LINEAR DA CORRELAÇÃO VT DE VAZQUEZ-BEGGS ARA RESSÃO DE SATURAÇÃO...

17 . INTRODUÇÃO O petróleo é consttuído por uma mstura de grande quantdade de hdrocarbonetos e pequenas quantdades de não hdrocarbonetos como enxofre, ntrogêno, oxgêno e hélo denomnados de elementos secundáros. As propredades físcas e químcas do óleo cru (petróleo em seu estado bruto) varam consderavelmente dependendo da concentração dos város tpos de hdrocarbonetos e de elementos secundáros. Uma descrção precsa das propredades físcas do óleo cru é de consderável mportânca especalmente no estudo de reservatóros de petróleo. As propredades físcas de prncpal nteresse em estudos de engenhara de petróleo são: - densdade de gás na solução; - densdade do óleo; - razão de solubldade, - pressão de saturação; - fator volume de formação (de óleo e de gás); - fator volume de formação total; - coefcente de compressbldade do óleo; - vscosdade do óleo; - vscosdade do gás; - massa específca do óleo; - tensão superfcal (ou nterfacal no caso de dos líqudos). As nformações sobre a maor parte destas propredades dos fludos são geralmente determnadas através de expermentos laboratoras realzados em amostras obtdas de um reservatóro real. ara sso, as amostras retradas do poço devem manter as condções do fludo as mas próxmas possíves daquelas do reservatóro. Na maora dos reservatóros de petróleo, as propredades dos fludos nas condções de superfíce dferem consderavelmente daquelas encontradas nas condções de reservatóro, uma vez que no reservatóro o óleo está submetdo a altas temperaturas e pressões.

18 A medção de todas as propredades do petróleo durante a operação de um poço exploratóro é nvável por causa do tempo demandado para a completa caracterzação, além dos altos custos que envolvem tas medções. O problema é contornado com a medção de algumas propredades, a partr das quas estmam-se outras. Assm, na ausênca de meddas expermentas, as propredades do óleo são determnadas através de correlações empírcas, conhecdas como correlações VT. O termo VT (pressão-volume-temperatura) é usado para descrever o conjunto de medções que devem ser fetas para determnar a mudança do volume com a varação da pressão e temperatura. De acordo com De Ghetto et al. (995, p.647), o deal é que as propredades dos fludos sejam determnadas a partr de estudos laboratoras em amostras coletadas do fundo do poço ou da superfíce. No entanto, os dados expermentas nem sempre estão dsponíves, por causa de uma ou mas destas razões: a) as amostras coletadas não são confáves, b) as amostras não foram tomadas para reduzr custos, c) análses VT não estão dsponíves quando são necessáras. Essa stuação freqüentemente ocorre na nterpretação de testes de produção na exploração de poços. As correlações VT são mportantes ferramentas em tecnologa de reservatóro. As estmatvas obtdas através das correlações VT formam a base para a avalação das reservas de hdrocarbonetos, prevsão de desempenho futuro, desenvolvmento das nstalações de produção e planejamento de métodos efcazes de recuperação de óleo, além de serem necessáras para o cálculo da efcênca de recuperação de um reservatóro. or sso, é muto mportante que tas estmatvas sejam tão precsas o quanto possível... RINCIAIS CORRELAÇÕES DE RORIEDADES VT Com a fnaldade de estmar propredades de petróleo a partr de meddas expermentas de outras, dversos modelos foram desenvolvdos nos últmos anos para relaconar, de forma efcente, as propredades do reservatóro fludo como, por exemplo, pressão de saturação, razão de solubldade, fator volume de formação, temperatura, grau AI, densdade etc. Estes modelos são conhecdos na lteratura e ndústra como correlações VT, dentre as quas as mas conhecdas são de Vazquez-Beggs, Standng e Glaso. Com a fnaldade de tornar as correlações mas

