CAPÍTULO 7 - ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

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1 CAPÍTULO 7 - ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Nos capítulos anterores analsaram-se város modelos usados na avalação de manancas, tendo-se defndo os respectvos parâmetros. Nas correspondentes fchas de exercícos os valores dos parâmetros foram dados, não sendo necessáro estmá-los. Neste capítulo analsarse-ão dversos métodos para estmar os parâmetros. Convém recordar que a estmação de parâmetros mplca conhecmentos sobre a teora de amostragem e sobre nferênca estatístca. Neste manual referr-se-á um dos métodos geras mas usados na estmação de parâmetros - o método dos mínmos quadrados. Este método utlza, em mutos casos, processos teratvos de estmação que requerem valores ncas próxmos dos verdaderos parâmetros. Assm, apresentam-se também alguns métodos partculares, que permtem obter, faclmente, estmatvas próxmas dos verdaderos valores dos parâmetros. De qualquer modo, estas estmações aproxmadas também têm, por s só, nteresse prátco. Estes métodos serão lustrados com a estmação dos parâmetros de crescmento e da relação, S-R, manancalrecrutamento. O método dos mínmos quadrados é apresentado sob as formas de Regressão lnear smples, de modelo lnear generalzado e de modelos não lneares (método de Gauss-Newton). Assuntos como análse de resíduos,, dstrbução na amostragem dos estmadores (assntótcas ou empírcas"bootstrap" e "jacknfe"), lmtes e ntervalos de confança, etc, são mportantes na estmação de parâmetros. No entanto, a abordagem destes assuntos, necesstara de um curso de maor duração. 7.1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Modelo Consdere as seguntes varáves e parâmetros: Varável resposta (ou dependente) Varável auxlar (ou ndependente) Parâmetros = Y = X = A,B A varável resposta é lnear com os parâmetros Y = A+BX 83

2 Objectvo Observados n pares de valores (cada par é consttuído por um valor selecconado da varável auxlar e o valor observado correspondente da varável resposta) estmar os parâmetros do modelo ou seja: Observados x e y para cada par, com =1,2,...,,...n Estmar A e B e (Y 1,Y 2,...,Y,...,Y n ) para os n pares de valores observados (Valores estmados A e B (ou a e b) e Y 1, Y 2,...,, Y.., Y n ) Função objecto (ou função crtéro) n Φ = = 1 ( ) 2 y Y Crtéro de estmação Os estmadores serão os valores de A e B que tornam mínma a função objecto. Este crtéro denomna-se o método dos mínmos quadrados. Para proceder à mnmzação há que gualar a zero as dervadas Φ / A e Φ / B e resolver o sstema de equações obtdo em ordem a A e a B. A resolução do sstema de equações, após algumas transformações matemátcas, dá os seguntes resultados: x = (1/n). x y = (1/n). y Sxx = (x - x )(x - x ) Sxy = (x - x )(y - y) b = Sxy/Sxx a = y - b. x Note que os valores y observados, para um mesmo conjunto de valores de X selecconados dependem da amostra recolhda. Estatstcamente costuma apresentar-se o problema da regressão lnear smples escrevendo o modelo como: y = A + BX + ε onde ε é uma varável aleatóra com valor esperado gual a zero e varânca gual a σ 2. Assm, o valor esperado de y será Y ou A+BX e a varânca de y será gual à varânca de ε. Costuma fazer-se uma dferença entre desvo e resíduo: 84

3 Desvo é a dferença de y observado e y médo ( y), sto é desvo = (y- y ) enquanto que Resíduo é a dferença entre y observado e Y estmado ( Y ), sto é resíduo = (y - Y ). É convenente, para a análse do ajuste do modelo aos dados observados, consderar as seguntes característcas: 85

4 Soma dos quadrados dos resíduos = SQ resdual = ( y Ŷ) 2 Esta quantdade ndca a varação resdual dos valores observados em relação aos valores estmados do modelo, sto é, a varação dos valores observados não explcada pelo modelo. Soma dos quadrados dos desvos dos valores estmados do modelo é gual a: SQ mod elo = ( Ŷ y) 2 Esta quantdade ndca a varação dos valores estmados da varável resposta do modelo em relação à sua méda, sto é, a varação dos valores estmados da varável resposta explcada pelo modelo. Soma total dos quadrados dos desvos dos valores oservados é gual a: SQ total = ( y y) 2 Esta quantdade ndca a varação total dos valores observados em relação à méda É fácl de verfcar a segunte relação: ou SQ total = SQ modelo + SQ resdual SQ modelo 1 = + SQtotal SQ SQ resdual total ou 1 = r 2 + (1 - r 2 ) onde r 2 (coefcente de determnação) é a percentagem da varação total que é explcada pelo modelo e, 1-r 2 é a percentagem da varação total que não é explcada pelo modelo. 86

5 7.2 MODELO LINEAR GENERALIZADO REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Modelo Consdere as seguntes varáves e parâmetros: Varável resposta (ou dependente) Varáves auxlares (ou ndependentes) Parâmetros = Y = X 1, X 2,..., X j,..., X k = B 1, B 2,..., B j,..., B k A varável resposta é lnear com os parâmetros Y = B 1 X 1 +B 2 X B k X k = Σ B j X j Objectvo Observados n conjuntos de valores (cada conjunto é consttuído por um valor observado de cada varável auxlar e o valor observado correspondente da varável resposta) estmar os parâmetros do modelo, ou seja: Observados estmar x 1, x 2,,..., x j,,.., x k, e y para cada conjunto, com =1,2,...,,...n B 1,B 2,...,B j,...,b k e (Y 1,Y 2,..., Y,..., Y) n para os n conjuntos observados Os valores estmados podem ser representados por: B 1, B 2,..., B j,..., B k (ou b 1,b 2,...,b j,...,b k ) e Y 1, Y 2,..., Y,..., Y n Função objecto ou função crtéro n Φ = = 1 Crtéro de estmação ( y 2 Y ) Os estmadores serão os valores de B j que tornam mínma a função objecto. Este crtéro denomna-se o método dos mínmos quadrados. De um modo semelhante ao usado no caso do modelo lnear smples, o procedmento de mnmzação necessta de gualar a zero as dervadas parcas de Φ em ordem a cada parâmetro, Bj com j=1, 2,..., k. Este procedmento é, de preferênca, tratado com o cálculo matrcal. 87

