Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM

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1 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM João Alves e Sousa Laboratóro Regonal de Engenhara Cvl - LREC Rua Agostnho Perera de Olvera, Funchal, Portugal. E-mal: Resumo Em anos recentes, à medda que as tolerâncas aplcadas a processos ndustras têm vndo a ser apertadas, requerendo por sso maor exactdão, o papel da ncerteza de medção tem-se tornado mas mportante na avalação da conformdade dessas tolerâncas. De facto, a avalação da ncerteza de medção é crescentemente vsta como a âncora da garanta da qualdade. Isto leva, nevtavelmente, à necessdade de trabalhar com expressões adequadas para a ncerteza das medções, de modo a assegurar o controlo da qualdade. O objectvo da avalação da ncerteza de medção é modelar estatstcamente o sstema ou processo de medção, tomando em lnha de conta as grandezas de entrada e as suas característcas para determnar um resultado fnal do modelo, explctando a extensão e a natureza da sua exactdão. É regra na apresentação de resultados em metrologa assocar ao valor da mensuranda um ntervalo de confança de 95 % que contenha o resultado da medção, ndcatvo da dstrbução dos valores que podem razoavelmente ser atrbuídos à mensuranda. Na avalação das ncertezas de medção, que é o prncpal objectvo deste estudo, o método convenconal empregue envolve o uso de uma metodologa apresentada no Gude for the Expresson of Uncertanty n Measurements (GUM) e em outros documentos smlares nele baseados.

2 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM Esse método é baseado na propagação das ncertezas através da aproxmação de uma sére de Taylor ao modelo de medção. Contudo, algumas questões têm sdo levantadas recentemente, no que concerne à adequação desta abordagem para avalar e expressar ncertezas de medção, em partcular em casos onde estejam presentes dstrbuções assmétrcas, curvas de calbração não lneares e outros, cuja nfluênca nos resultados não pode ser gnorada, sendo mportante enquadrar a valdade da utlzação do GUM. Nos casos em que a utlzação do método convenconal do GUM seja naproprada, por volar os prncípos teórcos em que o seu desenvolvmento assenta, tem sdo sugerdo como um processo alternatvo para a determnação das ncertezas de medção a utlzação do método de Monte Carlo (MCS Monte Carlo Smulaton). Este método é consderado mas fável para ldar com os efetos acma referdos (desde que garantdos alguns prncípos báscos), e possu uma outra vantagem mportante que é a possbldade de ser usado como ferramenta de valdação dos resultados obtdos com o GUM. O objectvo deste artgo é, desta forma, dscutr a garanta dos prncípos relaconados com a utlzação do GUM na avalação de ncertezas de medção através de exemplos concretos e, smultaneamente, dar a conhecer, anda que de forma superfcal, um processo alternatvo de calcular essas ncertezas nos casos onde a utlzação do GUM seja dscutível.. Introdução A ncerteza assocada com o valor de uma quantdade físca fornece uma medda quanttatva da fabldade e confança desse valor. Em cêncas

3 Qualdade e Metrologa puras e aplcadas é reconhecdo que a ncerteza pode ser usada para avalar a consstênca entre expermentação e teora, medções dferentes e teoras dferentes. Em anos recentes, à medda que as tolerâncas aplcadas a processos ndustras têm vndo a ser restrngdas, requerendo por sso maor exactdão, o papel da ncerteza de medção tem-se tornado mas mportante na avalação da conformdade dessas tolerâncas. De facto, a avalação da ncerteza de medção é crescentemente vsta como nuclear na garanta da qualdade. Isto leva, nevtavelmente, à necessdade de trabalhar com expressões para a ncerteza das medções adequadas para assegurar o controlo da qualdade. O objectvo da avalação da ncerteza de medção é modelar estatstcamente o sstema ou processo de medção, nclundo a quantfcação das grandezas de entrada (nput quanttes) e a natureza das suas nexactdões, e determnar o resultado do modelo (output quantty), quantfcando a extensão e natureza da sua exactdão. Um requsto essencal é assocar ao valor da mensuranda um ntervalo de confança que contenha o resultado da medção, que é a melhor estmatva do resultado numérco obtdo, e que possa ser expectável que nclua uma determnada proporção, 95 % na maora dos casos, da dstrbução dos valores que podem razoavelmente ser atrbuídos à mensuranda. Na avalação das ncertezas de medção, que é o prncpal objectvo deste estudo, o método convenconal empregue envolve o uso de uma metodologa apresentada no Gude for the Expresson of Uncertanty n Measurements (GUM) [] e em outros documentos smlares nele baseados. Essa metodologa é baseada na representação das quantdades de entrada do modelo em termos de valores estmados e ncertezas padrão assocadas que medem a dspersão desses valores. Esses valores e

