Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças 1. Introdução 2. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Distribuição 4. Algumas Aplicações 5.

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças 1. Introdução 2. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Distribuição 4. Algumas Aplicações 5."

Transcrição

1 Método de Monte Carlo Aplcado às Fnanças 1. Introdução. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Dstrbução 4. Algumas Aplcações 5. Prncípos Báscos do Método de Monte Carlo 5.1 Introdução 5. Formulação Geral 6. Séres Pseudo-Aleatóras 6.1 úmeros aleatóros 6. Exemplo de um gerador de A: o método das congruêncas 6.3 Testes estatístcos Teste de Kolmogorov-Smrnov 6.3. Testes de sequênca 7. Geração de Observações de V.A. Correlaconadas 7.1 Populações normas multvaradas 7. Caso geral 8. Smulação de Processos Estocástcos 8.1 Processos estocástcos em tempo dscreto 8. Processos estocástcos em tempo contínuo 9. Métodos Para a Redução do Erro de Estmação 10. Bblografa 11. Anexo 1 - Exercícos 1. Anexo - Tabela de K-S

2 1. Introdução Desde há muto que as técncas de smulação são uma mportante ferramenta para a resolução de problemas. Tratando-se de técncas extremamente versátes, podem ser utlzadas em pratcamente todos os tpos de sstemas estocástcos, desde as flas de espera aos sstemas fnanceros, passando pela gestão de stocks, o desenvolvmento de processos produtvos e de redes de dstrbução, ou mesmo pelo cálculo da probabldade de se consegur termnar um dado projeto dentro do prazo acordado. O recurso à smulação torna-se ndspensável quando o sstema probablístco em consderação é demasado complexo para que o problema em estudo seja soluconado, de forma exata ou, pelo menos, satsfatóra, recorrendo a modelos matemátcos e estatístcos. Quando a complexdade nvablza esta alternatva, o que é frequente nos modelos fnanceros, a smulação é frequentemente a únca abordagem pratcável. Um modelo de smulação vsa assm replcar o comportamento de um determnado sstema, objeto de estudo, com o propósto de procurar detetar as nterações exstentes entre os város elementos que o compõem e que se traduzem sobretudo nas relações nputs/outputs. Por esse motvo, os outputs que tas modelos permtem obter apresentam-se habtualmente em termos de meddas seleconadas, que refletem o desempenho do sstema, face aos dferentes cenáros consderados para os nputs. Depos, podem tomar-se decsões sobre o rumo a tomar. Tradconalmente, as técncas de smulação têm sdo utlzadas na análse de problemas de dos tpos dstntos: 1. Problemas teórcos nas áreas da Matemátca, da Físca e da Químca.. Problemas relaconados com aplcações prátcas. Dentro do prmero grupo, merecem destaque partcular: A estmação da área lmtada por uma curva, nclundo a avalação de ntegras múltplos. Claro que pode parecer confuso como se há-de estabelecer a lgação entre o cálculo de um ntegral e uma dstrbução de probabldade, mas a verdade é que se faz. A nversão de matrzes. A resolução de equações dferencas parcas. O estudo do movmento de partículas num plano.

3 O estudo da dfusão de partículas. A resolução de sstemas de equações lneares. Quanto ao segundo grupo, é muto comum: A smulação de sstemas de nventáro, flas de espera, sstemas de dstrbução, calendarzação de ações de manutenção, A smulação do funconamento de uma empresa, do comportamento dos consumdores, da evolução dos captas necessáros para o crescmento da empresa, dos mercados, nclundo os fnanceros, da economa, A smulação de sstemas socas e dos comportamentos, A smulação de sstemas bomédcos, A smulação de estratégas e tátcas de combate. O procedmento é de enorme smplcdade conceptual: consderam-se cenáros alternatvos para as varáves de nput, smula-se o funconamento do sstema, dado cada um desses cenáros, e analsam-se os outputs obtdos, cenáro a cenáro. Depos, podem tomar-se decsões sobre o rumo a tomar. Por exemplo, na smulação do funconamento de um certo balcão de um banco, dados o horáro de atendmento, o número de funconáros e a procura, pode ter-se como objetvo calcular estmatvas para o tempo médo de espera dos clentes e o tempo médo em que não há clentes para atender. a smulação da gestão do stock de um artgo pode procurar avalar-se o nível médo e o nível máxmo de stock e os custos de posse, de encomenda e de ruturas. a smulação da evolução do preço do atvo subjacente a uma dada opção procura normalmente determnar-se o prémo, ou a probabldade da opção vr a ser exercda. a smulação das taxas de juro futuras procura saber-se a probabldade assocada a certos quanttatvos de retorno, Uma experênca de smulação dferenca-se de uma experênca laboratoral, na medda em que pode ser nteramente conduzda no computador. A partr da expressão das nterações entre as componentes do sstema por meo de relações matemátcas, é possível recolher a nformação necessára de modo muto semelhante ao que sucedera no mundo real (aparte, evdentemente, as smplfcações ntroduzdas no modelo). A natureza da smulação permte assm ter grande flexbldade na representação de sstemas complexos, como são va da regra os modelos fnanceros. o entanto, o desenvolvmento deste tpo de modelos pode ser muto exgente em termos de recursos.

4 . O Método de Monte Carlo a chamada smulação de Monte Carlo (MC) os modelos são construídos tendo explctamente como nput varáves aleatóras, que representam as fontes de ncerteza presentes no problema em estudo. Conhecdas as dstrbuções de probabldade dessas varáves aleatóras, é então possível correr o modelo um grande número de vezes, de tal modo que em cada uma das corrdas as varáves aleatóras ncluídas assumam partculares valores concretos, dtados pelas respetvas dstrbuções. Ou seja, o que se pretende é que a geração dos partculares valores concretos seja feta de modo a reconsttur a dstrbução conjunta das varáves de nput. Por exemplo, admtndo que é necessáro gerar observações de um par aleatóro ( ) com f.p conjunta unforme em { } { }, erm gerações ndependentes de observações do par aleatóro deve esperar-se que cada uma das nove concretzações possíves surja vezes. Dependendo do número de varáves aleatóras nput do modelo, e do conjunto dos valores possíves para cada uma delas, assm poderá ser necessáro efetuar mlhares ou centenas de mlhares de réplcas, antes de a experênca estar completa. Uma experênca de smulação de Monte Carlo só se consdera completa quando a dstrbução de probabldade (empírca) das varáves output for conhecda com razoável certeza. Esta necessdade de conhecer a dstrbução das varáves output (mpossível de obter exatamente pela técnca tradconal) é mutas vezes ncontornável, sobretudo no que dz respeto às caudas, que caracterzam probablstcamente as stuações extremas, normalmente as mas crítcas em análses do rsco. Verfca-se assm que o Método de Monte Carlo (MMC) se mpõe na smulação de processos probablístcos, uma vez que se basea muto smplesmente no prncípo de

5 recorrer à amostragem para estmar o resultado procurado. estas condções, a smulação deve ser tratada como uma experênca aleatóra. Ao contráro das soluções que os modelos matemátcos determnístcos fornecem, pontuas e sem que seja possível atrbur-lhes uma probabldade de concretzação, os resultados produzdos quando se corre um modelo de smulação estocástca são observações de varáves aleatóras, com todas as consequêncas nerentes, estando nclusvamente sujetas ao erro de amostragem. Isto sgnfca que qualquer nferênca relatva ao desempenho do modelo de smulação tem que se sujetar aos testes estatístcos aproprados. Como é evdente, o conhecmento das dstrbuções de probabldade é a forma mas adequada de descrever o comportamento dos fatores de ncerteza exstentes e a sua nfluênca sobre os resultados. Alguns exemplos das dstrbuções mas utlzadas e das aplcações tradconas: ormal Dstrbução smétrca completamente especfcada pelo conhecmento da méda e do desvo padrão e com aplcações tão díspares como o peso e a altura ou as taxas de nflação e os preços da energa. Lognormal Com assmetra postva, é usada para representar grandezas que não assumem valores negatvos, mas têm um potencal de crescmento lmtado, caso do valor de certos atvos mobláros, de algumas ações ou das reservas de petróleo. Unforme Outra dstrbução smétrca, bastando conhecer o mínmo e o máxmo dos valores possíves; é adequada na modelzação de certos custos de fabrco. Trangular Caracterzada pelo mínmo, pelo máxmo e pela moda, usa-se para a descrção do volume de vendas por undade de tempo ou do nível do stock de certo tpo de bens num armazém, ao longo do tempo. Exponencal Especfcada pela méda, aplca-se à modelzação de tempos de espera por certo tpo de ocorrêncas, ou das durações de alguns equpamentos. o decorrer de uma smulação de MC, realza-se um processo terado de amostragem casual, que consste em gerar uma observação de cada uma das varáves aleatóras consderadas como nput e calcular os correspondentes valores das varáves de output. Estes resultados são então objeto de regsto. Depos de um número de terações consderado sufcente, constró-se a dstrbução das varáves de output, cuja análse é determnante para alguma eventual tomada de decsão. Consegue-se com este processo

6 um quadro muto completo de toda a stuação, que contempla não só aqulo que poderá vr a acontecer, mas também a probabldade com que poderá vr a acontecer. As vantagens do MMC, comparatvamente a uma análse do tpo determnsta, ou de estmação de ponto únco, como também se dz, são ndscutíves: Fornece resultados probablzados. Possblta análses gráfcas, pos as múltplas terações dão orgem a uma enorme quantdade de observações estatístcas, que podem ser objeto dos mas varados tratamentos gráfcos, com todas as vantagens nterpretatvas daí decorrentes. Vablza análses de sensbldade, sobretudo quando é mportante descobrr quas os fatores que têm maor responsabldade pelos resultados partcularmente gravosos. Permte a deteção das combnações de fatores mas arrscadas, pos os analstas conseguem determnar com exatdão os cenáros de nput assocados a certos resultados, nformação nestmável para a análse subsequente. Tal não é possível de forma tão ntegral com os modelos determnstas, a menos que se conheça tão bem o sstema que a pror se saba quas são esses cenáros. Mas a probabldade de alguns serem gnorados é muto maor do que quando se fazem mlhares, ou mlhões, de corrdas do sstema. Faclta a correta ntrodução das relações de nterdependênca exstentes entre as dversas varáves de nput, o que é da maor mportânca para a precsão dos resultados. Para além de todas as vantagens enumeradas, acresce que o método de MC é mutas vezes a únca ferramenta ao dspor dos analstas fnanceros, sobretudo quando se trata de efetuar cálculos complexos na determnação dos preços de certos produtos, ou a avalação de determnados rscos. Há problemas, com efeto, em que só com uma smulação estocástca bem conduzda é possível chegar a uma solução que mereça alguma confança por parte dos decsores. A fnalzar este ponto, uma nota hstórca. A conceção do MMC é atrbuída a um matemátco de orgem polaca radcado nos Estados Undos, Stanslaw Ulam. Segundo parece, a dea ter-lhe-á surgdo quando se ocupava com o cálculo da probabldade de consegur ganhar um jogo de Soltáro. As condções da génese levaram um seu colaborador, cholas Metropols, a dar ao procedmento o nome de Método de Monte Carlo (MMC), em atenção aos múltplos casnos que há na cdade com o mesmo nome. Os dos publcaram em 1949 um artgo conjunto nttulado The Monte Carlo Method, no Journal of the Amercan Statstcal Assocaton.