19 3 precsas, nos últmos anos dversas modfcações têm sdo propostas a essas correlações por De Guetto, Al Marroun, etrosky-farshad, dentre outros. A Tabela. resume as prncpas correlações VT de petróleos propostas nas últmas décadas e utlzadas na ndústra do petróleo. Como são mutas as correlações VT propostas na lteratura, esse trabalho se restrngrá a estudar as correlações propostas por Standng, Glaso e Vazquez-Beggs para estmar a pressão de saturação. Tas correlações serão apresentadas no Capítulo 3. Os autores Standng, Glaso e Vazquez-Beggs foram escolhdos por suas correlações já terem sdo exaustvamente estudadas e por dversas modfcações e novas correlações terem sdo sugerdas a partr de estudos das mesmas. Optamos pelo estudo das correlações que estmam a pressão de saturação por ser uma propredade que causa um efeto sgnfcatvo nas correlações VT. A pressão de saturação b de um sstema de hdrocarbonetos é defnda como a mas alta pressão em que uma prmera bolha de gás é lberada do óleo (AHMED,, p. 86). Ou seja, é a pressão na qual o óleo está saturado de gás. ara pressões maores ou superores à pressão de saturação, o petróleo encontra-se % na fase líquda. Quando a pressão está nferor à pressão de saturação o gás é lberado do óleo, resultando em fluxo bfásco. or sso a pressão de saturação tem um efeto sgnfcatvo sobre as correlações VT, marcando uma mudança drástca e uma descontnudade nas correlações. Como as outras propredades a pressão de saturação pode ser medda expermentalmente e na ausênca dessas meddas é necessáro estmá-las. Dversos gráfcos e correlações para determnar b foram desenvolvdos e propostos durante décadas, assumndo que a pressão de saturação é uma função da razão de

20 4 solubldade R s, da densdade do gás temperatura T, ou seja, f R,, AI T. b s g, g, da densdade do óleo em ºAI, e da Tabela. - Resumo das prncpas Correlações VT de petróleos propostas nas últmas décadas e utlzadas na ndústra do petróleo. Autor e Ano Standng (947/98) Glaso (98) Vazquez-Beggs (98) Correlações VT ropostas Comentáros sobre as amostras - ressão de saturação; - Razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás. - 5 amostras de sstemas de óleos da Calfórna. - ressão de saturação; - Razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás amostras de óleo do Mar do Norte. - ressão de saturação e razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás e sub-saturado; - Coefcente de compressbldade do óleo saturado de gás e sub-saturado; - Vscosdade do óleo sub-saturado. - 6 análses VT laboratoras de óleos de váras partes do Mundo. Ng & Egbogah (983) - Vscosdade do óleo morto; - Vscosdade do óleo morto, usando a temperatura mínma na qual óleo mantém as propredades de um fludo; - Vscosdade do óleo saturado de gás e sub-saturado sstemas de óleos de reservatóros de AGAT Engneerng Ltd. Khan, Al-Mahoun, Duffuaa & Abu-Khamsn (987) Al-Mahoun (988) etrosky & Farshad (993) - Vscosdade do óleo na pressão de saturação; - Vscosdade do óleo acma da pressão de saturação; - Vscosdade do óleo abaxo da pressão de saturação amostras de 65 reservatóros da Arába Saudta. - ressão de saturação; - Razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás amostras de 69 reservatóros de óleo do Orente Médo. - ressão de saturação; - Razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás; - Coefcente de compressbldade do óleo saturado de gás; - 8 análses laboratoras VT de óleos de campos offshore do Texas e Lousana (Contnua)

21 5 Tabela. - Resumo das prncpas Correlações VT de petróleos propostas nas Autor e Ano De Ghetto, aone & Vlla (995) Hanafy, Macary, El Nady, Bayom e Batanony (997) Velarde, Blasngame e McCan Jr. (999) últmas décadas e utlzadas na ndústra do petróleo (contnuação). Correlações VT ropostas Comentáros sobre as amostras (Conclusão) - ressão de saturação (Standng modfcada); - Razão de solubldade (Standng modfcada); - Razão de solubldade (Vazquez-Beggs modfcada); - Compressbldade (Vazquez-Beggs modfcada); - Vscosdade do óleo morto (Egbogah-Jack modfcada); - Vscosdade do óleo saturado (Kartoatmodjo modfcada); - Vscosdade do óleo sub-saturado (Labeld e Kartoatmodjo modfcadas) amostras de óleos pesados e extrapesados do Medterrâneo, Áfrca e Golfo érsco. - ressão de saturação; - Razão de solubldade (para pressões abaxo de 57,8 ps); - Fator volume de formação do óleo saturado de gás; - Coefcente de compressbldade do óleo saturado de gás; - Vscosdade do óleo; - Massa específca do óleo saturado de gás e sub-saturado amostras de 3 reservatóros de váras regões do Egto (Golfo de Suez, Deserto Ocdental e regões do Sna). - ressão de saturação; - Razão de solubldade; - Fator volume de formação do óleo saturado de gás análses VT. Fontes: FEKETE (8), Ahmed () e De Ghetto et al. (995)... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA SOBRE AS CORRELAÇÕES ARA A RESSÃO DE SATURAÇÃO A revsão bblográfca deste trabalho se foca em artgos que versem sobre correlações que estmam a pressão de saturação do óleo, uma vez que são estas as correlações estudadas ao longo deste trabalho. Como o acesso a alguns artgos muto antgos nem sempre é possível, fo utlzado como base para esta revsão o artgo de Al-Shammas (). Desde a década de 4 os engenheros de reservatóro têm percebdo a mportânca do desenvolvmento de correlações empírcas para propredades VT.