6 Versão matrcal Matrz X(n,k) = Matrz dos valores observados das varáves auxlares Vector y(n,l) = Vector dos valores observados da varável resposta Vector Y(n,l) = Vector dos valores da varável resposta (não observados) Vector B(k,l) = Vector dos Parâmetros Vector Bˆ ou b(k,l) = Vector dos estmadores dos parâmetros Modelo Y (n,1) = X (n,k). B (k,1) ou Y=X.B+ε Função objecto Φ (1,1) = (y-y) T.(y-Y) ou Φ (1,1) = (y-x.b) T.(y-X.B) Para calcular os estmadores dos mínmos quadrados basta gualar a zero a dervada de Φ em ordem ao vector B. Recorde-se que dφ /db é um vector com componentes Φ / B 1, Φ / B 2,..., Φ / B k. Assm, vrá: dφ /db (k,1) = -2.X T.(y-X.B) = 0 ou X T y - (X T.X). B = 0 e b = B = (X T.X) -1. X T y Os resultados podem-se escrever como: b (k,1) = (X T.X) -1.X T y Y (n,1) = X.b ou Y (n,1) = X (X T.X) -1.X T y resíduos (n,1) = (y- Y ) Comentáros Para a análse estatístca tem vantagem expressar os estmadores e as somas dos quadrados utlzando matrzes dempotentes. Em seguda utlzam-se as matrzes dempotentes L, (I - L) e 88

7 (I - M) com L (n,n) = X (X T. X) -1. X T, I = matrz untára e M (n,n) = matrz méda (n,1) = 1/n [1] onde [1] é uma matrz com todos os elementos guas à undade. É também mportante consderar as dstrbuções dos estmadores na amostragem e supor que os valores ε são ndependentes e com dstrbução normal. É convenente referr desde já algumas propredades do valor esperado e da varânca de uma relação lnear de uma varável aleatóra u. Em termos matrcas consdere-se c 1 um vector constante de dmensão (n.1), c 2 uma matrz de valores constantes dmensão (n.n) e o vector aleatóro u de dmensão (n.1). Assm, será: E[c 1 +c 2.u] = c 1 +c 2.E[u] V[c 1 +c 2.u] = c 2.V[u].c 2 T 1 Varável aleatóra, ε ε n. (ndependentes) Valor esperado de ε E[ε] = 0. Varânca de ε gual a V[ε] (n.n) = E[ε.ε T ]=I.σ 2 2 Varável resposta y observado y = Y+ε Valor esperado de y E[y] = Y = X.B. Varânca de y gual a V[y] (n.n) = V[ε] (n.n) = I.σ 2 3 Estmador do vector parâmetro B Valor esperado de B B = (X T.X) -1.X T.y E[ B] = B Varânca de B gual a V[ B] (k.k) = (X T.X) -1.σ 2 4 Estmador de Y do modelo Y = X. B = L.y Valor esperado de Y E[ Y ] = Y. Varânca de Y V[ Y ] = L.σ 2 5 Resíduo e e = y- Y = (I-L).y Valor esperado de e E[e] = 0 Varânca de e V[e] = (I-L).σ 2 6 Soma de quadrados Soma resdual dos quadrados = SQ resdual (1.1) = (y- Y ) T (y- Y ) = y T (I-L)y Esta quantdade ndca a varação resdual dos valores observados em relação aos valores do modelo, sto é, a varação não explcada pelo modelo Soma dos quadrados do modelo = SQ modelo (1.1) = ( Y - y) T ( Y - y) = y T (L-M)y 89

8 Esta quantdade ndca a varação dos valores do modelo em relação à méda, sto é, a varação explcada pelo modelo Soma total dos quadrados dos desvos = SQ total (1.1) = (y- y) T (y- y) = y T (I-M) y Esta quantdade ndca a varação total dos valores observados em relação à méda. É fácl de verfcar a segunte relação: SQ total = SQ modelo + SQ resdual ou SQmod elo SQ 1 = + SQ SQ total resdual total ou 1 = R 2 + (1 - R 2 ) onde: R 2 é a percentagem da varação total que é explcada pelo modelo. Em termos matrcas será: R 2 = [y T (L - M)y].[ (y T (I - M)y] -1 1-R 2 é a percentagem da varação total que não é explcada pelo modelo. Os valores característcos das matrzes (I-L), (I-M) e (L-M) respectvamente guas a (n-k), (n- 1) e (k-1), são os graus de lberdade assocados às respectvas somas dos quadrados. 7.3 MODELO NÃO-LINEAR MÉTODO DE GAUSS-NEWTON MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS Modelo Consdere as seguntes varáves e parâmetros: Varável resposta (ou dependente) Varável auxlar (ou ndependente) Parâmetros = Y = X = B 1,B 2,...,B j,...,b k A varável resposta é não-lnear com as varáves auxlares 90

9 Y = f(x;b) onde B é um vector de componentes B 1,B 2,...,B j,...,b k Objectvo Observados n pares de valores ( cada par é consttuído por um valor selecconado da varável auxlar e o valor observado correspondente da varável resposta) estmar os parâmetros do modelo ou seja: Observados estmar x e y para cada par, com =1,2,...,,...n B 1,B 2,...,B j,..,b k e (Y 1,Y 2,...,Y,...,Y n ) para os n pares de valores observados. (Valores estmados = B 1, B 2,..., B j,..., B k ou b 1,b 2,...,b j,...,b k e Y 1, Y 2,..., Y,..., Y n ) Função objecto ou função crtéro n Φ = (y 2.Y ) = 1 Crtéro de estmação Os estmadores serão os valores de B j que tornam mínma a função objecto. (Este crtéro denomna-se o método dos mínmos quadrados). Versão matrcal É convenente apresentar o problema utlzando matrzes e aplcando o cálculo matrcal. Assm: Vector X (n,1) = Vector dos valores observados da varável auxlar Vector y (n,1) = Vector dos valores observados da varável resposta Vector Y (n,1) = Vector dos valores da varável resposta dados pelo modelo Vector B (k,1) = Vector dos Parâmetros Vector b (k,1) = Vector dos estmadores dos parâmetros Modelo Y (n,1) = f(x; B) 91