7 3. Inversão da Função de Dstrbução Fo atrás amplamente salentado que um dos aspetos domnantes no uso da smulação de MC está assocado à necessdade de descrever o problema em estudo também por meo de uma dstrbução de probabldade adequada, da qual as amostras com as observações das varáves de nput são extraídas. os modelos de smulação, o processo de amostragem a partr de qualquer dstrbução alcerça-se no uso de números aleatóros no ntervalo 0,1, os quas devem satsfazer as seguntes propredades estatístcas: 1. Ter dstrbução unforme;. Os sucessvos valores têm que ser gerados de uma forma totalmente aleatóra, ou seja, as sucessvas observações devem poder assocar-se a varáves aleatóras ndependentes. Dos resultados teórcos muto conhecdos (a chamada transformação unformzante) fundamentam este uso de números aleatóros no ntervalo 0,1. (ver Murtera, pp 70-71). Teorema 1: Se é v.a. do tpo contínuo, com função de dstrbução Fx ( ), então a v.a. U F( ) tem dstrbução U (0,1). Teorema : Se exste uma função Fx ( ) é função de dstrbução de uma v.a., e se U com função de dstrbução Fx ( ). U ~ U (0,1), então Uma outra formulação, que destaca melhor como se há de usar a dstrbução no domíno da smulação de MC, é a segunte. U (0,1) Teorema 3: Seja Se U ~ U (0,1), então uma v.a. com função de dstrbução F 1 U Fx ( ), é uma v.a. dentcamente dstrbuída a. estrtamente crescente.

8 A demonstração é medata, bastando notar que que P F 1 ( U ) x P U F ( x ), F 1 ( u) x U F( x), donde resulta pos acontecmentos equvalentes têm guas probabldades. Mas, sendo F ( x) F ( x) P U F( x) f ( u) du 1du 0 Fx ( ), então P F 1 ( U) x F( x). F 1 U Fca provado que [ ( ) ] [ ] ou seja, que é uma v.a. dentcamente dstrbuída a O resultado anteror exge que exstênca da nversa. os casos em que F se u 0,1 F. seja estrtamente crescente, de modo a garantr a não é estrtamente crescente, como sucede é v.a. dscreta, recorre-se à chamada nversa generalzada, em que para cada se defne F 1 ( u ) nf x R : F ( x ) u. Torna-se assm fácl gerar amostras de qualquer população aleatóras extraídas da população da população U ~ U (0,1) desejada, a partr da relação : basta gerar amostras e transformá-las em amostras aleatóras 1 F U Claro que, quando não se dspõe da expressão analítca de. F, ou esta função não é nvertível, é necessáro encontrar alternatvas. A dstrbução ormal de parâmetros e é uma destas dstrbuções. Para a resolução do problema há város métodos, entre os quas o método dreto, ou método de Box-Muller (1958). O método dreto nca-se com a geração de dos números aleatóros com dstrbução 0,1 unforme em Prossegue com o cálculo de, representem-se por u 1 e u z sn u log u z cos u log u, 1 e 1 e 1 que se demonstra fornecer duas observações, z 1 e z, da dstrbução ormal Standard; Fca completo com a transformação de z 1 e z nas observações x1 z1 e x z, que já são da dstrbução,, como se pretenda. Para a smulação de uma v.a. Y com dstrbução ; log normal, faz-se como que uma extensão deste método - pos dz-se que Y tem dstrbução log normal, quando lny tem dstrbução,. Assm, depos de se obter uma observação x da dstrbução normal de parâmetros e, com o método dreto, basta ter em atenção que y e x é a observação desejada.

9 4. Algumas Aplcações as aplcações seguntes, va recorrer-se ao Excel, mas poda ter-se usado o Mathematca, o Matlab o C++, o R Relatvamente ao Excel, há duas abordagens báscas: a trval folha de trabalho ou, quando a dmensão/complexdade da stuação em estudo não o permte, o uso da lnguagem VBA (Vsual Basc for Applcatons). estes exemplos adopta-se a prmera, que consste em construr um modelo compacto do problema numa lnha da worksheet e replcá-lo tantas vezes quantas as necessáras nas lnhas seguntes, aprovetando as vrtualdades das funções copy e paste do programa. Para evtar que o Excel refaça automatcamente a smulação, sempre que se realza alguma operação na folha de trabalho, pode escolher-se a opção Manual no menu das Calculatons, ou usar a opção Paste Specal Values and number formats, no menu Edt, para copar toda a folha com os cálculos para uma nova folha. Caso 1: o da 1 de Janero de 011 um nvestdor aplcou pelo prazo de 3 anos, nas condções seguntes. A 31 de Dezembro de 011, 01 e 013 será lançado um dado equlbrado: se a pontuação for 5 ou 6, é aplcada a taxa de 5% ao valor acumulado no níco do ano; se a pontuação for 1,, 3 ou 4, é aplcada a taxa de 0%. Calcule-se o valor mínmo e também o valor máxmo possíves para o valor acumulado ao fm dos 3 anos e as respetvas probabldades. Calcule-se anda a probabldade de se obter um valor acumulado nferor ao valor acumulado esperado. (Resolvdo na aula) Caso : Volte a resolver-se o Caso 1, admtndo agora que o prazo da aplcação é de 5 anos e que, se a pontuação for 5 ou 6, é aplcada a taxa de 5% ao valor acumulado no níco do ano; se a pontuação for, 3 ou 4, é aplcada a taxa de 0%; e que, se a pontuação for 1, é aplcada a taxa de -%. O valor mínmo e o valor máxmo são de cálculo medato: A 5 com probabldade 5 mn , 5 A 5 com probabldade 5 max ,

10 Quanto ao cálculo de P A E A P A E I P A ,01(3) P A , já é tentador aplcar o MMC, embora contnue a tratar-se de um problema muto elementar, relatvamente ao qual anda é possível calcular a dstrbução exacta de A I 1 I 1 I 1 I 1 I Defnndo as v.a. It, t 1,...,5, que representam as taxas de juro a aplcar nos 5 anos (e que, pelas condções do enuncado são claramente..d.), é medato que as 5 têm função de dstrbução dêntca à de uma v.a. 0, % 1 6, % 0% F P I. 3, 0% 5% 1, 5% Então, de acordo com o que se vu, a cada tal que u 0,1 gerado aleatoramente va fazer-se corresponder uma das três taxas possíves, de acordo com a transformação: 0 u 1 6, % 1 6 u 3, 0%. 3 u 1 5% Para cada trajetóra do processo smulam-se as 5 taxas anuas, o que va permtr obter uma observação de ; tratando-se de uma smulação de MC repete-se o processo de forma ndependente tantas vezes quantas as necessáras para, dada a dstrbução das v.a. nput I, t 1,...,5, se obter a dstrbução empírca dessa v.a. output Usando o Excel, tem-se t Comandos nas células A, C, E, G, I: =RAD() Comando em B: =IF(A<=1/6;-0,0;IF(A<=/3;0; 0,05)) - comandos análogos em D, F, H, J. Comando em K: =10000*(1+B)*(1+D)*(1+F)*(1+H)*(1+J) Aprovetando as funconaldades do programa, é medata a replcação de, por exemplo, 5000 trajetóras, gerando assm 5000 observações de A 5. A 5.

11 A B C D E F G H I J K A 5 0, ,0 0, , , , , , , , , , , , , ,05 0, , , ,0 0, ,00000 Recorrendo à Data Analyss, podem obter-se as estatístcas de sumáro, o hstograma e um esboço da dstrbução empírca de A 5, com estas partculares 5000 observações. Mean 1069,50345 Skewness 0, Standard Error 9, Range 3539,13405 Medan 10588,41 Mnmum 93,6816 Mode 1105 Maxmum 176,81563 Standard 640, Sum ,3 Devaton Sample Varance ,00 Count 5000 Kurtoss -0,76681 Confdence Level (95,0%) 17, ,00% ,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00%

12 Para calcular uma estmatva da probabldade pedda, basta converter cada observação de A 5 na observação da correspondente Indcatrz de Bernoull. A observa-se um 'sucesso'; A observa-se um 'nsucesso'; 5 5 estmatva procurada obtém-se dvdndo o número de sucessos pelo número de observações (5000). Usando o Excel Comando em L: =IF(K<10884,683;1;0) K L 1 A , , , Para calcular a estmatva da probabldade: =sum(l:l5001)/5000 Com a partcular amostra smulada, a estmatva é 0,511 o hstograma já dava alguma ndcação do valor aproxmado. Questões que permanecem: 5000 será uma dmensão sufcente (note-se que o mínmo nunca chegou a ser observado)? Outra amostra com a mesma dmensão fornecera resultados sgnfcatvamente dferentes destes? É precso repetr o processo até que as dúvdas sejam, tanto quanto possível, dsspadas. Caso 3: Retome-se o Caso 1, admtndo que o dado fo posto de parte e que as melhores prevsões ndcam que as 3 taxas efectvas anuas vão ter dstrbução unforme no ntervalo %,5%. Para além de refazer os cálculos então peddos, estme-se também a probabldade de não haver agora qualquer valorzação do captal aplcado. (Tratado na aula) Caso 4: Consdere-se novamente o Caso Admta-se que as 3 taxas efectvas anuas terão dstrbução exponencal com méda gual à da dstrbução unforme Calcule-se agora a probabldade de a valorzação méda anual do captal aplcado não exceder 1%.