22 6 Em 947, foram publcadas por Standng correlação para pressão de saturação, desenvolvdas a partr de 5 amostras de sstemas de óleos da Calfórna. A correlação é em função da razão de solubldade ( R ),densdade do gás ( g ), grau AI ( AI ) e temperatura do reservatóro (T ). As correlações de Standng foram as prmeras correlações a utlzar estes quatro parâmetros, que agora são comumente utlzados para desenvolver correlações (AL-SHAMMASI,, p. 46). s b, De acordo com Al-Shammas, em 958 Laseter apresentou uma nova correlação para b baseada em 58 amostras de 37 reservatóros do Canadá, Estados Undos da Amérca e Amérca do Sul. Em 98, Glaso publcou uma correlação para b desenvolvdas a partr de 45 amostras do Mar do Norte. A prncpal característca da correlação de Glaso são as consderações fetas para a parafncdade e presença de não hdrocarbonetos. Também em 98, Vazquez-Beggs publcaram uma correlação para ser rearranjada e utlzada para estmar a R s, que pode b. Foram utlzadas 6 análses VT laboratoras de reservatóros de todo o mundo para desenvolver a correlação. Duas característcas mportantes da correlação de Vazaquez-Beggs são: terem estratfcado a análse em duas faxas de densdade AI, ( º AI 3, óleos leves, e º AI 3, óleos pesados) e terem desenvolvdo uma correlação para padronzar a medção da densdade do gás a uma referenca de separação de psg. Em 988, Al-Marhoun desenvolveu uma correlação para estmar b utlzando 69 amostras de 69 reservatóros do Orente Médo. "As correlações de Al-Mahoun foram as prmeras a serem desenvolvdas para reservatóros do Orente Médo (AL- SHAMMASI,, p. 46). Em 987, Obomanu e Okpobor apresentaram novas correlações para estmar ara desenvolverem suas correlações os autores utlzaram 53 dados R s.

23 7 expermentas de reservatóros da baca do Delta Ngerano e a forma da correlação de Al-Marhoun (988) para b como modelo. Segundo Al-Shammas, em 989 Asgapur et al. publcaram uma correlação para estmar b utlzando amostras de dferentes reservatóros de gás e óleo do Ocdente Canadense. Os autores desenvolveram a nova correlação usando como modelo a correlação apresentada por Al-Marhoun (988). Dokla e Osman em 99 publcaram uma correlação para estmar a b desenvolvda a partr de 5 conjuntos de dados de reservatóros dos Emrados Árabes Undos e utlzando como modelo a correlação de Al-Mahoun (988). De acordo com Al- Yousef e Al-Marhoun (apud AL-SHAMMASI,, p. 49), [...] a correlação de Dokla e Osman para b encontra resultados que contradzem as les da físca, como b decrescer com o aumento da temperatura e ser nsensível às mudanças da d densdade AI, sto é, b dt e d b dai. De acordo com Osman, Abdel-Wahhab e Al-Marhoun, em 99 Macary e El- Batanoney apresentaram uma correlação para de 3 reservatóros ndependentes do Golfo de Suez e do Egto. b desenvolvda a partr de amostras Segundo Al-Shammas, em 993 Omar e Tood publcaram uma nova correlação para que usa o fator volume de formação ( B ), além da temperatura do b reservatóro ( T ), razão de solubldade ( R ), grau AI ( AI ) e densdade do gás ( g ). ara realzação deste estudo foram utlzados 93 conjuntos de dados de reservatóros da Malása. s o etrosky e Farshad, em 993, desenvolveram uma nova correlação para b tomando como base a correlação de Standng (947). Noventa conjuntos de dados de reservatóros do Golfo do Méxco foram utlzados no desenvolvmento destas correlações. A nova equação ntroduz três novos parâmetros adconas no modelo orgnal de Standng.