10 Função objecto Φ (1,1) = (y-y) T.(y-Y) No caso do modelo não lnear o sstema de equações resultantes de gualar a zero a dervada da função Φ em ordem ao vector B geralmente não é smples de resolver. A estmação pelo método dos mínmos quadrados poderá, no entanto, ser efectuada recorrendo a algumas modfcações que têm por base o desenvolvmento da função Y em sére de Taylor, como uma aproxmação ao modelo. Revsão sobre o desenvolvmento de Taylor Exemplfque-se o desenvolvmento de uma função em sére de Taylor usando o caso mas smples de uma função a uma varável. A aproxmação de Taylor traduz-se em desenvolver uma função Y = f(x) em torno de um ponto selecconado, x 0, em sére de potêncas de x: Y = f(x) = f(x 0 ) +(x-x 0 ).f (x 0 )/1! + (x-x 0 ) 2 f (x 0 )/2! (x- x 0 ) f () ( x 0 )/!+... onde f () (x 0 ) = dervadas de f(x) de ordem, no ponto x 0. O desenvolvmento aproxma-se até à potênca desejada. Quando o desenvolvmento é aproxmado até à potênca 1 dz-se que se trata da aproxmação lnear de Taylor, ou seja, Y = f(x 0 ) + (x-x 0 ).f (x 0 ) O desenvolvmento de Taylor pode aplcar-se a funções de mas de uma varável. Por exemplo, para uma função Y = f(x 1,x 2 ), o desenvolvmento lnear sera: f(x 1(0),x 2(0) ) y f(x 1(0),x 2(0) ) + (x 1 -x 1(0) ). / x 1 f(x 1(0),x 2(0) ) + (x 2 -x 2(0) ). / x 2 que, em lnguagem matrcal pode ser escrto como Y = Y (0) +A (0).(x-x (0) ) onde Y (0) é o valor da função no ponto x (0) de componentes (x 1 -x 1(0) ) e (x 2 -x 2(0) ) e A (0) é a matrz de dervadas com componentes guas à dervada parcal de f(x 1,x 2 ) em ordem a x 1,x 2 no ponto (x 1(0), x 2(0) ). No caso da estmação de parâmetros o desenvolvmento da função Y em sére de Taylor realza-se em ordem aos parâmetros B e não ao vector X. Por exemplo, o desenvolvmento lnear de Y = f(x,b) em ordem a B 1, B 2,..., B k, sera: 92

11 Y = f(x;b) = f(x; B (0) ) + (B 1 -B 1(0) ) f / B 1 (x;b (0) ) (B 2 -B 2(0) ) f / B 2 (x;b (0) ) (B k -B k( 0) ) f / B k (x;b (0) ) ou pondo em lnguagem matrcal sera: onde Y (n,1) = Y (0) (n,1) + A (0) (n,k). B (0) (k,1) A = matrz de ordem (n,k) das dervadas parcas da matrz f(x;b) em ordem ao vector B no ponto B (0) e Então a função objecto será: B (0) = vector (B - B (0) ). Φ = (y-y) T.(y-Y) = (y-y (0) - A (0). B (0) ) T (y-y (0) - A (0). B (0) ) Para obter o mínmo desta função é mas convenente dervar Φ em ordem ao vector B do que em relação ao vector B e gualar a zero. Assm vrá: 0 = -2(A (0) ) T (y-y (0) -A (0). B (0) ) = -2A (0) T (y-y (0) )+ 2A (0) T A (0). B (0) ou A (0) T A (0). B (0) = A (0) T (y-y (0) ) e portanto será: 1 ( ) T T B( 0 )( ) = k,l A ( 0).A() 0.A ( 0). y Y ( 0 ) Se B (0) fôr gual a zero então é porque o estmador de B é gual a B (0). (convém esclarecer que na prátca quando se dz gual a zero neste processo, quer dzer-se menor do que aprox onde aprox é o vector aproxmação que se quera defnr). Caso contráro o novo valor de B será: B (1) =B (0) + B (0) e o processo repetr-se-á, sto é, proceder-se-à a nova teração com B (0) substtudo por B (1) (e A (0) substtudo por A (1) ). O processo teratvo contnuará até que se verfque a convergênca desejada. 93

12 Comentáros 1. Não é dto que o processo convrja sempre. Às vezes não converge, outras vezes é lento demas (até para computadores!) e outras vezes converge mas para outro lmte!! 2. O método que se descreveu acma é o método de Gauss-Newton que é a base de mutos outros métodos. Alguns desses métodos ntroduzem modfcações para obter uma convergênca mas rápda como o caso do método de Marquardt (1963), bastante usado em nvestgação pesquera. Outros métodos usam o desenvolvmento de Taylor de segunda ordem (método de Newton-Raphson), procurando assm uma melhor aproxmação. Outros anda, combnam as duas modfcações. 3. Estes métodos necesstam que se calculem dervadas das funções. Alguns programas de computador requerem a ntrodução das expressões matemátcas das dervadas, outros utlzam sub-rotnas com aproxmações numércas das dervadas. 4. Convém também salentar que os métodos exstentes na nvestgação pesquera e estudados neste curso para calcular valores de város parâmetros, como por exemplo, crescmento, mortaldades, curvas de selectvdade e de maturação, podem dar valores ncas para os parâmetros caso se pretenda usar métodos teratvos em modelos nãolneares. 5. De qualquer modo é mportante salentar um aspecto comum aos métodos teratvos: o valor ncal do vector B (0) usado no processo deve ser selecconado o mas próxmo possível do verdadero valor. Deste modo, não só a convergênca é mas rápda como também é mas seguro que termnará no lmte desejado. 94

13 7.4 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE CRESCIMENTO O método dos mínmos quadrados (regressão não-lnear) permte estmar os parâmetros K, L e t o das equações de crescmento ndvdual. Os valores ncas de K, L e t 0 podem ser obtdos por meo da regressão lnear smples usando os métodos seguntes. Métodos de Ford-Walford ( ) e de Gulland e Holt (1959) As expressões de Ford-Walford e de Gulland e Holt, que foram apresentadas no Secção 3.4, já se encontram na sua forma lnear, permtndo assm estmar os valores ncas de K e L com métodos de regressão lnear smples. A expressão de Gulland e Holt permte estmar K e L mesmo quando os ntervalos de tempo T não são constantes. Nesse caso é convenente reescrever a expressão como: L/T I = K.L - K. L Método de Stamatopoulos e Caddy (1989) Estes autores apresentam também um método de estmar K, L e t o (ou L o ) usando a regressão lnear smples. Para tal a equação de von Bertalanffy é expressa como uma relação lnear de L t contra e -Kt. Consdere assm n pares de valores t, L onde t é a dade e L o comprmento do ndvíduo com =1,2,..., n. A equação de von Bertalanffy, na sua forma geral, é como se vu: que pode ser escrta na forma: L - L t = (L - L a ). e -K(t-ta) L t = L - (L - L a ). e +Kta. e -Kt Como se pode ver a equação anteror é da forma lnear smples, y = a + bx, onde: y = L t a = L b = - (L - L a ). e +Kta x = e -Kt Se se adoptar L a = 0 será t a =t o, mas em contrapartda se adoptar t a = 0 será L a = L o. De qualquer modo os parâmetros a estmar a partr de a e b serão L, t o ou L o. 95