13 (Tratado na aula) Refra-se adconalmente que o Excel gera observações de uma população com dstrbução gama de parâmetros e (O valor esperado é o produto dos dos). O comando é =GAMMAIV(rand();n;1/α) 4. Admta-se que as 3 taxas efectvas anuas terão dstrbução normal com méda e varânca guas à da dstrbução unforme Calcule-se a probabldade de a valorzação, méda anual do captal aplcado pertencer ao ntervalo. (Tratado na aula; recordar o Método de Box and Muller ou a aproxmação dada no texto de apoo ou ver anda as pp de Korn et al.) Claro que o Excel também gera observações de uma população com dstrbução ormal Standard, usando o comando =ORMSIV(RAD()) E gera observações de uma população com dstrbução ormal de méda µ e desvo padrão, com o comando =ORMIV(RAD();µ;σ) t 4.3 Admta-se que a v.a. 1, 1,,3, t terá dstrbução Lognormal com parâmetros Calcule-se a probabldade de a valorzação méda anual do captal aplcado ser superor a. E t (Tratado na aula) O Excel também gera observações de uma população com dstrbução Lognormal de parâmetros µ e σ (que agora já não correspondem à méda nem ao desvo padrão da dstrbução, como se sabe). Comando: =LOGIV(RAD();µ;σ).

14 5. Prncípos Báscos do Método de Monte Carlo 5.1 Introdução Para além da transformação unformzante, de que já se falou, e tendo sempre presente que se está no domíno da amostragem, das dstrbuções por amostragem e da estmação, sto é, no domíno da Estatístca, há alguns prncípos báscos fundamentas para um correcto entendmento do MMC. Como se consegue depreender das aplcações atrás vstas, o objetvo da aplcação do método é mutas vezes calcular as probabldades de acontecmentos relevantes, o que se consegue calculando os valores esperados de varáves aleatóras convenentemente defndas. Este propósto é alcançado a partr do cálculo da méda artmétca dos resultados obtdos com um grande número de repetções de experêncas aleatóras, conduzdas de modo que em todas elas a dstrbução dessas varáves aleatóras esteja subjacente. Para lustrar, recorde-se o Caso em que, para além do valor mínmo e do valor máxmo, e respectvas probabldades (que podem ser calculados sem recorrer ao MMC), se peda a probabldade de ser obtdo um valor acumulado (v.a. A 5 ) nferor ao valor acumulado esperado, [ ] o que já exga a recolha de uma amostra por smulação de MC. Começou então por se consderar uma amostra com 5000 valores acumulados e a cada uma das 5000 v.a. Indcatrz de Bernoull,, 0, se A5 EA 5, 1,...,5000, 1, se A5 EA 5 em que a probabldade de sucesso é p P 1 P A 5 E A5. Por outro lado, como se sabe, [ ] A5, assocou-se uma v.a. pelo que, para estmar a probabldade é sufcente estmar o valor esperado [ ]

15 Uma estmatva para assumdos pelas ndcatrzes de Bernoull, a51, a5,... a55000 p fo assm obtda calculando a méda artmétca dos 5000 valores x, x,..., x, obtda. Por outras palavras: uma estmatva para face à partcular amostra é a méda de uma amostra com 5000 observações extraídas da população ( ) pos todas as varáves são dentcamente dstrbuídas. 5. Formulação Geral Consdere-se uma v.a. n n defnda num espaço de probabldade uma sucessão de v.a...d. a. Seja que se quer estmar.. E e Var, F, P e seja e admta-se Resultados já conhecdos, que é convenente recordar, para a resolução do problema de estmação em causa: 1. A le forte dos grandes números (na sua forma mas smples, ou versão de Kolmogorov, que é sufcente no que dz respeto ao MMC), segundo a qual, consderando a medda de probabldade P, se tem para quase todos os resultados ( ) Por outras palavras, pode dzer-se que a sucessão das médas artmétcas das realzações de converge quase certamente para a méda da população, que se quer estmar. n é um estmador consstente de [ote-se que se dz que uma sucessão de v.a.. n n converge quase certamente para, quando dz-se que ( ) converge quase certamente para zero quando P A 1, A ωω...,:lm n ω 0.]. A méda da amostra (ou estmador de Monte Carlo) é um estmador não envesado da méda da população, ou seja, sendo 1,,..., uma amostra aleatóra recolhda da população, 1 E E. 1

16 Mas anda, a varânca do erro de estmação é Var Var. Daqu se conclu que o estmador de MC goza de boas propredades. Também se pode conclur que o desvo padrão de é de ordem O 1, o que ndca ser necessáro multplcar a dmensão da amostra em 100 observações para se reduzr o desvo padrão em 0.1. Observa-se assm que a convergênca do método é bastante lenta. 3. O uso do desvo padrão do erro cometdo como medda da precsão obtda com o MMC pode ser justfcado nvocando o TLC, pos caracterza a dspersão dos valores da dstrbução normal em torno da méda. Assm, nas condções de., - D 1 D 0,1 0,1. 4. O TLC garante que, para sufcentemente grande, conhecmento permte a obtenção de ntervalos de confança para 1 nível de confança aproxmado, vem D, ;. tal Consderando um 1 1 z,,, 1 z z z onde z 1 é o quantl de ordem 1 equvalente a dzer-se que verfca a condção da dstrbução ormal-standard, o que é z 1 1. ormalmente, também é necessáro estmar o desvo padrão da população, para o que se usa como estmador o desvo padrão corrgdo da amostra (gualmente um estmador centrado),

17 Quando se fxa 95%, z 1 z 0.05, ou seja, quando se pretende obter um ntervalo de confança a ; usualmente, dado que se trata de um cálculo que envolve aproxmações, consdera-se então 1 1,,. 1 1 [Com ntervalo de confança a 90% z 1 z ; com ntervalo de confança a 99% - z 1 z ,... ] OBSERVAÇÃO IMPORTATE: Todas as consderações anterores se podem aplcar, com as necessáras adaptações, ao caso em que é necessáro 1,,..., E g. um vetor aleatóro em estmar uma quantdade R, g(.) uma função de E g R, sendo em R ote-se que pode representar uma trajectóra de um processo estocástco, por exemplo, o preço de um dado atvo ao longo do tempo; nesse caso, e representara o preço do atvo no momento Atrás, como o objetvo era estmar.., a méda da população, tomou-se 1... g( ), a méda dos valores observados da v.a., cujo valor esperado é exatamente.. De modo semelhante, quando o objetvo é calcular a probabldade de se realzar um determnado acontecmento A, expresso em função da v.a. (por vezes, o acontecmento elementares I A A vem expresso anda em função dos acontecmentos ), a questão é resolvda defnndo as v.a. Indcatrzes de Bernoull 1, se 0, se A, A pos da teora das probabldades sabe-se que I A Mas uma vez, e pelas mesmas razões, também agora a estmatva de MC para determna calculando a méda da amostra observações de I I, I,..., I, A 1 A A I, as quas são obtdas a partr da amostra A E P. A P A se relatva às 1,,..., Isto sgnfca que g é gual à proporção de sucessos na amostra das observações.

18 ndependentes. Como esta proporção não é mas do que a frequênca relatva das realzações de A na amostra, vem g rf A I I I A 1 A A ( ). Sabendo-se gualmente ser da varânca Var I P A 1 P A, A nível aproxmado de 95% é rf A 1 rf A. O ntervalo de confança para pode tomar-se como estmador rf A 1 rf A rf A 1 rf A rf A, rf A, P A com um caso partcular para as populações de Bernoull do ntervalo anterormente apresentado,, pos rf A. Exemplo com os resultados da smulação do preço da call europea: Intervalo de confança a 95% para o valor da opção: [ ] [ ] Intervalo de confança a 95% para a probabldade de se exercer a opção: [ ( ) ( ) ] [ ]

19 6. Séres Pseudoaleatóras 6.1úmeros Aleatóros Como se pôde observar nos exemplos estudados, e resulta da própra desgnação, as smulações estocástcas fazem amplo uso de varáves aleatóras, pelo que a capacdade de dspor de números aleatóros (A) com uma partcular dstrbução se torna ndspensável. O grande problema que se coloca é como obter números que sejam realmente aleatóros e mprevsíves. Os A usados nas smulações de Monte Carlo são habtualmente gerados por meo de um algortmo numérco, o que na realdade os torna valores obtdos de uma forma determnístca. o entanto, quando se olha para eles sem se conhecer o algortmo que os gerou, afguram-se mesmo como sendo aleatóros. Por essa razão se lhes chama números pseudoaleatóros e conseguem passar a maor parte dos testes estatístcos. Pelas razões já conhecdas, é partcularmente mportante a geração de A com dstrbução unforme no ntervalo 0,1, embora a nclusão dos extremos, que formam um conjunto de probabldade nula, possa ser dspensável. Exstem atualmente mutos métodos para a geração de A, pelo que só serão apresentados os prncípos geras necessáros para a compreensão do modo como os geradores funconam. Em partcular, será ntroduzdo um algortmo que pode ser mplementado com uma smples calculadora e que tem a vrtude de tornar famlares os termos técncos usados. Antes dsso, alguns crtéros de qualdade que os geradores de A devem satsfazer: 1. Requstos de rapdez e memóra as smulações de MC são necessáros enormes volumes de dados A, pelo que é convenente que estes sejam gerados de forma rápda e efcente, sem ocuparem demasada memóra.. Período sufcentemente longo Devdo ao modo como são construídos, e às capacdades dos computadores para representarem números reas, os algortmos que geram A funconam com um conjunto fnto de dados. Daí resulta que a sequênca de A gerados acabará por se repetr. O comprmento máxmo de números gerados antes da repetção é o chamado período do