4 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM respectvas ncertezas são propagadas através de uma versão lnearzada do modelo (aproxmação de uma sére de Taylor ao modelo de medção) para fornecer uma estmatva da quantdade de saída e a sua ncerteza. Uma forma de obter um ntervalo de confança é gualmente fornecda. O procedmento tem também em consderação eventuas efetos de correlação que exstam se as quantdades de entrada forem estatstcamente nterdependentes. Contudo, algumas questões têm sdo levantadas recentemente, no que concerne à adequação desta abordagem para avalar e expressar ncertezas de medção [], em partcular em casos onde estejam presentes dstrbuções assmétrcas, curvas de calbração não lneares e outros, cuja nfluênca nos resultados não pode ser gnorada. E não se pense que os problemas assocados ao uso menos adequado do GUM se referem apenas a grandes e complexos problemas. Para problemas pequenos, nãolneares envolvendo modelos de medção com apenas ou 3 grandezas de entrada, as ncertezas e ntervalos de confança resultantes podem ser ncorrectos. Uma das razões para sso tem a ver com o facto de que a le de propagação de ncertezas (ou varâncas) promovda no GUM é apenas aplcável a modelos lneares. Outra razão é a aplcabldade do Teorema do Lmte Central, que é assumdo para deduzr os ntervalos de confança com base na dstrbução normal ou t-student, e que geralmente requer (entre outras cosas) um número de grandezas de entrada sufcentemente grande. E embora o GUM no seu todo seja um documento muto completo, a sua aplcação é restrta à versão mas smples e tem sdo adoptada pela maora dos envolvdos em metrologa, daí que urge avalar a adequação deste procedmento em geral e em aplcações partculares.

5 Qualdade e Metrologa A avalação da ncerteza de medção pode, no entanto, ser avalada através de outros métodos menos comuns mas cuja aplcação pode ser de enorme utldade, até como ferramenta de valdação do método GUM convenconal cuja aplcação nem sempre é tão crterosa como devera. Aqueles métodos, dos quas se destaca o método de Monte Carlo, têm estado restrngdos aos Laboratóros de Medção Prmáros (NMIs Natonal Measurement Insttutes) devdo à sua natureza computaconal ntensva. Porém, para valdar o uso de MCS é necessáro efectuar alguns estudos prévos, desgnadamente aqueles relaconados com a selecção e a qualdade dos geradores de números pseudo-aleatóros (base dos algortmos numércos) e com as funções usadas para converter os números pseudo-aleatóros gerados em valores de funções de dstrbuções específcas. Estes valores são utlzados para, através de uma relação funconal, estmar o valor da mensuranda e o respectvo ntervalo de ncerteza com uma exactdão defnda.. A Incerteza de medção segundo o método GUM A declaração de um resultado de uma medção só está completo se nclur o valor atrbuído à mensuranda e a ncerteza da medção assocada a esse valor. A ncerteza de medção é um parâmetro, assocado ao resultado da medção, que caracterza a dspersão de valores que podem razoavelmente ser atrbuídos à mensuranda. A avalação da ncerteza é convenconalmente feta pelo uso do chamado método GUM, que é baseado na defnção de uma relação funconal () entre uma grandeza aleatóra (mensuranda) e váras grandezas de entrada.

6 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM ( X, X, ) Y = f, () L A função f do modelo estatístco representa o procedmento de medção e o método de avalação, descrevendo a forma como o valor da mensuranda Y é obtdo a partr das N grandezas de entrada X. Em mutos casos pode consttur uma smples expressão analítca explícta, mas pode ser também uma relação mplícta mas complexa, ou ser apenas determnada expermentalmente ou anda um mero algortmo computaconal. Cada nput quantty (grandeza de entrada) tem assocada uma função de dstrbução de probabldade (pdf) que caracterza razoavelmente o seu comportamento, tendo por sso uma natureza aleatóra que condcona o valor real da mensuranda, não permtndo o seu conhecmento exacto. Daí a necessdade de assocar ao resultado da medção uma estmatva da dspersão dos valores em torno do valor obtdo, dada pela ncerteza de medção. Uma estmatva da mensuranda Y, a estmatva resultante denomnada por y, é obtda da equação () usando estmatvas das grandezas de entrada x para os valores das dessas grandezas X X N ( x, x, ) y = f, () L A ncerteza de medção assocada com as estmatvas das grandezas de entrada é avalada de acordo com uma de duas formas dstntas: avalação tpo A ou avalação tpo B. A avalação da ncerteza padrão do tpo A é o método de avalar a ncerteza por análse estatístca de uma sére de observações ndependentes para a mesma grandeza de entrada nas mesmas condções de medção. Neste caso a ncerteza padrão é o desvo padrão expermental da méda que resulta da determnação do seu valor médo. A avalação da ncerteza padrão do tpo B é o método de avalar a x N