14 Assm os autores propõem adoptar um valor de K, sto é, K (0), e por regressão lnear smples entre y (= L t ) e x(=e -Kt ) estmar a (0), b (0) e r 2 (0). O procedmento pode ser repetdo para város valores de K, sto é, K (1) K (2),... Poder-se-à então adoptar a regressão que resulte no maor valor de r 2, ao qual corresponderá K max e a max e b max. Estes valores de a max, b max e K max permtrão obter os valores dos restantes parâmetros. Um processo prátco para encontrar K max poderá ser: (). (). Selecconar dos valores extremos de K que ncluam o valor pretenddo, por exemplo K= 0 e K=2 (por dfculdades prátcas use K = em vez de K = 0). Calcular as 10 regressões para valores de K compreenddos entre aqueles extremos em ntervalos guas (). Os correspondentes 10 valores de r 2 obtdos permtrão selecconar dos novos valores de K que determnam um outro ntervalo menor do que o de () contendo o valor de r 2 máxmo obtdo (v). As etapas () e () podem-se repetr até obter um ntervalo de valores de K com a aproxmação desejada. De um modo geral esta etapa não necessta de mutas repetções. 7.5 ESTIMAÇÃO DE M COEFICIENTE DE MORTALIDADE NATURAL Város métodos foram propostos para estmar M, que se baseam na assocação de M com outros parâmetros bológcos do recurso. Estes métodos produzem resultados aproxmados, cujas aproxmações dependem das espéces e dos manancas RELAÇÃO DE M COM A LO NGEVIDADE, t λ Longevdade: Idade máxma méda dos ndvíduos da população no manancal não-explorado. Duração da vda explorável: t t = λ (Fgura 7.1) λ r N r = R t r t λ Fgura 7.1 Duração da vda explorável 96

15 Tanaka (1960) propõe Curvas de Sobrevvênca "NATURAL" (Fgura 7.2) para obter valores de M a partr de longevdade. Na prátca pode consderar-se que uma coorte se extngue quando só sobrevve uma fracção, p, dos ndvíduos recrutados. Nesse caso, partndo de N λ λ = R e M, pode escrever-se: N p = R λ = M. λ e e portanto M = -(1/λ).ln p Dferentes valores da fracção p de sobrevvênca produzem dferentes curvas de sobrevvênca Curvas de sobrevvênca d e Tanaka p=1% M p=5% 0 Fgura λ (anos) Curvas de sobrevvênca de Tanaka A escolha do valor de p é arbtrára, mas adopte p = 5% (.e. um cada vnte recrutas sobrevve até à dade t λ ) como um valor varável RELAÇ ÃO ENTRE M E CRES C IMENTO Método de Beverton e Holt (1959) Gulland (1969) mencona que Beverton e Holt verfcaram que espéces com maor taxa de mortaldade M também apresentavam maores valores de K. Procurando uma relação smples entre estes dos parâmetros, concluram que aproxmadamente se podera afrmar que: Método de Pauly (1980) M 1 2 para pequenos pelágcos K M 2 3 para pexes demersas K Baseado nas seguntes consderações: a) recursos com uma taxa de mortaldade elevada não podem ter um tamanho máxmo muto grande; 97

16 b) em águas mas quentes, o metabolsmo é mas acelerado, de modo que é possível crescer até um tamanho maor e atngr o tamanho máxmo mas rapdamente do que em águas mas fras. Pauly recolheu, na lteratura, dados sobre estes parâmetros, para 175 espéces e ajustou regressões múltplas de valores transformados de M contra os correspondentes valores transformados de K, L e de temperatura, de modo a encontrar uma relação lnear e selecconou aquela que consderou com o melhor ajuste, ou seja, a segunte relação empírca: ln M = ln L lnK lnT com os parâmetros expressos nas seguntes undades: M = ano -1 L = cm de comprmento total K = ano -1 o T = temperatura à superfíce das águas em o C Pauly chama a atenção para os cudados a ter na aplcação desta expressão a pequenos pelágcos e crustáceos. A relação de Pauly usando logartmos decmas apresenta o prmero coefcente dferente do valor dado na expressão anteror, escrta com logartmos neperanos RELAÇ ÃO ENTRE M E REPRO DUÇÃO Método de Rkhter e Efanov (1976) Estes autores analsaram a dependênca entre M e a dade de 1ª maturação a partr de dados representatvos de espéces com tempo de vda curto, médo e longo, encontrando uma dependênca de M com a dade de 1ª maturação que transformaram na segunte relação empírca: (Undades) M = mat50% ( t ) tmat50% M ano 1 ano 98

17 Método de Gundersson (1980) Baseado na suposção de que a taxa de mortaldade natural deverá estar relaconada com o nvestmento dos pexes na reprodução, além da nfluênca de outros factores, Gundersson estabeleceu váras relações entre M e aqueles factores. Propôs, no entanto, a segunte relação empírca, smples, usando o Índce Gonadossomátco (IGS) (estmados para fêmeas maduras na época de desova) para obter uma estmação de M: M = 4.64 IGS DADA A ESTRUTURA PO R IDADES DO MANANCIAL, AO INÍCIO E AO FINAL DO ANO, E AS CAPTURAS EM NÚMERO PO R IDADE DURANTE ESSE ANO Podem calcular-se os coefcentes de mortaldade natural M para cada dade e durante o ano, como: C calcule E = N N + 1 calcule Z = lnn lnn+ 1 calcule M = Z ( 1 E ) Os város valores de M obtdos em cada dade poderão ser comparados e possvelmente combnados para calcular um valor constante, M, para todas as dades. Método de Palohemo (1961) Quando são conhecdos f e Z para város anos, e supondo que F é proporconal a f, F f = q para T 1 T = ano, F = q f, então: Z = q f + Assm, a regressão lnear entre M Z e f tem declve b = q e ntersecção a = M. 7.6 ESTIMAÇÃO DE Z COEFICIENTE DE MORTALIDADE TOTAL 99