20 gerador de A. O período deve assm ser sufcentemente longo de forma a garantr que não se use a mesma sequênca mas de uma vez numa experênca de smulação. Uma regra dtada pela prátca propõe que o período não seja nferor ao quadrado da dmensão da amostra, para evtar a presença de correlações. 3. Passar os testes estatístcos à unformdade e à ndependênca Os A devem passar os testes estatístcos da ndependênca e da dêntca dstrbução. 4. Possbldade de replcação Uma mesma sequênca de A deve poder ser reproduzda tantas vezes quantas as necessáras, de modo a possbltar a deteção de erros ou a realzação de análses de sensbldade. Todos os geradores de A que se baseam em fórmulas de recorrênca podem ser,, f, U, g, descrtos como o quíntuplo onde: é o conjunto fnto dos estados. é a medda de probabldade para se seleconar x 0, o estado ncal do processo, ou semente do gerador de A. f U é a função de transção, que descreve o algortmo, 0,1, é o espaço dos outputs: normalmente, x f x 1. 0,1, 0,1 0,1. ou g é a função de output, que transforma x em u U. 6. Exemplo de um gerador de PA: o Método das Congruêncas Dados dos números nteros postvos x e m, a dvsão ntera de x por m tem como resultado dos números: o quocente q e o resto r, r x. Por outras palavras, o número ntero postvo x admte a decomposção dvsível por m. x mq r. Se r 0, dz-se que x é Defnção: Seja m 0 um número natural. Dos nteros postvos x e y dzem-se congruentes módulo m se tverem o mesmo resto na dvsão por m. A notação é x y(mod m). Consderando o algortmo da dvsão, verfca-se que qualquer ntero postvo é congruente ao seu resto na dvsão por um ntero postvo. Uma vez que para cada m fxado a pror o resto obtdo é únco, pode defnr-se uma função que a cada x assoca

21 o resto da dvsão de x(mod m). x por m. A magem de x dada por esta função é denotada por Posto sto, consdere-se a sucessão de números nteros defnda por recorrênca ( )( ) sto é, x 1 é gual ao resto da dvsão ntera de m. A sucessão começa com um valor ntero x 0 (a semente, como já se referu). A sére normalzada vem x u. m 1 O conjunto fnto dos estados é Assm, para este gerador: 0,1,..., m1. ax c por A função de transção que descreve o algortmo é (mod ). f x ax c m O espaço dos outputs é U [ ] A função de output, que transforma Quanto a, x em u U, a medda de probabldade para se seleconar é. g x x 0 x m 1, o estado ncal do processo, ou semente do gerador de A, vara consoante os casos concretos. Como é medato, o modo de construção da sequênca faz com que não possam ser gerados mas de m A. O comprmento do período depende dos valores de a É obtdo um período máxmo quando são satsfetas as condções seguntes: c e m são prmos entre s. Todo o número prmo que é dvsor de m também é dvsor de Se m é dvsível por 4, a 1 também é dvsível por 4. Estas condções podem ser satsfetas sob dos tpos de hpóteses: Se c 0, m deve ser uma potênca de, c a 1. deve ser ímpar e a e de c. deve ser da forma a 4k 1, k ntero. Se c 0, deve ter-se x0 0, m 1 a deve ser múltplo de m j e a 1 não pode ser múltplo de m, para j1,,..., m. Em smulações muto exgentes os geradores congruencas lneares não devem ser usados, pos apresentam alguns problemas. Por exemplo, se o multplcador a é pequeno quando comparado com m, verfca-se que um A muto pequeno é sempre segudo por outro, o que obrga acontecmentos raros a sucederem-se. O período é também nsufcente, em mutos casos. De qualquer modo, são algortmos rápdos, pouco

22 exgentes em memóra e fáces de mplementar e de compreender, vantagens aprecáves. Exemplo: Usando o método das congruêncas, gere uma sére de números pseudo aleatóros usando a segunte fórmula de recorrênca ( )( ) (ote-se que os valores escolhdos para e garantem que se va ter período máxmo.) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6.3 Testes estatístcos Como já fo dto, os números devem ser observações de v.a...d. unformemente dstrbuídas no ntervalo [ ] Para assegurar que estas propredades foram alcançadas, são fetos alguns testes. Como é evdente, a maora dos softwares comercas de smulação realza estes testes prevamente à comercalzação. Pelo facto de um gerador passar alguns testes, não se pode conclur que é adequado a todo o tpo de smulações. a verdade, uma vez que os A na realdade não são verdaderamente aleatóros, há sempre testes que não conseguem passar. Uma cosa é certa: há alguns testes que nenhum gerador pode falhar, nomeadamente o teste de Kolmogorov-Smrnov ou o teste do Qu.-Quadrado (ver Larson, pp ), que

23 testam a unformdade, e o teste das sequêncas (run test, ver Larson pp ), que testa a ndependênca. Tanto o teste do Qu-Quadrado como o teste de Kolmogorov-Smrnov testam a unformdade, medndo o grau de aproxmação entre a dstrbução da amostra fornecda pelo gerador de números aleatóros e a dstrbução unforme teórca. Ambos são concebdos de modo que a hpótese da unformdade não seja rejetada quando não exste uma dferença sgnfcatva entre a dstrbução da amostra e a dstrbução teórca. o ponto segunte descreve-se de forma muto ntutva o teste de Kolmogorov- Smrnov, de aplcação mas convenente neste caso. Com efeto, podem ser apontadas duas vantagens deste teste em relação ao teste ququadrado. Em prmero lugar, quando a dstrbução populaconal é contínua e se conhecem a forma e os parâmetros da sua função densdade de probabldade, a dstrbução da estatístca do teste é defnda rgorosamente (ao contráro do que sucede com a estatístca do teste do qu-quadrado, cuja dstrbução é aproxmada). Esta vantagem é tanto mas nítda quanto menor for a dmensão da amostra. Em segundo lugar, o teste K-S é, na maora das stuações, mas potente do que o teste qu-quadrado. Lmtações: exge dstrbuções populaconas contínuas e completamente especfcadas (o que não sucede com o teste do qu-quadrado), bem como um maor esforço computaconal Teste de Kolmogorov-Smrnov (K-S) Compara a função de dstrbução unforme contínua (o teste exge dstrbuções populaconas contínuas e completamente especfcadas), F( u) u,0 u 1, dstrbução empírca da amostra dada pelo gerador de números aleatóros, com a u1, u,..., u, seja ( ) O desvo máxmo acetável é calculado a partr da estatístca { ( ) ( ) } A hpótese nula e a alternatva são formuladas nos seguntes termos: ( ) ( ) ou seja, a função de dstrbução da população da qual provém a amostra é dêntca a uma função de dstrbução que se assume conhecda (e é neste caso a dstrbução unforme em [ ], ( ) )

24 versus ( ) ( ) ote-se que o { ( ) ( ) } procurado não é necessaramente o maor valor que ( ) ( ) toma quando se consderam apenas os valores observados de. Dado que a função ( ) é contínua e ( ) é uma função em escada, o valor máxmo daquela dferença absoluta deve ser procurado na vznhança de cada valor observado de U. A dstrbução da estatístca é conhecda e está tabelada em função de e do nível de sgnfcânca do teste, Dz-se que é uma estatístca dstrbuton-free, no sentdo em que só depende da dmensão da amostra, sendo rrelevante a forma da função de dstrbução da população. Para realzar o teste é então necessáro determnar o maor desvo absoluto entre F u e F u, o que se faz com o segunte algortmo: 1. Ordenar de forma crescente os valores da amostra: u u... u. 1. Calcular D obs max u,1. ^ 3. Calcular 1 D obs max u,1. 4. Calcular Dobs Dobs Dobs max,. (De facto, dado que a função ( ) é contínua e ( ) é uma função em escada, o valor máxmo daquela dferença absoluta deve ser procurado na vznhança de cada valor observado de ) 5. Consultando a tabela da dstrbução da estatístca D,, determnar o valor crítco D, por nível de sgnfcânca e dmensão da amostra, e decdr: Se D D, obs rejetar a hpótese da unformdade; Se D D, não rejetar a hpótese da unformdade. obs Exemplo: Verfcar se os números 0,1549; 0,045809; 0,394661; 0,714665; 0,959579; 0,37405; 0,9866; 0, (gerados pelo GA do Excel) não contraram a hpótese da unformdade.

25 8 u u... u 1 8 0, ,1549<0,37405<0,394661<0,714665<0,855914<0,9866<0, u , ,1549 0, , , , ,9866 0, ,15 0,5 0,375 0,5 0,65 0,75 0, u 0, , , , = D obs 0, , , , ,15 0,5 0,375 0,5 0,65 0,75 0,875 1 u 8 0, ,099 0,1405 0, , ,30914 = D obs 0, , D max 0,105339;0, ,30914 obs D 8 0,454, 0.05 consultando a tabela da estatístca D, com 8 e Dobs D 0,05 8 a hpótese da unformdade não é rejetada Testes de Sequênca Os testes de sequênca examnam o arranjo dos números para testar a sua ndependênca. À partda, um conjunto de números aleatóros não deverá ter sequêncas de mas, nem de menos. Os testes verfcam dos tpos de sequêncas nas observações realzadas: 1. A varação crescente e decrescente: Uma sequênca é defnda como sendo uma sucessão crescente ou decrescente de observações.. A varação acma e abaxo da méda: Uma sequênca é defnda como sendo uma sucessão de observações (todas) acma, ou abaxo, da méda A varação crescente e decrescente

26 Consderando a va. que representa o número de sequêncas num conjunto de observações aleatóras, pode deduzr-se que a sua méda e varânca são respetvamente guas a ( ) ( ) Prova-se também que, com sufcentemente grande ( ), ( ) Se o gerador for acetável, então o valor observado da v.a. deverá estar próxmo de 0, pelo que só se deve rejetar a hpótese de ndependênca quando sso não acontece de uma forma evdente. Regra do teste: Se o valor observado da v.a. satsfaz a condção não se rejeta a hpótese de ndependênca. Exemplo: Baseado nas sequêncas de valores crescentes e decrescentes, determnar se a hpótese de ndependênca pode ser rejetada para = 0.05, tomando o segunte conjunto de observações de uma v.a. ( ) As sequêncas são as seguntes:

27 Há 6 sequêncas. Com e vem: ( ) ( ) ( ) Como a hpótese de ndependênca não pode ser rejetada A varação acma e abaxo da méda Teste muto semelhante ao anteror. Consderando a va. que representa o número de sequêncas, agora de valores acma e abaxo da méda, e anda num conjunto de observações aleatóras, toma-se agora ( ) ( ) onde: número de observações acma da méda; número de observações abaxo da méda;.