7 Qualdade e Metrologa ncerteza por outros meos que não a análse estatístca de uma sére de observações, e são baseadas nalgum outro conhecmento centífco. Para o prmero tpo de avalação referdo, se houver resolução sufcente no processo de medção haverá uma dspersão mensurável dos valores obtdos. Assumndo que a quantdade X repetdamente medda é a quantdade Q e que foram fetas k observações estatstcamente ndependentes, a estmatva da quantdade Q é q, o valor médo dos valores ndvduas qj observados, da qual se pode obter uma varânca assocada representada por s ( q ). A forma de as determnar é através das fórmulas conhecdas da estatístca elementar [3]. q = k k q j j= (3) k s ( q) = ( q j q ) (4) k s ( q) s ( q) = (5) k A raz quadrada da equação (4) dá-nos o desvo-padrão expermental da amostra de valores meddos. Em relação ao valor médo, a melhor forma de caracterzar a dspersão de valores em torno do seu valor, é através do desvo-padrão da méda (5). Este estmador determna a contrbução para a ncerteza provenente da avalação do tpo A, u ( q) = s( q). É provável que os componentes sstemátcos da ncerteza, sto é aqueles que são devdos a erros que se mantêm constantes ao longo da medção, sejam obtdos através de avalações do tpo B: destes componentes sstemátcos destacam-se, no caso de um nstrumento, as ncertezas j=

8 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM assocadas com as correcções a valores ndcados em certfcados de calbração. Outros exemplos ncluem a ncerteza declarada para o padrão de referênca e respectva degradação, ou nstabldade no seu valor ou letura, a resolução e establdade do equpamento sob calbração, o procedmento ou método de medção (e.g. erros de alnhamento) e os efetos das condções ambentas nos anterores. Depos de dentfcados todos os possíves componentes sstemátcos da ncerteza, baseados tanto quanto possível em dados expermentas ou consderações teórcas, eles deverão ser caracterzados em termos de desvos padrão com base nas dstrbuções de probabldades assumdas. A dstrbução de probabldade de uma ncerteza obtda de uma avalação do tpo B pode tomar uma varedade de formas, mas é em geral acetável assumr formas geométrcas bem defndas para as quas o desvo padrão pode ser obtdo faclmente. A ncerteza padrão é defnda como um desvo padrão e é dervada da ncerteza da grandeza de entrada dvdndo-a por um número assocado à dstrbução probablístca assumda. Os dvsores para as dstrbuções mas comuns em aplcações em metrologa são [4]: Normal Normal (k=) Rectangular 3 Trangular 6 U-shaped A dstrbução probablístca mas utlzada para representar o comportamento de grandezas de entrada do tpo B é a dstrbução rectangular. Não só quando a nformação dsponível é escassa, vsto que assm se assume uma attude pessmsta majorando a ncerteza padrão

9 Qualdade e Metrologa devdo a essa fonte de ncerteza (excepto num caso), mas prncpalmente quando se conhecem apenas os lmtes nferor e superor de um determnado erro, esta dstrbução deve ser assumda para a ncerteza assocada a esse erro. Se a for a sem-ampltude da varação, o desvo padrão, referdo aqu como ncerteza padrão u x ) é dado por a u ( x ) = (6) 3 No caso de ser uma dstrbução rectangular descentrada, em relação à qual se conhecem os lmtes a e b ( b > a ) então a ncerteza padrão assocada vrá ( b a) u( x ) = (7) Partndo da equação (), é possível estabelecer um desenvolvmento em sére de Taylor de ª ordem em torno de um ponto que representa a mensuranda: ( y = f N f µ,..., N (8) = x (, µ µ ) + ( x µ ) + r ( x ) onde x e µ representam, respectvamente, a estmatva e o valor esperado para cada grandeza de entrada, r representa o resto de ordem do desenvolvmento em sére de Taylor e o prmero termo do segundo membro da equação (8) representa o valor esperado µ y da mensuranda y. Para se obter a varânca de y é necessáro determnar a dferença entre a estmatva da mensuranda (8) e o valor esperado tal como se ndca na