24 8 Em 994, Kartoatmodjo e Schmdt apresentaram uma nova correlação para desenvolvda a partr de dados de um banco mundal com 74 amostras de óleos de reservatóros do sudoeste da Ása, Amérca do Norte, Orente Médo e Amérca Latna. Os autores utlzaram a correlação de Standng (947) como base para o desenvolvmento desta nova correlação. b De Ghetto et al. em 995, publcou um estudo sobre a confabldade das prncpas correlações VT até então publcadas. ara sso, foram utlzadas 63 amostras de reservatóros do Medterrâneo, Áfrca e Golfo érsco. A amostra fo estratfcada em duas dferentes faxas de densdade AI: óleos pesados ( º AI 3 ), e extrapesados ( º AI ). Os autores realzaram a analse para cada uma das faxas, conclundo que para óleos extra-pesados a correlação de Standng produz bons resultados, porém o mesmo não ocorre para olhos pesados. Assm, De Ghetto et al. propõem uma modfcação na correlação de Standng (947) para melhor estmar b de óleos pesados. Em 996, Frashad et al. apresentaram correlações para b orgnáras do estudo com 98 amostras de reservatóros Colombanos. Os melhores resultados foram obtdos quando os dados foram dvddos com base no número de fases de separação. Conseqüentemente, foram desenvolvdas correlações para uma, duas e três fases da separação (FRASHAD et al., 996, p. 35). As novas correlações tveram como base a correlação de Standng (947). Em 997, Almehadeb publcou uma correlação para b que como a correlação de Omar e Tood utlza o fator volume de formação ( B ), além da temperatura do reservatóro ( T ), razão de solubldade ( R ), grau AI ( AI ) e densdade do gás ( g ). Neste estudo o autor utlzou 6 conjuntos de dados de reservatóros dos Estados Undos da Amérca. Segundo Al-Shammas (, p. 49) melhoramentos de correlações publcadas foram alcançados a partr deste trabalho. s o

25 9 Em 999, Velarde, Blasngame e McCan Jr publcaram uma nova correlação para b desenvolvdas a partr de 95 análses VT. A correlação consste em uma modfcação do modelo proposto por etrosky e Farshad (993) que também é uma modfcação do modelo proposto por Standng (947). De acordo com os autores é ntroduzdo um coefcente adconal ao modelo com a fnaldade de aumentar a precsão da correlação. Em 4, Al-Marhoun publcou estudo onde compara resultados obtdos através da estmação de b pelas correlações de Al-Marhoun (988), Standng (947), e Vazquez-Beggs (98), consderadas pelo autor as melhores correlações para estmar esta propredade. Apos a análse comparatva, o autor concluu que a correlação proposta por Al-Marhoun (988) produz os melhores resultados, os resultados mas precsos..3. MOTIVAÇÃO DO TRABALHO Como menconado por Glaso (98, p.785), as correlações VT apresentadas por Standng, em 947, são as mas amplamente utlzadas. Estas correlações foram desenvolvdas para óleos da Calfórna e não permtem correções para outros tpos de óleos ou teor de não-hdrocarbonetos. Entretanto, outras relações VT desenvolvdas para óleos de outras partes do mundo, baseadas no trabalho de Standng, produzram bons ajustes de lnhas de estmatvas, porém paralelas à lnha orgnal de estmatva proposta por Standng. Isto pode ser explcado por dos fatores não ncluídos nas correlações orgnas de Standng, a saber: óleos de outras regões têm dferentes parafncdades (quantdades de componentes de óleo parafínco) e a presença de gases com grande quantdade de não hdrocarbonetos (CO, N e H S). Em suma, uma correlação VT desenvolvda para um reservatóro de petróleo de uma regão geográfca quando utlzada para estmar propredades de petróleo de regões dferentes pode ocasonar um erro substancal, devdo as dferentes composções químcas. orém, dversos autores afrmam que suas correlações podem ser utlzadas para óleos de dversas partes do mundo. Assm, como bem afrmaram Beggs e Robnson (975, p.4), Tal como acontece com qualquer

26 estudo empírco, extrapolação fora do alcance dos dados utlzados para desenvolver as correlações deve ser feto com cautela. Até hoje, em todos os estudos apresentados na lteratura sobre as correlações VT, seja propondo novas correlações, modfcações às correlações exstentes ou comparando as dversas correlações propostas, não são acompanhados de análse estatístca mas aprofundada, restrngndo-se a mensurar os desvos médos e a concordânca, por correlação empírca, entre os valores estmados e os meddos expermentalmente para as varáves, objeto de estmação. No entanto, há ferramentas estatístcos que permtem analsar a sgnfcânca de cada parâmetro estmado para o modelo, a adequação do própro modelo ao conjunto de dados, ou anda se os dados sobre os quas é aplcado determnado estmador obedecem às condções mínmas para que o estmador forneça resultados confáves. Entre as avalações que se pode mplementar para uma crítca estatístca do conjunto de dados e da adequabldade do modelo estão: a) Análse da covarânca das varáves envolvdas na análse; b) Análse da normaldade e homogenedade da varânca dos resíduos; e c) Análse dos desvos entre a estmatva e os dados reas. Enquanto a prmera análse vsa a aferr a ndependênca das dversas varáves envolvdas, os demas vsam garantr que o estmador aplcado é um estmador não tendencoso. Ambas as avalações, embora mportantes, não foram encontradas na lteratura que versa sobre a estmatva de propredades VT através de correlações empírcas, de forma que apenas o tercero tem, comumente encontrado, se mostra uma análse ncompleta do ponto de vsta estatístco..4. OBJETIVOS Neste trabalho apresentamos, através da análse de regressão, um estudo da confabldade e sensbldade das correlações VT que estmam a pressão de saturação propostas por Standng, Glaso e Vasquez-Beggs.