18 Exstem város métodos para estmar o coefcente de mortaldade total, Z, suposto constante durante um certo ntervalo de dades ou de anos. É convenente agrupar os métodos consoantes os dados de base dgam respeto a dades ou a comprmentos MÉTODOS COM DADOS POR IDADES Os dferentes métodos tomam como ponto de partda a expressão geral do número de sobrevventes de uma coorte, no nstante t, submetda à mortaldade total, Z, durante um ntervalo de tempo, sto é: N t = N a. e Z ( t ) t a para o ntervalo de tempo (t a,t b ) onde Z é suposto ser constante. Logartmzando esta expressão e rearranjando os termos será: lnn t = Cte - Z.t onde Cte é constante ( = ln N a +Zt a ). Esta expressão mostra que o logartmo do número de sobrevventes é lnear com a dade, sendo o declve gual a -Z. (a Cte não tem nteresse especal para a determnação de Z. Acrescente-se que as expressões constantes em qualquer expressão que não nteressem para a determnação de Z serão ndcadas por Cte). Se, dentro do ntervalo (t a,t b ), Z pode ser consderado constante e, dspondo de dados de abundânca, N, ou índces de abundânca em número, U, para váras dades,, então a aplcação da técnca de regressão lnear smples permte estmar o coefcente de mortaldade total Z. Com efeto e, como N N ZT 1 e = N. portanto N = N. Constante ZT = N a. e Z t ( ) t a então substtundo vrá: ZT N = Cte. e (T = const = 1 ano) 100

19 e, portanto, também será lnn Cte = Zt e a regressão lnear smples entre ln N e t permte estmar Z (note que a constante, Cte, é dferente da anteror mas para o efeto só o declve nteressa para estmar Z). Caso as dades não sejam a ntervalos constantes, a expressão poderá ser expressa usando os valores de t central, de forma aproxmada. Para T varável será: N N. e -ZT/2 e, como N = N a. e -Z.(t-ta) será N Cte. e -Ztcentral e, fnalmente: ln N Cte - Z. t central No caso dos índces U a stuação é semelhante pos U = q. N, com q constante, e, portanto, também será: lnu Cte = Zt e a regressão lnear smples entre lnu e t permte estmar Z. Caso as dades não sejam a ntervalos constantes a expressão deverá ser modfcada para: ln U Cte - Z. t central Com dados de capturas, C, e de dades, t, também contnua a ser possível aplcar a regressão lnear smples para obter Z, mas neste caso, será necessáro supôr que F é constante. Recordese que C = F N T e assm, lnc = Cte + ln N quando T é constante. Portanto: lnc = Cte - Z. t Caso as dades não sejam separadas com ntervalos constantes a expressão deverá ser modfcada para: lnc /T Cte - Z. t central 101

20 Desgne-se por V a captura acumulada desde t até ao fnal da vda, (forma convenente para os cálculos das váras capturas acumuladas) sto é: V = C k = F k N kcum, onde o somatóro se estende desde a últma dade até à dade. Como F k e Z k são supostos ser constantes ZN kcum = N /Z e portanto será: Portanto: V = FN/Z e lnv = C te + lnn ln V = Cte - Z. t Fnalmente menconar-se-á que Beverton e Holt (1956) também mostraram que: Z = t 1 t a e, portanto, é possível estmar Z a partr da dade méda t (esta expressão fo dervada consderando t b = no ntervalo (t a, t b ) MÉTODOS COM DADOS POR COMPRIMENTOS Quando em vez de dados por dades se dspõe de dados por classes de comprmentos, os métodos referdos anterormente anda podem ser aplcados, mas para tal convém defnr dade relatva. Usando a equação de von Bertalanffy pode-se obter a dade t em função do comprmento, como: (a expressão deve ser escrta na forma geral em relação a t a e não a t 0 ) t = t a - (1/K).ln[(L - L t )/( L - L a )] t = t a 1 K L L.ln(1 L L (Esta equação é referda por alguns autores como equação nversa de von Bertalanffy). Dá-se o nome de dade relatva, t *, à dferença t-ta. Assm: t * =-(1/K).ln[(L - L t )/( L - L a )] =-(1/K)ln[1-(L t -L a )/ ( L - L a )] t a ) 102

21 para t = t a sera L a = 0 e: 1 t* =.ln(1 Lt ) K L Com efeto, esta dade é relatva porque dfere da dade absoluta por uma quantdade constante, t a. Assm, por exemplo, a duração do ntervalo T tanto pode ser calculada pela dferença das dade absolutas dos extremos do ntervalo, como pela dferença das dades relatvas: T = t +1 -t = t * +1 - t * e este ntervalo corresponde ao tempo que o ndvíduo demora a crescer entre L e L +1, sto é, T é o tamanho do ntervalo. Também: t* central = t central + Cte t * = t + Cte Assm as expressões anterores mantêm-se quando se substtuem as dades absolutas por dades relatvas: ln N = Cte - Z. t * central ln U = Cte - Z. t * central Fnalmente, também sera: ln V = Cte - Z. t * ln C /T = Cte - Z. t * central Z = 1/E * Mas Beverton e Holt (1957) provaram que: L Z = K L L L a (Recorde-se que L deve ser calculado como a méda dos valores de L ponderados com as abundâncas (ou índces) ou com as capturas). 103

22 Comentáros 1. A aplcação de qualquer destes métodos deve ser precedda pela representação gráfca dos dados correspondentes, a fm de se verfcar se são acetáves ou não, as suposções dos métodos e, também, para determnar o ntervalo de nteresse, (t a, t b ). 2. As demonstrações destas fórmulas são medatas (com as ndcações que se apresentaram), mas é vantajoso desenvolver as demonstrações porque nclusvé permte explctar as suposções que tornam os métodos aplcáves. 3. A estmação de Z constante deve ser sempre tentada. Mesmo quando não for acetável porque serve de orentação geral sobre a grandeza dos valores que se podem esperar. 4. Os métodos são referdos na lteratura por vezes com nomes dos autores que os aplcaram pela prmera vez. Por exemplo, a expressão ln V = Cte - Z.t * é desgnada por método de Jones e van Zalnge (1981). 5. A dade méda bem como o comprmento médo na captura podem obter-se através das seguntes expressões: t = L = (tcentral.c ) C (Lcentral.C ) C com C = captura em número na dade com C = captura em número na classe de comprmento t* = (t * central.c ) C com C = captura em número na classe de dade A dade relatva deve ser t * = - (1/K).ln[(L - L t )/( L - L a )] 104