10 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM equação (9), resultando dessa forma a expressão smplfcada apresentada na equação (0). ( ) ( ) = + = N y x r x x f y µ µ (9) ( ) = = N x x f y ) ( µ σ (0) O segundo membro da equação pode ser modfcado de modo a evdencar as componentes dagonas e as componentes cruzadas da matrz da varânca [5]: = = + = + = N N N j j j x f x f x f y ) ( σ σ σ () onde σ é a varânca assocada à grandeza de entrada e j σ é a covarânca entre cada par de grandezas de entrada, sendo equvalente a j j r σ σ.. (r é o coefcente de correlação para as varáves em causa). Como consequênca, quando não exste correlação ou quando se admte que esta é desprezável ( 0 j r ), a equação anteror smplfca-se, tomando a forma: = = N x f y ) ( σ σ ()

11 Qualdade e Metrologa Substtundo em () as varâncas pelas estmatvas das ncertezas e as dervadas parcas pela representação equvalente c f = x a Le de Propagação de Incertezas (LPI) na sua forma geral: N =, obtém-se N N ( x ) + ( ) ( ) ( ) c. c j. u x. u x j. r x, x j u ( y) = c. u (3) = j = + a qual, para o caso de grandezas de entrada não correlaconadas, tem a representação smplfcada mas usual ndcada abaxo, N N c. u ( x ) = = = u ( y) = u ( y) (4) que está assocada a uma dspersão dos valores em torno do valor médo com um nível de confança gual a um desvo-padrão. Em Metrologa, porém, é habtual a utlzação de níves de confança mas elevados, normalmente de 95 % (ou 99 %), aos quas corresponde a adopção de um factor de expansão gual a (ou 3), consderando que a dstrbução assocada a y é normal, de acordo com o Teorema do Lmte Central. Assm, a adopção de níves de confança dferentes de um desvo-padrão na expressão da ncerteza de medção desgnada por expandda, são genercamente representados na forma abaxo, onde k representa o factor de expansão. U = k. u( y) (5) Em mutos casos, porém, pode não ser prátco avalar as ncertezas do tpo A com base num número alargado de medções ( 30), o que pode resultar numa dmnução do nível de confança para valores abaxo dos 95 % se o factor de expansão usado se mantver k =, que só se aplca a stuações de x

12 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM convergênca para a dstrbução normal com amostras de maores dmensões. Nestes casos, o cálculo de k deverá ao nvés ser baseado na dstrbução t-student, a qual permte determnar a ncerteza expandda a partr de amostras mas pequenas, e obter um valor para k que garanta uma ncerteza expandda U mantendo o mesmo nível de confança de requerdo. Para se obter este novo k é necessáro determnar uma estmatva do número efectvo de graus de lberdade ν ef da ncerteza de medção padrão u ( y). O GUM recomenda que a equação de Welch- Satterthwate seja utlzada para calcular o valor de ν ef graus de lberdade ν das componentes de ncerteza ndvduas., baseada nos ν ef = N u = 4 u ( y) 4 ( y) ν (6) O valor dos graus de lberdade ν para contrbuções obtdas de avalações do tpo A resulta da dmensão da amostra, sendo gual a (N ) se a amostra tver uma dmensão N. No caso das contrbuções do tpo B é normalmente possível tomar um número de graus de lberdade ν como sendo nfnto, sto é, o seu valor é conhecdo com um grau de confança muto elevado. Contudo, embora tal seja possível de justfcar em certas crcunstâncas, a prátca comum é utlzar o valor de 50 para quantfcar essa varável. Ver o GUM [] para ter acesso à fórmula que permte determnar, para estes casos, o número de graus de lberdade. Em casos onde a contrbução do tpo B é ela mesma uma ncerteza expandda baseada numa dstrbução t-student, então não terá já um número

13 Qualdade e Metrologa nfnto de graus de lberdade, e deverá ser usado o valor declarado no certfcado de calbração ou ser obtdo da tabela abaxo ndcada. Tendo obtdo um valor para ν ef a tabela da dstrbução t-student é usada para determnar o valor de k. A tabela abaxo fornece alguns valores para k95, sto é para um nível de confança de 95 %; valores para outros níves de confança podem ser vstos em []. ν ef k95 3,9 4,53 3,3,87,65,5,43,37,8,3,0,7 ν ef k95,5,3,,09,07,06,06,05,04,03,0,00 Deve referr-se que ν ef não é em normalmente um ntero pelo que será necessáro nterpolar entre valores dados na tabela. Interpolação lnear é sufcente para ν ef > 3; nterpolação de ordem superor deve ser usada nos outros casos. Alternatvamente, usar o valor nferor mas próxmo. O valor de k95 obtdo da tabela é o valor requerdo para calcular a ncerteza de medção expandda U95 tal como ndcado na equação segunte, ( y) U 95 = k95. u (7) As crcunstâncas deas para aplcação do GUM são aquelas onde exste um modelo adtvo relaconando as varáves de entrada X com a mensuranda Y, sto é, Y = a X + + a n X n (8)