28 Contnua a ser verdade que, com sufcentemente grande ( ), ( ) Regra do teste: Se o valor observado da v.a. satsfaz a condção não se rejeta a hpótese de ndependênca. Exemplo Tomando as mesmas observações As sequêncas são agora as seguntes: Observa-se: (observações acma da méda + ); (observações abaxo da méda - ); ; sequêncas

29 ( ) ( ) e o valor crítco é 1.96; logo, a hpótese de ndependênca não pode ser rejetada.

30 7. Geração de Observações de Varáves Aleatóras Correlaconadas 7.1 Introdução Em mutas stuações, não é possível acetar que as v.a. de nput são todas mutuamente ndependentes; por exemplo, os retornos de nvestmentos em dferentes atvos estão mutas vezes correlaconados, ou seja, exste dependênca estatístca entre as varáves que os representam. Só para recordar, sendo e v.a., a covarânca de e defne-se Cov 1, E 1 1 E 1 E 1 E. Quanto ao coefcente de correlação entre 1,1, ntervalo defne-se 1 e, Cov, Cov, Var Var Var 1Var Como também se sabe, se 1 e são ndependentes, então que se demonstra pertencer ao 1 Cov 1, e nulos; a mplcação recíproca não é em geral, verdadera. [Uma exceção é observada no caso da dstrbução normal, em que se pode realmente conclur que varáves não correlaconadas são ndependentes.] são Quando se tem um vetor aleatóro n-dmensonal 1 n,,...,, a matrz das varâncas e covarâncas é uma matrz de ordem smétrca e sem defnda postva, com elementos não negatvos na dagonal prncpal (as varâncas; as covarâncas estão nas outras posções). [ ]=[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )

31 7. Populações normas multvaradas Para começar, consdere-se então um vetor A questão que se coloca é: 1 n,,..., ~ 0,. Será possível encontrar uma matrz C, do tpo n m, tal que ( ) T Z Z, Z,..., Z, Z ~ 0,1 e ndependentes, 1,..., n? 1 n Quer dzer: pergunta-se se é possível escrever as varáves dadas, que não são mutuamente ndependentes, como combnações lneares de varáves normal-standard que sejam mutuamente ndependentes? A resposta é medata e afrmatva: notando que v.a. resultantes de combnações lneares de v.a. com dstrbução normal anda têm dstrbução normal, e que a matrz das varâncas e covarâncas de T CZ é T CC, como se prova com toda a facldade, basta garantr que T CC. Verfca-se assm que o cálculo da matrz decomposção de Cholesky da matrz matrz A ao produto abaxo da dagonal prncpal são zeros). C mplca que se proceda à chamada - a decomposção de Cholesky guala uma T A = L L, sendo L uma matrz trangular superor (os elementos Quando n, (dstrbução normal bdmensonal, ou bvarada, stuação muto frequente), tem-se Y,,, Y T μ e Σ , que neste caso partcular costuma assumr a forma Σ Y Y Y este caso elementar, para determnar a matrz C basta resolver o sstema matrcal T CC :. c11 c11 c11 0 c11 c1 Y cc 11 1 Y c 1 c1 c 0 c Y Y c1c11 Y c c 1 c Y Y Y 1 c11 c1 Y T Então, C 0 c e C 0 Y 1 0. Y Y 1

32 Tendo em atenção que as v.a. e Y necessaramente nulas, vem fnalmente têm vetor das médas μ, Y T, não 1 1 T Z1 Z1 Z1 C. Z Y Y Z1 Y 1 Z Y Y Z1 Y 1 Z Se, por exemplo, Y Y ~,,,, é tal que ~ 5,17, 49,144,0.4, tem-se 5, Y , 6 Σ 33, Pode escrever-se a combnação e 7 4,8 C. 0 1, Z , 6 ~,, 17 4,8Z 1, , Z O problema da geração de observações de de observações de Z Z Z 1, Y, Z 1, Z ~ 0,1 e ndependentes. reduz-se deste modo à geração e à sua transformação de acordo com os resultados obtdos: para gerar observações de calcula-se 5 7Z 1 e para gerar observações de Y calcula-se 17 4,8 1, 84 Se n Z 1 Z. (dstrbução normal multdmensonal), o procedmento não se altera. Em resumo: A decomposção de Cholesky é usada no MMC para a smulação de sstemas com múltplas varáves correlaconadas. A matrz das varâncas e covarâncas é decomposta de modo a obter-se a matrz trangular nferor aplcada à amostra casual,,..., Z1 Z Z n T T C, que Z permte obter uma amostra T 1,,..., n com a dstrbução em causa. 7.3 Caso Geral Em geral, há duas abordagens dstntas para a geração de v.a. correlaconadas, de acordo com as seguntes duas stuações: 1. A dstrbução conjunta está completamente especfcada.. Apenas são conhecdas as dstrbuções margnas e a matrz das varâncas e covarâncas. 1. Dstrbução conjunta completamente especfcada

33 Quando se pretende gerar observações de um vetor aleatóro dada dstrbução conjunta 1 n 1 n 1 1 n n,,...,, F x, x,..., x P x, x,..., x, com conhecda, é possível obter as dstrbuções margnas e também as dstrbuções condconadas, e assm gerar as observações de forma sequencal. Por exemplo, com, F x, x F x F x x, pelo que para gerar n 1 1 1, 1 se gera prmero com base em F x 1 1 partr da dstrbução condconada e se gera depos de forma ndependente, a F x x 1 efectuar os cálculos e as smulações envolvdos no problema. - admtndo, claro, que se conseguem Uma stuação muto comum em que o método realmente funcona bem é na smulação de processos estocástcos, questão que será abordada mas adante.. Dstrbução conjunta desconhecda; apenas se conhecem as dstrbuções margnas F., 1,..., n, x e a matrz R das correlações. Quando se pretende gerar observações do vetor aleatóro se conhecem as dstrbuções margnas F., 1,..., n, x 1,,..., n e apenas e a matrz R das correlações, pode acontecer que haja mas do que uma dstrbução conjunta a partlhar as dstrbuções margnas e a matrz das correlações que são dadas. Por outro lado, pode ter havdo algum erro na especfcação e exstr nconsstênca entre as dstrbuções margnas F x. e a matrz R, caso em que, afnal, não exste nenhuma dstrbução conjunta nas condções exgdas. Admtndo que não há problemas desta natureza, a geração de 1,,..., n pode fazer-se com base na dstrbução normal multvarada (ca-se na secção anteror), dando os seguntes passos: Consdere-se um vetor Z Z Z Z 0, Σ,,..., ~, 1 n tal que [ ] ou seja, Z ~ 0,1, 1,..., n, f.d. de Z é z, 1,..., n.

34 Os elementos não prncpas são desconhecdos e a questão prncpal é mesmo começar por determná-los, para depos se poder avançar com o processo de smulação. ote-se que, sendo as varâncas untáras, acaba por ser também a matrz das correlações. Pelo que se vu anterormente, cada uma das componentes aleatóro Z Z Z 1,,..., n Uma vez que as v.a. Z tem dstrbução U (0,1). são correlaconadas, as v.a., 1,...,, Z n Z do vetor são gualmente correlaconadas, represente-se a respetva matrz das correlações por Evdentemente, esta matrz também não é conhecda, pos os seus elementos vão depender dos valores Fazendo então pretendda, F x Sendo as v.a. desconhecdos. F 1 Z,.. x Z fca garantdo que correlaconadas, também as v.a. correlaconadas, represente-se a respetva matrz das correlações por Σ'. tem a dstrbução margnal 1 F Z x são Σ''. Os elementos desta matrz serão gualmente funções dos desconhecdos. Recordando que o objetvo é garantr que margnas F x. e matrz das correlações 1,,..., n tenha dstrbuções R, para satsfazer este requsto basta estabelecer a gualdade um sstema que é, por vezes, de dfícl resolução. Conhecda [ ] recorra-se ao processo vsto atrás para a geração de observações do vetor Z Z Z Z,,..., ~ 0, Σ, onde as correlações já estão 1 ntegradas, e usem-se essas observações e as relações observações de Exemplo (falta resolver): ( ) 1 n,,...,, n como pretenddo. F Z 1 x para smular ( ) [ ]

35 8. Smulação de Processos Estocástcos Seja t I, t espaço de probabldade um processo estocástco, sto é uma famíla de v.a. defndas num, F, P, onde t é um parâmetro que assume valores num conjunto I R, desgnado conjunto dos índces do processo. aturalmente, as v.a. t que formam o processo estão correlaconadas, não são ndependentes, pelo que não podem ser geradas de forma ndependente, a partr das respectvas dstrbuções. Por exemplo, de t é quase que completamente determnada por, t para valores pequenos. A forma como a questão é resolvda tem que ser adaptada, conforme se trate de um processo estocástco em tempo dscreto ou de um processo estocástco em tempo contínuo. 8.1 Processo Estocástco em Tempo Dscreto Seja, t 1,,..., n t um processo estocástco em tempo dscreto com ncrementos ndependentes, e seja F k (.) a dstrbução do k. k 1 k ésmo ncremento, Uma trajectóra do processo pode ser obtda, aplcando o segunte algortmo: Consdere-se 0 0. Smulem-se observações das v.a. Faça-se k k1 Yk, k 1,..., n., 1,...,, tas que ~ (.). Y k n Y F k k k 8. Processo Estocástco em Tempo Contínuo Quando I 0, T é necessáro crar uma grelha sufcentemente fna do conjunto dos índces, seja 0 t0 t1... tn T, e segur o algortmo anteror, usando, por exemplo, uma nterpolação lnear nos pontos ntermédos. Para sso, como já não faz sentdo contnuar a consderar ncrementos ndependentes, uma vez que não se está realmente em tempo dscreto, mpõe-se o conhecmento das