27 A análse mplementada é muto mportante para ndcar a necessdade cautela na aplcação de algumas correlações ao conjunto de dados utlzado. Indca também a necessdade de correções em algumas correlações. No entanto, tas modfcações não serão propostas neste trabalho, por não se tratarem do objetvo do mesmo. Dessa forma, o prncpal objetvo deste trabalho é desenvolver uma metodologa de análse que melhor dagnostque a confabldade e sensbldade das correlações VT exstentes, assm como fundamentar as crítcas estatístcas que serão efetuadas após a análse. Conseqüentemente, será crado um procedmento a ser realzado quando novas correlações ou modfcações forem propostas. A apresentação e o desenvolvmento desta metodologa serão efetuados através de sua aplcação nas correlações de Standng, Glaso e Vazquez-Beggs para a pressão de saturação. Após a aplcação da metodologa deverá se determnar: a) quas as correlações VT estudadas apresentam maor sensbldade a pequenas perturbações nos dados; b) quas os parâmetros mas sensíves em cada uma das correlações VT estudadas; e c) determnar quas as varáves que mas afetam os resultados das estmatvas de cada correlação;.5. ESTRUTURA DO TRABALHO ara facltar sua compreensão, esse trabalho está dvddo em 6 capítulos e 4 apêndces. Nos apêndces estão a apresentação de mutas análses que embasam as conclusões, mas que se mostraram muto repettvas no texto prncpal. Todava, são apresentadas ao fnal para todos aqueles que queram realzar uma comparação mas profunda com estudos própros ou outros estudos que encontrem na lteratura. No Capítulo, como já fo vsto, são apresentados: uma ntrodução sobre a utldade das correlações VT, uma referênca bblográfca sobre as correlações VT, um hstórco das prncpas correlações VT propostas e a defnção de quas

28 correlações serão estudadas, a motvação que estmulou o desenvolvmento deste trabalho, além de seus objetvos e sua estrutura. O Capítulo apresenta e traz algumas consderações mportantes sobre as análses de regressão lnear e não lnear, além da descrção de suas etapas e pressupostos. A análse de regressão consttu uma ferramenta mprescndível para o desenvolvmento das correlações VT e por conseqüênca para o desenvolvmento da metodologa de análse das mesmas, por esse motvo grande relevânca fo dada ao assunto. No Capítulo 3 as correlações VT estudadas neste trabalho são apresentadas e é realzada uma breve análse sobre as mesmas. Nesse capítulo também é desenvolvda a prova da não uncdade de solução ótma do modelo proposto por Glaso para estmar a pressão de saturação. O Capítulo 4 traz um relato sobre os dados utlzados, o procedmento de análse e os resultados obtdos através da análse efetuada. No Capítulo 5 é realzado um estudo comparatvo entre as correlações VT analsadas, com base nos resultados obtdos no Capítulo 4. O Capítulo 6 traz as conclusões mas mportantes referente aos resultados obtdos e expostos nos Capítulos 4 e 5, além das perspectvas e sugestões para trabalhos futuros. or fm, são apresentas as referêncas ctadas ao longo do trabalho, nas quas é possível encontrar detalhes mas aprofundados sobre resultados, procedmentos e assuntos abordados nesse trabalho. Nos apêndces são apresentados os dados utlzados para a realzação deste trabalho, algumas saídas do software SSS.5, onde estão contdos os resultados das análses de regressão lnear e não lnear, das nterações efetuadas para realzação da análse de regressão não lnear, bem como os gráfcos referentes à normaldade e homogenedade da varânca dos resíduos.