14 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM para quasquer constantes a,,an, e qualquer valor de n, grande ou pequeno, desde que as quantdades de entrada X tenham dstrbuções Gaussanas ndependentes. Noutras crcunstâncas o método GUM convenconal fornece em geral uma solução aproxmada. A qualdade dessa aproxmação rá depender do número das grandezas de entrada, do grau de não-lneardade do modelo, do desvo em relação à dstrbução normal de cada grandeza de entrada e da ordem de magntude das ncertezas envolvdas, sabendo que a dstrbução Y resultante converge para uma dstrbução normal à medda que o número de grandezas de entrada aumenta e se aproxmam os valores das ncertezas entre s. Essa aproxmação pode ser em mutas crcunstâncas perfetamente acetável para aplcações prátcas. Noutras pode não ser esse o caso. É convenente ler a declaração da secção G.6.6 do GUM. 3. Exemplos de cálculos de ncertezas de medção segundo o GUM 3. Calbração de uma balança com capacdade de 05 g e resolução de 0, mg A calbração é realzada usando pesos da Classe (OIML) E. Os testes abrangem um ensao de lneardade (exactdão) de resposta ao longo da escala de funconamento da balança, um ensao de excentrcdade em resposta ao posconamento dos pesos em város pontos do prato da balança e um ensao de reversbldade para determnar a resposta da balança a cclos ascendentes e descendentes alternados. O ensao de repetbldade está ncluído no ensao de lneardade. Admte-se que o nstrumento de pesagem está nvelado, lmpo e em boas condções, e que lhe fo efectuada uma auto-calbração (de acordo com as

15 Qualdade e Metrologa nstruções do fabrcante) antes do níco do ensao de calbração propramente dto. O cálculo de ncerteza abaxo é referente a um valor de 00 g perto do alcance máxmo. As ndcações da balança são obtdas da segunte forma: Indcação pretendda, I = P + D + δ R + I + C X P P d R IA onde P P = Peso certfcado do padrão de referênca, D P = Degradação do padrão desde a últma calbração, δ R d = Arredondamento do valor de um dígto da ndcação, C IA = Correção devda à mpulsão do ar; I R = Repetbldade da ndcação. Vamos admtr as seguntes condções de ensao: - O certfcado de calbração para a massa padrão de referênca de 00 g dá-nos uma ncerteza de ± 0, mg para um nível de confança de 95 % (k = ); - O valor máxmo admtdo para os lmtes da degradação da massa padrão fo fxado em ± 0, mg, por análse ao hstórco das calbrações. A dstrbução de probabldade é assumda como sendo trangular; - O últmo dígto sgnfcatvo nos valores a calbrar corresponde a 0, mg, logo exste um possível erro de arredondamento de ± 0,05 mg. A dstrbução de probabldade é assumda como sendo rectangular; - Não se consdera qualquer correcção para a mpulsão do ar;

16 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM - A repetbldade da balança fo determnada através de uma sére de 5 leturas efectuadas (Avalação do tpo A) com a massa padrão de 00 g. Entre cada pesagem é mportante verfcar o zero (tara) da máquna. O desvo-padrão expermental obtdo fo de 0,05 mg, para um valor médo das 5 leturas de 99,9999 g. O número de graus de lberdade para esta avalação é de 4 (N - ). O desvo padrão da méda vem, s( PC ) 0,05 u( I R ) = s( PC ) = = = 0,04 mg N 5 Balanço da ncerteza para o patamar de 00 g Símb P P D P δ R d I R Fonte de ncerteza Calbração do peso padrão Degradação do padrão desde últma calbração Erro de arredondamento dgtal Repetbldade da ndcação Valor ± mg Dstrbução de probabldade Dvsor c u( l X ) ± mg ν ef 0, normal,0,0 0, , trangular 6,0 0, ,05 rectangular 3,0 0,09 0,0 normal,0,0 0,0 4 C IA Impulsão do ar 0 rectangular 3,0 0,0 50 u ( l X ) U 95% Incerteza de medção padrão Incerteza de medção expandda normal 0,085 >5 normal (k = ) 0,7 >5