36 sucessvas dstrbuções condconadas, representando agora (.) F k a dstrbução da v.a. Yk, dada a v.a. t. k 1 obtda, aplcando o algortmo: Consdere-se Para k 1 até 0 0. n : Smule-se uma observação da v.a. Faça-se t t Y k k1 Para os valores ntermédos de t k1 estas condções, uma trajectóra do processo pode ser k tal que ~ (.). Y Y F k k k. fazer a nterpolação ttk 1 t t Yk, t tk 1, tk. k 1 t t k 8.3 Exemplos Caso 5: Consdere dos atvos A e B e sejam mercado no momento t. Admta que S () A t e S ~ GBM, A A A S () B t, os respectvos preços de S ~ GBM, B B B e que os dos processos são ndependentes. Em t 0 um certo portfólo é composto por n A undades do atvo A e n B undades do atvo B. Estme a probabldade deste portfólo se desvalorzar mas de 10% num horzonte temporal T gual a 0.5 anos, com S (0) 100, S (0) 75, 0.15, 0., 0.1, 0.18, n n 100. A B A A B B A B ota: este exemplo, e também no segunte, só acaba por nteressar o valor do processo daqu a meo ano. De qualquer modo, não é dfícl ver como sera a geração de toda uma trajetóra. Havendo ndependênca, S S exp / T B T, B T ~ 0, T e A A T 0 A A A A A S S exp / T B T, B T ~ 0, T, B B T 0 B B B B B

37 bastando gerar observações ndependentes com dstrbução Caso 6: Admta-se agora que os processos 0, T. A B S ~ GBM, e S ~ GBM, A A B B não são processos ndependentes, pos sabe-se que os Movmentos Brownanos B A t e B B t assocados a A e B têm coefcente de correlação probabldade de o portfólo se desvalorzar mas de 10%. estas condções, pode escrever-se S S s sv A A t s t exp A A / A B B S t s St exp B B / s sv, B 0. Voltar a estmar a onde a a b, ~ 0,,, a b b Va Vb bdmensonal atrás estudado. cando-se assm no caso

38 9. Métodos Para a Redução do Erro de Estmação Como já fo referdo (ponto 5.), para se consegur um aumento de 50% na precsão, sto é, uma redução de 50% no erro cometda com a estmação, é necessáro quadruplcar a dmensão da amostra. Por outras palavras, o erro padrão (desvo padrão da amostra) reduz-se a uma taxa gual a apenas a raz quadrada da dmensão da amostra (não da própra dmensão da amostra), o que motva os utlzadores a procurar aumentar a precsão por outros meos. Um dos meos mas usados é o chamado método das varáves anttétcas, que nalgumas versões permte reduzr para metade a quantdade de A que é necessáro gerar, pos geram-se observações com a sucessão smulação, também com a sucessão u1, u,..., u 1,1,...,1. u1 u u e, numa segunda corrda da A dea é de que a amostragem com base em números aleatóros complementares nduz a uma correlação negatva entre as varáves de output das duas corrdas, o que permte reduzr a varânca. Por exemplo, consdere-se a smulação de observações de uma v.a. de output com o método das varáves anttétcas. Seja o resultado da prmera corrda e o resultado da segunda corrda. Como é um estmador não envesado de e as duas v.a. são negatvamente correlaconadas, pode esperar-se que ( ) ( ) ( ) ( ), venha reduzda, o que aumentara a precsão dos ntervalos de confança para. o entanto, deve comparar-se com a ( ) assocada a duas corrdas não correlaconadas. Outros métodos usados: o método das varáves de controlo, em que se procura ntegrar no processo de smulação o conhecmento que se tem sobre uma outra varável fortemente correlaconada (control varate) com a varável que se quer estmar, de modo a dar atenção apenas à estmação da parcela sobre a qual não há conhecmento; os métodos de quas-monte Carlo, que recorrem às chamadas sequêncas de baxa dscrepânca, de que são exemplo as sucessões de Halton ou os números de Sobol (ver Korn et al., p 65 e ss. e também pp. 45 e ss.).

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.

Leia mais

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA Análse de Regressão Profa Alcone Mranda dos Santos Departamento de Saúde Públca UFMA Introdução Uma das preocupações estatístcas ao analsar dados, é a de crar modelos que explctem estruturas do fenômeno

Leia mais

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823

Leia mais

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas www.chem.wts.ac.za/chem0/ http://uregna.ca/~peresnep/ www.ph.ed.ac.uk/~td/p3lab/analss/ otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof.

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística ESTATÍSTICA MULTIVARIADA º SEMESTRE 010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revsões de Estatístca -0-11 1.1 1.1. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca enquanto expectatvas

Leia mais

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001 Sstemas de Flas: Aula 5 Amedeo R. Odon 22 de outubro de 2001 Teste 1: 29 de outubro Com consulta, 85 mnutos (níco 10:30) Tópcos abordados: capítulo 4, tens 4.1 a 4.7; tem 4.9 (uma olhada rápda no tem 4.9.4)

Leia mais

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS AS MEDIDAS DE GRADEAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas... 3. Precsão e rgor...3

Leia mais

Regressão e Correlação Linear

Regressão e Correlação Linear Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula 5 Regressão e Correlação Lnear Até o momento, vmos técncas estatístcas em que se estuda uma varável de cada vez, estabelecendo-se sua dstrbução de freqüêncas,

Leia mais

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo,

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnlesteMG Dscplna: Introdução à Intelgênca Artfcal Professor: Luz Carlos Fgueredo GUIA DE LABORATÓRIO LF. 01 Assunto: Lógca Fuzzy Objetvo: Apresentar o

Leia mais

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF) PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra

Leia mais

Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças

Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças Método de Monte Carlo Aplcado às Fnanças Alguns Elementos Teórcos Onofre Alves Smões ABRIL de 014 ota Préva Este texto tem por objetvo cobrr a teora do Capítulo 7 do programa da UC Métodos umércos em Fnanças,

Leia mais

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado)

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado) 5 Aplcação Neste capítulo será apresentada a parte empírca do estudo no qual serão avalados os prncpas regressores, um Modelo de Índce de Dfusão com o resultado dos melhores regressores (aqu chamado de

Leia mais

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05 LQA - LEFQ - EQ -Químca Analítca Complemantos Teórcos 04-05 CONCEITO DE ERRO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Embora uma análse detalhada do erro em Químca Analítca esteja fora do âmbto desta cadera, sendo abordada

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE CCSA - Centro de Ciências Sociais e Aplicadas Curso de Economia CCSA - Centro de Cêncas Socas e Aplcadas Curso de Economa ECONOMIA REGIONAL E URBANA Prof. ladmr Fernandes Macel LISTA DE ESTUDO. Explque a lógca da teora da base econômca. A déa que sustenta a teora da

Leia mais

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00)

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00) Bussab&Morettn Estatístca Básca Capítulo 4 Problema. (b) Grau de Instrução Procedênca º grau º grau Superor Total Interor 3 (,83) 7 (,94) (,) (,33) Captal 4 (,) (,39) (,) (,3) Outra (,39) (,7) (,) 3 (,3)

Leia mais

METROLOGIA E ENSAIOS

METROLOGIA E ENSAIOS METROLOGIA E ENSAIOS Incerteza de Medção Prof. Aleandre Pedott pedott@producao.ufrgs.br Freqüênca de ocorrênca Incerteza da Medção Dstrbução de freqüênca das meddas Erro Sstemátco (Tendênca) Erro de Repettvdade

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos Despacho Econômco de Sstemas Termoelétrcos e Hdrotérmcos Apresentação Introdução Despacho econômco de sstemas termoelétrcos Despacho econômco de sstemas hdrotérmcos Despacho do sstema braslero Conclusões

Leia mais

Caderno de Exercícios Resolvidos

Caderno de Exercícios Resolvidos Estatístca Descrtva Exercíco 1. Caderno de Exercícos Resolvdos A fgura segunte representa, através de um polígono ntegral, a dstrbução do rendmento nas famílas dos alunos de duas turmas. 1,,75 Turma B

Leia mais

Aplicando o método de mínimos quadrados ordinários, você encontrou o seguinte resultado: 1,2

Aplicando o método de mínimos quadrados ordinários, você encontrou o seguinte resultado: 1,2 Econometra - Lsta 3 - Regressão Lnear Múltpla Professores: Hedbert Lopes, Prscla Rbero e Sérgo Martns Montores: Gustavo Amarante e João Marcos Nusdeo QUESTÃO 1. Você trabalha na consultora Fazemos Qualquer

Leia mais

Estatística stica Descritiva

Estatística stica Descritiva AULA1-AULA5 AULA5 Estatístca stca Descrtva Prof. Vctor Hugo Lachos Davla oo que é a estatístca? Para mutos, a estatístca não passa de conjuntos de tabelas de dados numércos. Os estatístcos são pessoas

Leia mais

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação Mnstéro da Educação Insttuto Naconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera Cálculo do Conceto Prelmnar de Cursos de Graduação Nota Técnca Nesta nota técnca são descrtos os procedmentos utlzados

Leia mais

Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 8 (montgomery)

Controle Estatístico de Qualidade. Capítulo 8 (montgomery) Controle Estatístco de Qualdade Capítulo 8 (montgomery) Gráfco CUSUM e da Méda Móvel Exponencalmente Ponderada Introdução Cartas de Controle Shewhart Usa apenas a nformação contda no últmo ponto plotado

Leia mais

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07 Estatístca I Lcencatura MAEG 006/07 AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM.. Em determnada unversdade verfca-se que 30% dos alunos têm carro. Seleccona-se uma amostra casual smples de 0 alunos. a) Qual

Leia mais

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA DE TRASPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMETO DE EGEHARIA CIVIL ECV DISCIPLIA: TGT41006 FUDAMETOS DE ESTATÍSTICA 3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Meddas umércas

Leia mais

INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE DADOS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO À AÁLISE DE DADOS AS MEDIDAS DE GRADEZAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas... 3. Precsão e rgor...4

Leia mais

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 7. Resolução Numérca de Equações Dferencas Ordnáras Fenômenos físcos em dversas áreas, tas como: mecânca dos fludos, fluo de calor, vbrações, crcutos elétrcos, reações químcas, dentre váras outras, podem

Leia mais

Variabilidade Espacial do Teor de Água de um Argissolo sob Plantio Convencional de Feijão Irrigado

Variabilidade Espacial do Teor de Água de um Argissolo sob Plantio Convencional de Feijão Irrigado Varabldade Espacal do Teor de Água de um Argssolo sob Planto Convenconal de Fejão Irrgado Elder Sânzo Aguar Cerquera 1 Nerlson Terra Santos 2 Cásso Pnho dos Res 3 1 Introdução O uso da água na rrgação

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

Sistemas Robóticos. Sumário. Introdução. Introdução. Navegação. Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar?