29 3. ANÁLISE DE REGRESSÃO ara o melhor entendmento deste trabalho é muto mportante conhecer e compreender as etapas das análses de regressão lnear e não lnear, posto que são as ferramentas utlzadas no desenvolvmento das correlações VT e, portanto, essencas na realzação das análses apresentadas neste trabalho. A análse de regressão é uma técnca estatístca para a modelagem e a nvestgação de relações entre duas ou mas varáves. (HINES et al., 6, p. 366). ara determnar a relação entre varáves, teremos, em geral, uma únca varável dependente, ou resposta y, e k varáves ndependentes, ou regressoras x, x,..., x k. A relação entre as varáves é expressa por um modelo matemátco chamado de equação de regressão... ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR A análse de regressão lnear é utlzada quando deseja-se determnar a relação entre k varáves ndependentes ser expresso da segunte forma: x, x,..., x k e uma varável dependente y e pode y x x... x k k, (.) onde é o termo do erro aleatóro com méda zero e varânca j,. Os parâmetros j,,,..., k, são chamados coefcentes de regressão e são constantes desconhecdas. Segundo Montgomery (4, p. 8) qualquer modelo de regressão que seja lnear nos parâmetros (,,..., k ) é um modelo de regressão lnear, ndependente da forma da superfíce que ele gere. O termo lnear é utlzado quando a eq. (.) é uma função lnear nos parâmetros e não por ser lnear nas varáves explcatvas, X.

30 4... Estmação dos parâmetros por mínmos quadrados ara estmar os parâmetros desconhecdos j, j,,,..., k, é utlzado o método dos mínmos quadrados. Os parâmetros dos quadrados dos erros seja mínma. j, serão estmados de forma que a soma Usando a eq. (.), é possível expressar as n observações como: k j j j y x,,,..., n. y Xβ (.) onde, y y y, y n x x x k x x xk X, xn xn xnk β e k ε. n A função de mínmos quadrados é: n y Xβ' y Xβ L ε' ε, (.3) L y' y β'x' y β'x' Xβ Os estmadores de mínmos quadrados de,,..., k devem satsfazer: L β β ˆ X' y X' Xβˆ. (.4) Smplfcando a eq. (.4) encontramos as equações normas de mínmos quadrados, X' Xβˆ X' y. (.5)

31 5 Exstem p k equações normas, uma para cada parâmetro j. A solução das equações normas resulta nos estmadores de mínmos quadrados ˆ ˆ ˆ,,..., k. Assm, o estmador de mínmos quadrados de β é: X' X X' y βˆ. (.6) Dessa forma, o modelo de regressão ajustado é: yˆ Xβˆ. (.7) A dferença entre a observação resíduo: y e o valor ajustado ŷ é o chamado de erro ou e y yˆ. (.8) A varação resdual dexada sem explcação pela lnha de regressão é medda através da soma dos quadrados dos resíduos: SQ E n n y yˆ e e' e, SQ y' y β' ˆ X' y. (.9) E Um estmador não-tendencoso da varânca,, é dado pela méda quadrátca dos resíduos. Assm, sendo os graus de lberdade assocados à soma dos quadrados dos resíduos gual a n p : SQE ˆ MQE. (.) n p Assm os estmadores de mínmos quadrados de modelos de regressão lnear têm como propredades o fato de seus estmadores serem não vcados, serem

32 6 normalmente dstrbuídos e possuírem a varânca mínma possível entre qualquer outra classe de estmadores.... Testes de hpóteses e estmação ntervalar ara verfcar a adequação de um modelo de regressão lnear é necessáro realzar testes de hpóteses estatístcas sobre os parâmetros do modelo de regressão e construr ntervalos de confança. Os pressupostos para a realzação do testes dos hpóteses e construção de ntervalos de confança são: - os erros do modelo de regressão são ndependentes; - os erros do modelo de regressão são dentcamente dstrbuídos com dstrbução normal com méda zero e varânca, sto é, ~, N. O teste para a sgnfcânca da regressão determna se exste uma relação lnear entre a varável resposta y e um subconjunto de regressores x, x,..., xk. (MONTGOMERY, 4, p. 93). ara testar a sgnfcânca da regressão, as hpóteses apropradas são H :... k H : j para no mínmo um j. A rejeção de H : mplca que pelo menos uma das varáves ndependentes j x, x,..., x k contrbu sgnfcatvamente para o modelo. ara testar a sgnfcânca da regressão pode ser usada a análse de varânca - ANOVA, que tem seu procedmento resumdo na Tabela.. Na Tabela., são apresentadas a méda quadrátca da regressão, MQ R SQ k R, a soma quadrátca dos quadrados de regressão, SQ yˆ y R n, e a estatístca de