17 Qualdade e Metrologa Para um peso aplcado de 00 g a ndcação da balança sera então de 99,9999 g ± 0,7 mg. Esta ncerteza expandda é baseada numa ncerteza padrão que, quando multplcada por um factor de expansão k =, corresponde a um nível de confança de 95%. 3. Calbração de um paquímetro dgtal de alcance 00 mm e resolução 0,0 mm A calbração fo efectuada usando um calbrador de paquímetros e blocos padrão de referênca. Para cada patamar de ensao obtemos um desvo de calbração δ L que é dado pela dferença entre o comprmento ndcado pelo nstrumento a calbrar e o valor convenconalmente verdadero do padrão de referênca, δ L = L X L S (9) Um factor determnante em mutos casos nos ensaos de comprmento é a temperatura, não só devdo à sua varação durante o ensao mas gualmente por razões do desvo relatvamente à temperatura de referênca em laboratóros t 0 que é de 0 ºC. Estas varações têm orgem no controlo das condções ambentas, na presença de operadores no espaço físco do ensao e, por vezes, no própro aquecmento produzdo pelos equpamentos em funconamento, que são mpossíves de elmnar, daí o desvo e a ampltude de varação referdos. Em termos do ensao expermental estes factores vão produzr uma dferença entre as temperaturas médas (a que se assoca sempre um ntervalo de varação) a que se encontram os equpamentos de referênca e a calbrar, t S e

18 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM t X respectvamente, com nfluênca na ncerteza de medção como se ndca a segur. Contablzando na equação anteror o efeto provocado pela varação da temperatura na varação do comprmento, o modelo de medção transforma-se em, [ + α ( t t )] L [ + ( t t )] δ L = L α (0) X X X 0 S Consderando os város factores que afectam a medção de um comprmento, nomeadamente degradação, repetbldade e efetos mecâncos, entre outros, a equação do modelo matemátco que descreve o comprmento desconhecdo de um bloco padrão a calbrar vem então: L X = L + L S D + I S S [ L( αδt + δαδt )] I X + RM + ROP δlem + δ L + S 0 () onde L S = Comprmento certfcado do comprmento de referênca a 0 ºC, L D = Degradação do comprmento de referênca (calbrador ou bloco padrão), I S = Correcção devda à correcção dos valores ldos no equpamento de referênca, δ L = Dferença de comprmento determnada no ensao, L = Comprmento nomnal do patamar ensaado, α = Valor médo dos coefcentes de expansão térmca do padrão e do paquímetro, δ t = Dferença entre as temperaturas médas do padrão e do paquímetro, δ α = Dferença entre os coefcentes de expansão térmca do padrão e do paquímetro, δ T = Dferença entre a temperatura méda do padrão e paquímetro, e a temperatura de referênca de 0 ºC, I X = Correcção devda à resolução fnta do paquímetro, R = Repetbldade da medção, M

19 Qualdade e Metrologa R OP = Reprodutbldade dos operadores, δ L EM = Correcção devdo a efetos mecâncos, como força aplcada e o paralelsmo das faces de medção. Vamos admtr as seguntes condções de ensao: - O certfcado de calbração para o calbrador de paquímetros (padrão de referênca) por patamares, que no caso dos 00 mm gual a ±,7x0-3 mm para um nível de confança de 95 % (k = ); - O valor anual médo da degradação dos últmos três anos fo calculado, analsando o hstórco dessas calbrações, dando 0,8x0-3 mm. A dstrbução de probabldade é assumda como sendo trangular; - Não há desvos resduas a consderar; - A dferença resultante do ensao de exactdão (3 leturas) fo de 0,0 (arredondado de 0,008), para um valor nomnal de L = 00 mm; - Valor médo do coefcente de expansão térmca tomado como,5x0-6 ºC - ; - Dferença entre as temperaturas médas do padrão e do paquímetro, estmada em 0, ºC; - Dferença entre os coefcentes de expansão térmca do padrão e do paquímetro, estmada em,0x0-6 ºC - com dstrbução trangular; - O desvo em relação à temperatura de referênca é tomado como a maor dferença para 0 ºC ocorrda durante o ensao, cujas temperaturas são regstadas, mas a ncerteza do nstrumento que mede esses valores; estmada em ± 0,5 ºC; - Sendo a resolução 0,0 mm esta ncerteza é tomada como ± 0,005 mm e é assumda uma dstrbução rectangular centrada; - Foram efectuados 0 ensaos para determnar esta fonte de ncerteza, tendo-se chegado a um desvo padrão expermental de ± 7,4x0-3 mm. O correspondente desvo padrão da méda é de ±,3x0-3 mm;