Sistemas Robóticos. Sumário. Introdução. Introdução. Navegação. Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar? Sumáro Sstemas Robótcos Navegação Introdução Onde estou? Para onde vou? Como vou lá chegar? Carlos Carreto Curso de Engenhara Informátca Ano lectvo 2003/2004 Escola Superor de Tecnologa e Gestão da Guarda

Leia mais

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Defnções RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Problemas de Valor Incal PVI) Métodos de passo smples Método de Euler Métodos de sére de Talor Métodos de Runge-Kutta Equações de ordem superor Métodos

Leia mais

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza 9/04/06 Escolha do Consumdor sob condções de Rsco e de Incerteza (Capítulo 7 Snyder/Ncholson e Capítulo Varan) Turma do Prof. Déco Kadota Dstnção entre Rsco e Incerteza Na lteratura econômca, a prmera

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR Matéra / Dscplna: Introdução à Informátca Sstema de Numeração Defnção Um sstema de numeração pode ser defndo como o conjunto dos dígtos utlzados para representar quantdades e as regras que defnem a forma

Leia mais

Elaboração: Fevereiro/2008

Elaboração: Fevereiro/2008 Elaboração: Feverero/2008 Últma atualzação: 19/02/2008 E ste Caderno de Fórmulas tem por objetvo esclarecer aos usuáros a metodologa de cálculo e os crtéros de precsão utlzados na atualzação das Letras

Leia mais

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16%

RISCO. Investimento inicial $ $ Taxa de retorno anual Pessimista 13% 7% Mais provável 15% 15% Otimista 17% 23% Faixa 4% 16% Análse de Rsco 1 RISCO Rsco possbldade de perda. Quanto maor a possbldade, maor o rsco. Exemplo: Empresa X va receber $ 1.000 de uros em 30 das com títulos do governo. A empresa Y pode receber entre $

Leia mais

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para Objetvos da aula Essa aula objetva fornecer algumas ferramentas descrtvas útes para escolha de uma forma funconal adequada. Por exemplo, qual sera a forma funconal adequada para estudar a relação entre

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

PROJEÇÕES POPULACIONAIS PARA OS MUNICÍPIOS E DISTRITOS DO CEARÁ

PROJEÇÕES POPULACIONAIS PARA OS MUNICÍPIOS E DISTRITOS DO CEARÁ GOVERNO DO ESTADO DO CEARÁ SECRETARIA DO PLANEJAMENTO E GESTÃO - SEPLAG INSTITUTO DE PESQUISA E ESTRATÉGIA ECONÔMICA DO CEARÁ - IPECE NOTA TÉCNICA Nº 29 PROJEÇÕES POPULACIONAIS PARA OS MUNICÍPIOS E DISTRITOS

Leia mais

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM João Alves e Sousa Laboratóro Regonal de Engenhara Cvl - LREC Rua Agostnho Perera de Olvera, 9000-64 Funchal, Portugal. E-mal: jasousa@lrec.pt Resumo Em anos

Leia mais

Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira

Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira MATERIAL DIDÁTICO Medcna Veternára Faculadade de Cêncas Agráras e Veternáras Campus de Jabotcabal SP Gener Tadeu Perera º SEMESTRE DE 04 ÍNDICE INTRODUÇÃO AO R AULA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3 º EXERCÍCIO

Leia mais

Estimativa da Incerteza de Medição da Viscosidade Cinemática pelo Método Manual em Biodiesel

Estimativa da Incerteza de Medição da Viscosidade Cinemática pelo Método Manual em Biodiesel Estmatva da Incerteza de Medção da Vscosdade Cnemátca pelo Método Manual em Bodesel Roberta Quntno Frnhan Chmn 1, Gesamanda Pedrn Brandão 2, Eustáquo Vncus Rbero de Castro 3 1 LabPetro-DQUI-UFES, Vtóra-ES,

Leia mais

Elementos de Estatística e Probabilidades II

Elementos de Estatística e Probabilidades II Elementos de Estatístca e Probabldades II Varáves e Vetores Aleatóros dscretos Inês Das 203 O prncpal objetvo da deste documento é fornecer conhecmentos báscos de varáves aleatóras dscretas e pares aleatóros

Leia mais

O COMPORTAMENTO DOS BANCOS DOMÉSTICOS E NÃO DOMÉSTICOS NA CONCESSÃO DE CRÉDITO À HABITAÇÃO: UMA ANÁLISE COM BASE EM DADOS MICROECONÓMICOS*

O COMPORTAMENTO DOS BANCOS DOMÉSTICOS E NÃO DOMÉSTICOS NA CONCESSÃO DE CRÉDITO À HABITAÇÃO: UMA ANÁLISE COM BASE EM DADOS MICROECONÓMICOS* O COMPORTAMENTO DOS BANCOS DOMÉSTICOS E NÃO DOMÉSTICOS NA CONCESSÃO DE CRÉDITO À HABITAÇÃO: UMA ANÁLISE COM BASE EM DADOS MICROECONÓMICOS* Sóna Costa** Luísa Farnha** 173 Artgos Resumo As nsttuções fnanceras

Leia mais

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha) Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado

Leia mais

2 Incerteza de medição

2 Incerteza de medição 2 Incerteza de medção Toda medção envolve ensaos, ajustes, condconamentos e a observação de ndcações em um nstrumento. Este conhecmento é utlzado para obter o valor de uma grandeza (mensurando) a partr

Leia mais

CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade CAPÍTULO 4 - Varáves aleatóras e dstrbuções de probabldade Conceto de varável aleatóra Uma função cujo valor é um número real determnado por cada elemento em um espaço amostral é chamado uma varável aleatóra

Leia mais

Análise Econômica da Aplicação de Motores de Alto Rendimento

Análise Econômica da Aplicação de Motores de Alto Rendimento Análse Econômca da Aplcação de Motores de Alto Rendmento 1. Introdução Nesta apostla são abordados os prncpas aspectos relaconados com a análse econômca da aplcação de motores de alto rendmento. Incalmente

Leia mais

CAP RATES, YIELDS E AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS pelo método do rendimento

CAP RATES, YIELDS E AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS pelo método do rendimento CAP RATES, YIELDS E AALIAÇÃO DE IMÓEIS pelo étodo do rendento Publcado no Confdencal Iobláro, Março de 2007 AMARO NAES LAIA Drector da Pós-Graduação de Gestão e Avalação Ioblára do ISEG. Docente das caderas

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Mara Manuela Portela DECvl, IST, 0 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Professor Assocado, Escola de Engenhara

Leia mais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais 30 Varáves aleatóras bdmensonas Sea ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Seam X X(s) e Y Y(s) duas funções cada uma assocando um número real a cada resultado s S.

Leia mais

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Unversdade Federal da Baha Insttuto de Físca Departamento de Físca da Terra e do Meo Ambente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Físca I SALVADOR, BAHIA 013 1 Prefáco Esta apostla é destnada

Leia mais

Curso de especialização em Finanças e Economia Disciplina: Incerteza e Risco Prof: Sabino da Silva Porto Júnior Sabino@ppge.ufrgs.

Curso de especialização em Finanças e Economia Disciplina: Incerteza e Risco Prof: Sabino da Silva Porto Júnior Sabino@ppge.ufrgs. Incerteza: o básco Curso de especalzação em Fnanças e Economa Dscplna: Incerteza e Rsco Prof: Sabno da Slva Porto Júnor Sabno@ppge.ufrgs.br Introdução Até agora: conseqüêncas das escolhas dos consumdores

Leia mais

7.4 Precificação dos Serviços de Transmissão em Ambiente Desregulamentado

7.4 Precificação dos Serviços de Transmissão em Ambiente Desregulamentado 64 Capítulo 7: Introdução ao Estudo de Mercados de Energa Elétrca 7.4 Precfcação dos Servços de Transmssão em Ambente Desregulamentado A re-estruturação da ndústra de energa elétrca que ocorreu nos últmos

Leia mais

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino IV - Descrção e Apresentação dos Dados Prof. Herondno Dados A palavra "dados" é um termo relatvo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partr de uma etapa podem ser

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CE 071 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR. Cesar Augusto Taconeli

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CE 071 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR. Cesar Augusto Taconeli UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA CE 7 ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR Cesar Augusto Taconel Curtba-PR . INTRODUÇÃO Taconel, C.A. Análse de Regressão Lnear Ao se tratar da relação

Leia mais

MAE5778 - Teoria da Resposta ao Item

MAE5778 - Teoria da Resposta ao Item MAE5778 - Teora da Resposta ao Item Fernando Henrque Ferraz Perera da Rosa Robson Lunard 1 de feverero de 2005 Lsta 2 1. Na Tabela 1 estão apresentados os parâmetros de 6 tens, na escala (0,1). a b c 1

Leia mais

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis.

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis. EXERCICIOS AVALIATIVOS Dscplna: ECONOMETRIA Data lmte para entrega: da da 3ª prova Valor: 7 pontos INSTRUÇÕES: O trabalho é ndvdual. A dscussão das questões pode ser feta em grupo, mas cada aluno deve

Leia mais

Análise Fatorial F 1 F 2

Análise Fatorial F 1 F 2 Análse Fatoral Análse Fatoral: A Análse Fatoral tem como prncpal objetvo descrever um conjunto de varáves orgnas através da cração de um número menor de varáves (fatores). Os fatores são varáves hpotétcas

Leia mais

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

Sinais Luminosos 2- CONCEITOS BÁSICOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SINAIS LUMINOSOS.