33 7 MQR teste, F. A soma dos quadrados total corrgda de y, SQ T, pode ser escrta MQE como: SQ T SQ SQ, R E n n y y y y y yˆ n ˆ. Tabela. Tabela ANOVA para testar a sgnfcânca da regressão. Fonte de Varação Regressão Erro ou resíduo Total Soma dos Quadrados Graus de lberdade SQ k R SQ n p E SQ n T Méda F Quadrátca MQ MQ R E MQ R MQ E Em regressão lnear os testes para coefcentes ndvduas servem para determnar a sgnfcânca de cada um dos regressores no modelo de regressão. A adção de uma varável a um modelo de regressão sempre faz com que a soma de quadrados para a regressão aumente e a soma de quadrados dos erros dmnua. Devemos decdr se o aumento da soma de quadrados da regressão é sufcente para garantr o uso da varável adconal no modelo. Além dsso, a adção ao modelo de uma varável sem mportânca pode, na verdade, aumentar a méda quadrátca dos erros, dmnundo, assm a utldade do modelo. (HINES, 6, p. 4) ara testar a sgnfcânca de qualquer coefcente ndvdual de regressão, j, as hpóteses a serem testadas são H : j j H :. A estatístca de teste usada na realzação do teste é t ˆ j, (.) ˆ C jj sendo C o elemento da dagonal jj X' X que corresponde a ˆ. Caso H : j j

34 8 não seja rejetada, a varável regressora x j pode ser retrada do modelo de regressão. Vale ressaltar que a matrz X' X pode ser escrta na forma de correlação, X' X r R r k r r k r k r k, em que, / S j n u r S S S é o coefcente de correlação entre x e j j jj x x x x. u uj j x j, e Em modelos de regressão lnear, a construção de ntervalos de confança para os coefcentes de regressão é frequentemente útl. Serão apresentados apenas os j ntervalos de confança sem o desenvolvmento dos mesmos. ara mas detalhes, ver Hnes (6) e Montgomery (4). Em regressão lnear, um ntervalo de confança de % para o coefcente de regressão j, j,,..., k, é escrto como segue ˆ t ˆ C, (.) j ˆ n p C jj j j t ˆ,, n p jj sendo, C o jj-ésmo elemento da matrz jj X' X...3. Meddas de adequação do modelo A valdação do modelo é uma parte mportante no processo de construção de um modelo de regressão.

35 9 Segundo Bussab (988, p.), [...] o ajuste de modelos a um conjunto de dados é muto útl para analsar, nterpretar e fazer prevsões sobre questões de nteresse de pesqusadores. Entretanto, o desenvolvmento desses modelos exgu uma sére de conjecturas para o fenômeno, e uma boa modelagem não estara completa sem uma adequada nvestgação da veracdade das mesmas. A exstênca e conseqüente detecção da transgressão de algumas das suposções permtem evtar o emprego de modelos pobres, de pouca utldade e que acarretam baxa confabldade dos resultados. ara valdar um modelo de regressão lnear é necessáro realzar uma análse dos resíduos, avalar o coefcente de determnação do modelo, e verfcar se exste a presença de multcolneardade Análse dos resíduos Como já fo ctado anterormente, os resíduos de um modelo de regressão são expressos da segunte forma e y yˆ,,,..., n, onde y é uma observação real e ŷ é o valor ajustado correspondente, provenente do modelo de regressão. De acordo com Montgomery (4, p. 3), a análse dos resíduos é frequentemente útl na verfcação da suposção de que os erros sejam dstrbuídos de forma aproxmadamente normal, com varânca constante, assm como na determnação da utldade de termos adconas no modelo. Exstem város gráfcos de resíduos que são extremamente útes na análse dos resíduos. Esses gráfcos podem ser obtdos plotando os resíduos em uma seqüênca temporal, caso seja conhecda, contra os valores de ndependente x. ŷ e contra a varável Em geral, os resíduos se comportam como um dos quatro padrões apresentados na Fgura. Nos gráfcos apresentados nessa fgura os exos horzontas podem ser o tempo, y, ŷ ou x. O padrão (a) representa uma stuação deal para os resíduos, onde estes estão

36 dstrbuídos aleatoramente em torno de zero e sem nenhuma observação muto dscrepante, enquanto (b), (c) e (d) são anomalas. Fgura. - adrões de comportamento para gráfcos de resíduos: (a) satsfatóro, (b) funl, (c) arco duplo, (d) não lnear. Caso os resíduos se apresentem como em (b), ndca que os resíduos podem estar crescendo com o tempo ou com a magntude de y ou x, mostrando que a suposção de homocedastcdade (varânca constante) não está satsfeta. Este problema pode ser elmnado com a transformação de dados na varável resposta y. Os gráfcos que apresentam um padrão (c) também ndcam desgualdade da varânca (heterocedastcdade), como em (b). O padrão (d) ndca possível nadequação do modelo adotado, a curva sugere que é necessáro procurar outras funções matemátcas que explque melhor o fenômeno Coefcente de determnação múltpla O coefcente de determnação múltpla, R, é defndo da segunte forma: R SQ SQ R T SQE, (.3) SQ T