20 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM - A reprodutbldade dos operadores é baseada em 0 leturas para dferentes stuações de ensao, sendo de ± 8,8x0-3 mm. O correspondente desvo padrão da méda é de ±,8x0-3 mm. - O desvo de paralelsmo fo determnado como a máxma dferença entre leturas com os blocos-padrão em pontos dstntos nas hastes de medção. Esse valor é de 0,0 mm sendo consderada uma dstrbução rectangular descentrada. Balanço da ncerteza para o patamar de 00 mm (pontas exterores) Símb Fonte de ncerteza Valor ± µm Dstrbução de probabldade Dvsor c u( l X ) ± µm ν ef L S L D I S Calbração do padrão de refª. Degradação méda anual do padrão de refª. últmos 3 anos Correcção dos erros do padrão de refª.,7 normal,0,0 0, ,4 trangular 6,0 0, ,0 rectangular 3,0 0,0 50 δ t Dferença de temp. entre equpamentos 0, ºC rectangular 3 -,3 µmºc - 0,33 50 δα T Efetos do desvo de temp. em relação à temp. (0ºC) de refª. 0, trangular 6 -,0 0,08 50 I X R M R OP δ L EM u ( l X ) Erro de arredondamento dgtal Repetbldade das medções Reprodutbldade dos operadores Efetos mecâncos (e.g. Paralelsmo) Incerteza de medção padrão 5,0 rectangular 3 -,0,89,3 normal,0,0,3 9,8 normal,0,0,8 9 5,0 rectangular 3,0,89 50 normal 5,53 >80 U 95% Incerteza de medção expandda Normal (k = ) >80

21 Qualdade e Metrologa 4. O método de Monte Carlo como alternatva para o cálculo de ncertezas de medção Embora o método de Monte Carlo (MCS) já tenha sdo aplcado ao cálculo de ncertezas em problemas metrológcos, o seu uso tem sdo confnado aos NMIs Insttutos Naconas de Medção (Laboratóros Prmáros), devdo à sua natureza computaconal ntensva, ou a casos onde a dstrbução atrbuída às grandezas de entrada são as mas comuns Gaussana (ou normal) e rectangular (ou unforme). Como se sabe, outras dstrbuções exstem como a dstrbução trangular e a dstrbução em U (e.g metrologa eléctrca) e combnações destas com as anterores. A questão prncpal está não só na determnação de uma ncerteza de medção expandda cujo valor seja correcto, mas gualmente no ntervalo de confança correspondente, questões que nos conduzem à adequação e valdação do GUM. A grande vantagem do MCS resde não só no facto de os seus resultados tenderem para a solução exacta, dependendo do número de smulações (trals) efectuadas, mas também no facto de fornecer nformação muto mas completa acerca do modelo de medção analsado. Essencalmente o MCS é um método estatístco de amostragem que serve de alternatva à propagação das ncertezas por aproxmação do modelo de medção através de séres de Taylor, como no GUM. De facto, o MCS propaga as funções de densdade de probabldade (pdf) ao nvés de apenas as ncertezas das grandezas de entrada, consegundo assm obter uma estmatva da pdf da mensuranda em vez de um smples parâmetro estatístco como o desvo padrão fnal. Com essa estmatva da pdf resultante é depos possível determnar qualquer parâmetro estatístco, nclundo estmatvas do resultado da medção, a ncerteza assocada e o ntervalo de confança

22 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM correspondente. Outra mportante vantagem do MCS é a sua aplcabldade ndependentemente da natureza do modelo de medção, por exemplo modelos marcadamente não-lneares, e a sua capacdade para trabalhar com modelos de estágos múltplos. Como referdo atrás em relação ao modelo de medção (puramente adtvo) mas comum Y = a X + a X + + a n X n, o GUM é partcularmente adequado para modelos lneares mas requer que as grandezas de entrada X tenham dstrbuções Gaussanas ndependentes. Qualquer desvo em relação a esta condção deal mplca que o resultado do GUM seja apenas uma aproxmação, que rá depender de város factores como o número de varáves de entrada, grau de nãolneardade, etc., e em mutas ocasões a aplcação do GUM não é acetável, sendo sugerda a aplcação de métodos numércos, como o MCS, para avalar adequadamente as ncertezas de medção. Um exemplo comum onde o GUM pode produzr um resulto ncorrecto é na soma de duas dstrbuções rectangulares com gual sem-ampltude. Nesta stuação pode ser demonstrado, analtcamente ou usando o MCS, que a dstrbução resultante não é Gaussana mas sm trangular (ou trapezodal para semampltudes arbtráras) [Cox]. A aproxmação a uma dstrbução Gaussana é sgnfcatvamente melhorada quando a soma das grandezas com dstrbução unforme passa de duas para três, o que reforça a mportânca do número de grandezas de entrada nas aplcações do GUM. Outro facto lustratvo de uma outra desvantagem do GUM: tudo o que este produz é um parâmetro estatístco, o desvo padrão, não dando quasquer nformações sobre a forma da dstrbução da mensuranda que é sempre assumda como normal, uma hpótese nem sempre válda.