Sinais Luminosos 2- CONCEITOS BÁSICOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SINAIS LUMINOSOS. Snas Lumnosos 1-Os prmeros snas lumnosos Os snas lumnosos em cruzamentos surgem pela prmera vez em Londres (Westmnster), no ano de 1868, com um comando manual e com os semáforos a funconarem a gás. Só

Leia mais

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução Máqunas de Vetor Suporte.. Introdução Os fundamentos das Máqunas de Vetor Suporte (SVM) foram desenvolvdos por Vapnk e colaboradores [], [3], [4]. A formulação por ele apresentada se basea no prncípo de

Leia mais

Rastreando Algoritmos

Rastreando Algoritmos Rastreando lgortmos José ugusto aranauskas epartamento de Físca e Matemátca FFCLRP-USP Sala loco P Fone () - Uma vez desenvolvdo um algortmo, como saber se ele faz o que se supõe que faça? esta aula veremos

Leia mais

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal www.obconcursos.com.br/portal/v1/carrerafscal Moda Exercíco: Determne o valor modal em cada um dos conjuntos de dados a segur: X: { 3, 4,, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 1, 13 } Mo 8 Y: { 10, 11, 11, 13, 13, 13,

Leia mais

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostla de Estatístca Curso de Matemátca Volume II 008 Probabldades, Dstrbução Bnomal, Dstrbução Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1 Capítulo 8 - Probabldade 8.1 Conceto Intutvamente pode-se defnr probabldade

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

2 ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS

2 ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS Glberto Câmara Marla Sá Carvalho.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo serão estudados os fenômenos expressos através de ocorrêncas dentfcadas como pontos localzados no espaço, denomnados

Leia mais

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear Probabldade e Estatístca Correlação e Regressão Lnear Correlação Este uma correlação entre duas varáves quando uma delas está, de alguma forma, relaconada com a outra. Gráfco ou Dagrama de Dspersão é o

Leia mais

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2

Capítulo 1. O plano complexo. 1.1. Introdução. Os números complexos começaram por ser introduzidos para dar sentido à 2 Capítulo O plano compleo Introdução Os números compleos começaram por ser ntrodudos para dar sentdo à resolução de equações polnomas do tpo Como os quadrados de números reas são sempre maores ou guas a

Leia mais

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR

1. CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR 1 CORRELAÇÃO E REGREÃO LINEAR Quando deseja-se estudar se exste relação entre duas varáves quanttatvas, pode-se utlzar a ferramenta estatístca da Correlação Lnear mples de Pearson Quando essa correlação

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES O Danel Slvera pedu para eu resolver mas questões do concurso da CEF. Vou usar como base a numeração do caderno foxtrot Vamos lá: 9) Se, ao descontar uma promssóra com valor de face de R$ 5.000,00, seu

Leia mais

CQ110 : Princípios de FQ

CQ110 : Princípios de FQ CQ110 : Prncípos de FQ CQ 110 Prncípos de Físco Químca Curso: Farmáca Prof. Dr. Marco Vdott mvdott@ufpr.br Potencal químco, m potencal químco CQ110 : Prncípos de FQ Propredades termodnâmcas das soluções

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 03 DA UNICAMP-FASE. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 37 A fgura abaxo exbe, em porcentagem, a prevsão da oferta de energa no Brasl em 030, segundo o Plano Naconal

Leia mais

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens O problema da superdspersão na análse de dados de contagens 1 Uma das restrções mpostas pelas dstrbuções bnomal e Posson, aplcadas usualmente na análse de dados dscretos, é que o parâmetro de dspersão

Leia mais

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Econometria

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Matemática e Estatística Econometria Unversdade do Estado do Ro de Janero Insttuto de Matemátca e Estatístca Econometra Revsão de modelos de regressão lnear Prof. José Francsco Morera Pessanha professorjfmp@hotmal.com Regressão Objetvo: Estabelecer

Leia mais

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de

Leia mais

Controlo Metrológico de Contadores de Gás

Controlo Metrológico de Contadores de Gás Controlo Metrológco de Contadores de Gás José Mendonça Das (jad@fct.unl.pt), Zulema Lopes Perera (zlp@fct.unl.pt) Departamento de Engenhara Mecânca e Industral, Faculdade de Cêncas e Tecnologa da Unversdade

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisores. Prof. Samuel Feitosa Polos Olímpcos de Trenamento Curso de Teora dos Números - Nível 2 Prof. Samuel Fetosa Aula 10 Dvsores Suponha que n = p α 1 2...pα é a fatoração em prmos do ntero n. Todos os dvsores de n são da forma

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

Software. Guia do professor. Como comprar sua moto. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação

Software. Guia do professor. Como comprar sua moto. Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia. Ministério da Educação números e funções Gua do professor Software Como comprar sua moto Objetvos da undade 1. Aplcar o conceto de juros compostos; 2. Introduzr o conceto de empréstmo sob juros; 3. Mostrar aplcações de progressão

Leia mais

EST 220 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

EST 220 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA EST 0 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Vçosa Mnas Geras 00 / II UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de

Leia mais

3.1. Conceitos de força e massa

3.1. Conceitos de força e massa CAPÍTULO 3 Les de Newton 3.1. Concetos de força e massa Uma força representa a acção de um corpo sobre outro,.e. a nteracção físca entre dos corpos. Como grandeza vectoral que é, só fca caracterzada pelo

Leia mais

são os coeficientes desconhecidos e o termo ε (erro)

são os coeficientes desconhecidos e o termo ε (erro) Regressão Lnear Neste capítulo apresentamos um conjunto de técncas estatístcas, denomnadas análse de regressão lnear, onde se procura estabelecer a relação entre uma varável resposta e um conjunto de varáves

Leia mais

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem.

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem. Les de Krchhoff Até aqu você aprendeu técncas para resolver crcutos não muto complexos. Bascamente todos os métodos foram baseados na 1 a Le de Ohm. Agora você va aprender as Les de Krchhoff. As Les de

Leia mais

Elaboração: Novembro/2005

Elaboração: Novembro/2005 Elaboração: Novembro/2005 Últma atualzação: 18/07/2011 Apresentação E ste Caderno de Fórmulas tem por objetvo nformar aos usuáros a metodologa e os crtéros de precsão dos cálculos referentes às Cédulas

Leia mais

Termodinâmica e Termoquímica

Termodinâmica e Termoquímica Termodnâmca e Termoquímca Introdução A cênca que trata da energa e suas transformações é conhecda como termodnâmca. A termodnâmca fo a mola mestra para a revolução ndustral, portanto o estudo e compreensão

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso de Admnstração em Gestão Públca Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos uns dos

Leia mais

AEP FISCAL ESTATÍSTICA

AEP FISCAL ESTATÍSTICA AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 11: Varáves Aleatóras (webercampos@gmal.com) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Conceto de Varáves Aleatóras Exemplo: O expermento consste no lançamento de duas moedas: X: nº de caras

Leia mais

REGRESSÃO LOGÍSTICA. Seja Y uma variável aleatória dummy definida como:

REGRESSÃO LOGÍSTICA. Seja Y uma variável aleatória dummy definida como: REGRESSÃO LOGÍSTCA. ntrodução Defnmos varáves categórcas como aquelas varáves que podem ser mensurados usando apenas um número lmtado de valores ou categoras. Esta defnção dstngue varáves categórcas de

Leia mais

MAPEAMENTO DA VARIABILIDADE ESPACIAL

MAPEAMENTO DA VARIABILIDADE ESPACIAL IT 90 Prncípos em Agrcultura de Precsão IT Departamento de Engenhara ÁREA DE MECANIZAÇÃO AGRÍCOLA MAPEAMENTO DA VARIABILIDADE ESPACIAL Carlos Alberto Alves Varella Para o mapeamento da varabldade espacal

Leia mais

Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade

Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade Controle Estatístco de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do montoramento de mas de uma característca de qualdade Docentes: Maysa S. de Magalhães; Lnda Lee Ho; Antono Fernando

Leia mais

Avaliação da Tendência de Precipitação Pluviométrica Anual no Estado de Sergipe. Evaluation of the Annual Rainfall Trend in the State of Sergipe

Avaliação da Tendência de Precipitação Pluviométrica Anual no Estado de Sergipe. Evaluation of the Annual Rainfall Trend in the State of Sergipe Avalação da Tendênca de Precptação Pluvométrca Anual no Estado de Sergpe Dandara de Olvera Félx, Inaá Francsco de Sousa 2, Pablo Jónata Santana da Slva Nascmento, Davd Noguera dos Santos 3 Graduandos em

Leia mais

ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DO MODELO SCS-CN EM DIFERENTES ESCALAS ESPACIAIS NO SEMIÁRIDO

ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DO MODELO SCS-CN EM DIFERENTES ESCALAS ESPACIAIS NO SEMIÁRIDO ANÁLISE DE CONFIABILIDADE DO MODELO SCS-CN EM DIFERENTES ESCALAS ESPACIAIS NO SEMIÁRIDO J. W. B. Lopes 1 ; E. A. R. Pnhero 2 ; J. R. de Araújo Neto 3 ; J. C. N. dos Santos 4 RESUMO: Esse estudo fo conduzdo

Leia mais

Motores síncronos. São motores com velocidade de rotação fixa velocidade de sincronismo.

Motores síncronos. São motores com velocidade de rotação fixa velocidade de sincronismo. Motores síncronos Prncípo de funconamento ão motores com velocdade de rotação fxa velocdade de sncronsmo. O seu prncípo de funconamento está esquematzado na fgura 1.1 um motor com 2 pólos. Uma corrente

Leia mais

PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS

PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS E OTIMIZAÇÃO DE SISTEMAS MISTOS Smone P. Saramago e Valder Steffen Jr UFU, Unversdade Federal de Uberlânda, Curso de Engenhara Mecânca Av. João Naves de Ávla, 2160, Santa Mônca,

Leia mais

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações. 1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA As tabelas resumem as normações obtdas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de normações. As tabelas sem perda de normação

Leia mais