23 FORMULÁRIO - Estmação do Coefcente de Mortaldade Total, Z Suposção: Z constante no ntervalo de dades, (t a, t b ) T Constante lnn lnu lnc lnv Cte Z = t Cte Z = t Cte Z = t Cte Z = t V = C k k= ult T varável lnn lnu C ln T Cte Z = t central Cte Z = t central lnv = Cte Z t Cte central Z = t t a T = t + central 2 t 1 Z = ( t b = ) (equação de Z de Beverton e Holt) t Suposção: Z constante num ntervalo de comprmentos, (L a, L b ) Idade relatva 1 L t* = ln 1 t K L lnn * = Cte Z. t ln N * = Cte Z t central * central t t = * + t 2 * + 1 lnu * = Cte Z t central C ln T lnv Z * = Cte Z tcentral T * * = t + 1 t (equação de Gulland e Holt) * = Cte Z t (equação de Jones e van Zalnge) L L K L = ( * b = ) L a t (equação de Z de Beverton e Holt) 105

24 106

25 7.7 ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DA RELAÇÃO MANANCIAL- RECRUTAMENTO (S-R) O método dos mínmos quadrados (modelo não-lnear) pode ser usado para estmar os parâmetros, α e K, de qualquer dos modelos S-R. Os valores ncas do modelo de Beverton e Holt (1957) podem ser obtdos re-escrevendo a equação na forma: (R/S) -1 ou S R = α αk. S e estmando a regressão lnear smples entre y (= S/R) e x (=S) que dará as estmações de 1/α e de 1/αK. A partr destes valores poder-se-á então estmar os parâmetros (a e K) do modelo de Beverton e Holt, que poderão ser consderados como valores ncas na aplcação do modelo não-lnear de Beverton e Holt. No caso do modelo de Rcker (1954) os parâmetros podem ser obtdos re-escrevendo a equação na forma: R ln S = lnα 1 K.S e estmando a regressão lnear smples entre y (= ln R/S) e x (=S) que dará as estmações de lnα e de (-1/K). A partr destes valores poder-se-ão estmar também os parâmetros (α e K) do modelo, que poderão ser consderados como valores ncas na aplcação do modelo nãolnear de Rcker. É convenente representar o gráfco de y contra x de modo a verfcar se os pontos marcados se ajustam a uma recta antes de aplcar a regressão lnear em qualquer destes modelos. Nos modelos com o parâmetro flexível, c, como por exemplo o modelo de Derso (1980), a equação poderá ser re-escrta como: c R S = α c c. α c. S K A regressão lnear entre y (= (R/S) c ) e x (=S) permte estmar os parâmetros α e K. Város valores de c podem ser expermentados para verfcar com qual deles a recta y contra x se ajustará melhor, sugerndo-se por exemplo valores de c entre -1 e

26 A partr dos valores assm obtdos para α, K e c, que poderão ser consderados como valores ncas na aplcação do modelo não-lnear de Derso, poder-se-ão estmar os parâmetros α, K e c do modelo. 7.8 ESTIMAÇÃO DA MATRIZ [F] E DA MATRIZ [N] ANÁLISE DE COORTES AC e LCA ANÁLISE DE COORTES POR IDADES - (AC) A análse de coortes é um método que consste em estmar os coefcentes de mortaldade por pesca, F, e o número de sobrevventes, N, ao níco de cada dade, a partr das estruturas das capturas, em número, de um manancal durante um período de anos. Mas concretamente, consdere um manancal de que se conhecem: Dados dade,, com = 1,2,...,k ano, j, com j = 1,2,...,n Matrz de capturas [C] com C,j = Captura anual, em número, dos ndvíduos com a dade e durante o ano j Matrz de mortaldade natural [M] com M,j = coefcente de mortaldade natural, na dade e no ano j. Vector [T] com T = Tamanho do ntervalo de dade (em geral, T =T=1 ano) Objectvo estmar e matrz [F] matrz [N]. É convenente na resolução deste problema consderar em separado as estmações para: um ntervalo de dade, (parte 1), para todas as dades durante a vda de uma coorte (parte 2) e, fnalmente, para todas as dades e anos (parte 3). PARTE 1 (INTERVALO T ) Consderem-se conhecdas as seguntes característcas de uma coorte, num ntervalo T : C = Captura em número 108

27 M = Coefcente de mortaldade natural T = Tamanho do ntervalo Se for adoptado um valor para o coefcente F então é possível estmar o número de sobrevventes ao níco, N, e ao fnal, N +1, do ntervalo. Da expressão: C F =. N.(1 e F + M (F + M ).T ) pode calcular-se N, que é a únca varável desconhecda na expressão. Para calcular N +1 pode utlzar-se a expressão usando o valor N calculado anterormente. N + 1 = N. e ( F + M ).T PARTE 2 (DURANTE A VIDA) Suponha-se agora que são conhecdas as capturas C de cada dade, de uma coorte durante a sua vda, os valores de M e os tamanhos dos ntervalo T. Admtndo um dado valor, F ult, para a últma classe de dades, é possível, como se referu na parte 1, estmar todos os parâmetros (relaconados com números) nessa últma dade. Deste modo fca-se a conhecer o número de sobrevventes ao níco e ao fnal da últma dade. Recorde-se que o número ao níco dessa últma classe de dade, calculado como no parágrafo anteror, é também o número ao fnal da classe anteror. Seja então N fnal esse número de sobrevventes ao fnal da penúltma classe. Usando a conhecda expressão: C = F. N F + M fnal.(e + (F + M ).T 1) pode estmar-se F da classe anteror, que é a únca varável desconhecda na expressão. A estmação pode requerer métodos teratvos ou métodos de tentatva e êrro. Fnalmente para estmar N o número de sobrevventes ao níco da classe, pode usar-se a expressão, N = N fnal ( F + M ).T. e 109

28 Repetndo este processo para todas as classes anterores, obter-se-ão sucessvamente, os parâmetros em todas as dades, até à prmera dade. Recorde-se que N é também o número de sobrevventes da classe (-1) anteror. Quando a coorte é completamente pescada, o número ao fnal da últma classe é zero e a captura C tem que ser calculada por : C ult =F ult /(F ult +M ).N ult 110