23 Qualdade e Metrologa Como vmos também o MCS tende para a solução exacta dependendo do número de smulações efectuadas, a exactdão aumentando com este número (M). Há formas de determnar o número M adequado de smulações para um problema específco, sabendo que o número correcto de smulações rá depender da forma da pdf e do nível de confança pretenddo. Todava, um valor de smulações tem sdo adequado para ntervalos de confança a 95% num grande número de testes, mas mesmo assm deve ser sempre verfcado com base no comprmento do ntervalo de confança correspondente, nos percents,5 e 97,5, relatvamente ao número de dígtos sgnfcatvos na mensuranda. É este o crtéro de convergênca sugerdo em [Cox] para garantr um determnado nível de exactdão na ncerteza calculada. Assumndo então o valor de smulações, a aplcação do MCS envolve os seguntes passos prncpas []: - Gerar M amostras x de das grandezas de entrada X; - Avalar o modelo y com base na relação funconal, e.g. y = x, + x, =,..., M para obter a grandeza desconhecda; - Ordenar os valores de y de forma crescente e produzr o hstograma correspondente, para permtr estmar a pdf de Y; - Tomar o ntervalo ( y( α / ) M, y( α / ) M ) como um ntervalo de ( α) confança para a mensuranda; - Executar um teste específco para valdar o procedmento a um determnado nível de exactdão.

24 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM Apenas como exemplo do que atrás fo dto, e para que se possa ter uma maor sensbldade em relação às potencaldades deste método, vejam-se as três fguras abaxo que reflectem o tal modelo smples adtvo em que as grandezas de entrada têm todas uma dstrbução em U [6]. As fguras, e 3 abaxo referem-se, sucessvamente, à soma de duas, três e quatro grandezas de entrada com a dstrbução referda. Como se pode faclmente constatar, apenas a partr do últmo caso se pode falar, como aproxmação razoável, de uma dstrbução normal resultante. Nos outros casos estaríamos a assumr algo totalmente rrealsta e contráro ao resultado produzdo fww n hst_nt nt Hstogram 0.69 Fgura Soma de duas dstrbuções em U

25 Qualdade e Metrologa fww 300 n hst_nt nt Hstogram 0.39 Fgura Soma de três dstrbuções em U fww 300 n hst_nt nt Hstogram 0.38 Fgura 3 Soma de quatro dstrbuções em U

26 Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM 5. Conclusões Não se nfra do últmo capítulo que o GUM afnal não é o melhor método para o cálculo das ncertezas ou que não é sequer adequado para este fm, numa reacção mas drástca aos cudados que se devem ter na análse ao modelo de medção que se pretende estudar. Pelo contráro, o GUM contnuará a ser o método mas utlzado no cálculo das ncertezas de medção, e a sua adequação ao fm para que é utlzada será correcta na grandíssma maora dos casos. Refra-se anda que o documento GUM é um documento bastante completo que preconza dferentes abordagens para dferentes problemas, nomeadamente o uso de termos de ordem superor da sére de Taylor, mas que é utlzado quase exclusvamente na sua versão mas smplfcada, que mesmo assm tem valdade para a maora das stuações correntes da metrologa. Este facto, no entanto, não nvalda que em condções partculares devam ser empregues outros processos de cálculo, como o método de Monte Carlo, ou que pelo menos o GUM não tenha que ser valdado para essa aplcação específca. Um exemplo corrente onde pode ocorrer tal stuação é quando exstem poucas grandezas de entrada e em que, ao mesmo tempo, uma delas é domnante e não é Gaussana, para não menconar outras stuações menos correntes de modelos de complexdade acrescda. Referêncas bblográfcas [] ISO, BIPM, CEI, IFCC, IUPAC, IUPAP, OIML. Gude for the Expresson of Uncertanty n Measurement (GUM), 995.

27 Qualdade e Metrologa [] Cox, M., Danton, M. and Harrs, P. M., Uncertanty and Statstcal Modellng. Software Support for Metrology Best Practce Gude Nº 6, Natonal Physcal Laboratory, 00. [3] EA. Expresson of the uncertanty of measurement n calbraton. Techncal Report EA-4/0, European Co-operaton ofr Accredtaton, 999. [4] UKAS. The Expresson of Uncertanty and Confdence n Measurement. Ref. M3003, Unted Kngdom Accredtaton Servce, 997. [5] LNEC. Avalação da ncerteza assocada à calbração de equpamentos de medção de comprmento por comparação drecta. Laboratóro Naconal de Engenhara Cvl, Relatóro 74/0 CPCE. [6] Rbero, A.S., Sousa, J.A. and Castro, M.P., Some Remarks on the Use of U-Shaped Probablty Dstrbuton Functons n Monte Carlo Smulaton. 0 th IMEKO TC7 Internatonal Symposum Advances of Measurement Scence, June 9 July, Sant- Petersburg, Russa, 004.

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