37 representado a proporção das varáves y explcada conjuntamente pelas varáves x,, x,... x k. R é uma medda da fração da varabldade nas observações y obtda pela equação da regressão usando as varáves x,, x,... xk (Montgomery, 4, p. 6). elo fato da SQ SQ, segue que R. Quanto mas próxmo de o E T estver melhor será o ajuste da reta aos dados. orém, um valor próxmo de para R não mplca necessaramente que o modelo de regressão seja bom. R O acréscmo de uma varável aleatóra ao modelo causará, sempre, um aumento em R, ndependentemente de a varável ser ou não estatstcamente sgnfcante. Assm, é possível que modelos com grandes valores de R produzam predções pobres de novas observações ou estmatvas da resposta méda (HINES, 6, p.45) Multcolneardade Segundo Hnes (6, p. 45), na maora dos problemas de regressão lnear múltpla, as varáves ndependentes ou regressoras x são ntercorrelaconadas. Em stuações em que esta ntercorrelação é muto grande dzemos que exste a multcolneardade. A multcolneardade pode ter séros efetos sobre as estmatvas dos coefcentes de regressão e sobre a aplcabldade geral do modelo estmado. j A presença de uma forte multcolneardade mplca em um aumento das varâncas e covarâncas dos coefcentes de regressão, tornando-os muto grandes. As grandes varâncas para (HINES, 6, p. 46). ˆ j mplcam que os coefcentes de regressão estão mal estmados De acordo com Gujarat (999, p.36), na presença de multcolneardade alta os estmadores de mínmos quadrados ordnáros e seus erros padrão podem ser sensíves a pequenas varações nos dados. A multcolneardade em modelos de regressão lnear pode ser detectada através do

38 fator de nflação da varânca para ˆ j, ˆ C, FIV j jj j,,..., k, (.4) R j sendo, C o elemento da dagonal jj X' X e R j o coefcente de determnação múltpla que resulta da regressão de x j sobre as outras k varáves regressoras. Quanto maor os fatores de nflação da varânca, eq. (.4), mas forte é a multcolneardade. Alguns autores sugerem que os fatores de nflação da varânca não devem exceder 4 ou 5... ANÁLISE DE REGRESSÃO NÃO LINEAR A regressão não lnear produz estmadores de mínmos quadrados dos parâmetros para modelos que não são lneares em seus parâmetros. Os modelos de regressão não lnear são denomnados ntrsecamente lnear quando podem ser lnerzados (transformados em um modelo lnear) através de reparametrzações e/ou transformações apropradas. A lnearzação é realzada com o ntuto de facltar a obtenção das estmatvas dos parâmetros, porém uma transformação faz com que o parâmetro perca sua nterpretação ntrínseca, além de poder alterar a estrutura e dstrbução do erro, ou seja, a lnearzação pode fazer com que os erros que satsfazam as suposções de normaldade, ndependênca e homogenedade da varânca no modelo orgnal passem a não satsfazer tas suposções no modelo lnearzado. Em alguns casos não é possível lnearzar o modelo não lnear, nesses casos os modelos são chamados de ntrnsecamente não lneares. Um modelo de regressão não lnear pode ser escrto da segunte forma, y f X, θε, (.5)

39 3 sendo, y um vetor n de varáves respostas, X uma matrz n k das k varáves explcatvas, θ um vetor p dos p parâmetros a serem estmados, f X,θ a função de regressão e ε um vetor que os erros são normas com méda zero e varânca constante n dos erros aleatóros. Assume-se I, ~, I N, ndependentes e dentcamente dstrbuídos, onde I é uma matrz dentdade. Vale ressaltar que os parâmetros estmados por regressão não lnear são smbolzados de forma dferente apenas para serem dferencados os parâmetros estmados através de regressão lnear. Nos modelos não lneares defne-se a soma de quadrado dos erros por: n y f x,θ S θ (.6) Denota-se por θˆ os estmadores de mínmos quadrados de θ, ou seja, os valores de θ que mnmzam S θ. ara determnar os estmadores de mínmos quadrados θˆ derva-se a eq. (.6) em relação a cada j, j,,..., p, e obtêm-se p equações, chamadas equações normas, que devem ser resolvdas para encontrar θˆ. As equações normas são representadas pela segunte equação: n f x, θ y f x, θ (.7) j ˆ Quando f x, θ j não depende de θ, ou f x, θ j, tem-se as equações normas de um modelo de regressão lnear. ara funções esperanças não lneares, θ estará presente em pelo menos uma das dervadas parcas de x,θ f. Em modelos não lneares multparamétrcos, as soluções das equações normas podem ser dfíces de serem obtdas, sendo necessáro o uso de algum método nteratvo na maora dos casos. Nesse trabalho, será utlzado o método de Levenberg-Marquardt.