29 Método de Pope Pope (1972) apresentou um método smples que permte estmar o número de sobrevventes ao níco de cada dade da vda da coorte a partr da últma dade. É sufcente aplcar sucessvamente e de trás para dante a expressão: N (N +1 e MT/2 + C ).e MT/2 Pope ndca que a aproxmação é boa quando MT 0.6 A expressão pode dervar-se, segundo Pope, supondo que a captura se efectua exactamente no ponto central do ntervalo T (Fgura 7.3). Nt N N C N N t t central t +1 Fgura 7.3 Evolução do número de sobrevventes durante T com a captura extraída no ponto central do ntervalo Procedendo do fm para o prncípo será sucessvamente: N =N +1.e +MT/2 N =N + C N =N.e +MT/2 por substtução de N por N +C, vrá: N = (N + C ). e +MT/2 e, substtundo N por N +1.e +MT/2, será: N = (N +1.e +MT/2 + C ).e +MT/2 111

30 Parte 3 (período de anos) Suponha-se, fnalmente, que são conhecdas durante um período de anos a matrz Captura [C], a matrz mortaldade natural [M] e o vector tamanho dos ntervalos [T], em que as lnhas,, são dades e as colunas, j, são anos. Admta-se também que se adoptaram valores de F nas últmas dades de todos os anos representados nas matrzes e os valores de F de todas as dades no últmo ano. Desgnar-se-ão estes valores por F termnas (Fgura 7.4) Anos Idades C C C C F termnal 2 C C C C F termnal 3 C C C C F termnal F termnal F termnal F termnal F termnal Fgura 7.4 Matrz captura, [C], com F termnas na últma lnha e na últma coluna da matrz C. O sombreado exemplfca as capturas de uma coorte Note que nestas matrzes os elementos em dagonal correspondem a valores de uma mesma coorte, pos que a um elemento de uma dade e de um ano segur-se-á, em dagonal, o elemento com mas 1 ano de dade e do ano segunte, e, portanto, o elemento segunte da coorte. Pelo que se dsse nas partes 1 e 2 será então possível estmar Fs e Ns sucessvamente para todas as coortes presentes na matrz captura, ou seja, em todas as células. Comentáros 1. Mutas vezes, na prátca, é comum adoptarem-se valores M,j constantes e guas a M. 2. Quando os dados se referem a dades, os valores T costumam ser todos guas a 1 ano. 3. Os últmos grupos de cada ano são por vezes dades(+). As capturas correspondentes são consttuídas por ndvíduos pescados durante esses anos, com aquela dade ou superor. Assm, os valores acumulados não pertencem à mesma coorte, mas são sobrevventes de váras coortes anterores. Não sera legítmo usar a captura de um grupo (+) para analsar a coorte em referênca, porque essas outras coortes resultam de dferentes tamanhos de recrutamentos. Apesar dsso, o grupo (+) tem mportânca no cálculo dos totas anuas de captura em peso, Y, e bomassas, totas, B, e desovantes, BD. Assm, é costume realzar a análse de coortes a partr da dade medatamente anteror ao grupo (+) e utlzar o grupo (+) só para os cálculos de Y, B e BD. O valor de F nesse grupo (+) em cada ano pode estmar-se como sendo o mesmo coefcente de mortaldade por pesca da dade anteror ou, em alguns casos, um valor razoável em relação aos valores de F no ano em causa. 4. Uma dfculdade na aplcação da técnca AC surge quando o número de dades é pequeno ou quando os anos são poucos. Com efeto nesses casos as coortes têm poucas classes de 112

31 dade representadas na Matrz [C] e as estmações serão muto dependentes dos valores adoptados de F termnal. 5. A análse de coortes (AC) tem também sdo desgnada por outros nomes: VPA (Vrtual Populaton Analyss), método de Derzhavn, método de Murphy, método de Gulland, método de Pope, Análse Sequencal, etc. Por vezes refere-se a AC quando se usa a fórmula de Pope e VPA noutros casos. Megrey (1989) apresenta uma revsão muto completa sobre a análse de coortes. 6. Também é possível estmar os restantes parâmetros numa dade, relaconados com números, ou seja, N cum, N, D, Z e E. Com nformação sobre pesos ndvduas ncas ou médos, matrz [w] ou matrz [ w], também se podem calcular as capturas anuas em peso [Y], as bomassas ao níco dos anos, [B] e as bomassas médas durante os anos [ B]. Com nformação sobre ogvas de maturação em cada ano, por exemplo, ao níco do ano, podem-se também calcular as bomassas desovantes, [BD]. Normalmente estmam-se apenas as capturas totas Y, as bomassas do manancal (totas e desovantes) ao níco e as bomassas médas do manancal (totas e desovantes) em cada ano. 7. Os elementos da prmera lnha da matrz [N] podem consderar-se estmações de recrutamento à pesca em cada ano. 8. O facto de se adoptarem F termnas e de estes valores nfluencarem os resultados - matrz [F] e matrz [N] - obrga a selecconar valores de F termnas próxmos dos verdaderos. A coerênca entre as estmações dos parâmetros menconados nos pontos 6. e 7. e outros dados ou índces ndependentes (por exemplo, estmações por métodos acústcos de recrutamento ou bomassas, estmações de índces de abundânca ou cpue s, de esforços de pesca, etc) deve ser analsada. Estas verfcações são obrgatóras para valdar a análse de coortes ( por vezes usam-se ncorrectamente as desgnações calbração ou sntonzação, expressões que pretendem traduzr o termo nglês " tunng", em vez de valdação). 9. Um outro aspecto sobre as matrzes resultantes da AC é a possbldade de verfcar e estmar a hpótese de separar o nível de pesca de cada ano e o padrão relatvo de exploração de cada dade, sto é, transformar os F j calculados em cada célula no produto F j.s, ou seja, F,j = F j.s, com = dade e j = ano. Costuma desgnar-se esta separação como VPA-Separável (SPVA). Sejam F = F,j totj e e F = s j,j tot F = F,j,j tot 113

32 Deste modo, se F j = F,.xs pode provar-se que F j.s F.s = (F j totj.s tot ) / F tot Se os valores estmados para F,j forem guas aos valores anterores, que se desgnarão por Fsep j = F j.s, então a hpótese fo verfcada. Esta comparação pode ser realzada de váras maneras mas, a mas smples e mas rápda, será provavelmente calcular os quocentes (Fsep j /F j ) que, no caso da hpótese ser verdadera deverão ser guas a 1. Note que se a hpótese não for verfcada será sempre possível consderar outras hpóteses tal como o vector anual [s] ser constante apenas em alguns anos, em especal anos recentes. 10. De qualquer modo é usual consderar-se um ntervalo de dades, em que é suposto que os ndvíduos capturados estão completamente recrutados. Se o ntervalo de dades corresponder a ndvíduos completamente recrutados sera de esperar que o padrão relatvo de exploração calculado se aproxmasse de 1 (para as restantes dades não completamente recrutadas o padrão relatvo de exploração devera ser menor que 1). Para aquele ntervalo de dade,, calcula-se então a méda dos valores de F,j em cada ano. Essas médas, F j, são consderadas como níves de pesca nos respectvos anos. O padrão relatvo de exploração em cada célula, sera então o quocente F,j / F j ANÁLISE DE COORTES POR COMPRIMENTOS - (LCA) A técnca da análse de coortes, aplcada à estrutura das capturas de uma coorte durante a sua vda pode ser efectuada com ntervalos de tempo, T, não constantes. Isto sgnfca que se se dspuser da estrutura das capturas de uma coorte durante a sua vda, em classes de comprmento, também se pode analsar a coorte. Os métodos de proceder à análse de coortes nesses casos denomnam-se LCA (Length Cohort Analyss em nglês). As mesmas técncas, método de Pope, método teratvo, etc, da AC para dades, podem ser aplcadas na análse LCA (recorde que os ntervalos T s podem ser calculados a partr de dades relatvas). Um modo de aplcar LCA à composção de capturas, por comprmento, será: agrupar, prevamente, as capturas cujas classes de comprmento pertençam a um mesmo ntervalo de dade, obtendo assm a composção das capturas por dades. A técnca AC pode então ser aplcada drectamente à matrz [C]. Esta técnca é conhecda por cortar em fatas, (slcng em nglês) a composção por comprmentos. Para cortar em fatas uma composção por comprmentos costuma nverter-se a equação de crescmento em comprmento de von Bertalanffy e estmar a dade t para cada comprmento L (por vezes usam-se dades relatvas t * ) (Fgura 7.5). Então, a captura num determnado grupo de dade obter-se-á agrupando as capturas observadas nas classes de comprmento compreenddas entre as duas dades extremas do respectvo ntervalo de dades. Pode suceder que haja classes de comprmento que sejam 114

33 consttuídas por elementos que pertençam a dos grupos de dades consecutvos. Nestes casos será necessáro repartr a captura dessas classes extremas em duas partes e atrbu-las a cada uma daquelas dades. No exemplo da Fgura 7.5, as capturas da classe de comprmentos (24-26] pertencem à dade 0 e à dade 1. Assm, é necessáro repartr essa captura pelas duas dades. Um método smples poderá ser atrbur à dade 0 a fracção ( )/( ) = 0.25 e à dade 1 a fracção ( )/( ) = 0.75 da captura anual dessa classe de comprmentos. O método não será o mas aproprado, pos basea-se na suposção de que nas classes de comprmento a dstrbução dos exemplares por comprmento é unforme. Por sso, será convenente quando se aplcar esta técnca de repartção, usar o menor ntervalo de classes possível. Um outro modo de realzar a análse de coortes por comprmentos poderá ser, não agrupar as capturas nas classes de comprmento compreenddas no mesmo grupo de dade, mas usá-las separadamente. As coortes poderão ser segudas na matrz [C], através das classes de comprmentos pertencentes a uma mesma dade, num determnado ano, com as classes de comprmento da dade segunte, no ano segunte, etc. Deste modo as dferentes coortes exstentes na matrz serão separadas e a evolução de cada uma delas apresentar-se-á, não por dades, mas por classes de comprmento (ver Fgura 7.5). Grupo Idade Idade relatva Anos Classes Coorte do ano

34 Fgura 7.5 Exemplo de uma matrz [C] com classes de comprmento, cortadas em fatas, assnalando-se em negrto a evolução de uma coorte O método LCA de Jones (1961), para analsar uma composção de comprmentos durante a vda de uma coorte poderá, então, ser aplcado. Este método analsa uma coorte durante a vda, constítuda pelas capturas em classes de comprmento aplcando os métodos já estudados de AC com T não-constantes. Os valores de T são calculados como T = t +1 *-t *, onde t * e t +1 * são as dades relatvas correspondentes aos extremos do ntervalo de comprmento. O vector [N] obtdo será consttuído pelo número de sobrevventes ncas em cada classe de comprmento da coorte e não em cada classe de dade. Comentáros 1. Certos modelos, denomnados modelos ntegrados, consderam toda a nformação dsponível (capturas, dados de cruzeros centífcos, dados de esforço, de rendmento, etc) que, juntamente com a matrz [C], são ntegrados num únco modelo para optmzar a função crtéro defnda prevamente. 116

35 2. Fry (1949) consderou as capturas, por dades, acumuladas do fm para o prncípo, de uma coorte durante a vda como magem vrtual do número de sobrevventes ao níco de cada dade (que o autor desgnou por população vrtual ): l Ck = V = N k = ult vrtual Na pescara estudada por Fry, M era pratcamente nulo. Mas se M for dferente de zero pode-se dzer que o número N de sobrevventes ao níco do ntervalo será: N = D k k = ult onde D k representa número total de mortos total no ntervalo k. Adoptando para as taxas de exploração, E, os valores ncas, E k(0), em todas as classes, calcule-se D k(0) = C k /E k(0). N (0) pode ser calculado como os valores acumulados dos mortos totas, sto é: N (o) = k = ult D k (o) Então vrá: Z (1).T = ln(n + 1(0) / N(0) ) e pode-se calcular: F.T = E (1) (0).Z (1). T Os novos valores de E serão: E (1) = F(1).T /(F(1).T + M.T ) Comparando E (1) com E (0) podem-se estmar, de um modo semelhante ao descrto para os métodos teratvos, os valores de E com a aproxmação desejada. Recorde-se que, na últma classe o número, N ult, é gual ao número de mortos, D ult, e pode ser calculado como: 117

36 N = D = C ult ult ult / E ult 3. Fnalmente chama-se a atenção de que os resultados da AC e da LCA nos dão uma perspectva da hstóra do manancal nos anos anterores. Essa nformação é, como se vu anterormente, útl para a realzação das projecções a Curto e Longo Prazo. Normalmente no ano em que se realza a avalação não estão anda dsponíves os dados de capturas relatvas a esse ano, pelo que há que projectar as capturas e bomassas para o ano actual antes de efectuar a projecção a Curto Prazo. 4. Quando se calculam dades relatvas, é costume por uma questão de unformdade, adoptar a dade ncal t a como sendo zero. O valor de L a correspondente será então o lmte nferor da prmera classe de comprmentos representada nas capturas. 118